4.2 biến đổi Fourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có độ dài hữu hạn (DFT) 4.2.1 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Xét dãy không tuần hoàn x(n) L có độ dài hữu hạn L . Một cách gần đúng, có thể coi dãy x(n) L là một chu kỳ của dãy tuần hoàn x p (n) với chu kỳ bằng N, khi đó với a là hằng số có : L N anxnx p )()( += [4.2-1] x(n) L Hình 4.2 : Đồ thị của dãy x(n) L có độ dài L = 4. x p (n) Hình 4.3 : Đồ thị của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳ N < L. x p (n) Hình 4.4 : Đồ thị của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳ N = L. x p (n) Hình 4.5 : Đồ thị của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳ N > L. Đồ thị của dãy x(n) L trên hình 4.2 và dãy x p (n) trên hình 4.3 cho thấy rằng, nếu chu kỳ N của x p (n) nhỏ hơn độ dài L của x(n) L (N< L) thì dãy x(n) L sẽ bị biến dạng do sự trùm thời gian. Để không xảy ra hiện tượng trùm thời gian và dãy x(n) L không bị biến dạng thì dãy tuần hoàn x p (n) phải có chu kỳ thỏa mãn điều kiện : N ≥ L [4.2-2] Hơn nữa, nếu N > L thì dãy tuần hoàn x p (n) phải có các mẫu với giá trị bằng 0 trong đoạn L ≤ n ≤ (N - 1), như đồ thị trên hình 4.5. Trong đoạn 0 ≤ n ≤ (N - 1) biểu thức [4.2-1] có dạng : L nxnx p )()( = Từ đó, có thể trực tiếp suy ra cặp biến đổi Fourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có độ dài hữu hạn x(n) L từ cặp biến đổi Fourier rời rạc [4.1-9] và [4.1-7] của dãy tuần hoàn x p (n) . Với N ≥ L có : Biến đổi thuận : ∑ − = − = 1 0 1 .)()( N LN n njk enx kX ω [4.2-3] Biến đổi ngược : ∑ − = = 1 0 1 )( 1 )( N NL k njk enx kX N ω [4.2-4] Trong đó N πω 2 1 = và thừa số njk e 1 ω ± được gọi là hệ số pha. Trong nhiều tài liệu, hệ số pha njk e 1 ω ± được ký hiệu là kn N W ± . Biến đổi Fourier rời rạc thuận [4.2-3] của dãy có độ dài hữu hạn x(n) N được viết tắt là DFT và ký hiệu như sau : 148 - 5 4 61- 3 1 9- 1- 6 - 4 32- 2 5 80 7 0 , 5 n 0 0 , 5 1 - 1 1 2 43 865 7 9- 4 - 3 - 2- 5- 6 1 0 , 5 1 0 , 5 1 0 , 5 1 0 , 5 n 0 0 , 5 1 - 1 1 2 43 865 7 9- 4 - 3 - 2- 5- 6 0 , 5 11 0 , 5 n 3 n 4 6 1 1 5 0 , 5 20- 2 7 8- 6 - 3 1 0 , 5 - 4 1 - 5 - 1 9 0 , 5 ])([)( NN nxDFT kX = [4.2-5] Hay : NN kX DFT nx )()(  → [4.2-6] Biến đổi Fourier rời rạc ngược [4.2-4] của dãy có độ dài hữu hạn x(n) N được viết tắt là IDFT và ký hiệu như sau : ])([)( NN kX IDFTnx = [4.2-7] Hay : NN nx IDFT kX )()(  → [4.2-8] Trong các biểu thức DFT [4.2-3] và IDFT [4.2-4] , quan hệ giữa độ dài L của dãy x(n) L và độ dài N của dãy X(k) N phải theo điều kiện [4.2-2], tức là N ≥ L. Khi tính DFT với N > L , coi như thêm vào dãy x(n) L các mẫu có giá trị bằng 0 ở các thời điểm L ≤ n ≤ (N - 1) . Vì X(k) N là dãy phức nên có thể biểu diễn nó dưới các dạng : Dạng phần thực và phần ảo : NNN kXkXkX IR j )()()( += [4.2-9] Dãy phần thực : ∑ − = = 1 0 1 )cos(.)