Hay : [ ] { } { } N N N N NN kX n nkj n njk enxenxnxDFT )()()()( * 1 0 * )( 1 0 * * 11 −=== ∑∑ − = −− − = ωω 4.3.2k Tính đối ngẫu của DFT : DFT có tính đối ngẫu, nghĩa là các tính chất và các dãy trong miền thời gian rời rạc n và miền tần số rời rạc k của DFT là hoán vị cho nhau. Có thể thấy rất rõ điều đó ở các tính chất dịch vòng thời gian và dịch vòng tần số, tích chập trong miền thời gian là tích thường trong miền tần số và ngược lại. Biểu thức )(])([ k NN rectnDFT = δ và biểu thức NNN kNDFT nrect )(.)( ][ δ = cũng là thể hiện tính đối ngẫu của DFT đối với các dãy trong miền thời gian và miền tần số. 4.4 tính trực tiếp DFT và IDFT DFT được sử dụng rất nhiều trong thực tế, đặc biệt là để phân tích phổ tín hiệu khi xử lý tiếng nói, xử lý ảnh, và tổng hợp mạch lọc số. 4.4.1 Số lượng phép toán khi tính trực tiếp DFT và IDFT 4.4.1a Số lượng phép toán của DFT Nếu x(n) N là dãy số thực, có thể tính trực tiếp DFT theo [4.2-3] : NN N NN kXkXkX IR n njk jenx )()()()( 1 0 1 +== ∑ − = − ω Hay : [ ] )()( .)()()()( kjkj eeAnxDFT NNNN kXkkX ϕθ === [4.4-1] Trong đó : N π ω 2 1 = [4.4-2] Nên : ∑ − =             −       = 1 0 .sin)(.cos)()( 22 N NNN n k N k N kX n njx n nx ππ [4.4-3] Dãy phần thực : ∑ − =       = 1 0 .cos.)()( . 2 N NN n R k N kX n nx π [4.4-4] Dãy phần ảo : ∑ − =       −= 1 0 .sin.)()( . 2 N NN n I k N kX n nx π [4.4-5] Dãy mô đun : NNN kXkXkX IR )()()( 22 += [4.4-6] Dãy Argumen :       = N N kX kX k R I arctg )( )( )( ϕ [4.4-7] Như vậy, để tìm X(k) N , cần phải tính các dãy phần thực và phần ảo, để từ đó tính được mô đun và argumen của X(k) N , hoặc độ lớn A(k) N và pha θ (k). Tại mỗi mẫu của X(k) N cần phải tính N lần cos(k ω 1 n) và sin(k ω 1 n) , 2N phép nhân số thực, 2(N - 1) phép cộng số thực, 2 phép bình phương, 1 phép khai căn, 1 phép chia, và 1 phép tính artg. Để nhận được N mẫu của X(k) N phải thực hiện gấp N lần số phép toán trên. Tức là, để tính trực tiếp DFT độ dài N cần : - 2N 2 phép tính hàm số lượng giác. - 2 N 2 phép nhân số thực. - 2 N(N - 1) phép cộng số thực. - Ngoài ra còn, 2N phép bình phương, N phép khai căn, N phép chia, và N phép tính artg. Trong trường hợp x(n) N là dãy phức : NNN njxnxnx )()()( 21 += , thì số lượng các phép toán trên phải tăng gấp đôi. Như vậy, số lượng các phép toán để tính DFT là rất lớn, nên khi N lớn thì tính DFT bằng máy tính cũng tốn rất nhiều thời gian. 4.4.1b Số lượng các phép toán khi tính trực tiếp IDFT Tính trực tiếp IDFT thực hiện theo biểu thức [4.2-4] : [ ] ∑ − = == 1 0 1 )()()( 1 N NNN n njk eIDFTnx kX N kX ω Hay : ∑ − =             +       = 1 0 .sin)(.cos)()( 221 N NNN n k N kXk N kX N n j n nx ππ [4.4-8] 163 So sánh các biểu thức [4.4-3] và [4.4-8] thấy rằng, biểu thức tính DFT và IDFT chỉ khác nhau dấu của phần ảo và hệ số chia N. Do đó, số lượng các phép tính và thuật toán để tính DFT và IDFT về cơ bản là giống nhau. Sau đây sẽ xét một số trường hợp thực tế thường gặp. 4.4.2 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, đối xứng, N lẻ 4.4.2a Tính DFT Dãy x(n) N thực, đối xứng có : NN nxnx N )()( 1 =−− Do N lẻ, nên trục đối xứng ở mẫu n = (N - 1)/2 . Ví dụ, dãy đối xứng x(n) 5 trên hình 4.11 có N = 5 , nên trục đối xứng ở mẫu n = 2 . Theo biểu thức DFT [4.2-3] có : Hình 4.11 : Dãy x(n) 5 đối xứng. ∑ − = − == 1 0 1 )(])([)( N NNN n njk enxnxDFT kX ω Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần : ( )           +             +           = ∑∑ − + − = − − − − = − − − 1 1 2 1 1 2 1 0 12 1 1 1 )()()( 2 1 N N N N N NN n njk jk n njk enxexenx N N kX ω ω ω Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = (N - 1 - n) => n = (N - 1 - m), khi       += − 1 2 1N n thì       − − = 1 2 1N m , khi )( 1 − = N n thì 0 = m : ∑∑ − − = −−− − + − = − −− = 0 1 2 1 )1( 1 1 2 1 11 )()( 1 N N N N N N m mjk n njk emxenx N ωω Đổi lại biến m về n và đảo cận của tổng trên, nhận được X(k) N có dạng : ( ) +             +           = − − − − = − − ∑ 2 1 1 1 2 1 1 2 1 0 )()( N jk n njk exenx N N NN N kX ω ω           −+ ∑ − − = −−− − 1 2 1 0 )1( 1 )( 1 N N N n njk enx N ω Vì dãy x(n) N đối xứng có )()( 1 nxnx N −= − nên nhận được : ( ) [ ] ∑ − − = −−−− − ++       = − − 1 2 1 0 )1( 112 1 1 )()( 2 1 N N N N N n njknjk jk eenxex N N kX ωω ω [4.4-9] Trong đó : [ ]         +=+       − − −       − −       − − −−−− njknjkjk njknjk NNN N eeeee 2 1 2 1 2 1 )1( 111 11 ωωω ωω Hay : [ ]             − − =+       − − −−−− neee N k N N jk njknjk 2 1 .2 1 2 1 )1( cos 1 11 ω ω ωω Do đó [4.4-9] được đưa về dạng : 164 ( )       − − − − = − ∑             − − +       = − − 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 .cos)()( 2 1 .2 2 1 N N N N N jk n jk ennxex N k N kX N ω ω ω Đổi biến, đặt       −= − nm N 2 1 =>       −= − mn N 2 1 , khi 0 = n thì       − = 2 1N m , khi       = − − 1 2 1N n thì 1 = m , đồng thời thay N π ω 2 1 = :       − − − =                       − − +       = ∑ − 2 12 1 2 1 .cos)( 2 2 1 .2 2 1 N N N N N N jk m emmxx N kN N kX π π Đổi biến m trở về n và đảo cận của dấu tổng, nhận được : kj n N N N N N N e n nxx k N N N kX . )1( 2 1 1 cos)( . 2 2 1 .2 2 1 π π − − − =                     − − +       = ∑ − [4.4-10] 165 Dãy độ lớn : ∑ − =             − − +       = − 2 1 1 .cos)( . 