Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ VÀ CÁCH KHẮC PHỤC ĐẶT VẤN ĐỀ: Toán học môn học trừu tượng Tính trừu tượng logic tăng dần em học lên lớp Từ năm học lớp khó khăn học sinh bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt toán chứng minh bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Đây đề tài thú vị, thường quy tắc giải tổng quát Do học sinh hay mắc thiếu sót sai lầm giải toán loại Vậy học sinh thường mắc phải sai lầm giải toán cực trị? Theo nguyên nhân xuất phát từ lý sau: Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng giải toán tìm cực trị Chưa nắm tính chất bất đẳng thức Chưa hệ thống, phân dạng tập loại Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ toán vội vào giải toán Không biết đề cập toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ chi tiết kết hợp chi tiết toán, không sử dụng hết giả thiết toán, linh hoạt vận dụng kiến thức có Không tự tư lại toán làm sau giải xong xem chưa Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng toán khó thú vị Mỗi toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ với số liệu riêng đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Chính thế, thấy kì thi học sinh giỏi toán thường có toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Từ khó khăn giáo viên học sinh thường hay mắc sai lầm việc giải toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chọn đề tài “Sai lầm thường gặp giải toán tìm cực trị đại số cách khắc phục” chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài góp phần vào việc giải khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên học sinh việc dạy học kiến thức chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Như nhà giáo dục toán học Polya nói: ” Con người phải biết học sai lầm mình” Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tự thấy kiến thức toán thân hạn chế, toán Bất đẳng thức, toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Đây dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong thầy trò lại ngại đụng đến khó phải nhiều thời gian để dự đoán kết tìm cách giải, dễ mắc sai lầm Tôi tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải toán dạng phương pháp mà học sinh trang bị cấp học, không thành công thầy phải lần mò có lời giải, học sinh hay mắc sai lầm Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ chức, đạo trực tiếp thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí qua tạp chí Toán tuổi thơ, học tập tích lũy cho kinh nghiệm mà trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với toán tìm cực trị đại số, hướng dẫn học sinh hoàn toàn tự tin giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, học sinh khai thác toán nhiều cách, tránh sai lầm cố hữu thường mắc phải giải toán cực trị có hứng thú thực với dạng toán Từ thực tế xin trao đổi kinh nghiệm Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục đồng nghiệp mong đề tài mở rộng phát triển sâu rộng Đối với toán tìm cực trị cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm người làm toán Các tài liệu tham khảo môn toán THCS dành cho giáo viên học sinh có n ều n ưng nội dung trùng Các sách Bộ giáo dục khuôn khổ chương trình học cấp học nên phần giải toán tìm cực trị chương trình THCS có tính chất giới thiệu thông qua vài tập mà không viết riêng thành tài liệu để giáo viên học sinh cấp học tham khảo Chính lý nêu trên, c ọn đề tài “Sai lầm thường gặp toán tìm cực trị cách khắc phục” chương trình THCS để nghiên cứu thực NỘI DUNG CHÍNH I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần Phần 1: Lý thuyết Phần 2: Các tập minh họa Các sai lầm thường mắc liệt kê dạng 1) Đưa tập cụ thể, tập đưa lời giải sai 2) Phân tích sai lầm cách khắc phục, đồng thời đưa lời giải 3) Các tập áp dụng II) Nội dung cụ thể PHẦN I: LÍ THUYẾT a) Một số tính chất bất đẳng thức Cho a, b, c số thực Tính chất abba Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục a  b a =b  b  a  Tính chất Tính chất Tính chất bắc cầu a  b  a  c  b  c  Tính chất a  b  a + c  b+ c Tính chất a  b  a + c  b+ d  c  d  Chú ý: Không trừ hai bất đẳng thức chiều cho ac  bc ab c  Tính chất ac  bc ab c  Tính chất Tính chất Nhân vế hai bất đẳng thức chiều hai vế không âm a  b   ac  bd  c  d   a1  b1  a  b   2  a1a a n  b1b b n  0, n  N*  Tổng quát:   a n  b n  Chú ý: Không chia hai bất đẳng thức cho Tính chất Nâng luỹ thừa hai vế bất đẳng thức * a  b   a n  bn ,  n  N* * a  b  a n  bn (n  N* , n M 2) Tính chất 10 a  b   n a  n b,  n  N* , n  Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa số m  n  *  am  an 0  a  m  n  *  am  an a  b  a 1   Tính chất 12  a b ab  b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối  a  0,  a  R  a = a a   a = -a a   -a a a  a+ b  a + b Dấu đẳng thức xảy ab  c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị +) Bất đẳng thức Côsi Dạng bản: Cho a, b  , ta có bất đẳng thức a+ b  ab Dấu đẳng thức xảy a = b Dạng tổng quát: Cho số không âm a1,a ,a 3, ,a n Ta có bất đẳng thức a1 + a + a + + a n  n n a1a 2a a n với n  N, n  Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = a3 = = an +) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng bản: Với a, b, c, d số thực tuỳ ý ta có  ac+ bd    a + b2  c2 + d  Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Dấu đẳng thức xảy a b = c d Dạng tổng quát: Cho hai số  a1 ,a ,a , ,a n  ,  b1 , b2 , b3 , , bn  , ta có  a1b1 + a 2b2 + a 3b3 + + a nbn   a12 + a 22 + a 32 + + a n2 b12 + b 22 + b 32+ + b n2  Dấu đẳng thức xảy a1 a a a = = = = n b1 b2 b3 bn (Với điều kiện biểu thức có nghĩa) PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A Dạng sai lầm thứ nhất: Trong làm có sử dụng nhiều BĐT, tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) dấu không đồng thời xảy kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) biểu thức không đạt giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) Bài Cho x, y a số dương t oả mãn x+  Tìm g trị n ỏ n ất b ểu y x y t ức M = 32 + 2007 y x Lời giải “có vấn đề” Từ x, y > áp dụng bất đẳng t ức C s ta có x y +  y x  1 y Từ x, y > x+  ta có   x+   x   y x y  y x y x y y Do M = 32 + 2007 = 32  +  +1975  32.2  1975.4  7964 y x x y x Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Dấu “=” xảy  x = y Vậy giá trị nhỏ M 7964, giá trị đạt x = y Nhưng với x = y M = 2039 Vậy sai lầm đâu? Phân tích sai lầm: Lờ g ả sa c ỗ vớ x y > t ì Dấu “=” xảy  x = y, x y +  y x y  4, Dấu “=” xảy  y = 4x x Mặt k ác có t ể t x = y t ì mâu t uẫn vớ g ả t ết x+  y N nguyên n ân sa lầm lờ g ả bà toán mà sử dụng n ều