BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG RÈN LUY ỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC T CHO Ư DUY HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GI ẢI TÍCH Chuyên ngành: Lý luận ph ương pháp giảng dạy môn Toán Mã s ố: 62 14 01 11 LUẬN ÁN TI ẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO D ỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TRẦN KIỀU TS NGUYỄN VĂN THUẬN NGHỆ AN - 2014 QUY ƯỚC VỀ CÁC CH Ữ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG LUẬN Viết tắt Viết đầy đủ ĐC : Đối chứng GV : Giáo viên HS : Học sinh NXB : Nhà xu ất SGK : Sách giáo khoa TN : Thực nghiệm tr : Trang THCS : Trung học sở THPT : Trung học phổ thông MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương CƠ SỞ LÝ LU ẬN VÀ TH ỰC TIỄN 1.1 Một số vấn đề khái quátềvtư t toán học 1.1.1 Khái niệm tư 1.1.2 Đặc điểm tư 1.1.3 Một số vấn đề tư toán học 11 1.2 Thao tác ưt 12 1.2.1 Mối quan hệ hành động tư thao tác tư 12 1.2.2 Phân tích - T hợp 15 1.2.3 So sánh 22 1.2.4 Tương tự hóa 24 1.2.5 Trừu tượng hóa - Khái quát hóa 28 1.2.6 Đặc biệt hóa 37 1.2.7 Mối liên hệ thao tácư tduy 39 1.3 Kỹ thực thao tácư tduy 41 1.3.1 Kỹ 41 1.3.2 Kỹ thực thao tácư tduy 44 1.3.3 Các cấp độ kỹ thực thao tácư tduy 44 1.4 Một số đặc điểm học sinh Trung học phổ thông 45 1.4.1.Đặc điểm hoạt động học tập 45 1.4.2 Đặc điểm phát triển trí tuệ 46 1.4.3 Một số đặc điểm nhân cách chủ yếu 46 1.5 Khảo sát thực trạng việc thực thao tácư tduy dạy học trường Trung học phổ thông 47 1.5.1 Mục đích 47 1.5.2 Đối tượng khảo sát 47 1.5.3 Hình thức khảo sát 47 1.5.4 Kết khảo sát thực trạng 47 1.6 Kết luận chương 58 Chương MỘT SỐ BIỆN PHÁP S Ư PHẠM GÓP PH ẦN RÈN LUY ỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC T Ư DUY CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GI ẢI TÍCH 60 2.1 Định hướng xây d ựng th ực biện pháp .60 2.2 Một số biện pháp ưs phạm góp ph ần rèn luyện kỹ thực thao tácư t cho học sinh dạy học Đại số Gi ải tích 60 2.2.1 Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích n ội hàm ngo ại diên ủca khái niệm toán học, khả vận dụng khái ệnim vào vi ệc giải vấn đề toán học 60 2.2.2 Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh làm rõ ý ngh ĩa yếu tố cho giả thiết tìm khả vận dụng định lý 69 2.2.3 Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh diễn đạt cácđịnh nghĩa, định lý gi ải toán theo cách khác 80 2.2.4 Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm dấu hiệu chung b ản chất yếu tố quan h ệ một lớp toán 97 2.2.5 Biện pháp 5: Tạo hội cho học sinh luyện tập kỹ tương tự hóa trình giải toán 111 2.2.6 Biện pháp 6: Khuyến khích học sinh đề xuất toán ơc sở khai thác toánđã cho 117 2.2.7 Biện pháp 7: Xây dựng số tình có ch ứa lời giải toán ớvi sai lầm, hướng dẫn học sinh phân tích để giúp họ nhận sai ầlm thường gặp, qua tìm biện pháp dạy học thích hợp để khắc phục 128 2.3 Kết luận chương 143 Chương THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 145 3.1 Mục đích thực nghiệm 145 3.2 Tổ chức n ội dung thực nghiệm 145 3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 145 3.2.2 Nội dung thực nghiệm 146 3.3 Đánh giáếkt thực nghiệm 152 3.3.1 Đánh giáđịnh tính 152 3.3.2 Đánh giáđịnh lượng 154 3.4 Kết luận chương 160 KẾT LUẬN 161 TÀI LIỆU THAM KHẢO 163 PHẦN PHỤ LỤC 171 MỞ ĐẦU LÝ DO CH ỌN ĐỀ TÀI Để tồn phát triển, người có nhu c ầu yêu cầu phải nhận thức vật, tượng k ể Nói cách khác, người cần phải tư Mỗi vật hi ện tượng có nh ững dấu hiệu, thuộc tính, cần phải biết phân tích, so sánh tổng hợp để tìm dấu hiệu, thuộc tính chất ựs vật tượng hướng tới mục đích nhận thức Quá trình nhận thức ũcng phải tiến hành thao tácưt khác tương tự hóa, tr ừu tượng hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa để có tri thức đầy đủ, xác ựs vật hay tượng Quá trình nhận thức nói kết tư Trong học tập nói chung, h ọc tập toán nói riêng,để hình thành m ột khái niệm, người học phải suy nghĩ, phân tích để tìm thuộc tính khái niệm, thuộc tính thu ộc tính chất, thuộc tính đặc trưng, phân chia khái niệm thành phận theo thuộc tính