()( N NN n R nnx kkX ω [4.2-10] Dãy phần ảo : ∑ − = −= 1 0 1 )sin(.)()( N NN n I nnx kkX ω [4.2-11] Dạng độ lớn và pha : )( )()( kj eA NN kkX θ = [4.2-12] Dãy độ lớn có thể nhận giá trị dương hoặc âm và : NN kXk A )()( = Dạng mô đun và argumen : )( )()( kj e NN kXkX ϕ = [4.2-13] Dãy mô đun : NNN kXkXkX IR )()()( 22 += [4.2-14] N kX )( còn được gọi là dãy biên độ tần số, hay dãy phổ biên độ rời rạc. Dãy argumen :       = N N kX kX k R I arctg )( )( )( ϕ [4.2-15] Dãy )(k ϕ còn được gọi là dãy pha tần số, hay dãy phổ pha rời rạc. Theo lý thuyết hàm phức, N kX )( là dãy chẵn và đối xứng qua trục tung, còn )(k ϕ là dãy lẻ và phản đối xứng qua gốc tọa độ. Ví dụ 4.2 : Hãy tìm ])([ N nDFT δ , vẽ đồ thị tín hiệu N n)( δ và phổ của nó. Giải : Có thể xem δ (n) N là dãy    ≤< = = − )( )( 100 01 N nkhi nkhi n N δ Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có hàm phổ rời rạc :    ∉ ∈ == − − ∑ − = − )](,[ )](,[ .)(])([ 100 101 1 0 1 Nk Nk khi khi ennDFT N NN n njk ω δδ Vậy : )(])([ k NN rectnDFT = δ [4.2-16] Đồ thị tín hiệu δ (n) N và phổ rời rạc của nó là rect N (k) ở hình 4.6. Khi thay đổi độ dài N của δ (n) N , thì tín hiệu δ (n) N không có gì thay đổi, nhưng số vạch của phổ rời rạc rect N (k) thay đổi tương ứng, khi tăng N thì bề rộng phổ tăng. Ví dụ 4.3 : Tìm ])([ NL nrectDFT , với N ≥ L . Giải : Theo biểu thức DFT [4.2-3] có hàm phổ rời rạc : δ (n) N rect N (k) Hình 4.6 : δ (n) N và phổ của nó. 1 1 11 1 1 ][ 1 0 1 0 ).()( ω ω ωω jk jk n njk n njk e e eenrectnrect L LN LNL DFT − − − = − − = − − − == ∑∑ = )( )( )( 2 2 1 1 ][ NNN L N L N L N N L N NL jkjkjk jkjkjk jk jk eee eee e e nrect DFT πππ πππ π π −− −− − − − − = − − = 149 1 1 20 0 . . . 32 . . . 1 3 ( N - 1 ) ( N - 1 ) 1 n k Hay : ( ) ( ) N L NL k j enrect Nk NLk DFT )1( sin sin )( ][ − − = π π π [4.2-17] Xét trường hợp đặc biệt N = L : Trong khoảng )( 10 −≤< Nk thì 0 )sin( = π k , còn ( ) 0 sin ≠ Nk π với mọi k. Tại k = 0 có : ( ) ( ) ( ) N NkN k Nk k k k j k LimeLim N L == → − → − ππ π πππ π cos. )cos( sin )sin( 0 )1( 0 Do đó :    −≤< = = )( )( 100 0 ][ Nk kN DFT khi khi nrect NN Tức là : NNN kNDFT nrect )(.)