bất đẳng t ức để tìm cực trị n ưng dấu “=” k ng đồng t xảy Lời giải Từ g ả t ết ta có  1 y   x+   x   y y x  p dụng bất đẳng t ức C s c o a số k ng âm ta có x y  x y y x y M = 32 + 2007 =  32 +  + 2005  32 .2  2005.4  8036 y x  y x x y x Dấu “=” xảy  x = ; y=2 Vậy g trị n ỏ n ất M 8036 g trị đạt k x = ; y=2 Bài Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức A = x+ y b ết x + y2  2 Lời giải sai: Gọi B = x + y , ta có B     2 2 Xét A+ B = x+ y+ x + y = x + x + y + y  1 1 5   =  x+  +  y+  -   2 2 4   Ta lại có B  nên - B  5 (1) (2) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Cộng (1) với (2) ta A   Nhưng với 25 25  Min A    x = y   4 x = y    A   , sai lầm đâu? 2 Phân tích sai lầm: Sa lầm c ỗ vớ x = y = - c ỉ xảy dấu “=” (1) dấu “=” (2) k xảy T ật vớ x = y = Lời giải đúng: A2 =  ng B   Do - B  5 p dụng BĐT Bun acốpxk ta có: 2 x+ A  25  3 x       3 x + y  5.5  25 x y =  x = y Do A  25 nên 5  A  x = y A     x = y  1  Min x+ y    x = y  x = y  Max A    x+ y =  Bài Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức F  x, y  =  x+ y  +  x+1 +  y- x  2 “Lời giải đẹp”: Ta thấy  x+ y  ;  x+1  ; y- x  không đồng thời nên 2 F  x, y    F  x, y  đạt giá trị nhỏ a =  x+1 b =  x+ y  +  y- x  đồng thời đạt giá trị nhỏ 2 Có a =  x+1 đạt giá trị nhỏ x = -1 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Khi b =  x+ y  +  y- x  = y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ y = 2  x = -1 Vậy giá trị nhỏ F  x, y   y = Phải lời giải đúng? Phân tích sai lầm: Lờ g ả mắc sa lầm bước lập luận: F  x, y  đạt g trị n ỏ n ất k c ỉ k a =  x+1 b =  x+ y  +  y- x  đồng t đạt g trị n ỏ n ất Lập luận c ỉ 2 k g trị n ỏ n ất đạt tạ g trị b ến Rõ ràng a đạt g trị n ỏ n ất k x + y = x – y = tức k x = -1, b đạt g trị n ỏ n ất k x = y = Lời giải đúng: 1 2   x, y B ến đổ F  x, y  = x + x+1+ y =  x+  + y +  3   2 Đẳng t ức xảy  x = - , y = Vậy g trị n ỏ n ất F  x, y  g trị đạt k x = - , y = Bài Tìm g trị lớn n ất b ểu t ức D = -5 x - xy- y2 +14 x+10 y-1 Lời giải “băn khoăn”: 2 Ta có D = -5 x - xy- y +14 x+10 y-1 = -  x + xy+ y  -  x -14 x  -  y -10 y  -1 = -  x+ y  2 7 145  -  x-  -  y-  + 2  Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục  x+ y = x = - y   7   145 Suy D  Dấu “=” xảy 2 x- =   x = 4    y- =  y = Hệ vô nghiệm nên D không tồn giá trị lớn Bạn có đồng ý với kết luận toán không? Lời giải thuyết phục chưa? Phân tích sai lầm: Từ biến đổi đến D = -  x+ y  D 2 7 145  -  x-  -  y-  + suy 2  145 , việc kết luận giá trị lớn D không tồn chưa xác, xác đáng Lời giải đúng: 2 2 Cách 1: Ta có D = -  x + y - x- y+ xy+  -  x -8 x+  -  y - y+  16  -  x+ y- 3 -  x-1 -  y-  16 2  x+ y- = x =  x-1 =    Suy D  16 Dấu “=” xảy y=2   y- =  Vậy Max D = 16, giá trị đạt x = y = Lời giải song thiếu “tự nhiên” cách sau mang tính thuyết phục Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng P(x, y) = ax + bxy+ cy2 + dx+ ey+ h (a, b, c  0) Cách giải: Biến đổi P( x, y ) hai dạng sau: Dạng 1: P(x, y) = m.F2 (x, y) + n.H (x) + g (1) 2 Dạng 2: P(x, y) = m.F (x, y) + n.K (y) + g (2) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 10 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Ta có  m+1   2 nên tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ -2 m+1 =  m  1 Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn giá trị m để tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ Phân tích sai lầm: Mấu chốt sai lầm lời giải chỗ em học sinh chưa nắm vững khái niệm giá trị nhỏ biểu thức Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng thức f  x   a không xảy đẳng thức ứng với giá trị x  x0 (x0 thoả mãn điều kiện toán) kết luận biểu thức f  x  đạt giá trị nhỏ a biểu thức f  x  không đạt giá trị nhỏ Lời giải đúng: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: m      m+1 -    m+ 3 m-1    (*) m    Khi tổng bình phương nghiệm 2 x12 + x 22 =  x1 + x  - x1x =  m+1 - =  m+1 -      m  Đẳng thức xảy   m+1     (thoả mãn (*))  m  3 2 Vậy x1 + x đạt giá trị nhỏ m = m = -3 D Dạng sai lầm thứ tư Lập luận sai khẳng định “A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” (hoặc ngược lại) mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Bài Tìm g trị lớn n ất b ểu t ức A = x - x+10 Lời giải sai: Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 19 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Phân thức có tử không đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ x -6x+10 2 Ta có: x - x+10 =  x- 3 +1    x - x+10   x  Vậy max A   x  Lời giải “trơn”, thi mà làm “trượt” Tại vậy? Phân tích sai lầm Tuy đáp số k ng sa n ưng lập luận lạ sa k nên A có g trị lớn n ất k k ẳng địn “A có tử số k ng đổ mẫu n ỏ n ất” mà c ưa đưa n ận xét tử mẫu số dương Ví dụ n ư: Xét b ểu t ức B = 1 Vớ lập luận n “P ân t ức có x -10 x -10 tử k ng đổ nên có g trị lớn n ất k mẫu n ỏ n ất” mẫu n ỏ n ất -10 x = ta đ đến kết luận max B  1  x  Đ ều k 10 k ng p ả g trị lớn n ất B c ẳng ạn vớ x = t ì B = Mắc sa lầm ngườ làm k máy móc áp dụng quy tắc so sán ng 1 10 1  15 10 ng nắm vững tín c ất bất đẳng t ức a p ân số có tử mẫu số tự n ên sang a p ân số có tử mẫu Lời giải đúng: Bổ sung t êm n ận xét x - x+10 =  x- 3   nên p ân t ức có tử mẫu số dương A lớn n ất k x - x+10 c ỉ k n ất  x - x+10 n ỏ n ất Làm t ếp n kết Bài Tìm x để b ểu t ức P = đạt g trị lớn n ất x + x- Trong lần kiểm tra có học sinh giải toán sau: Điều kiện x  1; x  3 Ta có P = 1 = x + x-  x+12 - Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 20 n ỏ A Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Để biểu thức P đạt giá trị lớn  x+1  đạt giá trị nhỏ Điều xảy  x+1  hay x  1 Khi giá trị lớn P   Nhưng thấy x  P  1 ,  giá trị lớn P Vậy sai lầm lời giải đâu? Khắc phục sai lầm nào? Phân tích sai lầm Sai lầm lời giải mà bạn học sinh đưa bước lập luận “để biểu thức P đạt giá trị lớn  x+1  đạt giá trị nhỏ nhất” Điều tử mẫu P dương mà tử phải số mẫu chưa biết dương hay âm nên lập luận Lời giải đúng: Điều kiện x  ; x  3 Với x  3 x  P  , với 3  x  P  Ta thấy x = 1+ a với a > P = nên a nhỏ P lớn lớn a2 + a được, biểu thức P = giá trị lớn x + x- E Dạng sai lầm thứ năm Nhầm tưởng vai trò biến nên thứ tự ẩn Bài Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức A = x y z + + vớ x, y, z  y z x Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x  y  z  x biểu thức A không đổi nên không tính tổng quát, giả sử x  y  z  , suy x  z   y  x- z   z  x- z   xy- yz+ z  xz (1) Chia hai vế (1) cho số dương xz ta Mặt khác ta có x y + 2 y x y y z - +  z x x (3) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều (2) (3) ta Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 21 (2) Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục x y z + +  Từ suy A =  x = y = z y z x Tuy kết đúng, xem lời giải bất ổn Tại vậy? Phân tích sai lầm: K thành oán vị vòng quan x  y  z  x t ì b ểu t ức A trở y z x + + , tức b ểu t ức k z x y ng đổ Đ ều c o p ép ta g ả sử ba số x; y; z số lớn n ất ( oặc số n ỏ n ất) n ưng k ng c o p ép g ả sử x  y  z rồ sử dụng làm g ả t ết bà toán k trường ợp lạ T ật sau k đ c ứng m n mà k ng xét c ọn x số lớn n ất ( x ≥ y x ≥ z) t ì va trò y z lạ k ng bìn đẳng: g ữ nguyên x t ay y bở z ngược lạ ta x z y + + b ểu t ức k z y x ng b ểu t ức A Khắc phục sai lầm Vớ lờ g ả đưa t ay c o v ệc t ứ tự x  y  z ta c ỉ cần g ả sử z số n ỏ n ất ba số x y z kết ợp vớ p ần lạ lờ g ả trìn bày ta lờ g ả Ngoà ta có t ể g ả bà toán t eo các sau: Cách giải đúng: Cách 1: Sử dụng bất đẳng t ức C s c o ba số dương ta có A= x y z x y z + +  3  (P ả c ứng m n BĐT C s c o ba số k y z y y z y x y z Do  + +   k y z x ng âm) x y z = = tức x = y = z y z x c ỉ k Cách 2: G ả sử z số n ỏ n ất số x y z Có: A= x y x y z x y y z y + + =  +  +  + -  Ta có +  (do x, y > 0) nên để c ứng y z x y x z x x y x minh x y z + +  c ỉ cần c ứng m n y z x y z y + - 1 z x x (1) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 22 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục T ật (1)  xy+ z - yz  x z (do x, z  0)   x- z  y- z   (2) Do z số n ỏ n ất số x y z nên (2) lu n Từ tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức A = k x = y = z Bài C o x y z số t ực lớn ơn - Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức P= 1+ x 1+ y 1+ z + + 1+ y+ z 1+ z+ x 1+ x+ y Có lời giải sau: Nếu x  , ta thay x (-x) hai hạng tử đầu P không đổi hạng tử t ứ ba giảm Từ không tính tổng quát giả sử x  y  z  2 Từ  x-1   x +1  x   x +1   x + x+1 1+ x 1+ x 2   Đẳng thức xảy x = Do 2 1+ y+ z 1+ x+ x 1+ y 2 1+ z 2  ;  Tương tự ta có 2 1+ z+ x 1+ x+ y Từ suy P  Dấu “=’ xảy x = y = z  Theo bạn lời giải chuẩn chưa? Lời giải bạn nào? Phân tích sai lầm: Các biến x, y, z biểu thức P có dạng hoán vị vòng quanh mà vai trò nên xem biến lớn nhỏ mà Do đoạn lập luận: Không tính tổng quát giả sử x  y  z  2 Từ  x-1  , suy  x +1   x + x+1 1+ x 1+ x 2   Đẳng thức xảy x = 1.Do 2 1+ y+ z 1+ x+ x 1+ y 2  ; Tương tự ta có 1+ z+ x (2) 1+ z 2  1+ x+ y (1) (3) không Không thể từ (1) suy (2) (3) phép tương vai trò biến x; y; z P không Lời giải đúng: Có + y2 ≥ 2y vớ mọ y nên 1+ x 2(1+ x ) 2(1+ x )   1+ y+ z 2 + y+ z 2(1+ z ) + (1  y ) 1+ y (1+ y ) 1+ z 2(1+ z )  ;  Tương tự 1+ z+ x 2(1+ x ) + (1  z ) 1+ x+ y 2(1+ y ) + (1  x ) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 23 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 1+ x 1+ y 1+ z P= + + 1+ y+ z 1+ z+ x 1+ x+ y  1+ x  1+ z  + 1+ y  + 1+ y  1+ x  + 1+ z  + 1+ z  1+ y  + 1+ x  =M 2 Đặt 1+ x = a; 1+ y = b; 1+ z = c(a, b, c  0) 2a 2b 2c c a b + + Đặt N = + + Lúc M = 2c+ b 2a+ c b+ a c+ b a+ c b+ a b c a H= + + Khi N+ H = 2c+ b 2a+ c b+ a 2a+ c b+ a 2c+ b + + 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có M+ N = 2c+ b 2a+ c b+ a (4) suy M+ N  M b+ a 2c+ b 2a+ c M + +  , suy H+  (5) Lại có H+ = 2c+ b 2a+ c b+ a Cộng vế theo vế bất đẳng thức (4) (5) ta