2 2 1 .2 2 1 N N N N n k N N N k n nxxA π [4.4-11] Dãy pha : k N N k . )( )( 1 π θ − −= [4.4-12] Theo [4.4-12], X(k) N có pha θ (k) tuyến tính . Theo [4.4-11], số phép toán để tính A(k) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa. Hơn nữa, A(k) N là dãy đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên để nhận được A(k) N , chỉ cần tính A(0) N và A(1) N đến A[(N- 1)/2] N rồi lấy đối xứng. Vậy khi x(n) N là dãy thực đối xứng, N lẻ thì số phép toán tính DFT giảm còn khoảng 1/4 . Ví dụ 4.13 : Tính DFT của dãy x(n) 5 thực, đối xứng, với N lẻ ở hình 4.11 . Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n) 5 ở hình 4.11 , lập bảng 4.3 : Bảng 4.3 : Các giá trị của dãy x(n) 5 đối xứng. n 0 1 2 3 4 x(n) 5 0,25 0,50 1,00 0,50 0,25 Với N = 5 thì 2 2 15 2 1 )()( = − = − N , theo [4.4-12] có : kk 5 4 )( π θ −= Theo [4.4-11] có : ( ) ∑ =       −+= 2 1 5 55 .cos)()( 5 2 2.22 . n kk n nxxA π Vậy :       +       += kkk xxxA 5 4 0.2 5 2 1.22 cos)(cos)()()( 5555 ππ Theo bảng 4.3 có :       +       += kkk A 5 4 5,0 5 2 1 coscos)( 5 ππ Vậy : 5,25,0110 5 4 5,00 5 2 10 coscos)( 5 =++=       +       += ππ A 9,08,0.5,03,01 5 4 5,0 5 2 11 )(coscos)( 5 =−++=       +       += ππ A 35,03,0.5,08,012 5 4 5,02 5 2 12 )(coscos)( 5 =+−+=       +       += ππ A 35,03,0.5,08,013 5 4 5,03 5 2 13 )(coscos)( 5 =+−+=       +       += ππ A 9,08,0.5,03,014 5 4 5,04 5 2 14 )(coscos)( 5 =−++=       +       += ππ A Do tính đối xứng của A(k) 5 trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), nên có thể suy ra ngay : 35,023 55 )()( == AA ; 9,014 55 )()( == AA Theo các giá trị đã tính được của A(k) 5 , lập bảng 4.4 . Bảng 4.4 : Các giá trị A(k) 5 và θ (k) của ví dụ 4.13 k 0 1 2 3 4 A(k) 5 2,5 0,9 0,35 0,35 0,9 θ (k) 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10 Theo bảng 4.4 , xây dựng được đồ thị của A(k) 5 và θ (k) trên hình 4.12 . A(k) 5 θ (k) 166 41 30 2- 1 k 0 , 9 2 , 5 0 , 9 0 , 3 5 5 - 1 0 - 5 , 0 k - 7 , 5 - 2 , 5 3 521 40 Hình 4.12 : Đồ thị DFT của dãy x(n) 5 thực, đối xứng, N lẻ 4.4.2b Tính IDFT khi x(n) N là dãy thực, đối xứng, N lẻ Mục 4.4.2a ở trên cho thấy, khi X(k) N có N lẻ, θ (k) tuyến tính theo [4.4-12] và A(k) N đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) , thì x(n) N là dãy thực đối xứng. Theo biểu thức IDFT [4.2-4] có : ∑∑ − = − = == 1 0 )( 1 0 11 .)( 1 )( 1 )( N N N NN k njk kj k njk eeAenx k N kX N ω θ ω Theo [4.4-12] có : )21( 2 . . )1( . )( . 1 n k j k j nkj kj njk kj NN N N N N eeeeee +−       − − == ππ π π ω θ Vậy : ∑ − = + − = 1 0 )12( .)