để hiểu khái niệm cáchđầy đủ, sâu s ắc hơn, Nhờ phân tích, ng ười tách thuộc tính cácđối tượng, nh tổng hợp, người hợp thuộc tính chất, tách chúng khỏi thuộc tính l ại, không b ản chất, đưa thuộc tính chất vào m ột thể thống nhất, khái niệm Để tiếp thu định lý, HS ph ải biết phân tích giả thiết k ết luận định lý, cách chứng minh định lý v ận dụng định lý vào gi ải tập cụ thể, Khi giải t ập, HS phải biết phân tích c ấu trúc t ập đó, cho phải tìm, huy động kiến thức liên quanđể tìm cách giải t ập, so sánh cáchả igiđể tìm lời giải tối ưu, từ trường hợp đặc biệt có th ể khái quát hóađể tìm toán tổng quát, Từ có th ể thấy, trình học toánđòi h ỏi học sinh phải thường xuyên thực thao tácư tduy phân tích, t hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, Chính vậy, nhiệm vụ quan trọng việc giảng dạy toán dạy cách nghĩ, dạy tư duy, dạy cho học sinh biết loại thao tác tư duy, ý ngh ĩa tác dụng loại thao tác, mối quan hệ thao tác, cách thức phối hợp thao tác ưTduy phải phát triển trình học thông qua vi ệc thường xuyên rèn luyện, mà tr ước hết rèn luyện thao tác tư Rèn luyện thao tácư tduy quan niệm đầy đủ đắn, hoạt động ph ụ thuộc yếu tố nào, v ề mặt sư phạm nênđược tổ chức nh ững vấn đề quan trọng cần nghiên ứcu Đây nh ững vấn đề thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học Vai trò quan tr ọng thao tácư tduy yêu cầu phải rèn luyện thao tácđó c ần thiết nêu trên, thực tiễn giảng dạy toánở trường phổ thông ch ưa ý thích đáng Tác ảgiluận án công việc phải đảm nhiệm có nhi ều hội tiếp cận thực tiễn dạy học toán thông qua dự giờ, trao đổi ýki ến với giáo viên,ọhc sinh, qua nghiên ứcu báo cáoề tìnhv hình giảng dạy học tập số trường rút số nhận xét chung, là: M ột số giáo viên nhận thức vai trò, ý ngh ĩa, tác dụng tư duy, thao tácư tduy h ạn chế Một số giáo viên khácặ cmdù nhận thức vai trò, ý ngh ĩa, tác dụng thao tácư tduy chưa thực cách có kết nhiệm vụ dạy cách ưt cho học sinh học toán.Đặc biệt, số giáo viên lúng túng trình dạy học thực yêu ầcu rèn luyện thao tácư tduy cho học sinh Những vấn đề đặt lý lu ận t thực tiễn nói cần nghiên ứcu lĩnh vực phương pháp dạy học toán học Phân môn toán c ũng đòi h ỏi phải rèn luyện cho HS thực thao tác ưt duy, nhiên luận án này, lựa chọn Đại số Gi ải tích lý sau đây: - Đại số, đặc biệt Gi ải tích trường THPT có nhi ều khái niệm khó quan trọng gắn liền với phạm trù vô h ạn, với đại lượng vô bé khái niệm giới hạn dãy s ố, giới hạn hàm s ố, đạo hàm, nguyên hàm, Để hiểu khái niệm m ối quan hệ chúng đòi h ỏi học sinh phải biết phân tích n ội hàm xác định rõ ngo ại diên ủca chúng Điều c ũng liên quan ớti việc phát dấu hiệu chung b ản chất khái niệm, nhận dạng khái niệm hình thành mối quan hệ khái ệnim hệ thống - Một số định lý c Đại số Gi ải tích có c ấu trúc phức tạp, có nhi ều ứng dụng giải toán thực tiễn, chẳng hạn định lý v ề dấu tam thức bậc hai, định lý v ề giá trị trung gian hàm liên tục, cácđịnh lý v ề giới hạn hữu hạn dãy s ố, hàm s ố, Dạy học nội dung đòi h ỏi phải làm rõ ý ngh ĩa yếu tố cho giả thiết, xácđịnh cấu trúc lôgic kh ả vận dụng định lý - Mạch toánứng dụng tăng cường trường THPT, đặc biệt m ột số yếu tố đại số tổ hợp, xác suất th ống kê.Đối với HS, khái ệnim thuộc chủ đề m ới khó, toán đếm đa dạng, phong phú đời sống thực tiễn, có th ể giải theo nhiều cách khác nhau, HSặgp nhiều sai lầm Do đó, d ạy học chủ đề thích h ợp với việc phát dấu hiệu chung b ản chất toán, nhìn toán ướdi nhiều góc độ, tìm nguyên nhân sai lầm lời giải cách khắc phục, Nhìn bề ngoài, Đại số Gi ải tích có v ẻ giống nhau, thực chúng khác chất Trong Đại số gắn liền với bất biến, hữu hạn vô h ạn - đếm Giải tích lại nghiên ứcu cácđại lượng biến thiên, liênụct gián đoạn, có l ực lượng vô h ạn không đếm Nếu GV không phân tích k ỹ, đầy đủ, sâu s ắc, việc dạy Giải tích bị "Đại số hóa", h ạn chế nhiều đến khả tư HS độ tuổi trưởng thành - chuy ển từ việc nhìn giới theo quan điểm "tĩnh" sang quan điểm "động" Đã có nhi ều công trình nghiên cứu tư duy, kỹ học toán cho HS có bàn đến thao tácư tduy [6], [8], [36], [44], [50], [52], [61], [103], chưa