CHƯƠNG TĨNH HỌC LƯU CHẤT Mục đích: Nghiên cứu chất lỏng trạng thái không chuyển động nên không bị ảnh hưởng độ nhớt gây nên ÁP SUẤT THUỶ TĨNH Giả sử ta lấy khối chất lỏng đứng cân bẳng (H2.1a) dùng mặt phNng cắt bỏ nửa phần trên, nửa phần lại muốn giữ cân phải có lực tương đương Trên mặt abc xung quanh điểm O ta lấy tiết diện A (H2.1b), gọi P lực tác dụng lên P A, lập tỉ số = Ptb , gọi áp suất thủy tĩnh trung bình Nếu ta cho A tiến tới không tỉ A P số tiến tới giá trị P gọi áp suất thủy tĩnh điểm mà gọi tắt áp suất thủy A tĩnh hay áp lực P N lim = P; (2 – 1) A →0 A m P: thứ nguyên : [F.L-2] Áp suất khí ta chọn giá trị tương đối sau đây: 1at ≈ 10 N m2 ≈1 kg cm ≈ 760 mmHg ≈ 10 mH O ≈ 14,7 PSI PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THUỶ TĨNH Áp suất tĩnh học lưu chất có tính đẳng hướng, có nghĩa điểm lưu chất áp suất tĩnh học có giá trị theo hướng Và hàm liên tục theo không gian P = f (x, y, z) (2 – 2) Phương trình vi phân toàn phần áp suất biểu diễn dạng: ∂P ∂P ∂P dP = dx + dy + dz (2 – 3) ∂x ∂y ∂z Nếu Fx, Fy, Fz` hình chiếu lực trọng khối tính theo đơn vị khối lượng lưu chất lên trục tọa độ x, y, z phương trình cân tĩnh học lưu chất Euler tìm năm 1755 dạng: 17 ρ Fy − ρ Fz − ρ Fx −  ∂P = 0 ∂x   ∂P = 0 ∂y   ∂P = 0 ∂z  (2 – 4) Trong trường trọng lực vector lực khối có phương xuống nghĩa hình chiếu x=0, y = x = -g (gia tốc trọng trường) Từ phương trình (2 – 3), (2 – 4) ta có: dP = Fxdx + Fydy + Fzdz ( -5) ρ dP = − gdz Và trường trọng lực ta có: (2 – 6) ρ Mặt khác ta gọi bề mặt đẳng áp bề mặt mà áp suất không đổi P = const ⇒ dP = Từ phương trình (2 - 3) ta có: Fxdx + Fydy + Fzdz = (2 – 7) Phương trình thủy tĩnh môi trường trọng lực, lấy tích phân phương trình (2– 6) nhận được: P gz + = const (2 – 8) ρ Còn bề mặt đẳng áp z = const – gdz = Vậy zo = const áp suất Po Tại z = const áp suất P Theo phương trình thủy tĩnh (2 – 8) viết P P gz + = gz + ρ ρ P P z0 + = z + γ γ N Suy ra: P = P0 + γ (z − z) Hoặc P = P0 + γ h ; m 18 (2 - 9) (2 – 10) • Tên gọi thứ nguyên phương trình (2 -10) P z + : γ P : gọi ống penzômét γ N • Thứ nguyên: m cột lỏng m Ứng dụng: Phương trình (2 -10) ứng dụng vào lĩnh vực đo áp suất, định luật bình thông nhau, định luật Pascal… 2.1 Định luật bình thông Có hai bình thông chức chất lỏng khác nhau, áp suất mặt thoáng độ cao chúng tính từ mặt phân chia tỉ lệ nghịch với khối lượng riêng chúng Ta có: h1 ρ = ; ρ1 = ρ2 h1 = h2 h ρ1 Ứng dụng định luật để đo đạc công trình xây dựng… 2.2 Định luật Pascal Một bình chứa chất lỏng có chiều cao h tính từ điểm A, Po áp suất mặt thoáng Theo phương trình tĩnh học ta viết: 19 PA = P0 + γ h ; N (2 - 11) m2 Nếu ta thêm lượng chất lỏng bên trên, nghĩa tăng thêm đại lượng ∆P (H2.4) N Thì áp suất điểm A là: PA' = (P0 + ∆P) + γ h ; (2 - 12) m N Vậy áp suất tăng lên đại lượng: ∆P = PA' − PA ; (2 - 13) m Vậy định luật Pascal phát biểu “Độ biến thiên áp suất thủy tĩnh bề mặt thể tích chất lỏng cho trước truyền nguyên vẹn đến tất điểm khối thể tích chất lỏng đó” Ứng dụng định luật Pascal để chế tạo bơm thủy lực, máy ép v.v 2.3 Áp suất dư – Áp suất chân không – Áp suất tuyệt đối Khi áp suất bình chứa (hoặc thiết bị đó) lớn so với áp suất khí quyển, ta gọi áp suất bình chứa áp suất dư (H2.5.a) Vậy áp suất tuyệt đối bình chứa là: Pb = Pkq + Pdu ; N m2 (2- 14) Ở Pdư = ρghdư Ngược lại áp suất bình chứa (hoặc thiết bị đó) nhỏ so với áp suất khí ta gọi áp suất bình chứa áp suất chân không (H2.5.b) N (2- 15) Vậy áp suất tuyệt đối bình chứa là: Pb = Pkq − Pck ; m Ở Pck = ρghck Ứng dụng phương trình tĩnh học để chế tạo loại dụng cụ đo áp suất – hay gọi áp kế 2.4 Lực áp suất – Định luật Archimède 2.4.1 Lực áp suất tác dụng lên mặt phẳng 20 Ký hiệu: Góc ϕ: góc tạo thành mặt tường phẳng với mặt nằm ngang A: Diện tích bề mặt chịu lực; m2 N Pd: Áp suất dư bình chứa; m hc: Độ nhúng sâu tâm điểm C; m ho: Độ nhúng sâu tâm áp suất; m N Pdc: Áp suất dư tâm điểm c; m Pdc = Pd + γ h c ; N2 (2 – 16) m Lực áp suất tác dụng lên mặt tường áp suất dư trọng tâm C nhân với diện tích mặt phẳng PA = Pdc A ; N (2 – 17) Nếu môi trường chất lỏng, mà chất khí lực áp suất PA = Pd A ; N (2 - 18) Điểm O (H2.6) gọi tâm áp suất, tương ứng với độ nhúng sâu tâm áp suất ho xác định Ic h0 = hc + sin ϕ ; m (h d + h c ).A P Ở đây: h d = d ; chiều cao penzomet; m γ Ic: Mômen quán tính tường phẳng so với trục qua trọng tâm; m4 Xét hình (H2.7) ta thấy 21 Khi mặt phẳng nằm ngang ϕ = 0o, hc = ho H hd = BH Khi mặt phẳng thẳng đứng ϕ = 90o; h c = Ic H 2H ;m = + 12 = h c A BH H, B: chiều cao bề rộng bình; m Tâm áp suất: h = h c + 2.4.2 Lực áp suất tác dụng lên mặt cong Gọi D đương kính cầu môi trường chất lỏng; m Az: hình chiếu mặt cong bac bdc theo phương z Ax: hình chiếu mặt cong abd dca theo phương x Vậy lực áp suất theo: Px1 = Pdc A z ; N • Phương x  Px = Pdc A z ; N 22 (2 – 19) P = γ(h + h ).A ; N z1 d x • Phương z  Pz2 = γ(h d + h ).A z ; N Ở đây: Pdc: Áp suất dư tâm cầu; hd = (2 – 20) N m2 Pd : Chiều cao penzomet; m γ h1, h2: độ nhúng sâu trọng tâm mặt abd dca; m Tổng quát lực áp suất theo phương z Pz = ∫ γ (h d + h )dA x ; N A (2 – 21) Và trọng lượng khối chất lỏng, gọi lực áp suất Vap; Vap1 = V(abdfe); Vap2= V(dcaef) Vậy Pz = ± γ.Vap ; N (2 -22) Với lưu chất khí, lực áp suất theo phương n tính P = P A ; N n d n với An: hình chiếu A lên phương n (2-23) 2.4.3 Định luật Archimede Xét hình (H2.8) ta thấy vật đặt lưu chất chịu lực tác dụng lên theo hướng khác Từ công thức (2 – 19) ta có Px1 = Px2 ngược chiều nên áp lực theo phương x bị triệt tiêu Còn theo phương z ta có: Pz2 – Pz1 = Pz = γ (Vap2 – Vap1) πD Ở V = Vap2 − Vap1 = (với cầu) Do lực áp suất theo phương z (là phương thẳng đứng) tác dụng vào vật Pz = γV = Ar ; N (2 – 24) Công thức (2 -24) biểu diễn định luật Archimede gọi lực đNy (viết tắt Ar) Gọi G trọng lực vật ta có: - Ar > G: Vật có xu hướng lên - Ar < G: Vật có xu hướng xuống - Ar = G: Vật lên bề mặt tự lưu chất 2.5 Mặt đẳng áp lưu ch Pz = γV = Ar ất chuyển động Có bình hình trụ, chiều cao chất lỏng bình ho Xét bình chuyển động tịnh tiến lên xuống với gia tốc a, áp suất điểm môi trường chất lỏng tính: N a PA = γh(1 ± ) ; g m 23 Dấu (+) chuyển động lên Dấu (-) chuyển động xuống (H2.9a) Xét bình chuyển động theo phương ngang (H2.9b) mặt đẳng áp từ nằm a ngang chuyển thành nằm nghiêng góc ϕ theo: tanϕ = g Xét bình chuyển động tròn quay quanh trục mặt đẳng áp trở thành bề mặt parobol tròn xoay (H2.9c) theo phương trình ωx y= 2g ( ) Còn giá trị áp suất thủy tĩnh điểm bình N P = γy ; m 24 BÀI TẬP Bài Tìm áp suất tác dụng lên đáy bình chứa hình trụ, biết h = 2m, lưu chất nước có ρ = 1000 kg/m3 Bài giải Ta có: PB = Pkt + ρgh = 105 + 1000.10.2 N = 1,2.10 m2 N Vậy: PB = 1,2.105 m2 Bài Tìm áp suất tuyệt đối bình ga đặt phòng hình vẽ biết Pdư bình ga 3at, áp suất phòng h = 10mmHg áp suất khí Pkq = 105N/m2 Bài giải Tính áp suất tuyệt đối phòng Pf = Pkq + ρHgg.h = 105 + 13600.10.0,01 = 1.0136 105 N/m2 So với bình ga áp suất phòng nhỏ bình ga, bình ga có áp suất dư Pbg = Pf + Pdư = 1.0136 105 + 3.105 = 4.0136 10 N/m2 Đáp số: Pbg = 4.0136 10 N/m2 Bài Để giảm thiểu sai số đo đạc, người ta dùng áp kế gồm nhiều chữ U nối với Các thông số cho hình vẽ Tính áp suất tuyệt đối bình chứa đó? Bài giải: 25 Tính từ Pkq vào (gọi áp suất điểm 0,6 m P0,6) P0.6 = Pkq + ρHgg (0,8 – 0,6) = 105 + 13600.10.0,2 = 3,72.105 N m P0,75 = P0,6 + ρH2Og (0,6 – 0,75) = 3,72.10 - 1000.10.0,15 = 3,705.10 5 N m N P0,62 = P0,75 + ρHgg (0,75 – 0,62) = 3,705.10 + 13600.10.0,13 = 3,8818.10 m 5 Vậy PB = P0,62 + ρH2Og (0,62 – 6) = 3,8818.105 – 1000.10.5,38 = 3,3438.105 Đáp số: PB = 3,3438.105 26 N m N m CÂU HỎI ÔN TẬP Thế áp suất thủy tĩnh? Ứng dụng định luật bình thông nhau? Ứng dụng định luật Pascal? Thế áp suất dư, áp suất chân không áp suất tuyệt đối? Thế lực áp suất tác dụng lên mặt phẳng mặt cong? Thế định luật Archimede? Xét bề mặt đẳng áp chuyển động? 27 ... Pdc A z ; N 22 (2 – 19) P = γ(h + h ).A ; N z1 d x • Phương z  Pz2 = γ(h d + h ).A z ; N Ở đây: Pdc: Áp suất dư tâm cầu; hd = (2 – 20 ) N m2 Pd : Chiều cao penzomet; m γ h1, h2: độ nhúng... phân phương trình (2 6) nhận được: P gz + = const (2 – 8) ρ Còn bề mặt đẳng áp z = const – gdz = Vậy zo = const áp suất Po Tại z = const áp suất P Theo phương trình thủy tĩnh (2 – 8) viết P P gz... ta có: Pz2 – Pz1 = Pz = γ (Vap2 – Vap1) πD Ở V = Vap2 − Vap1 = (với cầu) Do lực áp suất theo phương z (là phương thẳng đứng) tác dụng vào vật Pz = γV = Ar ; N (2 – 24 ) Công thức (2 -24 ) biểu