( 1 )( N N NN k n k j jk eeAnx k N π π Khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần : ++= ∑ − = + − 2 1 1 )12( .)( )( )( 1 0 N N N N N k n k j jk eeA A nx k NN π π ∑ − + − = + − + 1 1 2 1 )12( .)( 1 N N N N k n k j jk eeA k N π π [4.4-13] Đổi biến thành phần thứ ba, đặt m = (N - k) ⇒ k = (N - m) . Khi 1 2 1 + − = N k thì 2 1 − = N m , còn khi k = (N - 1) thì m = 1 , do đó có : ∑∑ − = + − −− − + − = + − −= 1 2 1 )12( ) ) 1 1 2 1 )12( ( ( .)( 1 .)( 1 N N N N N N N N N m n m j mj k n k j jk eemAeeA N N k N π π π π Trong đó, vì N lẻ và (2n + 1) lẻ nên : )12()12()12()12( ) ) )()( 11 .( ( +−+−+ − + − −− −−== n m j jm n m jnj jmj n m j mj NNN N N N N N eeeeeeee π π ππ ππ π π Đổi biến m trở về k và đổi cận của dấu tổng, nhận được : ∑∑ − = +− − + − = + − −= 2 1 1 )12( 1 1 2 1 )12( .)( 1 .)( 1 N N N N N N N k n k j jk k n k j jk eeAeeA kN N k N π π π π Do đó biểu thức [4.4-13] của x(n) N có dạng : ∑∑ − = +− − = + − −++= 2 1 1 )12( 2 1 1 )12( .)( 1 .)( 1 )( )( 0 N N N N N N N N k n k j jk k n k j jk eeAeeA A nx kN N k NN π π π π ∑∑ − = +− − = + −−+−+= 2 1 1 )12( 2 1 1 )12( ).()( 1 ).()( 1 )( )( 11 0 N N N N N N N N k n k j k k n k j k eAeA A nx kN N k NN ππ Vì A(k) N đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên A(k) N = A(N- k) N : ∑ − = +−+         +−+= 2 1 1 )12()12( .)()( )( )( 1 1 0 N NN N N N k n k jn k j k eeA A nx k NN ππ Vậy : ∑ − =       +−+= 2 1 1 )(cos.)()( )( )( 121 2 0 N N N N k k nA A nx N k k NN π [4.4-14] 167 Theo [4.4-14], số phép toán để tính x(n) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n) N là dãy đối xứng, nên để nhận được x(n) N , chỉ cần tính x(0) N đến x[(N - 1)/2] N rồi lấy đối xứng . Vậy khi X(k) N có N lẻ, pha θ (k) tuyến tính và A(k) N đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4 . Ví dụ 4.14 : Tính IDFT của dãy X(k) 5 có pha θ (k) tuyến tính theo [4.4-12] và A(k) 5 đối xứng cho ở bảng 4.5 (xem hình 4.12). Bảng 4.5 : Các giá trị A(k) 5 và θ (k) của ví dụ 4.14 k 0 1 2 3 4 A(k) 5 2,5 0,9 0,35 0,35 0,9 θ (k) 0,0 -2,5 -5,0 -7,5 -10 Giải : Theo [4.4-14] và số liệu ở bảng 4.5 tính được : ∑ =       +−+= 2 1 5 5 5 )(cos.)()( )( )( 12 5 1 5 2 5 0 k k nA A nx k k π       ++       +−= )(cos.)()(cos.)()( 12 5 2 24,012 5 14,05,0 555 nAnAnx ππ 25,031,0.14,081,0.36,05,0 5 2 35,0.4,0 5 9,0.4,05,00 cos.cos.)