có công trình nghiên c ứu cách ươtng đối hệ thống đầy đủ việc rèn luyện kỹ thực thao tácư tduy trình học toán,đặc biệt Giải tích Đại số cách thức rèn luyện thao tácđó Vì nh ững lý trên, lựa chọn đề tài: "Rèn luyện kỹ thực thao tácưt cho học sinh Trung học phổ thông d ạy học Đại số Gi ải tích" với mong muốn trình bày m ột cách có hệ thống mặt lý lu ận th ực tiễn vấn đề thao tác ưt nêu số biện pháp rèn luyện thao tácđó, góp ph ần nâng cao ch ất lượng dạy học môn Đại số Gi ải tích trường THPT TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN C ỨU THUỘC LĨNH VỰC ĐỀ TÀI Vấn đề tư thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều ngành khoa h ọc nhiều nhà khoa h ọc giới Tư không ch ỉ nghiên ứcu phương diện triết học mà nghiên ứcu nhiều phương diện khác Lôgic h ọc, Xã h ội học, Sinh lý h ọc, Tâm lý h ọc, Lý lu ận dạy học, Triết học nghiên cứu tư góc độ lý lu ận nhận thức Lôgic h ọc nghiên cứu tư góc độ quy ắtc tư Xã hội học nghiên ứcu tư phát triển trình nhận thức chế độ xã h ội khác Sinh lý học nghiên ứcu chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách tảng vật chất trìnhư tduy người Điều khiển học nghiên ứcu tư để có th ể tạo “Trí tu ệ nhân t ạo” Tâm lý h ọc nghiên ứcu diễn biến trình ưt duy, mối quan hệ qua lại cụ thể tư với khía cạnh khác ủca nhận thức Tư nhận thức cảm tính, nhà tâm lý h ọc X L Rubinstein viết: “N ội dung cảm tính có t trừu tượng, tựa hồ làm thành ch ỗ dựa cho tư duy” Tư m ột trình tâm lý, nghĩa t có n ảy sinh, diễn biến k ết thúc Quá trìnhưt bao gồm nhiều giai đoạn nhà tâm lý h ọc K K Platônôp minh h ọa sơ đồ [102, tr 116]: Nhận thức vấn đề Xuất cá liên tưởng Sàng lọc liên tưởng hình thành giả thuyết Kiểm tra giả thuyết Khẳng định Phủ định Chính xá hóa Tìm giả thuyết Giải vấn đề Hành động tư Tuy nhiên, tính giaiđoạn trình ưt phản ánhđược mặt bên ngoài, cấu trúc bên ủca tư duy, n ội dung bên giai đoạn trình ưt lại m ột trình phức tạp, diễn ơc sở thao tác ưt duy, g ọi thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr 116] 2.1 Tình hình nghiên ứcu nước Một số tác giả nước đề cập đến thao tác ưt duy, nêuđịnh nghĩa số thao tác mối quan hệ chúng, chẳng hạn như: G Polya cho thao tác ưt bao gồm phân tích, t hợp, so sánh, tương tự hóa, khái quát hóa,đặc biệt hóa [77] Ông c ũng đưa số ví dụ toán học minh họa cho thao tácđó G Polya [75] đưa quy trình bước để giải toán, bước tác giả đưa gợi ý, thao tác phân tích, tổng hợp liên tiếp, đan xen để thực bước trình giải toán Có thể thấy giải toán, thao tác phân tích vàổngt hợp thường gắn bó kh ăng khít với Trong phân tích có t hợp (tổng hợp thành ph ần) trình tổng hợp phải có phân tích ( đảm bảo tính lôgic tính định hướng trình ổtng hợp) M N Sácđacôp cho r ằng: tư thực phát triển hình thức riêng ủca nó: phân tích, t hợp so sánh; trừu tượng hóa, khái quát hóa c ụ thể hóa; quy n ạp, diễn dịch t ương tự; phát mối liên hệ quan hệ; hình thành nh ững khái niệm, phân lo ại h ệ thống hóa chúng [82], [83] Những ví dụ ông nêu [82], [83] không thu ộc toán học Trong [103], Đào V ăn Trung có nói đến lực khái quát hóa vàđưa số ví dụ toán học 2.2 Tình hình nghiên ứcu nước Trong nước chưa có công trình c tác ảgiđề cập đến định nghĩa thao tác ưt mà ch ỉ nêu lên thao tácư duyt bao gồm thao tác nào, nêu định nghĩa số thao tác mối quan hệ chúng, chẳng hạn như: Các nhà tâm lý h ọc công trình [94], [95], [106], [107], [108] cho thao tác ưt bao gồm phân tích, t hợp, so sánh, trừu tượng hóa khái quát hóa Nguyễn Bá Kim không gọi thao tác tư mà g ọi hoạt động trí tuệ bản, bao gồm phân tích, t hợp, so sánh, ươtng tự hóa, tr ừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa [52], [54] Hoàng Chúng cho thao tác ưt bao gồm phân tích, t hợp, so sánh, khái quát hóa, ừtru tượng hóa c ụ thể hóa [8] Trong Giáo dục học môn Toán, tácảgicó đề cập đến trừu tượng hóa, khái quát hóa đặc biệt hóa [33] Qua tìm hiểu số công trình nh nêuở trên, thấy: - Quan niệm thao tácư tduy chưa quán - Chưa làm rõ th ứ tự để tiến hành thao tácưt - Chưa cụ thể hóa thao tácưt biểu dạy học Toán - Chưa có đánh giáềvthực