có 9M 15 +  N+ H   Mà N+ H = nên M  Từ suy P  Dấu “=” xảy x = y = z = F/ Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải Bài Cho a, b, c độ dà ba cạn tam g ác C ứng m n a +b4 +c4   a b2 +b2c2 +c2a  Lời giải sai Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên b - c < a  b -2bc + c < a  b +c - a < 2bc   b + c - a  <  2bc   b + c + a + 2b 2c - 2b 2a - 2c 2a < 4b 2c 2  a + b + c <  a 2b + b 2c + c 2a  Lời giải chưa? Nếu chưa, giải đúng? Phân tích sai lầm: Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế BĐT mà điều kiện hai vế không âm Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 24 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 2 2 2 Lờ g ả c ưa từ b + c - a  bc   b + c - a    bc  sa c ẳng ạn 2 2    2   12 (sa ) Lưu ý c ỉ bìn p ương a vế BĐT k a vế k ông âm Lời giải Vì a b c độ dà ba cạn tam g ác nên b- c  a  b+ c   b- c   a   b+ c  2  b2 - bc+ c2  a  b2 + bc+ c2  2 bc  a - b - c  bc  a - b2 - c2  bc   a - b - c2    bc  2  a + b + c4 - 2a b - 2c 2a + b 2c  b 2c  a + b + c   a b + c 2a + b 2c  Bài C o a số x; y t oả mãn x > y xy = Tìm g trị n ỏ n ất b ểu x + y2 t ức A= x-y Lời giải sai x + y x - xy+ y + xy  x- y  + xy A = = = Ta có x- y x- y x- y Do x > y xy = nên Biết a > a+ Do A =  x- y  A= 2 xy = x- y+ x- y x- y + x- y  (BĐT Côsi) a x- y x- y x- y + +  2+ x- y 2 Vậy A có giá trị nhỏ x- y + =2 x- y   x- y  + =  x- y    x- y  -  x- y  + = 2 Giải phương trình nghiệm x – y = Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 25 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục  x- y = Do ta có hệ phương trình sau  , nghiệm hệ phương trình  xy =  x; y  = 1+  2;-1+ ;  x; y  = 1- Vậy giá trị nhỏ A A =  2;-1- (Thoả mãn điều kiện ra) x- y + = + = 2 6+ 6- 6-2 ; y= = A = 2  có x > y; xy = 2 Nhưng với x = Tại lại thế? Phân tích sai lầm: Chứng minh f  m (hay f  m ), khẳng định giá trị nhỏ (hay lớn nhất) f m mà không m số Rõ ràng lờ g ải sai: Vì A  + x- y x- y mà c ưa ằng số Sa lầm sa 2 lầm bước đán g f  m n ưng m k ng ằng số Lời giải x + y2 x - xy+ y + xy  x- y  + xy 2 A= = = = (x- y) +  (x- y) 2 x- y x- y x- y x- y x- y 2 ) x- y ( p dụng BĐT C s c o a số dương x – y  x - y = x-y Dấu “=” xảy    xy =1  Gả 6+ 6 ; y= t oả mãn đề bà 2 ệ tìm x = 2 Bài Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức A = x - x+ + x - x- Một học sinh lên bảng làm sau: 2   11 1 Ta có A = x - x+ + x - x- = x - x+   + + x - x+   2 2 2 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 26 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 2 11 11   11   =  x-  + +  x-  -  A        2 4 4  2 1 1  Đẳng thức xảy   x -  =  x - =  x  2 2  Vậy giá trị nhỏ A x  Bình luận: Trong lớp có hai nhóm đưa nhận xét khác nhau, nhóm thứ cho lời giải bạn học sinh “có vấn đề”, nhóm thứ hai hoàn toàn trí với lời giải Còn bạn, bạn đứng nhóm nào? Tại sao? Phân tích sai lầm: Hiểu sai nhiều loại BĐT A + m  m Bạn ọc s n có bước g ả sa lầm 2  11   11     x -  + + x -  -  2  2 4  2  1 ng t ể suy  x-  -    2  1 Ta t  x-  -   vớ mọ x n ưng k  2 2 9  1  1 C ẳng ạn x = t ì  x-  - =  -  - = - = -2   4  2  2 Lưu ý từ a  b suy a  b a  b  Lời giải đúng: 2   11     11   A =  x-  + +  x-  - =  x-  + + -  x-   2  2 4  2  2 2 11   11     x-  + + -  x-    5 4  2 4  2 Do A đạt g trị n ỏ n