( ][ δ = [4.2-18] Biểu thức [4.2-18] cho thấy rằng, trong trường hợp N = L , khi thay đổi độ dài N của dãy chữ nhật )(nrect N , thì ])([ NN nrectDFT vẫn chỉ có một vạch tại k = 0, nhưng biên độ của nó luôn bằng N. Kết hợp [4.2-17] và [4.2-18] nhận được : ( ) ( )      = > = − − LNkN LN Nk NLk DFT Khi Khie nrect N N L NL k j )(. sin sin )( )1( ][ δ π π π 4.2.2 Quan hệ giữa DFT với FT và ZT 4.2.2a Quan hệ giữa DFT với FT và ZT, khái niệm về lấy mẫu tần số Xét các biểu thức biến đổi thuận DFT , FT , và ZT của dãy x(n) N . DFT thuận [4.2-3] : [ ] ∑ − = − == 1 0 1 )()()( N NNN n njk enxnxDFTkX ω FT thuận [3.1-2] : [ ] nj n nj n j enxenxnxFTe N NNN X . 1 0 . )()()()( ωωω − − = − ∞ −∞= ∑∑ === ZT thuận [2.1-1] : [ ] ∑∑ − = − ∞ −∞= − === 1 0 .)(.)()()( N NNN n n n n znxznxnxFTzX Suy ra : 1 1 1 0 1 1 0 . 1 0 )()()( ω ω ω ωω jk n n n nj n njk ez znxenxenx N N N N N N k = = = = ∑∑∑ − = − − = − − = − Tức là giữa DFT , FT , và ZT có quan hệ : [ ] [ ] [ ] 1 )()()( 1 ω ωω jk ez nxZTnxFTnxDFT NNN k = = = = [4.2-19] Biểu thức [4.2-19] cho thấy, DFT chính là FT của các dãy có độ dài hữu hạn tại các tần số rời rạc Nkk πωω 2. 1 == , và nó cũng chính là ZT của dãy có độ dài hữu hạn trên vòng tròn đơn vị 1|| =z tại các tần số rời rạc 1 ωω k= . Có thể viết lại [4.2-19] dưới dạng : 1 )()()( 1 ω ω ωω jk j ez ze NNN X k XkX = = = = [4.2-20] Theo [4.2-20], X(k) N chính là X(e j ω ) của dãy có độ dài hữu hạn x(n) N khi rời rạc hóa biến tần số góc liên tục ω thành biến rời rạc k ω 1 . Quá trình rời rạc hóa biến tần số liên tục được gọi là lấy mẫu tần số. Nếu x(n) N là tín hiệu số thì dãy X(k) N là phổ rời rạc, nó nhận được bằng cách lấy mẫu tần số phổ liên tục X(e j ω ). Nếu h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý số, thì H(k) N là đặc tính tần số rời rạc của hệ xử lý số, nó nhận được bằng cách lấy mẫu tần số đặc tính tần số liên tục H(e j ω ). Như vậy, DFT chính là lấy mẫu tần số, và để việc lấy mẫu tần số không làm biến dạng dãy gốc trong miền thời gian, thì phải không để xảy ra hiện tượng trùm thời gian (xem hình 4.3), do đó điều kiện để có thể khôi phục được hàm tần số liên tục X(e j ω ) từ hàm tần số rời rạc X(k) N là : Dãy gốc phải có độ dài L hữu hạn và độ dài N tính DFT phải không nhỏ hơn độ dài của dãy gốc theo điều kiện [4.2-2] : N ≥ L . Điều kiện lấy mẫu tần số trên cũng có ý nghĩ vật lý tương tự như định lý lấy mẫu theo thời gian. Tuy nhiên, khi độ dài N tính DFT bằng độ dài của dãy gốc x(n) , thì sai khác giữa dãy tần số rời rạc X(k) N và hàm tần số liên tục X(e j ω ) còn rất lớn, khi độ dài N tính DFT càng lớn thì sự sai khác giữa X(k) N và X(e j ω ) càng giảm, và khi N → ∞ thì X(k) N → X(e j ω ) . Có thể thấy rõ điều đó khi xem lại các biểu thức [4.2-17] , [4.2-18] ở ví dụ 4.3 và biểu thức [3.1-9] : Với L = N thì : NNNN kNDFTkX nrect )(.)