( 5 =+−=       +       −= ππ x 5,081,0.14,031,0.36,05,0 5 6 14,0 5 3 36,05,01 )()(coscos)( 5 =−+−−=       +       = − ππ x 11.14,01.36,05,0 5 10 14,0 5 5 36,05,02 )(coscos)( 5 =+−−=       +       = − ππ x 5,081,0.14,031,0.36,05,0 5 14 14,0 5 7 36,05,03 )()(coscos)( 5 =−+−−=       +       = − ππ x 25,031,0.14,081,0.36,05,0 5 18 14,0 5 9 36,05,04 coscos)( 5 =+−=       +       = − ππ x Theo các số liệu trên, lập được bảng 4.6 : Bảng 4.6 : Các giá trị x(n) 5 của ví dụ 4.14 n 0 1 2 3 4 x(n) 5 0,25 0,50 1,00 0,50 0,25 Ví dụ 4.14 là bài toán ngược của ví dụ 4.13, so sánh các bảng 4.6 và 4.3 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất. Đồ thị của x(n) 5 trên hình 4.11 . 4.4.3 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, đối xứng, N chẵn 4.4.3a Tính DFT Vì N chẵn, nên trục đối xứng ở giữa hai mẫu [(N/2) - 1] và (N/2) . Ví dụ, dãy đối xứng x(n) 6 trên hình 4.13 có N = 6 , nên trục đối ở giữa hai mẫu n = 2 và n = 3 . Theo biểu thức DFT [4.2-3] có : x(n) 6 Hình 4.13 : Dãy x(n) 6 đối xứng. ∑ − = − == 1 0 1 )(])([)( N NNN n njk enxnxDFT kX ω Vì N chẵn nên khai triển biểu thức trên thành tổng của hai thành phần : ∑∑ − = − − = − += 1 2 1 2 0 11 )()()( N N N N NN n njk n njk enxenx kX ωω Đổi biến tổng thứ hai và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2a , nhận được : ∑ = − −       −       −= 2 1 . )1( )( cos)( 12 2 .2 . N N N N N n kj e n nx k N N kX π π [4.4-15] Dãy độ lớn : ∑ =       −       −= 2 1 . )( cos)( 12 2 .2 . N N N n k N N k n nxA π [4.4-16] Dãy pha : k N N k . )( )( 1 π θ − −= [4.4-17] 168 51 30 2- 1 4 n 1 1 0 , 5 0 , 2 50 , 2 5 0 , 5 Theo [4.4-17], X(k) N có pha θ (k) tuyến tính. Theo [4.4-16], số phép toán để tính mỗi điểm của A(k) N giảm còn một nửa. Hơn nữa, vì A(k) N phản đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), nên để nhận được A(k) N , chỉ cần tính A(0) N đến A(N/2) N rồi lấy phản đối xứng. Vậy khi x(n) N là dãy thực đối xứng, N chẵn thì số phép toán của DFT giảm còn khoảng 1/4 . Ví dụ 4.15 : Tính DFT của dãy x(n) 6 thực, đối xứng, N chẵn, ở hình 4.13 . Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n) 6 ở hình 4.13 , lập bảng 4.7 : Bảng 4.7 : Các giá trị của dãy x(n) 6 đối xứng. n 0 1 2 3 4 5 x(n) 6 0,25 0,50 1,0 1,0 0,50 0,25 Với N = 6 thì 3 2 6 2 == N , theo [4.4-17] có : kk 6 5 )( π θ −= Theo [4.4-16] có : ( ) ∑ =       − −= 3 1 6 6 . )( cos)( 6 12 3.2 . n kk n nxA π Vậy :       +       +       = kkkk xxxA 6 5 0.2 6 3 1.2 6 2.2 cos)(cos)(cos)()( 6666 πππ Theo bảng 4.7 có :       +       +       = kkkk A 6 5 5,0 6 3 6 2 coscoscos)( 6 πππ Tính A(k) 6 và θ (k) theo các biểu thức trên, lập được bảng 4.8 : Bảng 4.8 : Các giá trị A(k) 6 và θ (k) của ví dụ 4.15 k 0 1 2 3 4 5 A(k) 6 3,5 1,3 0,25 0,0 -0,25 -1,3 θ (k) 0,0 -2,6 -5,2 -7,9 -10,5 -13,1 Theo