đề thi học sinh giỏi Toán Bài ( điểm ) Cho biểu thức P = x +1 - x x +1 + x- x + a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P Bài2 (4 điểm) a) Cho đờng thẳng y = 2x , y = x , y = cắt tạo thành tam giác Tính diện tích tam giác b) Tìm đờng thẳng y = 4x + điểm có toạ độ thoả mãn: y2 5y x + 4x = Bài 3.(3điểm) a Cho số dơng a, b, c thay đổi thoả mãn a + b + c = Chứng minh: a + b + b + c + c + a > b Cho số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 2010.Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z: ( 2010 + y ) ( 2010 + z ) + y ( 2010 + z ) ( 2010 + x ) + z ( 2010 + x ) ( 2010 + y ) P=x 2010 + x2 2 2010 + y2 2 2010 + z2 BBài 4(5điểm) Cho ba điểm cố định A,B,C thẳng hàng theo thứ tự đó.vẽ đờng tròn tâm O qua B C Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với đờng tròn (O); Gọi I trung điểm BC ,N trung điểm EF a Chứng minh điểm E, F nằm đờng tròn cố định đờng tròn (O) thay đổi b Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) K Chứng minh : EK // AB c Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đờng thẳng cố định đờng tròn(O) thay đổi Bài 5(4 điểm) a.Giải phơng trình nghiệm nguyên: (y+2)x 2+1=y2 b Giải phơng trình: 1 2009 x + 2009 + + + = 1.2 2.3 x( x + 1) 2009 x + 2010 Hớng dẫn chấm: Bài a) Điều kiện x (0.25) P= + x + ( x + 1)(x- x + 1) x - x + P = (0.25) x - x + 1- + x + x x +1 (0.5) x( x + 1) x x +1 P = (0.5) P= x x- x + (0.5) > x x - x + = x - + x x b) Ta có (0.5) x , x x- x + P = x = Vậy P = ( 0.25) nên Ta có P= ( ) (0.25) x -1 , x x - x + x - x + x ,x x 1, x x- x + P x ; P = x = Vậy MaxP = x = Tóm lại : minP = x = ; MaxP =y1 y= x = 21x Bài y= x 2 A B y=2 (0.5) (0.25) (0.25) a (0.5) Tính A( ( ;2); B(4;2) (0.5) Tính S OAB = (1.0) b Điều kiện: x (0.25) Khi ta có: y2 5y x + 4x = y = x (y x)(y x) = (0.5) y = x Do để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + điểm thuộc đờng thẳng y = 4x + thoả mãn yêu cầu toán ta cần có x và: 15 4x0 + 1= x0 (2 x ) + =0 16 x0 = (0.5) 4x0 + 1= x0 (2 x0 1) = Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = ;2ữ (0.25) Bài a Do a , b, c > từ giả thiết ta có : a + b < a + b + c = => a + b < a + b < a + b (1 ) 0,5 Tơng tự ta có b+c < b+ c (2) 0.25 a + c < c + a (3) 0,25 Cộng vế với vế (1) , (2) , (3) ta có 0.25 2( a + b + c) < a + b + b + c + a + c ( hay b a+ b + b+ c + c+ a > ) ( ĐPCM) 2010+x2= xy+yz+zx+x2= (x+y)(z+x) 2010+y= xy+yz+zx+y2=(x+y)(y+z) 2010+z2 = xy+yz+zx+z2=(y+z)(z+x) Suy ra: x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx) Do đó: P= 2.2010=4020 0,25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 Bài ABF AFC đồng dạng (g_g) 0.5 Ta có : AB/ AF=AF/AC AF =AB.AC 0.5 AF= AB AC Mà AE=AF nên AE=AF= AB AC không đổi 0.5 Vậy E,F thuộc đờng tròn (A; AB AC ) cố định Tứ giác AOIF nội tiếp đờng tròn Ta có : AIF = AOF (1) 0.5 1 EOF EKF = EOF 2 EKF = AOF (2) AIF = EKF Từ(1) và(2) AOF = Do :EK 0.5 vàAB song song vơí 0.5 Cm đợc A,N,O thẳng hàng AO EF ; Gọi H giao điểm BC EF Ta có : ANH AIO đồng dạng nên AH AN = AO AI Suy :AH.AI =AN.AO Lại có :AN AO=AE2 =AB.AC AB AC Do : AI.AH =AB.AC AH = AI 0.5 0.5 không đổi Vậy H cố định 0.5 Tứ giác OIHN tứ giác nội tiếp đờng tròn nên đờng tròn ngoại tiếp OIN qua I H ;Do tâm đơng f tròn nằm đờng trung trực IH 0.5 Bài a (y+2)x2+1 = y2 (y+2)x2(y2-4) = 0.5 (y+2)(x -y+2) = 0.25 Suy ra: y+2 x2-y+2 y x -1 Loại 1 -1 -3 -3 Loại -3 -1 -1 đ Vậy nghiệm nguyên phơng trình là: (0;1),(0;-1) 0.25 b 1 1 + + + = 1.2 2.3 x( x + 1) x +1 2009 x + 2009 2009 x + 2010 Suy ra: 0.5 = 1 2009 x + 2010 x+1 = 2009 x + 2010 2009-x+ 2009 x = 2009 x ( 2009 x + 1) = 2009 x = x = 2009 (tm) 0.5 ( x 2009) 0.5 0.5 ... x + 1) x +1 20 09 x + 20 09 20 09 x + 2010 Suy ra: 0.5 = 1 20 09 x + 2010 x+1 = 20 09 x + 2010 20 09- x+ 20 09 x = 20 09 x ( 20 09 x + 1) = 20 09 x = x = 20 09 (tm) 0.5 ( x 20 09) 0.5 0.5 ...1 1 20 09 x + 20 09 + + + = 1.2 2.3 x( x + 1) 20 09 x + 2010 Hớng dẫn chấm: Bài a) Điều kiện x (0.25) P= + x + ( x + 1)(x-... mãn yêu cầu toán ta cần có x và: 15 4x0 + 1= x0 (2 x ) + =0 16 x0 = (0.5) 4x0 + 1= x0 (2 x0 1) = Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = ;2ữ (0.25) Bài a Do a , b, c > từ giả thi t ta có