PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI Năm học: 2015 - 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x3 − x + x b) x3 + 2016 x + 2016 x + 2015 c) ( x + 3)( x + 7)( x + 11)( x + 15) − 144 d) x + Bài 2:: (1.5điểm) 2016 2015 a) Giải phương trình : x − + x − = b) Tính B = 12 + 22 + 32 + ×××+ 2015 +20162 Bài 3:( 1.5 điểm) a) Cho a > 0; b > a + b ≤ Tìm GTNN biểu thức: P = 11 x 23 1 + a + b 2ab b) Tìm số tự nhiên x,y biết: 17 < y < 29 x = y − 31 Bài 4: (2,0 điểm) a b c + + ab+a+1 bc + b + ac + c + 2016 2016 2016 a + b + c = Tính GT BT: K = 675 ( a + b + c ) + a) Cho abc = Rút gọn biểu thức: M = b) Cho a + b = c ( 3ab − c Bài 5: (3,0 điểm) 3 ) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D a Chứng minh AB2 = AC.BD b Kẻ OM vuông góc CD M Chứng minh AC = CM c Từ M kẻ MH vuông góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Bài Đáp án a) x3 − x + x = x( x − x + 7) = x ( x − x − x + ) = x[x( x − 1) − 7( x − 1)] = x( x − 7)( x − 1) b) x3 + 2016 x + 2016 x + 2015 = x3 − + 2016( x + x + 1) = ( x − 1)( x + x + 1) + 2016( x + x + 1) = ( x + x + 1)[( x − 1) + 2016] Bài = ( x + x + 1)( x + 2015) (1,5 c) ( x + 3)( x + 7)( x + 11)( x + 15) − 144 = ( x + 3)( x + 15)( x + 7)( x + 11) − 144 đ) = ( x + 18 x + 45)( x + 18 x + 77) − 144 = ( x + 18 x + 45)2 + 2( x + 18 x + 45)16 + 256 − 400 = ( x + 18 x + 45) − 202 = ( x + 18 x + 65)( x + 18 x + 25) = ( x + 5)( x + 13)( x + + 56)( x + − 56) d) x + = x + x + − x = (2 x +1) − (2 x) = (2 x − x + 1)(2 x + x + 1) 2016 2015 a) Giải phương trình : x − + x − = Dễ thấy x = x = nghiệm phương trình 2016 2015 - Với x> ta có: x − > ⇒ x − + x − > ⇒ PT vô nghiệm 2016 Điể m 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2015 - Với x< ta có: x − > ⇒ x − + x − > ⇒ PT vô nghiệm - Với < x < Ta có: > x − > ; > − x > ⇒ ( x − 2)2015 < ⇒ ( x − 2)2016 < x − 2; 2016 2015 (3 − x ) 2014 < ⇒ (3 − x) 2015 < − x; ⇒ x − + x−3 < x − + − x = ⇒ PTVN Bài - Vậy nghiệm PT x = 2; x = (1,5 2 2 c) Tính B = 12 + 22 + 32 + ×××+ 2015 +20162 ⇒ B = ( + + + ×××+ 2015 + 2016 ) đ) ⇒ B = ( − 1) + ( − ) + ( − 3) + ×××+ ( 2016 − 2015 ) + 12 + 2016 + 2 2 +2(1.2 + 2.3 + 3.4 + ×××+ 2015.2016) Đặt: K= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ×××+ 2015.2016) ⇒ 3K = (1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ×××+ 2015.2016.3) 3K = [1.2.(3 − 0) + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + ×××+ 2015.2016.3(2017 − 2014)] 3K = 1.2.3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + ×××− 2014.2015.2016 + 2015.2016.2017 3K = 2015.2016.2017 ⇒ K = 675.2016.2017 ⇒ B = 2016 + 20162 + 1350.2016.2017 ⇒ B = 2016(1 + 2016 + 1350.2017) = 2016.2017.1351 ⇒ B = 1008.1351.2017 0,25 0,25 0,5 a) a > 0; b > ⇒ ⇒ a +b 2 + 1 > 0; (Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: ) 2ab a +b 2ab 1 ≥2 (1) (Dấu xãy ⇔ a = b) 2ab ( a + b )2ab (Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: ( a + b 2 ) 0,25 2ab ) (a + b ) + 2ab ≥ (a + b )2ab (2) (Dấu xãy ⇔ a = b) Nhân vế với vế (1) (2) ta được: 1 + ] ≥ ( a + b )2ab =4 a + b 2ab (a + b )2ab 1 4 ⇒P= + ≥ = ≥ = (Vì a + b ≤ ) 2 a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b ) 4 [ [(a + b2 ) + 2ab].