Đề thi học sinh giỏi môn toán 8 năm học 2015 2016 trường chu mạnh chinh

4 237 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán 8 năm học 2015   2016 trường chu mạnh chinh

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

tr−êng thcs chu m¹nh Trinh §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 2015 - 2016 M«n: To¸n Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016 Thêi gian lµm bµi: 120 Câu 1: (2,5 ñiểm)  x2 + 3x   6x  Cho biểu thức P =  + − :  2  x + x + x + 27 x +   x − x − 3x + x − 27  a) Tìm ñiều kiện xác ñịnh rút gọn P b) Với x>0 P không nhận giá trị nào? c) Tìm giá trị nguyên x ñể P có giá trị nguyên Câu 2: (2,0 ñiểm) a + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 Cho biểu thức M = + + Chứng minh rằng: 2ab 2bc 2ca a) Nếu a,b,c ñộ dài cạnh tam giác M > b) Nếu M=1 hai ba phân thức ñã cho biểu thức M 1, phân thức lại −1 Câu 3: (2,0 ñiểm) a) Cho n tổng hai số phương Chứng minh n tổng hai số phương b) Cho ña thức A = ax + bx + c Xác ñịnh hệ số b biết chia A cho x-1, chia A cho x+1 ñều có số dư Câu 4: (2,5 ñiểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), ñường cao AH (H ∈ BC) Trên tia HC lấy ñiểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh: CB.CD = CE CA b) Cho AB = m (với m > 0) Tính ñộ dài ñoạn BE theo m c) Gọi M trung ñiểm ñoạn BE Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 2 + + ≤ 2 2 (a + 1) + b + (b + 1) + c + (c + 1) + a + - Hết * Ghi chú: Học sinh không ñược sử dụng máy tính cầm tay tr−êng thcs chu m¹nh Trinh H−íng dÉn chÊm §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 2015 - 2016 M«n: To¸n Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016 Học sinh có cách giải khác, ñúng cho ñiểm không thay ñổi ñiểm phần câu Lấy ñiểm toàn ñến 0,25 Câu Nội dung Điểm 1/a 0,25 ĐKXĐ: x ≠ ±3 0,25   x ( x + 3)  6x   P= + −  ( x + 3) ( x + ) x +  x − ( x − 3) ( x + )     x+3 x2 + − 6x x + ( x − 3) ( x + ) x + P= : = = x + ( x − 3) ( x + ) x + x−3 ( x − 3) 1/b Ta có ( P + 1) x+3 ⇒x= x −3 P −1 p= ( P + 1) Để x>0 P −1 >0⇔ 1/c Biến ñổi P = 1+ 2/a P ∉ [ −1;1] x −3 P có giá trị nguyên Từ ñó tính ñược 0,25 P > P +1 >0⇔ P −1  P < −1 Vậy P không lấy giá trị từ -1 ñến 1, hay 0,25 ⇔ x − ∈ U ( ) = {±1; ±2; ±3; ±6} x ∈ {0;1; 2; 4;5;6;9} a + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a − b2 A= B= C= 2ab 2bc 2ca Đặt ; ; 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Ta cần chứng minh A+B+C>1 hay (A+1)+(B-1)+(C-1)>0 (*) ( a + b − c )( a + b + c ) a + b2 − c2 A +1 = +1 = 2ab 2ab Ta có 2 ( b − c − a )( b − c + a ) b +c −a B −1 = −1 = 2bc 2bc 2 ( c − a − b )( c − a + b ) c + a −b C −1 = −1 = 2ca 2ca 0,25 Suy (A+1)+(B-1)+(C-1)= 0,25  c ( a + b + c) + a (b − c − a ) − b (c − a + b)  >0 2abc   (a + b − c)  ⇔ ( a + b − c ) c − ( a − b )  > ⇔ ( a + b − c )( a − b + c )( − a + b + c ) >   (**) Bất ñẳng thức (**) ñúng a,b,c ba cạnh tam giác 0,25 2/b ) ( ) ( ) ( )( )( ) M=1 ( Ta xét ba trường hợp TH1: Nếu a+b+c=0 A+1=0; B-1=0; C-1=0 suy A=-1; B=1; C=1 TH2: Nếu a-b+c=0 ⇔ A + + B − + C − = ⇔ a + b − c a − b + c −a + b + c = A −1 = ( a − b − c )( a − b + c ) = ⇒ A = C +1 = ( c + a − b ) ( c + a + b ) = ⇒ c = −1 2ab ; B-1=0 ⇒ B = 2ca TH3: Nếu –a+b+c=0 A-1=0 ⇒ A = ; C-1=0 ⇒ C = B +1 = Câu 3/a ( b + c − a )( b + c + a ) = ⇒ B = −1 n = ( a + b ) = ( a − b ) + ( 2ab ) 3/b Giả sử 0,25 2bc Như trường hợp có hai ba phân thức A,B,C 1, phân thức lại -1 2 Đặt n = a + b Với a, b ∈ N Khi ñó 0,25 0,25 A = ax + bx + c = ( x − 1) P + R A = ax + bx + c = ( x + 1) Q+ R tổng hai số phương (1) (2) Cho x=1 từ (1) ta có : a+b+c=R; cho x=-1 từ (2) ta có a-b+c=R Do ñó a+b+c=a-b+c ⇔ 2b = ⇒ b = Vậy b=0 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 (2,5ñ) a) (0,75 ñ) ∆ CDE ~ CAB (g-g) ⇒ CD CA = CE CB ⇒ CB.CD = CE CA 0,25 0,25 0,25 b) (0,75 ñ) Xét ∆ADC ∆BEC có: C chung CD CA = CE CB ∆ADC ~ ∆BEC (c.g.c) BEC = ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nªn AEB = 450 Do ñó tam giác ABE vuông cân A Suy ra: BE = AB = m 0,25 0,25 0,25 c) (1,0 ñ) Tam giác ABE vuông cân A có AM ñường trung tuyến nên tia AM ñồng thời phân giác góc BAC GB AB = (Tính chất ñường phân giác tam giác) GC AC AB ED Ta có: = ( ∆ABC ∼ ∆DEC ) AC DC AH ED ED HD ED//AH ⇒ =  = (do AH = HD) HC CD DC HC GB HD Do ñó: = GC HC GB HD GB HD ⇒ = ⇒ = GB + GC HD + HC BC AH + HC b) (1 ñ) Áp dụng BĐT x + y2 ≥ 2xy, ta có: 2 = ≤ = 2 (a + 1) + b + a + b + 2a + 2ab + 2a + ab + a +  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Lập luận tương tự, ta ñược: 1 + + = ab + a + bc + b + ca + c + 1 a ab + + ab + a + abc + ab + a abca + abc + ab VT ≤ (1ñ) a ab + + =1 ab + a + 1 + ab + a a + + ab Dấu xảy ⇔ a = b = c = 0, = Vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh - Hết - 0,25 ...tr−êng thcs chu m¹nh Trinh H−íng dÉn chÊm §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 2015 - 2016 M«n: To¸n Ngµy thi: 12 th¸ng 05 n¨m 2016 Học sinh có cách giải... CA 0,25 0,25 0,25 b) (0,75 ñ) Xét ∆ADC ∆BEC có: C chung CD CA = CE CB ∆ADC ~ ∆BEC (c.g.c) BEC = ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thi t) Nªn AEB = 450 Do ñó tam giác ABE vuông cân... b + c − a )( b + c + a ) = ⇒ B = −1 n = ( a + b ) = ( a − b ) + ( 2ab ) 3/b Giả sử 0,25 2bc Như trường hợp có hai ba phân thức A,B,C 1, phân thức lại -1 2 Đặt n = a + b Với a, b ∈ N Khi ñó 0,25

Ngày đăng: 25/08/2017, 21:26

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan