TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI BÀI THẢO LUẬN NHÓM Học phần: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Đề tài: Điểm trung bình mơn Lý thuyết xác suất thống kê toán sinh viên Trường Đại học Thương mại Nhóm: Lớp HP: 1474AMAT0111 Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Hiên Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2014 MỤC LỤC TRANG PHẦN A: LÝ THUYẾT THỐNG KÊ TOÁN Ước lượng tham số đại lượng ngẫu nhiên .3 I Ước lượng khoảng tin cậy .3 Ước lượng tham số ĐLNN 2.1 Ước lượng kỳ vọng toán ĐLNN .4 2.2 Ước lượng tỉ lệ 2.3 Ước lượng phương sai Kiểm định giả thuyết thống kê II Một số khái niệm định nghĩa .7 1.1 Giả thuyết thống kê 1.2 Tiêu chuẩn kiểm định 1.3 Miền bác bỏ 1.4 Các loại sai lầm .8 Các trường hợp kiểm định .8 2.1 Kiểm định giả thuyết kỳ vọng toán ĐLNN 2.2 Kiểm định tỉ lệ đám đông 10 PHẦN B: BÀI TẬP I Đề II Giải tập 15 Bài 15 Bài 27 Phần A: LÝ THUYẾT THỐNG KÊ TOÁN I Ước lượng tham số ĐLNN Xét ĐLNN X thể đám đơng Các số đặc trưng X gọi tham số lý thuyết (hay tham số đám đông) Ký hiệu chung tham số lý thuyết cần ước lượng θ Có hai phương pháp ước lượng θ là: • Ước lượng điểm • Ước lượng khoảng tin cậy Ước lượng khoảng tin cậy Để ước lượng tham số θ ĐLNN X, trước hết từ đám đông ta lấy mẫu ngẫu nhiên W = (X1,X2, … , Xn) Tiếp đến ta xây dựng thống kê G = f(X1,X2, … , Xn, θ), cho quy luật phân phối xác suất G hồn tồn xác định (khơng phụ thuộc vào tham số θ) Với xác suất γ = – α cho trước, ta xác định cặp giá trị α 1, α2 thỏa mãn điều kiện α1 ≥ 0, α2 ≥ α1 + α2 = α Vì quy luật phân phối xác suất G ta biết, ta tìm phân vị g1-α1 gα2 cho P(G > g1-α1) = – α1 P(G > ga2)= α2 Khi đó: P(g1-α1 < G < ga2) = - α1 - α2 = – α = γ Cuối cách biến đổi tương đương ta có: P(θ*1 < θ < θ*2) = – α = γ Trong đó: γ = – α* gọi là độ tin cậy, (θ*1, θ*2) gọi độ tin cậy, I = θ*2 – θ*1 gọi độ dài khoảng tin cậy Người ta thường chọn α1 = α2 = α/2 Nếu chọn α1 = α2 = α chọn α1 = α α2 = ta có khoảng tin cậy phía (dùng để ước lượng giá trị tối thiểu giá trị tối đa θ) Ước lượng tham số ĐLNN 2.1 Ước lượng kỳ vọng toán ĐLNN Để ước lượng kỳ vọng tốn E(X) = µ ĐLNN X, từ đám đông ta lấy mẫu W=(X1,X2,…,Xn) Từ mẫu ta tìm trung bình mẫu X phương sai mẫu điều chỉnh S’² Ta ước lượng µ thơng qua X Xét trường hợp sau: a) ĐLNN X đám đơng có phân phối chuẩn biết b) ĐLNN X đám đông có phân phối chuẩn chưa biết c) Chưa biết quy luật phân phối xác suất X n>30 Khi n lớn, X có phân phối xấp xỉ chuẩn Mặt khác ta ln có E ( X ) = µ Var ( X ) = σ2 => n ) Ta xây dựng thống kê: U = ~ N(0,1)  Khoảng tin cậy đối xứng ( lấy α1 = α2 = α/2) Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm phân vị chuẩn uα cho: P(|U| < uα ) = – α =γ Thay biểu thức U vào công thức ta có: P(| X - µ| < uα ) = – α =γ  P( X – ε < µ < X + ε ) = – α =γ Trong : ε = uα sai số ước lượng γ = – α độ tin cậy ( X – ε; X + ε) khoảng tin cậy ngẫu nhiên µ Ở ta cần ý : Với xác suất γ = – α khoảng tin cậy ngẫu nhiên chụp µ (µ số xác định ) Trong lần lấy mẫu ta tìm giá trị cụ thể x X Khi ta có khoảng tin cậy cụ thể µ ( x – ε; x + ε) Ta có tốn sau: Bài tốn 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy γ = – α, tìm sai số ε ( khoảng tin cậy ) Vì biết γ = – α tra bảng ta tìm uα , từ ta tìm sai số ε = uα khoảng tin cậy µ Bài tốn 2: Biết kích thước mẫu n sai số ε, cần tìm độ tin cậy γ Biết n ε, ta tìm uα tra bảng tìm α/2 từ tìm độ tin cậy γ = – α Từ cơng thức tìm khoảng tin cậy ta thấy sai số ước lượng nửa độ dài khoảng tin cậy Vì biết khoảng tin cậy đối xứng (a,b) ta tính sai số ước lượng theo công thức ε= Bài toán 3: Biết độ tin cậy γ, biết sai số ε, cần tìm kích thước mẫu n Biết γ = – α, ta tìm uα σ 2uα2 Ta tìm n = Đó kích thước mẫu tối thiểu cần ε2 tìm Chú ý : Nếu chưa biết σ, kích thước mẫu lớn (n>30) Ta thay σ ước lượng khơng chệch tốt s’ Chú ý : Trong trường hợp biết µ cần ước lượng X biến đổi tương đương cơng thức ta có: P( µ - ε < X < µ + ε ) = – α = γ Vậy khoảng tin cậy X ( µ - ε, µ + ε )  Khoảng tin cậy phải (lấy α1 = 0, α = α ; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu µ) Ta dùng thống kê Với độ tin cậy γ = 1-α cho trước ta tìm phân vị chuẩn uα cho: P(U< uα ) = – α = γ Thay vào biểu thức U vào công thức ta có: P ( X −µ < uα ) = – α = γ σ n σ   ⇔ P X u < ữ = − α = γ n   σ   ; +∞ ÷ Như vậy, khoảng tin cậy phải độ tin cậy γ = – α µ là:  X − n    Khoảng tin cậy trái (lấy α2 = ; α1 = α, dùng để ước lượng giá trị tối đa µ) Ta cũng dùng thống kê : Với độ tin cậy γ = – α cho trước ta tìm uα cho: P(- uα 30 Khi n lớn, X có phân phối xấp xỉ chuẩn Mặt khác ta ln có E ( X ) = µ σ2 Var ( X ) = => n ) * Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định (XDTCKĐ): U = Nếu H0 U~N(0,1) Xét tốn cụ thể sau: • Bài tốn 1: Với α cho trước ta tìm cho P(|U|> bỏ: ={ đó: = ) = α Ta có miền bác • Bài tốn : Với α cho trước, ta tìm cho P(U > ) = α Từ ta có miền bác bỏ: ={ • Bài tốn 3: Với α cho trước ta tìm phân vị chuẩn cho P(U< - ) = α Do ta có miền bác bỏ: ={ 2.2.Kiểm định giả thuyết tỉ lệ đám đông Giả