()( ][ δ == Với L > N thì : ( ) ( ) N L NLN k j enrect Nk NLk DFTkX )1( sin sin )()( ][ − − == π π π Khi biến đổi tiếp biểu thức [3.1-9] ở chương ba, nhận được : 150 ( ) ( ) 2 )1( 2 2 1 1 sin sin )]([)( − − − − = − − == L L L k j j j j e e e nrectFTe L X π ω ω ω ω ω Đồ thị các hàm biên độ tần số trên hình 4.7 minh họa cho điều đó. a. Đồ thị X(e j ω ) với L = 10. b. Đồ thị X(k) 10 . c. Đồ thị X(k) 50 . d. Đồ thị X(k) 100 . Hình 4.7 : X(e j ω )với L = 10 và X(k) N  với N bằng 10 , 50 , 100. 4.2.2b Nội suy hàm X(z) từ N mẫu của dãyDFT X(k) N Theo [2.1-1], biến đổi z của dãy có độ dài hữu hạn x(n) N là : ∑ − = − = 1 0 .)()( N N n n znxzX [4.2-21] Do x(n) N là dãy hữu hạn nên X(z) luôn tồn tại, và miền hội tụ của X(z) là toàn bộ mặt phẳng z trừ hai điểm z = 0 và |z|= ∞ phải xét cho từng dãy x(n) N cụ thể. Để tìm X(z) từ X(k) N , trước hết cần tìm ])([)( NN kX IDFTnx = , sau đó lấy biến đổi Z thuận ])([)( N nxZTzX = . Ta có : ∑ − = == 1 0 1 )( 1 ])([)( N NNN k njk eIDFTnx kX N kX ω Theo [4.2-21] : ∑ ∑ − = − − =       == 1 0 1 0 .)( 1 ])([)( 1 N N NN n n k njk zenxZTz kX N X ω ∑ ∑ − = − = − == 1 0 1 0 .)( 1 ])([)( 1 N N NN k n n njk zenxZTz kX N X ω ∑ − = − − − − == 1 0 1 )1( )1( )( 1 ])([)( 1 1 N N N NN k jk jk ze ze nxZTz kX N X ω ω Trong đó, vì 1 2 2 1 === π π ω kj jk jk eee N N N với mọi k, nên nhận được : ∑ − = − − − − == 1 0 1 )1( )( )1( ])([)( 1 N N N N k jk ze z nxZTz kX N X ω [4.2-22] Biểu thức [4.2-22] là công thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X(z) từ N mẫu của [ ] NN nxDFTkX )()( = . Khi cho N → ∞ , sẽ nhận được hàm X(z) chính xác của dãy x(n). 4.2.2c Nội suy X(e j ω ) từ N mẫu của dãy DFT X(k) N Vì x(n) N là dãy hữu hạn nên X(e j ω ) luôn tồn tại, và có thể nhận được X(e j ω ) từ biểu thức của X(z) khi thay z = e j ω . Do đó từ [4.2-22] có : ∑ − = −− − − − == 1 0 )( ]1[ )1( )( 1 ])([)( 1 N N NN k kj j j e e nxFTe kX N X ωω ω ω [4.2-23] Sử dụng công thức : 2 21 sin)( 2222 x jeeeee x j x j x j x j jx −−− − =         −=− để biến đổi cả đa thức ở tử và mẫu của [4.2-23], nhận được : 151       + − − − = ∑       −       == 22 )1( 1 0 1 1 . sin sin )( 1 ])([)( 22 2 ωω ω ω ω ω kj k j N N NN enxFTe k N kX N X [4.2-24] Khi thay N πω 2 1 = vào [4.2-24] , nhận được : 152 . được bằng cách lấy mẫu tần số phổ liên tục X(e j ω ). Nếu h(n) là đặc tính xung của hệ xử lý số, thì H(k) N là đặc tính tần số rời rạc của hệ xử lý số,