[ Bài (2,0 đ) 0,25 0,25 - Vậy Pmin= ; Dấu = xãy ⇔ a + b = Kết hợp với ta có dấu = xãy ⇔ 0,25 a=b=2 11 x 23 Tìm số tự nhiên x,y biết: 17 < y < 29 x = y − 31 Ta có: x ∈ N ; y ∈ N x = y − 31 ⇒ y − 31M9 ⇒ y − 27 − ( y + 4)M9 ⇒ y + 4M9 x 31 y − 31 11 x 23 11 y − 31 0,25 23 Từ: x = y − 31 ⇒ y = − y = y Lại có: 17 < y < 29 ⇒ 17 < y < 29 ⇔ 25 ≤ y ≤ 35 ⇔ 29 ≤ y + ≤ 39 ⇔ 3.9 < y + < 5.9 ⇒ y + = 36 ⇒ y = 32 ( Vì y + 4M9 ) ⇒ x = 25 số tự nhiên (x; y) cần tìm ( 25; 32) phân số là: c b Bài a) Thay abc = vào , nhân tử mẫu với a ta có: ac + c + bc + b + (2,0 a ab c đ) M= + + ab+a+1 a ( bc + b + 1) = ac + c + abc a ab ab+a+1 + + = =1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 3 B) Từ a + b = c ( 3ab − c ) ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 25 32 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 ⇒ a + b3 + c3 − 3abc = ⇒ a + b3 + 3ab(a + b) + c − 3ab(a + b) − 3abc = ⇒ ( a + b ) + c − 3ab(a + b + c) = ⇒ (a + b + c)(a + 2ab + b − ac − bc + c ) − 3ab(a + b + c) = ⇒ (a + b + c)(a + b + c − ab − ac − bc) = ⇒ a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = ( a +b +c ≠ 0) ⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = 0,25 ⇒ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = Vì (a – b)2 ≥ ∀ a, b; (b – c)2 ≥ ∀ b,c; (c – a)2 ≥ ∀ a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ ∀ a, b,c ; Do (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = ∀ a, b,c Khi a – b = b – c = c – a =0 ⇒ a = b = c Lại có: a + b + c = ⇒ a = b = c = 2016 2016 2016 Vậy: K = 675 ( + + ) + = 675.3 + = 2016 0,25 0,25 0,25 Bài Hình vẽ: (3,0đ) a) Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g) 0,25 OA AC = ⇒ OA.OB = AC.BD DB OB AB AB ⇒ = AC.BD ⇒ AB2 = 4AC.BD (đpcm 2 0,25 ⇒ b) Theo câu a ta có: ΔOAC ∽ΔDBO (g - g) ⇒ Mà OA = OB ⇒ OC AC = OD OB OC AC OC OD = ⇒ = OD OA AC OA · · +) Chứng minh: ΔOAC ∽ΔDOC (c - g - c) ⇒ ACO = OCM +) Chứng minh: ΔOAC = ΔOMC (ch - gn) ⇒ AC = MC (đpcm) 0,25 0,25 c)Ta có ΔOAC = ΔOMC ⇒ OA = OM; CA = CM ⇒ OC trung trực AM ⇒OC ⊥ AM, Mặc khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vuông M 0,25 ⇒OC // BM (vì vuông góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆ABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM qua trung điểm AI ⇒ IC = AC +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: ⇒ MK BK KH = = IC BC AC 0,25 0,25 Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 d) Tứ giác ABDC hình thang vuông 0,25 ⇒ SABDC = (AC + BD).AB Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có AB2 AC + BD ≥ AC.BD = = AB ⇒ SABDC ≥ AB2 AB = OA Dấu “=” xảy ⇔ AC = BD = Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA 0,25 0,25 0,25 ... 7)( x + 11) − 144 đ) = ( x + 18 x + 45)( x + 18 x + 77) − 144 = ( x + 18 x + 45)2 + 2( x + 18 x + 45)16 + 256 − 400 = ( x + 18 x + 45) − 202 = ( x + 18 x + 65)( x + 18 x + 25) = ( x + 5)( x + 13)(...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Bài Đáp án a) x3 − x + x = x( x − x + 7) = x ( x − x − x + ) = x[x( x − 1) −... ⇒ B = 2016 + 20162 + 1350.2016.2017 ⇒ B = 2016(1 + 2016 + 1350.2017) = 2016.2017.1351 ⇒ B = 10 08. 1351.2017 0,25 0,25 0,5 a) a > 0; b > ⇒ ⇒ a +b 2 + 1 > 0; (Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương: