Phòng giáo dục yên định Trờng thcs yên thịnh Ngời đề: Hoàng Duy Thế Ngời thẩm định: Đào Quang Đại Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp Môn toán - thời gian 150 phút Năm học: 2009 - 2010 Bài 1: (3 đ) Tính giá trị biểu thức: a) A= 13 100 53 + 90 b) a2 b2 c2 B= 2 2+ 2 2+ 2 a b c b c a c a b Với a + b + c = Bài 2: (4 đ) Cho biểu thức: x x 2( x 3) x+3 P= + x2 x x +1 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x = 14 - c) Tìm GTNN P Bài (4 đ) Giải phơng trình a) b) x + 4x + + x + x + 15 x+64 x+2 + + x + 12 x + 35 + x + 16 x + 63 = x + 11 x + = Bài 4: (3 đ) Cho số dơng x, y thỏa mãn x + y =1 a) Tìm GTNN biểu thức M = ( x2 + b) Chứng minh rằng: N=(x+ y )( y2 + x ) 1 25 ) + ( y + )2 y x Bài (2 đ) Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC Các đờng tròn đờng kính AM, BC cắt N ( khác B) BN cắt CD L Chứng minh rằng: ML vuông góc với AC Bài (4 đ) Cho (O;R) điểm A nằm đờng tròn Từ điểm M di động đờng thẳng d vuông góc với OA A, vẽ tiếp tuyến MB, MC với đờng tròn (B, C tiếp điểm) dây BC cắt OM OA lần lợt H K a, Chứng minh OA.OK không đổi, từ suy BC qua điểm cố định b, Chứng minh H di động đờng tròn cố định c, Cho biết OA = 2R Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Đáp án biểu điểm Câu 1: (3đ) a) A= 13 100 53 + 90 = 13 10 53 + 2.6 10 (0,5đ) = (2 ) (2 + ) (0,25đ) =2 - - 2 - = -4 Vậy A= 13 100 53 + 90 = -4 (0,5đ) (0,25đ) b, Vì a + b + c = a = - b - c a2 = b2 + 2bc + c2 a2 - b2 - c2 = 2bc Tơng tự có: (0,5đ) b2 - c2 - a2 = 2ac c2 - a2 - b2 = ab B= (0,25đ) a2 b2 c2 a + b + c 3abc + + = = = 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc Vậy B = (0,5đ) Bài 2( điểm) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định : x 0; x a) Rút gọn: x x 2( x 3) x+3 P= ( x + 1)( x 3) x +1 x (0,5 đ) = x x 2( x 3) ( x + 3)( x + 1) ( x 3)( x + 1) (0,25 đ) = x x x + 12 x 18 x x x ( x 3)( x + 1) đ) x( x + 8) 3( x + 8) x x x + x 24 x+8 = = = ( x 3)( x + 1) ( x 3)( x + 1) x +1 b) x = 14 - = ( ) - 2.3 + = ( - 3)2 x = - (0,75 14 + 22 58 Khi P = = = 11 +1 58 Vậy với x = 14 - P = 11 đ) c) x+8 x 1+ 9 = = x 1+ = x +1+ 22 92=4 P= x +1 x +1 x +1 x +1 (0,25 (0,5 đ) đ) (0,5 đ) (0,25 (1 đ) ( áp dụng BĐT CôSi cho số dơng Dấu"=" xảy x +1 = đ) x +1 x + 1; x +1 ) x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy minP = 4, đạt đợc x = (0,25 (0,25 đ) Bài 3: điểm (mỗi câu điểm) a) x2 + 4x + = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9) ĐKXĐ: x -1; x -3; x -5; x -7; x -9 (0,5 đ) 1 1 + + + = =>pt ( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) ( x + 5)( x + 7) ( x + 7)( x + 9) 1 1 1 1 + + + (0,5 đ) ữ= x +1 x + x + x + x + x + x + x + 1 1 )= ( x +1 x + 5( x + - x -1) = 2( x+1)( x+9) (0,25 đ) 2x2 + 20x + 18 - 40 = x2 + 10x - 11 = Phơng trình có dạng a + b + c = x1 = 1; x2 = -11 (0,5 đ) x1; x2 thỏa mãn ĐKXĐ Vậy tập nghiệm phơng trình : S = { 11;1} b) ĐKXĐ: x -2 Pt (0,5 đ) ( 0,5 đ) (0,25 ( x + 2) + ( x + 3) = đ) x+2 + x+2-3 = (0,25 đ) áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta có : x+2 + x+2-3 Dấu "=" xảy : ( x + )( - x + ) x + x Vậy tập nghiệm phơng trình : S = { x / x 7} Bài 4: ( điểm) ( câu 1,5 điểm) 2 1 ( x y + 1) 2 = ( xy + ) a) Ta có : M = ( x + )( y + ) = 2 y xy x x y 1 15 ) + = ( xy + xy 16 xy 16 xy 1 áp dụng BĐT Côsi : xy + = 16 xy 16 x+ y 1 xy = xy 2 Mặt khác : xy + (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 đ) ( 1) (2) ( 3) 15 1 17 Từ (1), (2) (3) ta có : xy + + 1= 16 xy 4 17 289 (xy + ) ( )2 = xy 16 xy = 289 16 xy x = y = Vậy minM = , đạt đợc 16 x = y b) áp dụng BĐT : A2 + B2 ( A + B ) , ta có : x+ y 2 (x + y + ) (1 + ) N=(x+ ) +(y+ ) = xy xy y x 2 Mặt khác : (x + y)2 4xy ( ( x -y)2 0) 4xy xy 25 + N Vậy N (1 + ) xy = 25 2 x + y = 1 Dấu "=" xảy x = y = x = y Bài 5: ( điểm) Gọi E giao điểm AC ML Ta có: góc NCD = gócNCB (cùng phụ với goc BCN) góc NBC = góc NAM ( chắn cung MN)A Tam giác NCL đồng dạng với NC NL = tam giác NAM NA NM Mặt khác : góc ANC = góc MNL ( 900 + gócMNC) tam giác ANC đồng dạng với tam giác N MNL góc NAC = góc NML hay góc NAE = góc D NME L Tứ giác AMEN nội tiếp E thuộc đờng tròn đờng kính AM góc AEM = 900 hay ML vuông góc với AC ( đpcm) B M E C Bài 6: ( điểm) a) (2 đ) Chứng minh đợc OM BC HOK AOM OH OK = OA OM M C OA.OK = OH.OM (1) Xét BOM vuông B nên OB2 = OH.OM (2) Từ (1) (2) OA.OK = = OB2 = R2 (không đổi) H O K A B OK = R2 không đổi OA K cố định OA b) (2 đ) H nằm đờng tròn đờng kính OK cố định c) S = dtMBOC = MO.BC S nhỏ OM nhỏ BC nhỏ OM nhỏ M A BC nhỏ BC OK M A ... x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9) ĐKXĐ: x -1; x -3; x -5; x -7; x -9 (0,5 đ) 1 1 + + + = =>pt ( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) ( x + 5)( x + 7) ( x + 7)( x + 9) 1 1 1 1 + + + (0,5... = - (0,75 14 + 22 58 Khi P = = = 11 +1 58 Vậy với x = 14 - P = 11 đ) c) x+8 x 1+ 9 = = x 1+ = x +1+ 22 92 =4 P= x +1 x +1 x +1 x +1 (0,25 (0,5 đ) đ) (0,5 đ) (0,25 (1 đ) ( áp dụng BĐT CôSi...Đáp án biểu điểm Câu 1: (3đ) a) A= 13 100 53 + 90 = 13 10 53 + 2.6 10 (0,5đ) = (2 ) (2 + ) (0,25đ) =2 - - 2 - = -4 Vậy A= 13 100 53 + 90 = -4 (0,5đ) (0,25đ) b, Vì a + b + c = a = - b