TRUNG TÂM TỰ HỌC TOPPER ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI VÀO 10 THPT CHUYÊN–HÀ NỘI-2014 Môn: Toán ĐÁP ÁN THAM KHẢO Đáp án – thang điểm gồm 04 trang Đáp án Câu 1) (1,0 điểm) (2,0 điểm) Điều kiện x ≥ − Ta có phương trình tương đương 5x + Ta có x ≥ 0, ( ) ( ) 2x + − = (*) 2x + − ≥ nên  x = (*) ⇔   2x + − = ⇔ x = Kết hợp với điều kiện ban đầu, ta có x = nghiệm phương trình cho 2) (1,0 điểm) 2xy + ( x − y ) = −3 Ta có hệ phương trình tương đương  ( x − y ) − 4xy = x − y = S Đặt   xy = P Ta có S2 + 4P = ( x + y ) ≥ ⇒ S2 ≥ −4P (*) 2P + S = −3 Thay vào hệ phương trình ta có  S − 4P =  S = −3  P = ⇔  S =   P = −2 S = −3 Kết hợp điều kiện (*) ta có  P = x =   x − y = −3 y = ⇔ ⇔   x = −3  xy =    y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = {( −3;0 ) , ( 0;3)} Thực hiện: Tổ Toán – Trung tâm Tự học Topper – 23 ngõ Huế, HBT, HN 1/4 1) (1,0 điểm) (2,5 n n n n n n n n n n điểm) Ta có A = ( + ) − ( + 11 ) = 25 − 22 − 18 + 15 n 25 ≡ 1mod 25 ≡ 1mod + Ta có  ⇒ n 22 ≡ 1mod 22 ≡ 1mod Suy ra, ( 25n − 22n )⋮ Do đó, A ⋮ (1) n n 25 ≡ mod 25 ≡ mod ⇒ + Ta có  n 18 ≡ mod 18 ≡ mod Suy ra, ( 25n − 18n )⋮ Tương tự ta có ( 22n − 15n )⋮ Do đó, A ⋮ (2) Mặt khác, ta có 21 = 3.7 kết hợp với (1) (2) ta có A ⋮ 21 2) (1,0 điểm) Ta có 5x + y2 − 2xy + 2x − 2y − = ⇔ ( x − y + 1) + 4x = ⇔ 4x = − ( x − y + 1) ≤ (*) 2 Ta có x ∈ Z ⇒ ≤ x x = {0;1} ⇔ x = {−1;0;1} Kết hợp với (*) ta có + Với x = −1 ta có ( x − y + 1) = ⇔ y = ⇔ y = ±2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = {( −1; −2 ) ; ( −1; )} + Với x = ta có ( x − y + 1) = ⇔ ( y − 1) = (loại) 2 y = 2 + Với x = ta có ( x − y + 1) = ⇔ ( y − ) = ⇔  y = Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = {(1;0 ) ; (1; )} Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên ( x; y ) = {( −1; −2 ) ; ( −1; ) ; (1;0 ) ; (1; )} 3) (0,5 điểm) Giả sử không tồn ba số Giả sử a1 ≤ a 1 1 1 Ta có A = + + + ≤ + + + + a1 a a 2014 1 20132 1 ⇒ A ≤ + + + + 20132 Mặt khác, 22 > 1.2;32 > 2.3; ; 20132 > 2012.2013 1 1 1 ; 2< ; ; Do đó, < < 2 1.2 2.3 2013 2012.2013 1     1 Do đó, A < +  + + +  = +  − + − + −  2012.2013  2013   1.2 2.3  2 ⇒ A < 3− (vô lý theo giả thiết A ≥ ) 2013 Thực hiện: Tổ Toán – Trung tâm Tự học Topper – 23 ngõ Huế, HBT, HN 2/4 (1 − x ) − x )(1 + x ) (1 − x ) ( 1− x2 1− x2 = = ≥ = (1,5 Ta có x + yz x ( x + y + z ) + yz ( x + y )( x + z ) ( 2x + y + z ) 1+ x điểm) − y (1 − y ) − z (1 − z ) ≥ ; ≥ Tương tự ta có y + zx + y z + xy 1+ z Do đó, VT ≥ (1 − x ) 1+ x + (1 − y ) 1+ y + (1 − z ) 1+ z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có   2 = 4 + + − 3 1 + x + y + z  1 9 + + = ≥ 1+ x 1+ y 1+ z + x + y + z Do đó, VT ≥ − 12 = (đpcm) Dấu " = " xảy x = y = z = 1) (1,0 điểm) (3,0 A điểm) Ta có OCN = OBM = 30o Suy ra, ∆OCN = ∆OBM (c.g.c) ⇒ ON = OM N E O D C I K H M B Do đó, OI đường trung trực đoạn thẳng MN Suy ra, OI ⊥ MN ⇒ OIM = 90o = OHM Suy ra, O, M, H, I nội tiếp đường tròn đường kính OM (đpcm) 2) (1,0 điểm) Ta có MN = 2MI Ta có MI = OM − OI = OH + HM − OI Do đó, MI nhỏ MH nhỏ OI lớn ⇔ M ≡ H Vậy M trung điểm BC độ dài MN nhỏ 3) (1,0 điểm) Kẻ MK // CA Ta có ∆BMK (vì KBM = KMB = 60o Suy ra, MK = MB = CN Suy ra, CMKN hình bình hành Thực hiện: Tổ Toán – Trung tâm Tự học Topper – 23 ngõ Huế, HBT, HN 3/4 Do đó, K, I, C thẳng hàng Kẻ ID ⊥ AB E trung điểm AB Ta có CE ⊥ AB ⇒ CE // ID Suy ra, DI đường trung bình tam giác KCE CE (không đổi) 1 Do đó, SIAB = ID.AB = CE.AB không đổi Vậy M thay đổi, diện tích tam giác IAB không đổi Suy ra, ID = Ta có từ đến 36 có 12 số: {2;3;5;7;11;13;17;19; 23; 29;31;34} số nguyên tố (1,0 điểm) Suy ra, 25 số chọn có 01 số nguyên tố Mặt khác, {4;9; 25} , {4;33;35} , {9; 22;35} 03 ba số đôi nguyên tố + Nếu 25 số chọn có số nguyên tố Suy ra, số 4; 9; 22; 25; 33; 35 thuộc 25 số Suy ra, có ba số đôi nguyên tố + Nếu 25 số chọn có số nguyên tố a, b Gọi c, d hai số nguyên tố thuộc {2;3;5;7} khác a, khác b Ta có ba {( a; b;cd )} ba số đôi nguyên tố + Nếu 25 số chọn có số nguyên tố hiển nhiên −−− Hết −−− Thực hiện: Tổ Toán – Trung tâm Tự học Topper – 23 ngõ Huế, HBT, HN 4/4 ... 60o Suy ra, MK = MB = CN Suy ra, CMKN hình bình hành Thực hiện: Tổ Toán – Trung tâm Tự học Topper – 23 ngõ Huế, HBT, HN 3/4 Do đó, K, I, C thẳng hàng Kẻ ID ⊥ AB E trung điểm AB Ta có CE ⊥ AB ⇒... đó, A < +  + + +  = +  − + − + −  2012.2013  2013   1.2 2.3  2 ⇒ A < 3− (vô lý theo giả thi t A ≥ ) 2013 Thực hiện: Tổ Toán – Trung tâm Tự học Topper – 23 ngõ Huế, HBT, HN 2/4 (1 − x )... B Do đó, OI đường trung trực đoạn thẳng MN Suy ra, OI ⊥ MN ⇒ OIM = 90o = OHM Suy ra, O, M, H, I nội tiếp đường tròn đường kính OM (đpcm) 2) (1,0 điểm) Ta có MN = 2MI Ta có MI = OM − OI = OH +