3.3 Đặc tính tần số và Hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số Tuyến Tính Bất Biến Nhân Quả 3.3.1 Đặc tính tần số và hàm truyền đạt phức H(e j ω ) 3.3.1a Định nghĩa : Đặc tính tần số H(e j ω ) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Fourier của đặc tính xung h(n) : nj n j enhnhFTe H . ).()]([)( ωω − ∞ −∞= ∑ == [3.3-1] Đặc tính tần số H(e j ω ) cho biết tính chất tần số của hệ xử lý số TTBBNQ. Xét hệ xử lý số có đặc tính xung h(n), tác động x(n), phản ứng y(n). Đặc tính tần số của hệ : )]([)( nhFTe j H = ω Phổ của tác động : )]([)( nxFTe j X = ω Phổ của phản ứng : )](*)([)]([)( nhnxFTnyFTe j Y == ω Theo tính chất tích chập của biến đổi Fourier nhận được : )().()( ωωω jjj eee HXY = [3.3-2] Suy ra : )( )( )( ω ω ω j j j e e e X Y H = [3.3-3] Như vậy, đặc tính tần số H(e j ω ) của hệ xử lý số TTBBNQ bằng tỷ số giữa hàm phổ của phản ứng Y(e j ω ) và hàm phổ của tác động X(e j ω ), vì thế H(e j ω ) cũng chính là hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ. Có thể tìm được đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số từ đặc tính tần số H(e j ω ) bằng biến đổi Fourier ngược : ∫ − == π π ωωω ω π deeeIFTnh njjj HH . ).()]([)( 2 1 [3.3-4] 3.3.1b Đặc tính biên độ tần số và đặc tính pha tần số Từ [3.3-3] có : )( )( )( ω ω ω j j j e e e X Y H = [3.3-5] và :             =       − )()()( ωωω jjj eee XArgYArgHArg [3.3-6] Vậy, mô đun hàm truyền đạt phức H(e j ω ) của hệ xử lý số bằng tỷ số giữa phổ biên độ của phản ứng và phổ biên độ của tác động, còn argumen của hàm truyền đạt phức Arg[H(e j ω )] bằng hiệu phổ pha của phản ứng và phổ pha của tác động. Về ý nghĩ vật lý, mô đun hàm truyền đạt phức H(e j ω ) đặc trưng cho tính chất chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế H(e j ω ) còn được gọi là đặc tính biên độ tần số. Còn argumen của hàm truyền đạt phức ϕ ( ω ) cho biết sự dịch pha của các thành phần tần số tín hiệu khác nhau khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ, vì thế ϕ ( ω ) = Arg[H(e j ω )] còn được gọi là đặc tính pha tần số. Để tín hiệu số không bị méo phổ khi truyền qua hệ xử lý số TTBBNQ thì đặc tính biên độ tần số của hệ xử lý số phải đảm bảo cho qua tất cả các thành phần tần số của tín hiệu với hệ số truyền đạt như nhau. Tức là, về lý tưởng hệ xử lý số phải có đặc tính biên độ tần số dạng hình chữ nhật như ở hình 3.7a. Tuy nhiên, các hệ xử lý số thực tế có đặc tính biên độ tần số với sự nhấp nhô và hai sườn dốc, ví dụ như ở hình 3.7b. a. Hệ xử lý số lý tưởng. b. Hệ xử lý số thực tế. Hình 3.7 : Đặc tính biên độ tần số H(e j ω ) của hệ xử lý số. Khái niệm về dải thông và dải chặn : Dải thông là dải tần số mà hệ xử lý số cho tín hiệu số đi qua, dải chặn là dải tần số mà hệ xử lý số không cho tín hiệu số đi qua. - Đối với hệ xử lý số lý tưởng : Do hai biên tần có dạng dốc đứng nên dải thông 2 ∆ω là vùng tần số mà đặc tính biên độ tần số H(e j ω )= 1, còn dải chặn là vùng tần số mà đặc tính biên độ tần số H(e j ω )= 0 . Tần số giới hạn giữa dải thông và dải chặn gọi là tần số cắt và thường được ký hiệu là ω c .(hình 3.7a) 136 ω H(e j ω )  2 ∆ω ω c - ω c - Đối với hệ xử lý số thực tế : Do hai biên tần có dạng sườn dốc, nên người ta quy ước tần số giới hạn của dải thông là ω c , tần số giới hạn của dải chặn là ω p , giữa dải thông và dải chặn tồn tại dải quá độ ∆ω p = | ω p - ω c | (hình 3.4b). Nếu độ rộng dải quá độ ∆ω p càng nhỏ thì độ dốc hai biên tần của đặc tính biên độ tần số H(e j ω ) càng lớn, làm cho khả năng chọn lọc tín hiệu theo tần số của hệ xử lý số càng tốt. Các tín hiệu số có phổ nằm trọn trong dải thông của đặc tính biên độ tần số sẽ đi qua được hệ xử lý số và không bị méo dạng phổ. Các tín hiệu số có bề rộng phổ lớn hơn dải thông sẽ bị mất các thành phần phổ nằm ngoài dải thông. Các tín hiệu số có phổ nằm ngoài dải thông của hệ xử lý số sẽ hầu như bị suy giảm hoàn toàn khi đi qua hệ xử lý số. Từ các hiệu ứng đó, người ta xây dựng các hệ xử lý số có tính chất chọn lọc tín hiệu số theo tần số, đó là các bộ lọc số. Ví dụ 3.14 : Hệ xử lý số có phản ứng )()()( 1212.6 −−−= − nnuny n δ ứng với tác động )()( 2 nunx n − = . Hãy xác định hàm truyền đạt phức H(e j ω ), đặc tính xung h(n), đặc tính biên độ tần số H(e j ω ) và đặc tính pha tần số ϕ ( ω ) của hệ. Giải : Có : )( )]()( 5,01 1 2[ ω ω j nj e nue FTX − − − == Vì : )()()()()( 12122.61212.6 )1(1 −−−=−−−= −−−− nnunnuny nn δδ Nên : ω ω ω ω δ j j j nj e e e nnue FTY − − − −−− − − −−− == 2 5,01 .3 12122.6[ )( )]()()( )1(1 )()( )( 5,015,01 2.3 22 ω ωω ω ωωω ω j jj j jjj j e ee e eee e Y − −− − −−− − + − +− == Theo [3.3-3] có : )( ))(( )( )( )( 5,01 5,01 2 ω ωωω ω ω ω j jjj j j j e eee e e e X Y H − −−− − −+ = = Hàm truyền đạt phức : ωωω 2 )( jjj eee H −− += Đặc tính xung : )()()()]([)( 121 2 −=−+−== nrectnneIFTnh j H δδ ω Để tìm đặc tính biên độ tần số và pha tần số, biến đổi H(e j ω ) như sau : )()( 5,.05,05,12 ωωωωωω jjjjjj eeeee e H −−−− ++ == Vậy hàm truyền đạt phức là : ωω ω 5,1 )cos()( 5,0.2 jj ee H − = Đặc tính biên độ tần số : )cos()( 5,0.2 ω ω = j e H Đặc tính pha tần số : ωωϕ 5,1 )( −= 137 Ví dụ 3.15 : Cho hệ xử lý số có đặc tính xung )()( 1 2 −= nrectnh và tác động )()( 2 nunx n − = , hãy tìm hàm phổ Y(e j ω ) và phản ứng y(n). Giải : Đây là bài toán ngược của ví dụ 3.13, trước hết cần xác định : Hàm truyền đạt phức : ∑ ∞ −∞= − −== n njj enrectnhFTe H ωω )()]([)( 1 2 Hay : ωωωω 2 2 1 )( jj n njj eeee H −− = − +== ∑ Phổ của tác động : )( )]([)( 5,01 1 2 ω ω j nj e nuFTe X − − − = = Theo biểu thức [3-51] tìm được phổ của phản ứng : ).( )( )().()( 2 5,01 1 ωω ω ωωω jj j jjj ee e eee HXY −− − + − = = )()( )( 5,01 1 5,01 1 2 ω ω ω ωω j j j jj e e e ee Y − − − − − + − = Phản ứng : )()()]([)( 25,015,0 )2()1( −+−= −− = nunueIFTny nnj Y ω )]()([)()( 112212.2 2 −−−+−= −− nnununy nn δ )()()()( 12.412.412.2 −−−+−= −−− nnununy nnn δ )()()( 12.412.6 −−−= −− nnuny nn δ Vì )( 1 − n δ chỉ có 1 mẫu tại n = 1, nên )()( 1212.4 −=− − nn n δδ , do đó kết quả là : )()()( 1212.6 −−−= − nnuny n δ Kết quả nhận được phù hợp với phản ứng y(n) cho ở ví dụ 3.13. 3.3.1c Tìm hàm truyền đạt phức H(e j ω ) theo phương trình sai phân Có thể tìm được hàm truyền đạt phức của hệ xử lý số TTBBNQ khi biết phương trình sai phân của nó. Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân bậc N : ∑∑ == −=− MN r r k k rnxbknya 00 )()( Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận được : ∑∑ = − = − = MN r rj r j k kj k j ebeeae XY 00 )()( ωωωω 138 suy ra : ∑ ∑ = − = − == N k kj k M r rj r j j j ea eb e e e X Y H 0 0 )( )( )( ω ω ω ω ω [3.3-7] Ví dụ 3.16 : Hãy xác định hàm truyền đạt phức và các đặc tính tần số của hệ xử lý số có phương trình sai phân )()()()( 21 −+−+ = nynxnxny . Giải : Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình trên nhận được : )()()()( 2 ωωωωωω jjjjjj eeeeee YXXY −− ++ = hay : )).