bảng 4.8 , xây dựng được đồ thị của A(k) 6 và θ (k) trên hình 4.14 . A(k) 6 θ (k) Hình 4.14 : Đồ thị DFT của dãy x(n) 6 thực, đối xứng, N chẵn 4.4.3b Tính IDFT khi x(n) N là dãy thực, đối xứng, N chẵn Mục 4.4.3a ở trên cho thấy, khi X(k) N có N chẵn, θ (k) tuyến tính theo [4.4-16] và A(k) N phản đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì x(n) N là dãy thực đối xứng. Thực hiện tương tự như ở mục 4.4.2b , nhận được : ∑ − =       +−+= 1 2 1 )(cos.)()( )( )( 121 2 0 N N N N k k nA A nx N k k NN π [4.4-18] Theo [4.4-18], số phép toán để tính x(n) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa, hơn nữa x(n) N là dãy đối xứng, nên để nhận được x(n) N , chỉ cần tính x(0) N đến x(N/2) N rồi lấy đối xứng . Do đó trong trường hợp này, số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4 . Ví dụ 4.16 : Tính IDFT của dãy X(k) 6 có pha θ (k) tuyến tính theo [4.4-17] và A(k) 6 đối xứng cho ở bảng 4.9 . Bảng 4.9 : Các giá trị A(k) 6 và θ (k) của ví dụ 4.16 k 0 1 2 3 4 5 A(k) 6 3,5 1,3 0,25 0,0 -0,25 -1,3 θ (k) 0,0 -2,6 -5,2 -7,9 -10,5 -13,1 Giải : Theo [4.4-18] và số liệu ở bảng 4.9 tính được : 169 30 4 - 7 , 9 2 - 5 , 2 5 - 2 , 6 1 k - 1 0 , 5 - 1 3 , 1 10 2- 1 k 1 , 3 3 , 5 0 , 2 5 3 - 0 , 2 5 - 1 , 3 ∑ =       +−+= 2 1 6 6 6 )(cos.)()( )( )( 12 6 1 6 2 6 0 k k nA A nx k k π       ++       +−= )(cos )(cos )( 12 6 2 25,0 6 2 12 6 3,1 6 2 6 5,3 6 nnnx ππ       ++       +−= )(cos.)(cos.)( 12 6 2 08,012 6 43,058,0 6 nnnx ππ Theo biểu thức trên, tính x(n) 6 và lập được bảng 4.10 : Bảng 4.10 : Các giá trị x(n) 6 của ví dụ 4.16 n 0 1 2 3 4 5 x(n) 6 0,25 0,50 1,0 1,0 0,50 0,25 Ví dụ 4.16 là bài toán ngược của ví dụ 4.15, so sánh các bảng 4.10 và 4.7 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất. Đồ thị của x(n) 6 trên hình 4.13 . 4.4.4 Tính DFT và IDFT của dãy x(n) N thực, phản đối xứng, N lẻ 4.4.4a Tính DFT Dãy x(n) N thực, phản đối xứng có : )()( 1 nxnx N −−= − Vì N lẻ, nên tâm phản đối xứng ở mẫu n = (N - 1)/2 , và tại điểm đó x(n) N = 0 . Ví dụ, dãy phản đối xứng x(n) 5 ở hình 4.15 có độ dài N = 5 , nên tâm phản đối xứng là mẫu n = 2 . x(n) 5 Hình 4.15 : x(n) 5 phản đối xứng. Theo biểu thức DFT [4.2-3] có : ∑ − = − == 1 0 1 )(])([)( N NNN n njk enxnxDFT kX ω Vì N lẻ nên khai triển biểu thức trên thành tổng của ba thành phần : ( )           +             +           = ∑∑ − + − = − − − − = − − − 1 1 2 1 1 2 1 0 12 1 1 1 )()()( 2 1 N N N N N NN n njk jk n njk enxexenx N N kX ω ω ω Do x(n) N = 0 tại tâm phản đối xứng ở mẫu (N- 1)/2 , nên có : ∑∑ − + − = − − − = − += 1 1 2 1 1 2 1 0 11 )()()( N N N N NN n njk n njk enxenx kX ωω Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2a , nhận được : ∑∑ − − = −−− − − = − −+= − 1 2 1 0 )1( 1 2 1 0 11 )()()( 1 N N N N NN n njk n njk enxenx NkX ωω Do x(n) N phản đối xứng có )()( 1 nxnx N −−= − , nên từ biểu thức trên có : [ ] ∑ − − = −−−− −= 1 2 1 0 )1( 11 )()( N N NN n njknjk eenx kX ωω Biến đổi tiếp nhận được : 170 0 , 5 1 0 n - 0 , 5 1 2 - 1 5       − − − = ∑             − − = kj n N N N N N e n nx k N N kX ππ π )1( 2 2 1 1 .sin)( . 2 2 1 .2 [4.4-19] Dãy độ lớn : ∑ − =             − − = 2 1 1 . 2 2 1 .2 sin)( N N N n k N N k n nxA π [4.4-20] Dãy pha : k N N k . )( )( 1 2 π π θ − −= [4.4-21] Theo [4.4-21], X(k) N có pha θ (k) tuyến tính. Theo [4.4-20], số phép toán để tính A(k) N tại mỗi điểm giảm gần một nửa, hơn nữa A(0) N = 0 và A(k) N phản đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), nên để nhận được A(k) N , chỉ cần tính A(1) N đến A[(N - 1)/2] N rồi lấy phản đối xứng. Vậy khi x(n) N là dãy thực phản đối xứng, N lẻ thì số phép toán của DFT còn khoảng 1/4 Ví dụ 4.17 : Tính DFT của dãy x(n) 5 thực, phản đối xứng, N lẻ ở hình 4.15. Giải : Để tiện tính toán, theo giá trị của x(n) 5 ở hình 4.15 , lập bảng 4.11 : Bảng 4.11 : Giá trị của dãy phản x(n) 5 đối xứng. n 0 1 2 3 4 x(n) 5 0,25 0,50 0,00 -0,50 -0,25 Với N = 5 thì 2 2 15 2 1 )()( = − = − N , theo [4.4-21] có : kk 5 4 2 )( ππ θ −= Theo [4.4-20] có : ( ) ∑ =       −= 2 1 5 5 5 2 2.2 . sin)( n kk n nxA π Vậy :       +       = kkk xxA 5 4 0.2 5 2 1.2 sin)(sin)()( 555 ππ Theo bảng 4.11 có :       +       = kkk A 5 4 5,0 5 2 sinsin)( 5 ππ Tính A(k) 5 và θ (k) theo các biểu thức trên, lập được bảng 4.12 . Bảng 4.12 : Các giá trị A(k) 5 và θ (k) của ví dụ 4.17 k 0 1 2 3 4 A(k) 5 0,0 1,25 0,11 -0,11 -1,25 θ (k) 1,57 -0,94 -3,45 -5,97 -8,48 Theo bảng 4.12 , xây dựng được đồ thị của A(k) 5 và θ (k) trên hình 4.16 . A(k) 5 171 0 k 1 2 5 0 , 1 1 1 , 2 5 - 0 , 1 1 - 1 , 2 5 θ (k) Hình 4.16 : Đồ thị DFT của dãy x(n) 5 thực, phản đối xứng, N lẻ 4.4.4b Tính IDFT khi x(n) N là dãy thực, phản đối xứng, N lẻ Mục 4.4.4a ở trên cho thấy, khi X(k) N có N lẻ, θ (k) tuyến tính theo [4.4-20] , A(0) N = 0 và A(k) N phản đối xứng khi 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì x(n) N là dãy thực phản đối xứng. Từ biểu thức IDFT [4.2-4] có : ∑∑ − = − = == 1 0 )( 1 0 11 .)( 1 )( 1 )( N N N NN k njk kj k njk eeAenx k N kX N ω θ ω Theo [4.4-20] có : )21( 2 2 . )1( 2 . )( . 1 n k j k jnkjkj njk kj N N N NN N eeeeee +       −             − − == π πππππ ω θ Vậy : ∑ − = +       − = 1 0 )12( 2 .)