sử đám đơng có tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A p (p xác suất để rút ngẫu nhiên phần tử mang dấu hiệu A từ đám đơng) Từ sở người ta tìm p=p₀ nghi ngờ điều Với mức ý nghĩa cần kiểm định giả thuyết H₀:p=p₀ Chọn từ đám đơng kích thước n Gọi f tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A mẫu Khi kích thước n đủ lớn XDTCKĐ: Trong q₀ = - p₀ 10 Ta có = =2,33 Theo đề bài: f = = 0,22 = = -1,2 Chưa có sở bác bỏ H₀ Vậy với mức ý nghĩa 0,01 ta nói tỉ lệ học sinh trung học Hà Nội bị cận nhỏ 15 : PHẦN B BÀI TẬP I Đề Với độ tin cậy 95% ước lượng điểm học phần trung bình mơn lý thuyết xác suất thống kê toán Đại học Thương Mại Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết cho lần thi tỷ lệ sinh viên Đại học Thương Mại trượt môn lý thuyết xác suất thống kê toán nhỏ 30% II Giải tập Câu 1: Với độ tin cậy 95% ước lượng điểm học phần trung bình mơn lý thuyết xác suất thống kê toán Đại học Thương Mại Gọi X điểm học phần sinh viên ĐH thương mại X điểm học phần trung bình sinh viên ĐH thương mại mẫu µ điểm học phần trung bình sinh viên ĐH thương mại đám đông a) Mẫu số liệu Bảng điều tra điểm trung bình mơn Lý thuyết xác suất thống kê tốn sinh viên Đại học Thương mại STT HỌ VÀ TÊN LỚP HÀNH CHÍNH ĐIỂM TRUNG BÌNH Nguyễn Thị Hoài Thu CĐ14C2 7,2 Phạm Thị Ngọc Ánh CĐ15C1 8,5 Tạ Thúy Thúy CĐ15C1 7,4 16 Hoàng Việt Hà CĐ15C2 7.6 Nguyễn Thị Huyền CĐ15C2 7,8 Nguyễn Thị Nga CĐ15C2 6,6 Vũ Thị Trang CĐ15C2 8,4 Trần Thị Hoài Nam K41C3 6,8 Lê Việt Anh K44A3 6,0 10 Lê Thị Nguyệt K44S1 6,0 11 Nguyễn Thị Xuân Ngọc K44S1 6,2 12 Phạm Thanh Long K44S1 4,2 13 Phạm Tiến Lực K44S1 4,0 14 Trần Thị Nhung K44S1 2,7 15 Vũ Thị Minh Nguyệt K44S1 6,6 16 Lê Thị Hiền K44S1 5,3 17 Vũ Thị Hiền K44S1 6,6 18 Lê Ngọc Hiền K44S1 2,7 19 Đỗ Thị Hoan K44S1 7,4 20 Phạm Văn Hoan K44S1 4,8 21 Nguyễn Thị Huyền K44S1 8,7 22 Nguyễn Thu Huyền K44S1 4,4 23 Nguyễn Ngọc Lam K44S1 6,4 24 Dương Thị Ngọc Lan K44S1 5,8 25 Bùi Thảo Linh K44S1 6,7 26 Phạm Thị Bích K44S1 3,9 27 Nguyễn Văn Dũng K44S1 5,1 17 28 Đinh Thị Sâm K44S2 4,0 29 Mai Hà My K44S2 6,7 30 Nguyễn Thị Ngọc K44S2 6,4 31 Nguyễn Thị Hà Phương K44S2 5,1 32 Nguyễn Thị Thu Thảo K44S2 9,1 33 Trần Thị Tuyết Lương K44S2 8,2 34 Đào Thị Thu Hồng K44S2 7,3 35 Đào Thanh Hương K44S2 6,9 36 Nguyễn Thanh Huyền K44S2 5,3 37 Trần Thu Huyền K44S2 3,5 38 Phạm Thị An K44S2 3,6 39 Nghiêm Thục Anh K44S2 7,2 40 Nguyễn Mạnh Cường K44S2 7,4 41 Nguyễn Tiến Cường K44S2 2,8 42 Lê Văn Đức K44S2 6,4 43 Lê Thị Kim Dung K44S2 5.4 44 Dương Thế Dũng K44S2 4,5 45 Nguyễn Thị Thu Giang K44S2 7,1 46 Nguyễn Thị Thu Hà K44S2 7,6 47 Phan Thị Hằng K44S2 4,2 48 Đào Hiền Lương K44S3 5,6 49 Hoàng Quốc Minh K44S3 3,1 50 Lại Thị Nhung K44S3 7,4 51 Nguyễn Đức Quang K44S3 5,9 18 52 Nguyễn Thị Hồng Nhung K44S3 7,4 53 Nguyễn Thị Phương K44S3 6,9 54 Nguyễn Thị Thảo K44S3 5,3 55 Phạm Thị Thanh Nhàn K44S3 6,8 56 Phạm Thị Thảo K44S3 6,4 57 Trịnh Thị Nga K44S3 7,8 58 Lê Thị Hiền K44S3 5,8 59 Mai Thanh Huyền K44S3 4,9 60 Nguyễn Thị Huyền K44S3 8,2 61 Đoàn Hương Hoa Ban K44S3 6,9 62 Lê Thị Thu Chang K44S3 7,4 63 Đặng Thị Giang K44S3 7,0 64 Trần Thúy Hằng K44S3 4,0 65 Đinh Thị Thu Phương K44S4 7,6 66 Đỗ Doanh Quân K44S4 K44S4 67 Hoàng Thị Nga K44S4 K44S4 68 Lê Thị Ninh K44S4 K44S4 69 Nguyễn Bích Ngọc K44S4 K44S4 70 Nguyễn Huy Ngọc Minh K44S4 K44S4 71 Nguyễn Thị Loan K44S4 K44S4 72 Nguyễn Thị Mến K44S4 K44S4 73 Mai Thị Thu Hiền K44S4 K44S4 74 Nguyễn Thị Thanh Hiền K44S4 K44S4 75 Nguyễn Trung Hiếu K44S4 K44S4 19 76 Phạm Văn Hoàng K44S4 K44S4 77 Nguyễn Thị Hồng K44S4 K44S4 78 Vũ Xuân Hùng K44S4 K44S4 79 Phạm Vũ Quang Huy K44S4 K44S4 80 Đỗ Thị Thanh Hiền K44S4 K44S4 81 Nguyễn Thị Huyền K44S4 K44S4 82 Hồ Văn Khanh K44S4 K44S4 83 Vũ Thị Hương Liên K44S4 K44S4 84 Đỗ Việt Linh K44S4 K44S4 85 Đặng Thị Vân Anh K44S4 K44S4 86 Lê Thu Bằng K44S4 K44S4 87 Đỗ Hải Băng K44S4 K44S4 88 Đặng Thị Diễm K44S4 K44S4 89 Nguyễn Bá Đính K44S4 K44S4 90 Vi Thanh Đồng K44S4 K44S4 91 Nguyễn Thị Phương Dung K44S4 K44S4 92 Phạm Thanh Duy K44S4 K44S4 93 Bùi Quang Được K44S4 K44S4 94 Lê Trung Hải K44S4 K44S4 95 Phạm Hoàng Hải K44S4 K44S4 96 Phạm Việt Cường K45C2 5,6 97 Nguyễn Thị Quyên K45C6 8,3 98 Nguyễn Thị Thúy Quỳnh K46A4 6,,6 99 Mai Văn Kính K46B4 6,9 20 100 Hoàng Quỳnh Trang K46C1 8,4 101 Lê Tiến Cảnh K46C1 6,9 102 Bùi Thị Nguyệt K46C2 8,5 103 Chử Thế Anh K46C3 6,2 104 Nguyễn Thị Hiền K46C3 7,8 105 Nguyễn Văn Thắng K46C3 6,5 106 Chu Đình Quân K46C4 8,1 107 Đồng Thị Nhi K46C4 7,2 108 Nguyễn Thị Liệu K46C4 6,7 109 Đoàn Anh Hùng K46C5 5,8 110 Nguyễn Thị Hoàng Yến K46C5 4,8 111 Tơ Trọng Phục K46C5 7,2 112 Hồng Văn Lộc K46E4 7,49 113 Lê Văn Khôi K46E4 5,9 114 Nguyễn Thị Thùy Linh K46E4 6,2 115 Nguyễn Văn Giang K46E4 6,5 116 Nguyễn Văn Thiết K46E4 7,6 117 Trần Minh Sỹ K46E4 6,5 118 Nguyễn Quang Phúc K46F1 9,4 119 Hồ Phạm Nhật Trung K46I2 5,7 120 Hà Thị Hạnh K46U4 7,5 121 Bùi Thị Hồng Hạnh K47A1 8,0 122 Dương Thị Hiền K47A1 7,0 123 Dương Thị Hòa K47A1 7,4 21 124 Trương Thị Dung K47A1 9,4 125 Mai Thị Lan K47A2 9,4 126 Bùi Thị Thảo K47A3 8,6 127 Vũ Thị Huyền K47A3 8,1 128 Trần Thị Ngọc K47B1 6,9 129 Lê Thu Hiền K47B2 8,5 130 Nguyễn Thị Nhàn K47B2 7,7 131 Nguyễn Thị Điểm K47B3 8,4 132 Nguyễn Kim Ngọc K47B2 7,0 133 Nguyễn Thị Thu K47B3 8,0 134 Trần Thị My K47B3 8,2 135 Trần Thị Nguyệt K47B3 6,5 136 Ngô Thị Hoa Ngọc K47B4 6,9 137 Trần Công Ngọc K47B4 6,2 138 Nguyễn Thị Thơm K47B5 7,3 139 Lê Phương Mai K47C3 7,5 140 Nguyễn Tam Thắng K47C3 5,7 141 Hoàng Thế Hùng K47C5 4,5 142 Lê Thị Huyền K47D1 8,5 143 Bùi Thị Lý K47D3 9,3 144 Lê Thị Kim Liên K47D3 8,3 145 Nguyễn Thị Bích Ngọc K47D3 9,3 146 Nguyễn Thị Oanh K47D3 8,0 147 Vũ Thị Ngọc K47D3 8,8 22 148 Nguyễn Thị Ngọc K47D4 7,0 149 Phạm Thị Thúy Nga K47D4 8,0 150 Vũ Thị Nhung K47D4 9,5 151 Nguyễn Thị Thanh Mai K47I2 7,0 152 Phương Đức Minh K47P1 5,4 153 Bùi Thị Ngọc K47S2 4,0 154 Nguyễn Thị Hằng K47S2 8,0 155 Bùi Gia Hiệp K47T2 8,6 156 Lê Thị Thắm K47V1 6,2 157 Nguyễn Thị Bích Phương K47V2 6,2 158 Trần Minh Ngọc K47V2 6,0 159 Trần Thị Ngọc Quỳnh K47V2 5,5 160 Nguyễn Thị Phượng K47V3 4,0 Bảng thống kê xi ni fi nixi nixi2 2,5 1/160 2,5 6,25 2,7 1/80 5,4 14,58 2,8 1/160 5,6 7,84 3,0 1/160 3,0 9,0 3,1 1/80 6,2 19,22 3,5 1/160 3,5 12,25 3,6 1/160 3,6 12,96 3,9 1/160 3,9 15,21 23 4,0 1/32 20 80 4,2 1/40 16,8 70,56 4,4 1/80 8,8 38,72 4,5 1/80 9,0 40,5 4,8 1/80 9,6 46,08 4,9 3/160 14,7 72,03 5,1 1/80 10,2 52,02 5,2 1/160 5,2 27,04 5,3 3/160 15,9 84,27 5,4 3/160 16,2 87,47 5,5 1/160 5,5 30,25 5,6 1/80 11,2 62,72 5,7 1/80 11,4 64,98 5,8 3/160 17,4 100,92 5,9 3/160 17,7 104,43 6,0 7/160 42,0 252,0 6,2 7/160 43,4 296,08 6,4 1/32 32,0 204,8 6,5 1/40 26,0 169,0 6,6 1/32 33,0 217,8 6,7 3/160 20,1 134,67 6,8 1/80 13,6 92,48 6,9 11 11/160 75,9 523,71 7,0 3/80 42,0 294,0 7,1 1/160 7,1 50,41 24 7,2 1/40 28,8 207,36 7,3 1/80 14,6 106,58 7,4 9/160 66,6 492,84 7,5 1/80 15,0 112,5 7,6 3/80 45,6 346,56 7,7 1/160 7,7 59,29 7,8 3/160 23,4 182,52 8,0 7/160 56,0 448,0 8,1 1/80 16,2 131,22 8,2 1/40 32,8 268,96 8,3 1/80 16,6 137,78 8,4 3/160 25,2 211,68 8,5 1/32 42,5 361,25 8,6 1/80 17,2 147,92 8,7 1/80 17,4 151,38 8,8 1/160 8,8 77,44 9,1 1/160 9,1 82,81 9,3 1/80 18,6 172,98 9,4 1/80 18,8 176,72 9,5 1/160 9,5 90,25 ∑ 160 1046 7233,3 b) Giải tốn Ta có : 25  Trung bình mẫu: n x = ∑ xi = 170,34 6.5375 ` n i =1 Phương sai mẫu điều chỉnh: n 2.4847 s' = ( xi − x) = 18.79232323 ∑ n − i =1  Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh: ⇒ s ' = s '2 = 1.5763 4.34 Vì n=160> 30 )  Ta xây dựng thống kê: u Với độ tin cậy γ = 0,95 ta tìm phân vị α cho ( ) P −u