trạng việc thực thao tácư tduy trường Trung học phổ thông m ột cách toàn diện c ụ thể - Thiếu biện pháp dạy học cụ thể nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ thực thao tácư tduy 2.3 Định hướng nghiên ứcu tác giả - Đưa trật tự để tiến hành m ột số thao tác ưt - Đưa quan niệm rèn luyện kỹ thực thao tácư tduy cho học sinh Trung học phổ thông - Tìm hiểu thực trạng việc thực thao tácư tduy GV HS Trung học thông qua d ạy học môn Đại số Gi ải tích - Xây d ựng số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ thực thao tác ưt cho học sinh Trung học phổ thông - Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi biện phápđề xuất MỤC ĐÍCH NGHIÊN C ỨU Mục đích luận án nghiên ứcu để làm sáng tỏ thao tácư tduy khía cạnh: khái niệm, vai trò, tính ph ổ dụng nhận thức nói chung giáo dục toán học nói riêng, đồng thời nghiên ứcu để xây d ựng biện pháp nhằm rèn luyện cho HS kỹ thực thao tác ưt NHIỆM VỤ NGHIÊN C ỨU Luận án có nhiệm vụ làm sáng tỏ vấn đề sau: - Quan niệm thao tác ưt duy, loại thao tác ưt duy, cần thiết phải ýrèn luyện chúng; - Xem xét thao tácưt từ bình diện hoạt động; - Các thao tácư tduy dạy học toán; - Thực trạng rèn luyện thao tácư tduy dạy học toánở THPT; - Đề xuất biện phápdạy học để rèn luyện cho HS kỹ thực thao tác ưt duy; - Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khảthi tính hi ệu biện phápđã đề xuất GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu xây d ựng số biện pháp ưs phạm hợp lý, kh ả thi, có c sở khoa học xácđángthì có th ể phát triển kỹ thực thao tácư tduy cho HS, góp phần nâng cao ch ất lượng dạy học môn Đại số Gi ải tích trường THPT PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU 6.1 Nghiên ứcu lý lu ận: Tìm hiểu, nghiên ứcu tài liệu nước vấn đề có liên quan đến đề tài 6.2 Điều tra, quan sát: Nhận thức th ực trạng dạy học giáo viên toán THPT bồi dưỡng kỹ thực thao tácư tduy cho HS 6.3 Thực nghiệm sư phạm III) Tiến trình dạy học Hoạt động giáo viên HS Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Hình thành quy t ắc cộng 1) Quy tắc cộng GV: Chia làm nhóm l ớp, sử Giả sử công vi ệc có th ể thực dụng phiếu hỏi cho nhóm theo phương án A phương án B Có n Câu h ỏi cho nhóm 1: M ột trường cách thực phương án A m cách thực THPT cử HS dự trại hè phương án B Khiđó công vi ệc có th ể toàn qu ốc Nhà tr ường định chọn thực n+m cách HS tiên tiến lớp 11A2 Tổng quát:Giả sử công vi ệc có th ể lớp 11D1 Hỏi nhà tr ường có thực theo k phương án A1, A2 ,…, Ak Có cách chọn, biết lớp 11A2 có 35 HS m1 cách thực phương án A1 , m2 cách thực tiên tiến, lớp 11D1 có 40 HS tiên tiến? phương án A2 , , mk cách thực theo Câu h ỏi cho nhóm 2: Trên giá sách có phương án A Khi công vi ệc có th ể sách Lý sách Toán Lấy sách btấ kỳ giá,ỏhi k thực m1 + m2 + …+ mk cách có cách? Công vi ệc A Mỗi nhóm chu ẩn bị phút đưa đáp án GV: Cả hai toán cóđặc điểm Phương án A Phương án A2 m1 m2 cách Phương án A k chung gì? Dự kiến HS trả lời: Đếm số cách thực công vi ệc M ỗi công việc có hai ph ương án thực GV: Chúng ta mô t ả công việc sau: Việc tính toán hai ví dụ đại diện cho quy tắc đếm gọi quy tắc cộng Từ em có th ể trả lời cho Thầy quy t ắc cộng? HS: Phát biểu quy tắc GV: Chính xác hóa viết nội dung quy tắc cộng lên bảng GV: Có nh ững công vi ệc có th ể mk cách Chú ý: Để có th ể phân chia công vi ệc A thành phương án cần ý điều sau: - Dấu hiệu phân chia (c ần phải trả lời câu hỏi: Công vi ệc gì? Dựa vào d ấu hiệu mà có th ể vạch phương án vậy? Hãy ch ỉ dấu hiệu có th ể sử dụng để phân chia công vi ệc này?) - Các phương án không trùng (cần phải trả lời câu hỏi: Các phương ánđưa riêng biệt chưa? Có ph ương án trùng hay không? Có ph ương án phụ thuộc vào 192 thực theo nhiều phương án phương án khác không?) nữa, em có th ể phát biểu quy tắc - Các phương án phải đầy đủ (cần phải trả lời dạng khái quátơhn? câu h ỏi: Có ph ương án HS: Phát biểu quy tắc tổng quát phương án nêuở thực GV: Để có th ể vạch kế hoạch thực công vi ệc A hay không?) công vi ệc A em phải biết - Các phương ánđưa phải (cách phân kết công vi ệc, phải dựa vào chia nh trênđã h ợp lí chưa?) kết công vi ệc để có th ể vạch kế hoạch thế, hay nói cách khác phải dựa vào m ột tiêu chí để phân chia Không có cách n ằm phương án lại trùng với cách phương án kia, hay nói cách khác ươphng ánđộc lập với Ngoài phương án nêu ph ương án có th ể thực công vi ệc A, hay nói cách khác phân chia phải đầy đủ Hơn việc phân chia ph ải liên ụtc Hoạt động 2: Hướng dẫn HS làm ví dụ Ví dụ 1: Một lớp học có 16 HS g ồm HS GV có th ể hướng dẫn HS giải toán giỏi, HS khá, HS trung bình GV cần chia b ằng cách phân chia trường hợp 16 HS làm hai tổ, tổ có HS t ổ riêng Dấu hiệu phân chia "có có HS gi ỏi, hai HS Hãy HS giỏi, hai HS khá, tổ có phương án ủca GV? HS" Tuần tự xét ătng dần số HS giỏi Tổ tổ, từ HS có b ảng sau: Tổ TH Giỏi Khá Trung Giỏi Khá Trung bình bình Chú ý thời điểm HS ch ỉ có TH1 3 thể phân ho ạch phương án có TH2 3 TH3 2 4 TH4 3 để thực công vi ệc, s ố cách thực phương án ục thể chưa tính toánđược Để giải toán cáchđầy đủ phải 193 phối hợp với quy tắc nhân công th Tuy nhiên, vai trò hai tổ nên TH1 ức tính số tổ hợp TH trùng nhau, TH TH trùng Do ch ỉ xảy hai phương án sau: Phương án 1: Tổ gồm HS giỏi, HS HS trung bình T ổ gồm HS lại Phương án 2: Tổ gồm HS giỏi, HS Hoạt động 3: Hình thành quy t ắc nhân 2) Quy tắc nhân GV: Tiếp tục chia làm hai nhóm, s Giả sử công vi ệc bao g ồm hai giai dụng phiếu hỏi cho nhóm, chu ẩn đoạn A B Giai đoạn A có th ể làm theo n bị phút đưa đáp án cách Với cách thực giai đoạn A Câu h ỏi cho nhóm 1: Gi ả sử người giai đoạn B có th ể làm theo m cách Khiđó từ trường THPT Lê Viết Thuật sang công vi ệc có th ể thực theo n.m THPT Chuyên Đại học Vinh phải qua cách Tổng quát:Giả sử để hoàn thành m ột công trường Đại Học Vinh (sơ đồ) THPT Lê Vi t Thu t ĐH Vinh THPT chuyên H Vinh ? việc A ph ải trải qua đoạn A1, A2 ,…, Ak Có k giai m1 cách thực giai đoạn A1 , m2 cách thực giai đoạn A2 , , mk cách thực giai đoạn Ak Khi Hỏi có cáchđi từ trường THPT Lê Viết Thuật sang THPT ChuyênĐại học Vinh Câu h ỏi cho nhóm 2: L ớp 11A2 có em HS tiên tiến xuất sắc Thầy giáo ầcn công vi ệc có th ể thực theo m1.m2 …mk cách Chúng ta mô t ả sơ đồ sau: Giai đoạn A1 Giai đoạn A2 Giai đoạn Ak chọn em em giao cho ch ức lớp trưởng bí th Hỏi thầy giáo m1 cách m2 cách Công vi ệc A mk cách có cách chọn? GV: Cả hai toán cóđặc điểm Chú ý: Với cách chọn giai đoạn Ai chung? có mi +1 cách chọn giai đoạn Ai +1 hay Dự kiến HS trả lời: Đếm số cách thực nói cách khác, khôg có cách nàoở giai đoạn Ai công vi ệc, công vi ệc + lại phụ thuộc cách giai đoạn phải trải qua hai giai đoạn thực 194 GV: Việc tính toán hai ví dụ Ai đại diện cho quy tắc đếm, quy tắc nhân Em có th ể phát biểu quy tắc nhân? HS: Phát biểu quy tắc GV: Chính xác hóa ghi nội dung quy tắc nhân lên bảng GV: Một công vi ệc có th ể bao gồm nhiều hai giai đoạn hoàn thành Em có th ể phát biểu quy tắc dạng tổng quát hơn? HS: Phát biểu quy tắc GV: Chính xác hóa ghi nội dung quy tắc nhân d ưới dạng tổng quát lên bảng GV: Trở lại câu h ỏi cho nhóm , có th ể hoánđổi hai giai đoạn chọn lớp trưởng ch ọn bí thư hay không? HS: Được, cách chọn lớp trưởng có cách, chọn bí thư tương ứng hay cách chọn bí thư có cách chọn lớp trưởng tương ứng Hoạt động 4: Tìm sai lầm ờli Ví dụ 2: Có b ạn An, Nam, Hồng, Thủy cần giải sau ví dụ chọn vào chức lớp trưởng, bí thư, lớp phó GV đưa ờli giải sau, yêu cuầ HS học tập Giả sử việc chọn nhân s ự thỏa mãn tìm sai lầm ờli giải: (Bảng An không th ể l ớp trưởng, bí thư phải phụ máy chiếu) Hồng Thủy Hỏi có cách Lời giải 1: Việc chọn nhân s ự trải qua chọn? giai đoạn Lời giải: Xem việc chọn nhân s ự trải qua Giai đoạn 1: Chọn lớp trưởng có cách giai đoạn: (vì An không l ớp trưởng) 195 Giai đoạn 2: Chọn bí thư có cách Giai đoạn 1: Chọn bí thư có cách (là Hồng (Hồng Thủy) Thủy) Giai đoạn 3: Chọn lớp phó h ọc tập có Giai đoạn 2: Chọn lớp trưởng có cách (trừ bí cách (2 HS lại) thư tr An) Theo quy tắc nhân có t ất 3x2x2=12 Giai đoạn 3: Chọn lớp phó h ọc tập có cách cách (hai người l ại) Lời giải 2: Việc chọn nhân s ự trải qua Theo quy tắc nhân có t ất 2.2.2 = cách giai đoạn: chọn Giai đoạn 1: Chọn lớp phó h ọc tập có cách Giai đoạn 2: Chọn lớp trưởng có cách (không ph ải An) Giai đoạn 3: Chọn bí thư có cách (Hồng Thủy) Vậy có 4x3x2=24 cách chọn Phân tích sai l ầm lời giải 1: Giai đoạn phụ thuộc vào giai đoạn (nếu giai đoạn chọn Hồng giai đoạn cách) Phân tích sai l ầm lời giải 2: Giai đoạn phụ thuộc giai đoạn Hoạt động 5: GV yêu ầcu HS làm ví dụ Ví dụ 3: Có số tự nhiên chẵn gồm GV: Dấu hiệu số tự nhiên chẵn chữ số đôi m ột khác nhau? nh nào? HS: Chữ số tận chẵn Lời giải: Đặt E = {0;1; 2;…;9} Gọi số tự nhiên ầcn lập có d ạng abcd GV: Trong chữ số chẵn 0; 2; 6;8 TH d = 1: chữ số khác so với chữ số Giai đoạn 1: Chọn a từ E | {0} có cách; l ại? Giai đoạn 2: Chọn b từ E | {0; a} có cách; HS: Chữ số Giai đoạn 3: Chọn c từ E | {0; a;b} có cách GV: Tại lại ch ữ số ? Theo quy tắc nhân, tr ường hợp có 9.8.7 = HS: Vì chữ số không th ể vị trí đầu 504 Mỗi cách chọn cho ta số, trường tiên hợp có 540 s ố 196 GV: Vậy làm toán TH2: d ∈{2; 6;8} nào? Giai đoạn 1: Chọn d có cách; HS: Chúng ta chia làm hai trường hợp, Giai đoạn 2: Chọn a từ E | {0; d} có cách; chữ số tận s ố ch ữ số tận Giai đoạn 3: Chọn b từ E | {a; d} có cách; thuộc tập hợp {2; 6;8} Giai đoạn 4: Chọn c từ E | {a; d ;b} có cách GV: Em tìm t ất ốs có ch ữ Theo quy tắc nhân, tr ường hợp có t ất số khác mà chữ số tận 0! 4.8.8.7 = 1792 số Nếu HS chưa trả lời GV gợi ý ti ếp: Công vi ệc lập số tr ải Hợp hai trường hợp, có t ất 504 +1792 = 2296 số qua giai đoạn? (Giả sử số cần lập abcd ) HS: Trải qua giai đoạn GV: Mỗi giai đoạn có m cách ựla chọn? HS: a có cách chọn (chọn từ E ), b có cách (chọn từ E | {a}, c có cách (chọn từ GV: Vậy trường hợp có số? HS: Trường hợp có 9.8.7 = 504 số GV: Tương tự, tìm số có ch ữ số khác mà chữ số tận thuộc tập hợp {2; 6;8}! GV: Nếu trường hợp giai đoạn chọn b có cách, giai đoạn chọn a có cách hay không? T ại sao? HS: Không được, cách chọn a có th ể s ố GV: Vậy a có cách có không? HS: Cũng không giai đoạn mà b = giai đoạn có cách chọn cho a 197 GV: Như vậy, phải thực giai đoạn chọn a trước, không giai đoạn sau phụ thuộc vào giai đoạn trước GV: Hãy trình bày l ại lời giải toán! Hoạt động 6: GV hướng dẫn HS giải ví dụ Ví dụ 4: Một nhóm HS có nam n ữ GV: Dựa vào d ấu hiệu HS Chọn HS nhóm cho có nh ất nhóm cho có nh ất HS nam, em HS nam Hỏi có m cách chọn? (chỉ cần ch ỉ phương án thực phương án, không yêu ầcu tính cụ hiện! thể) HS: Có ph ương án: nam nữ, Cách 1: Có phương án (hay trường hợp) nam n ữ, nam n ữ, nam Phương án 1: nam nữ, giả sử có a cách; nữ, nam Phương án 2: nam nữ, giải sử có b cách; GV: Các em có nhận xét số Phương án 3: nam nữ, giả sử có c cách; phương án vừa ra? Phương án 4: nam nữ, giả sử có d cách; HS: Có v ẻ nhiều Phương án 5: nam, giả sử có e cách GV: Việc chọn học sinh nhóm Theo quy tắc cộng có t ất a + b + c + d + e thỏa mãn yêu cầu toán có nh ất cách học sinh nam, học sinh Cách 2: - học sinh nhóm, gi ả sử không th ỏa mãn yêu cầu toán có m cách chọn nào? - Chọn học sinh nữ nhóm, gi ải sử có n HS: Là h ọc sinh nam cách chọn GV: Hãy trình bày l ại cách ảgi - Theo quy tắc cộng, có m − n cách toán này! Hoạt động Củng cố - Công vi ệc thực nhiều phương án (nhiều khả hay nhiều trường hợp) dùng quy tắc cộng - Công vi ệc gồm nhiều giai đoạn (nhiều công đoạn, nhiều bước) dùng quy tắc nhân 198 - Nếu đếm số phần tử A có tính ch ất T khó kh ăn nhiều trường hợp (đếm trực tiếp) ta đếm số phần tử A tính ch ất T (đếm gián tiếp) l số phần tử A trừ số phần tử A tính ch ất T 199 Giáo án LUYỆN TẬP (tiết thứ 21) I) Mục đích yêu cầu 1) Về kiến thức Giúp HS hiểu rõ h ơn quy ắtc đếm, hiểu rõ h ơn khái ệnim hoán vị, chỉnh hợp t ổ hợp 2) Về kỹ HS biết vận dụng quy ắtc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào gi ải toán đếm, biết nhiều cáchđếm khác Học sinh biết khắc phục sai lầm phổ biến giải toán đếm 3) Về tư duy, tháiđộ Góp ph ần phát triển thao tác phân tích,ổtng hợp, so sánh, ươtng tự hóa, trừu tượng hóa khái quát hóa II) Phương pháp dạy học - Phát gi ải vấn đề III) Kiểm tra c ũ Câu h ỏi 1: Khi công vi ệc phân chia nhi ều phương án thực phương ánđó ph ải thỏa mãn điều gì? Câu h ỏi 2: Tình dùng ch ỉnh hợp, tình dùng t ổ hợp? IV) Tiến trình dạy học m ới Hoạt động giáo viên HS Nội dung ghi bảng Hoạt động 1: Tìm sai lầm ờli giải Luyện tập tập sau: (các tình sai lầm Bài : Hãy tìm sai l ầm ờli chuẩn bị, GV sử dụng phương tiện máy chiếu giải tập sau, tìm nguyên để hỗ trợ) nhân trình bày l ời giải đúng? Câu : Một nhóm HS 15 em g ồm HS nam Cách giải ph ạm phải sai lầm, HS nữ Có cách chọn HS giả sử nhóm cho có nh ất HS nữ {N1 ; N ; N3 ; N ; N5 ; N ; N ; N8 }, tập Lời giải: Công vi ệc chọn HS cho có hợp HS nữ trải qua giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Chọn HS nữ HS nữ, giai {n1 ; n2 ; n3 ; n4 ; n5 ; n6 ; n7 } Trong đoạn có C71 cách chọn các bạn nam bạn nữ C71 cách chọn em HS nữ giai đoạn thứ 200 tập hợp có th ể n1 , C 14 Giai đoạn 2: Chọn HS l ại nhóm, giai đoạn có C cách chọn 14 cách chọn em giai đoạn có th ể N , N , n , n , t ập Theo quy tắc nhân, có t ất C71 C144 cách chọn hợp 2 em chọn {N1 ; N , n1 , n2 ; n3 } Tuy nhiên, Câu : Một hộp bi có 12 viên gồm viên bi C71 cách chọn em HS nữ giai đoạn n2 , xanh viên bi đỏ Có cách chọn thứ có th ể viên bi hộp cho có nh ất viên bi C cách chọn em giai đoạn tiếp 148 xanh N , N , n , n , Lời giải: Công vi ệc chọn viên bi cho có theo có th ể t ập hợp emđược chọn viên bi xanh trải qua giai đoạn sau: {N ; N , n , n ; n } Nguyên nhân Giai đoạn 1: Chọn viên bi xanh viên 2 sai bi xanh, giai đoạn có C81 cách chọn lầm quan tâm Giai đoạn 2: Chọn viên bi lại hộp, giai đoạn có C cách phần tử chọn (thực tế với toán không yêu cầu đến tính thứ tự) 12 Theo quy tắc nhân, có t ất C1 C cách chọn 12 Nội dung hai câu nh nhau, sai lầm hai lời giải tương tự GV dự kiến có nhi ều HS biết ờli giải sai lầm em ẽs tìm lời giải cách phân chia ườtrng hợp riêng làm toán gián tiếp Tuy nhiên ấrt HS sai chỗ GV có th ể gợi ý nh sau: GV: Giả sử giai đoạn 1, chọn n1 , giai đoạn chọn N1 , N , n2 , n3 nhóm HS chọn bao gồm HS nào? HS: {N1 ; N , n1 , n2 ; n3 } GV: Giả sử giai đoạn 1, chọn n2 , giai đoạn chọn N1 , N , n1 , n3 nhóm HS chọn bao gồm HS nào? HS: {N1 ; N , n1 , n2 ; n3 } GV: Hai cách chọn nh nào? 201 Cách giải sai lầm phân tích t ương tự đến thứ tự câu HS: Trùng GV: Như vậy, cách chọn lời giải vi phạm điều gì? HS: Đếm lặp Hoạt động 2: Tìm nguyên nhân sai lầm trình Nguyên nhân sai lầm bày lời giải đúng! Hãy so sánh cácờ il giải HS hi ểu nhầm yêu cuầ đó! toán thứ tự phần tử GV: Nguyên nhân việc đếm lặp gì? chọn HS: Do quan tâm đến thứ tự phần tử Lời giải đúng: Đã trình bày ví dụ GV: Em có th ể trình bày l ời giải đúng? 1.19 luận án So sánh cácời lgiải trình bày ví dụ 2.12 Hoạt động 3: Tìm sai lầm ờli giải Bài : Hãy tìm sai l ầm ờli tập sau: (các tình sai lầm giải tập sau, tìm nguyên chuẩn bị, GV sử dụng phương tiện máy chiếu nhân trình bày l ời giải đúng? để hỗ trợ) Lời giải câu ph ạm phải sai Câu : Có số tự nhiên chẵn gồm lầm chỗ giai đoạn d chữ số phân bi ệt? chọn ch ữ số giai đoạn Lời giải: Đặt E = {0;1;…; 9} Giả sử số tự nhiên chữ số a có cách chọn, n ếu giai đoạn chữ số d chọn chẵn gồm chữ số phân bi ệt có d ạng abcd Xem việc lập abcd trải qua giai đoạn sau: giai đoạn chữ số a lại có Giai đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị d, giai cách chọn Tức cách chọn giai đoạn có cách chọn (vì đoạn phụ thuộc vào cách chọn giai đoạn abcd chẵn nênd chọn từ tập {0; 2; 4; 6;8}) Giai đoạn 2: Chọn chữ số hàng nghìn a, giai đoạn có cách chọn (vì a chọn từ tập E | {0; d}) Giai đoạn 3: Chọn bc từ E | {a; d}, giai đoạn có A2 cách Theo quy tắc nhân, có t ất 5.8.A82 cách Lời giải câu ph ạm sai lầm Câu : Năm học 2012-2013, trường THPT A có chỗ, thực xong giai đoạn HS nam HS n ữ trúng tuyển vào khoa X 202 công vi ệc chưa hoàn thành, trường Đại học Y Hỏi có cách xếp HS nam HS xếp em HS vào lớp khoa X nữ vào m ột lớp đó, v ẫn cho có lớp có em nam em n ữ HS l ại chưa xếp vào l ớp Biết khoa X có l ớp", nhiều HS gi ải nào, mà vi ệc xếp hai HS r ất toán sau: Lời giải: Xem việc nhiều lựa chọn xếp em HS trường THPT A vào khoa X công vi ệc trải qua giai đoạn Giai đoạn 1: Chọn lớp lớp để xếp em nam em n