( 1 )( N N NN k n k j kj eeAnx k N π π π Vì A(0) N = 0 , nên khai triển biểu thức trên thành hai tổng : ∑∑ − + − = +       − − = +       − += 1 1 2 1 )12( 2 2 1 1 )12( 2 .)(.)()( 11 N N N N N N NN k n k j kj k n k j kj eeAeeAnx k N k N π π π π π π Đổi biến tổng thứ hai, và biến đổi tương tự ở mục 4.4.2b , nhận được : ∑∑ − = +− − = + −−+−= 2 1 1 )12( 2 1 1 )12( )(.)( 1 )(.)( 1 )( 11 N N N N N NN k n k j k k n k j k ejAejAnx kN N k N ππ Vì A(k) N phản đối xứng khi 1 ≤ k ≤ (N - 1) , nên A(k) N = - A(N- k) N : ∑ − = +−+         −−= 2 1 1 )12()12( )(.)()( 1 1 N NN NN k n k jn k j k eejAnx k N ππ Vậy : ∑ − = +       +−= 2 1 1 )1( )(sin.)()()( 121 2 N NN k k nAnx N k k N π [4.4-22] Theo [4.4-22], số phép toán để tính x(n) N tại mỗi điểm giảm còn một nửa, hơn nữa x(n) N là dãy phản đối xứng, nên để nhận được x(n) N , chỉ cần tính x(0) N đến x[(N - 1)/2] N rồi lấy đối xứng . Vậy khi X(k) N có N lẻ, θ (k) tuyến tính, A(0) N = 0 và A(k) N đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), thì số phép toán của IDFT giảm còn khoảng 1/4 . Ví dụ 4.18 : Tính IDFT của dãy X(k) 5 có θ (k) và A(k) 5 cho ở bảng 4.13 . Bảng 4.13 : Các giá trị của A(k) 5 và θ (k) k 0 1 2 3 4 A(k) 5 0,0 1,25 0,12 -0,12 -1,25 θ (k) 1,57 -0,94 -3,45 -5,97 -8,48 Giải : Theo [4.4-22] và số liệu ở bảng 4.13 tính được : ∑ = +       +−= 2 1 5 )1( 5 )(sin.)()()( 12 5 1 5 2 k k nAnx k k π       +−       += )(sin.)(sin.)( 12 5 2 05,012 5 5,0 5 nnnx ππ Tính x(n) 5 theo biểu thức trên, lập được bảng 4.14 : Bảng 4.14 : Các giá trị của x(n) 5 n 0 1 2 3 4 172 1 2 1 , 5 7 3 4 5 - 0 , 9 4 - 3 , 4 5 - 5 , 9 7 - 8 , 4 8 0 k [...]...x(n)5 0,25 0,50 1,00 0,50 0,25 Ví dụ 4.18 là bài toán ngược của ví dụ 4.17, so sánh các bảng 4.14 và 4.11 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất Đồ thị của x(n)5 trên hình 4.15 4.4.5 Tính DFT và IDFT của dãy x(n)N thực, phản đối xứng, N chẵn 4.4.5a Tính DFT x(n)6 Vì N chẵn, nên tâm... +1)  6  3  Tính x(n)6 theo biểu thức trên, lập được bảng 4.18 : Bảng 4.18 : Các giá trị của x(n)6 0 1 2 n 0,25 0,50 1,00 x(n)6 3 -1,00 4 -0,50 5 -0,25 Ví dụ 4.20 là bài toán ngược của ví dụ 4.19, so sánh các bảng 4.18 và 4.15 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất Đồ thị của x(n)6 trên hình 4.17 175 . = 1 0 .sin)(.cos)()( 221 N NNN n k N kXk N kX N n j n nx ππ [4.4-8] 163 So sánh các biểu thức [4.4-3] và [4.4-8] thấy rằng, biểu thức tính DFT và IDFT. x(n) 5 0,25 0,50 1,00 0,50 0,25 Ví dụ 4.14 là bài toán ngược của ví dụ 4.13, so sánh các bảng 4.6 và 4.3 , kết quả hai ví dụ là đồng nhất. Đồ thị của x(n)