ất Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 27 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 2  2 11    2   1   11   x-  +   -  x-       x-   (vì  x-    x       2  2    1  x     2 Bài Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức P = x -1 x +1 “Lời giải hay” 2 Ta có x  với x, suy x -1  1 x +1  2 Suy P =  x -1 x +1   1  1  P  1   x -1 = -1  x  Dấu “=” xảy  x +1 =   Vậy P đạt giá trị nhỏ -1 x = Sai lầm đâu? Phân tích sai lầm: Vận dụng sai tính chất BĐT nhân hai BĐT chiều mà điều kiện hai vế không âm C ỗ sa lờ g ả n ân a vế bất đẳng t ức c ều k có n ững vế n ận g trị âm c ẳng ạn > -2 > -3 n ưng 5.(-2) < 3.(-3) Lời giải đúng: 2 Lờ g ả k đơn g ản: P =  x -1 x +1 = x 1  1  P  1 Dấu “=” xảy k c ỉ k x   x  Vậy g trị n ỏ n ất P -1 g trị đạt k c ỉ k x = Bài Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức P = x- xy + y- x +1 “Lời giải dễ hiểu” Điều kiện x  0; y  Ta có P=x-2 xy+3y-2 x +1 = =    x- y  1 x - y -1 + y- y + - = 2 +1-    x - y -2 y +2y  x - y -1 +  Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 28  1 y -1 2 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Từ đánh giá P = - 1 y= ; x= 4 Lời giải „logic”, liệu bạn có chấp nhận không? Phân tích sai lầm: Xác định sai điều kiện biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết sai Bà toán sa từ đ ều k ện đ ều k ện x  0; xy  T ật x = t ì y tùy ý k P = 3y + k ng đạt g trị n ỏ n ất y n ỏ tùy ý nên P n ỏ tùy ý Do sa từ đ ều k ện nên lờ g ả bà toán t ếu trường ợp Lời giải đúng: Đ ều k ện x  0; xy  Xét trường ợp: *Trường ợp 1: x  0; y  Đ ều k ện x  0; y  Ta có P = x- xy + y- x +1 = =   x- y  1 x - y -1 + y- y    2   +1-   x - y -2 y +2y  x - y -1 + 1 y= ; x 4 *Trường ợp 2: x = 0, y tùy ý k P = 3y + k   1 y -1  2 Từ đán g P   ng đạt g trị n ỏ n ất y n ỏ tùy ý nên P n ỏ tùy ý KL c ung: B ểu t ức P k ng đạt g trị n ỏ n ất  x+ y = m (I) Bài Cho  x, y  ng ệm ệ p ương trìn  2 x + y = - m + Tìm g trị lớn n ất g trị n ỏ n ất b ểu t ức F = xy+  x+ y    x+ y = m  x+ y = m   “Lời giải hay”: Từ hệ (I) ta có  2 xy = m2 - x+ y xy = m +      Khi F = m - + m =  m+1 - Ta thấy  m+1 -  4 , dấu “=” xảy  m = -1 nên minF = -  m = -1 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 29 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Mặt khác dễ thấy m lớn F =  m+1 - lớn, biểu thức F không đạt giá trị lớn Bài toán có lỗ hổng không? Nếu có nằm đâu? Phân tích sai lầm: Ngườ làm toán k ng để ý đ ều k ện để ệ p ương trìn x + y = S  có ng ệm  xy = P S  P k ng xác địn đ ều k ện m để ệ có ng ệm Tìn uống F  4  m = -1 c ỉ may mắn n ưng k ng c ấp n ận kết luận b ểu t ức F k ng đạt g trị lớn n ất sa lầm Lời giải đúng:  x+ y = m Trước ết ta tìm đ ều k ện m để ệ (I) có ng ệm (I)    xy = m -   2 Đ ều k ện để ệ (I) có ng ệm m  m -  -3m +12   2  m  K F = m2 - + m =  m+1 - Ta t  m + 1   4 dấu “=” xảy k c ỉ k 2 m = - (T oả mãn 2  m  ) nên F = 4 k c ỉ k m = - Mặt k ác đặt f  m  = m + 2m - + C ỉ m   2;  1 t ì àm số f  m  ng ịc b ến nên max F = f(-2) = 3 (1) + C ỉ m   1; 2 t ì àm số f  m  đồng b ến nên max F = f(2)  Từ (1) (2) suy max F = f(2)  Kết luận: Vậy minF = -  m = -1; max F   m  Bài Tìm g trị n ỏ n ất àm số f  x  = x - x+1 + x - x+1 vớ x  R Cách giải hay? Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 30 (2) Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục 2 2  3 1  1  3  +  x +   Đưa hàm số dạng f  x  =  x-  +        2 1 3  1 Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm A  ,  , B  ,  C  x,  2   2 Khi f  x  = CA+ CB Vì CA+ CB  AB Trong   1  1 1 3 AB =  -  +    Suy f  x  = 2 2     2   -1 Bài toán giải phương pháp đại số khó khăn giải phương pháp hình học “khá đơn giản” phải không bạn? Còn bạn giải toán nào? Phân tích sai lầm: Sử dụng mặt phẳng toạ độ việc chọn điểm chưa phù hợp Trước ết ta n lạ kết sau: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B đường thẳng (d) qua điểm C Khi đó: a) Nếu A, B phía so với (d) CA + CB đạt giá trị nhỏ (GTNN) C giao điểm AB’ với (d) (trong B’ điểm đối xứng B qua (d)), lúc CA + CB = AB’ b) Nếu Nếu A, B khác phía so với (d) CA + CB đạt GTNN C giao điểm AB với (d), lúc CA + CB = AB 1 3  1 Trong lờ g ả c ọn A  ,  , B  ,  a đ ểm p ía so vớ 2   2 trục oành Đoạn AB k CA+ CB  AB k ng cắt trục Ox dấu “=” bất đẳng t ức ng xảy (k ng tồn tạ đ ểm C’ Ox cho C’A + C’B = AB ng ĩa CA+ CB  AB nên v ệc kết luận f  x   sa lầm Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 31   1 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục Khắc phục sai lầm: 1  1 3 ,   C  x,   , B'  2 2    Xét ệ trục tọa Oxy c ọn A  , 2  1  3       Ta có f  x  = CA+ CB'  AB' (trong AB' =    )  2  2  nên f  x     x  R  Đẳng t ức xảy k số c o g trị đạt k x =  Do GTNN àm c ỉ k x  1 Bài Cho a số cố địn x, y n ững số b ến t ên Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức P =  x- y+1 +  x+ ay+ 5 2 Lời giải sai: Do  x- y+1  0,  x+ ay+ 5  nên P  Do P  Giá trị  x- y+1 = đạt hệ  2 x+ ay+ = (I) có nghiệm  x = y-1 x = y-1  x- y+1 =       Ta có    a+  y = -3 (*) 2 x+ ay+ = 2  y-1 + ay+ =  Hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Điều xảy a +  hay a  - Vậy Min P = 0khi a  4 Nhưng đầu có cho a  4 không? Phân tích sai lầm: Không xét hết trường hợp toán mà kết luận Bài toán cần xét hai trường hợp, lời giải trường hợp a  4 , ta cần xét thêm trường hợp a = - Lời giải đúng: Do  x - 2y + 1  0,  2x + ay + 5  nên P  Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 32 Sai lầm thường gặp giải toán cưc trị đại số cách khắc phục  x- y+1 = a) MinP  hệ  2 x+ ay+ = (I) có nghiệm  x = y-1 x = y-1  x- y+1 =       Ta có    2 x+ ay+ = 2  y-1 + ay+ =  a+  y = -3 (*) Hệ (I) có nghiệm phương trình (*) có nghiệm Điều xảy a+  hay a  - b) Với a = - , P =  x- y+1 +  x- y+  2 Đặt t = x- y+1  6 9 Ta có P = t +  t+ 3 = t +12 t+ =  t+     5 5 2 Suy P = 11 t = - hay x- y   5 Vậy: + Nếu a  4 MinP  + Nếu a = - MinP  Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 33 ... “=” xảy  x +1 =   Vậy P đạt giá trị nhỏ -1 x = Sai lầm đâu? Phân tích sai lầm: Vận dụng sai tính chất BĐT nhân hai BĐT chiều mà điều kiện hai vế không âm C ỗ sa lờ g ả n ân a vế bất đẳng t... = giá trị lớn x + x- E Dạng sai lầm thứ năm Nhầm tưởng vai trò biến nên thứ tự ẩn Bài Tìm g trị n ỏ n ất b ểu t ức A = x y z + + vớ x, y, z  y z x Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x  y... Nếu chưa, giải đúng? Phân tích sai lầm: Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế BĐT mà điều kiện hai vế không âm Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 24 Sai lầm thường gặp giải toán cưc