(()).(( 11 2 ωωωω jjjj eeee XY −− +− = )( 1 )( 1 )( )( )( )( )( 5,05,05,02 11 1 ωωωωω ω ω ω ω jjjjj j j j j eeeee e e e e X Y H −−−− − − = − = − + == Vậy hàm truyền đạt phức là : )sin( )( 5,02 5,0 ω ω ω j j e e H = Đặc tính biên độ tần số : )sin( 1 )( 5,02 ω ω = j e H Đặc tính pha tần số : [ ] ω ω 5,0 )( = j eArg H 3.3.2 Phân tích hệ xử lý số theo hàm truyền đạt phức H(e j ω ) 3.3.2a Sơ đồ khối, sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số Theo quan hệ vào ra [3.3-2] : )().()( ωωω jjj eee HXY = có thể mô tả hệ xử lý số TTBB bằng sơ đồ khối theo hàm truyền đạt phức như trên hình 3.8. Hình 3.8 : Sơ đồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số. Các hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ khối gồm nhiều khối, mỗi khối có hàm truyền đạt phức H i (e j ω ). Khi đó, hàm truyền đạt phức H(e j ω ) của hệ xử lý số đó cũng có thể được xác định theo các hàm truyền đạt phức H i (e j ω ) của các khối thành phần. Vì ω ω j j ez ze HH = = )()( , nên từ các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo hàm hệ thống H(z), . có thể nhận được các phần tử cấu trúc và sơ đồ khối theo hàm truyền đạt phức H(e j ω ) khi thay ω j ez = . Do đó, các nguyên tắc xác định hàm truyền đạt phức H(e j ω ) theo sơ đồ khối cũng tương tự như cách xác định hàm hệ thống H(z). Sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số thường được sử dụng khi phân tích và tổng hợp các bộ lọc số. Ví dụ 3.17 : Hãy xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số cho ở ví dụ 3.16 : )()()()( 21 −+−+ = nynxnxny . Giải : Theo kết quả tìm hàm truyền đạt phức H(e j ω ) đã được thực hiện ở ví dụ 3.16, có sơ đồ khối của hệ đã cho như trên hình 3.9. Hình 3.9 : Sơ đồ khối trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16. Lấy biến đổi Fourier cả hai vế của phương trình sai phân đã cho, nhận được quan hệ vào ra : )()()()( 2 ωωωωωω jjjjjj eeeeee YXXY −− ++ = Theo quan hệ vào ra trên, xây dựng được sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số đã cho như trên hình 3.10. 139 H(e j ω )X(e j ω ) Y(e j ω ) )sin( 5,02 5,0 ω ω j e X(e j ω ) Y(e j ω ) Hình 3.10: Sơ đồ cấu trúc trong miền tần số của hệ xử lý số ở ví dụ 3.16. 3.3.2b Xét tính ổn định của hệ xử lý số theo H(e j ω ) Theo định nghĩa của biến đổi Fourier, chỉ có các hệ xử lý số có đặc tính xung h(n) thỏa mãn điều kiện [3.1-1] : ∞< ∑ ∞ −∞= n nh )( thì mới tồn tại hàm truyền đạt phức : nj n j enhe H . )()( ωω − ∞ −∞= ∑ = Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier [3.1- 1] cũng chính là điều kiện ổn định [1.6-10] của hệ xử lý số. Do đó, hệ xử lý số tồn tại hàm truyền đạt phức H(e j ω ) thì ổn định, ngược lại hệ xử lý số không tồn tại hàm truyền đạt phức H(e j ω ) thì không thỏa mãn điều kiện ổn định. 140 X(e j ω ) Y(e j ω ) + e -j ω + e -j ω e -j ω . tính tần số H(e j ω ) của hệ xử lý số TTBBNQ là biến đổi Fourier của đặc tính xung h(n) : nj n j enhnhFTe H . ).()]([)( ωω − ∞ −∞= ∑ == [3.3-1] Đặc tính tần. cho biết tính chất tần số của hệ xử lý số TTBBNQ. Xét hệ xử lý số có đặc tính xung h(n), tác động x(n), phản ứng y(n). Đặc tính tần số của hệ : )]([)( nhFTe