ữ, giai đoạn có cách chọn Giai đoạn 2: Chọn HS nam HS nam, giai đoạn có C = cách chọn Giai đoạn 3: Chọn HS nữ hai HS, giai đoạn có cách Theo quy tắc nhân, có t ất 4.3.2 = 24 cách chọn HS khó phát sai lầm ờli giải thực tế đa số emđều đưa lời giải GV phải gợi ý nh sau (chẳng hạn với câu 2): GV: Hãy xácđịnh công vi ệc toán này! GV: Trải qua giai đoạn xếp đó, m HS chưa xếp nữa? HS: Còn hai HS GV: Vậy công vi ệc nào? HS: Công vi ệc chưa hoàn thành GV: Muốn công vi ệc hoàn thành c ần phải có giai đoạn n ữa? HS: Cần phải xếp HS l ại vào l ớp lai Hoạt động 4: Tìm nguyên nhân sai lầm trình Nguyên nhân sai ầm HS bày lời giải đúng! nắm không xác điều kiện để GV: Em có th ể đưa lời giải đúng? có th ể thực quy ắtc đếm bản, không bi ết phối hợp sử dụng 203 kiến thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp dẫn đến bị đếm lặp đếm thiếu Chẳng hạn, vận dụng quy tắc nhân để tính số cách hoàn thành công vi ệc có nhi ều giai đoạn A1, A2 , An , giai đoạn thứ Ai +1 có th ể phụ thuộc vào cách th ực giai đoạn Ai Hay thực giaiđoạn để hoàn thành công việc mà công vi ệc lại chưa hoàn thành Lời giải (câu 2): (chỉ cần bổ sung thêm giaiđoạn x ếp HS l ại vào l ớp l ại, giai đoạn có 3.3 cách Theo quy ắtc nhân, có t ất 4.3.2.3.3 = 216 cách Hoạt động 5: Tìm sai lầm ờli giải Bài : Hãy tìm sai l ầm ờli tập sau: (các tình sai lầm chuẩn bị, GV sử dụng phương tiện máy chiếu giải tập sau, tìm nguyên để hỗ trợ) nhân trình bày l ời giải đúng? Câu : Có số tự nhiên gồm chữ số khác trongđó có m ặt chữ số ch ữ số 1? Lời giải: Tập hợp ốs tự nhiên gồm chữ số khác có 9.A5 phần tử Chia tập hợp Sai lầm lời giải cho câu 1: Ở cách giải này, HS dựa vào tiêuchí có làm lo ại sau: mặt hay mặt chữ số Loại 1: Có m ặt chữ số ch ữ số chữ số số tự nhiêncó Loại 2: Không có m ặt hai chữ số 1, lo ại chữ số phân bi ệt để phân chia tr ường hợp Tuy nhiên, cách phân chia có A8 số Suy ra, số ốs tự nhiên gồm chữ số khác học sinh chưa đầy đủ, thiếu loại có m ặt chữ số ch ữ số 9.A95 − A86 số 204 có mặt chữ số mặt chữ số loại có mặt chữ số Câu : Một hộp đựng 20 viên bi gồm bi xanh, mặt chữ số bi đỏ, bi vàng Ch ọn ngẫu nhiên viên bi hộp Hỏi có cách chọn để viên biđó có đủ màu? Lời giải: Công vi ệc chọn ngẫu nhiên viên biSai lầm lời giải câu phân hộp có th ể thực phương án tích tương tự sau: Phương án 1: Chỉ có màu xanh đỏ có C6 cách Phương án 2: Chỉ có màu xanh vàng có C6 cách Phương án 3: Chỉ có màu đỏ vàng có C6 15 13 12 cách Phương án 4: Có xanh, đỏ vàng: x cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có: x + C156 + C136 + C126 = C206 ⇒ x = C - C6 - C6 - C6 cách chọn 20 15 13 12 Hoạt động 6: Tìm nguyên nhân sai lầm trình Nguyên nhân sai lầm HS bày lời giải không bi ết phân chia m ột toán đếm thành trường hợp riêngđơn giản để đếm, không bi ết dựa vào tiêu chí để phân chia, không bi ết yêu cuầ việc phân chia m ột khái niệm, từ d ẫn đến sai lầm phân chia không đầy đủ trường hợp, trường hợp đưa không độc lập Lời giải đúng: (Có cách giải cho câu trình bày bi ện pháp 7) 205 Hoạt động Củng cố Để tránh saiầ ml đáng tiếc giải toán đếm, HS cần ý điều sau: - Công vi ệc thực nhiều phương án (nhiều khả hay nhiều trường hợp) dùng quy tắc cộng - Công vi ệc gồm nhiều giai đoạn (nhiều công đoạn, nhiều bước) dùng quy tắc nhân - Từ tập A lấy số phần tử mà quan tâm đến thứ tự chúng dùng chỉnh hợp, không quan tâm đến thứ tự chúng dùng tổ hợp - Phải đủ cácđiều kiện áp dụng quy ắtc - Nhìn toán nhiều góc độ để tìm cách ảgi khác ủca toán 206 ... phương trình: VT = = x - 4x + + x -1 x - + x - 5x + = (x -1 )( x - 3) + (x -1 )( x - 4) x -1 x - Phân tích v ế phải (VP) bất phương trình: VP = x - 6x + = ( x -1 )( x - 5) = x -1 x - Từ việc phân tích... học có nh ững cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức cảm tính - nhận thức lý tính, chung - riêng, cáiản bchất - không chất" [33, tr 6 0-6 1] Luận điểm nói cần vận dụng cách ục thể... nhân t x -1 Bước 4: Gắn thông tin v ừa thu nhận bước vào b ất phương trình, HS thu nhận thông tin: m ỗi vế bất phương trình có nhân t Do b ất phương trình biến đổi dạng x-3+ x -1 x - ³ x - sau