1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài + Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017, chương trình thi THPT Quốc Gia mơn Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm Bài thi gồm 50 câu với thời gian 90 phút, thời gian trung bình cho câu 1,8 phút, cần xếp hợp lí câu dễ, trung bình khó Mơn Tốn thi trắc nghiệm thay đổi lớn, ảnh hưởng trực tiếp đến cách dạy giáo viên cách học em học sinh Đối với cách thi trắc nghiệm yêu cầu em học sinh phải học rộng, phải bao quát hết kiến thức, phải có khả xử lý nhanh, tốc độ làm nhanh phải hiểu xác vấn đề để không bị mắc bẫy mà đề đặt + Các tốn hàm mũ lơgarit chiếm vị trí quan trọng việc phát triển tư duy, tính sáng tạo học sinh Do lý thú tốn nên chúng ln xuất kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào trường Đại học Cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2014, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015, năm 2016 năm Trong nội dung này, có tốn giải bất phương trình mũ lơgarit Đây tốn hay, khó, rộng đa dạng Khi gặp toán thuộc loại này, học sinh thường ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ dễ làm sai tốn + Đặc biệt chưa có tài liệu nghiên cứu bàn sâu vấn đề khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit + Trong q trình giảng dạy thực tế lớp nhiều năm học qua, tơi phát cịn nhiều học sinh thực hành kĩ giải bất phương trình mũ lơgarit cịn yếu, có nhiều học sinh chưa thực hiểu kỹ bất phương trình mũ, lơgarit, giải bất phương trình mũ lơgarit hay có nhầm lẫn hiểu sai đề bài, thực sai mục đích, chưa nắm vững phương pháp giải tổng quát cho dạng, Việc giúp học sinh nhận nhầm lẫn giúp em tránh nhầm lẫn cơng việc vơ cần thiết cấp bách, mang tính đột phá mang tính thời cao, giúp em có am hiểu vững lượng kiến thức bất phương trình mũ lơgarit tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng tốn cao Từ lí cần thiết chọn đề tài: “Khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit (Giải tích 12)” để viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích tổng kết kinh nghiệm thân, đồng thời chia sẻ đồng nghiệp trình giảng dạy giáo dục học sinh Rất mong nhận quan tâm đón nhận đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu + Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm thường gặp giải bất phương trình mũ lơgarit, làm thi mơn Tốn nói riêng kỳ thi THPT Quốc gia nói chung + Đề tài nhằm mục đích tổng kết lại số kỹ mà thường sử dụng hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn giải bất phương trình mũ lơgarit + Giúp học sinh rèn luyện kĩ tính tốn xử lý tình nhanh nhạy Từ học sinh tích lũy số kinh nghiệm thi cử đạt kết cao kỳ thi tới + Giúp học sinh tự tin có tâm lý ổn định phòng thi + Qua dịp giới thiệu trao đổi với đồng nghiệp để giúp tiến bộ, để nhận nhiều góp ý đồng nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tổng kết vấn đề: Khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit (Giải tích 12) từ gợi ý cho học sinh phương pháp học tập giai đoạn không học kiến thức mà vận dụng kiến thức vào thực tế sống, qua hình thành kỹ môn học kỹ sống 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực đề tài, sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau, như: + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, Tổng hợp kiến thức liên quan đến nội dung trình bày đề tài Tìm ví dụ nêu đề tài + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin: Tiến hành tìm hiểu số liệu thơng qua giáo viên tốn trường phổ thông, qua kiểm tra học sinh Trường THPT Vĩnh Lộc + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy thực nghiệm số buổi trường THPT Vĩnh Lộc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Bất phương trình mũ và lơgarit dạng 1: 2.1.1.1 a f ( x ) > b : +) Nếu b ≤ bất phương trình nghiệm với x cho f ( x) có nghĩa  f ( x) > log a b a > +) Nếu b > a > b ⇔  [12]  f ( x) < log a b < a < f ( x) 2.1.1.2 a ≥ b : +) Nếu b ≤ bất phương trình nghiệm với x cho f ( x) có nghĩa  f ( x) ≥ log a b a > f ( x) +) Nếu b > a ≥ b ⇔  [2]  f ( x) ≤ log a b < a < f ( x) 2.1.1.3 2.1.1.4 a f ( x ) < b : +) Nếu b ≤ bất phương trình vơ nghiệm  f ( x) < log a b a > f ( x) +) Nếu b > a < b ⇔  [12]  f ( x) > log a b < a < a f ( x ) ≤ b : +) Nếu b ≤ bất phương trình vơ nghiệm +) Nếu b > a f ( x)  f ( x) ≤ log a b a > ≤ b ⇔  [2]  f ( x) ≥ log a b < a <  f ( x) > a b a >  2.1.1.5 log a f ( x) > b ⇔  [12] b 0 < f ( x ) < a < a <  f ( x ) ≥ a b a >  2.1.1.6 log a f ( x) ≥ b ⇔  [2] b 0 < f ( x) ≤ a < a <  < f ( x) < a b a >  2.1.1.7 log a f ( x) < b ⇔  [12] b  f ( x ) > a < a <  < f ( x) ≤ a b a >  2.1.1.8 log a f ( x) ≤ b ⇔  [12] b  f ( x ) ≥ a < a < 2.1.2 Bất phương trình mũ và lơgarit dạng 2:  f ( x) > g ( x ) a > f ( x) g ( x)  a > a ⇔ 2.1.2.1 [10]  f ( x) < g ( x) < a <  f ( x ) < g ( x) a > f ( x) g ( x) 2.1.2.2 a < a ⇔  [10]  f ( x ) > g ( x) < a <  f ( x) > g ( x) > a >  log f ( x ) > log g ( x ) ⇔ 2.1.2.3 a a  < f ( x) < g ( x) < a <  < f ( x) < g ( x ) a > 2.1.2.4 log a f ( x) < log a g ( x) ⇔   f ( x) > g ( x) > < a <  f ( x ) ≥ g ( x) a > f ( x) g ( x)  a ≥ a ⇔ 2.1.2.5 [10]  f ( x ) ≤ g ( x) < a <  f ( x ) ≤ g ( x) a > f ( x) g ( x) 2.1.2.6 a ≤ a ⇔  [10]  f ( x ) ≥ g ( x) < a <  f ( x) ≥ g ( x) > a >  log f ( x ) ≥ log g ( x ) ⇔ 2.1.2.7 a a  < f ( x) ≤ g ( x ) < a <  < f ( x) ≤ g ( x ) a > 2.1.2.8 log a f ( x) ≤ log a g ( x) ⇔   f ( x) ≥ g ( x) > < a < [11] [11] [11] [11] 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đại đa số học sinh học thụ động, học thuộc lịng cơng thức cách máy móc, qn kiến thức nhanh chóng, khơng đọng lại Mà số lượng cơng thức nhiều nên khả ghi nhớ kiến thức không tốt, nhanh quên, dễ nhầm lẫn công thức với công thức khác Trong năm học vừa qua, trăn trở vấn đề mà học sinh thường mắc phải giải toán, dẫn đến kết kỳ thi thấp, chưa mong muốn Qua học sinh làm tập lớp, qua kiểm tra hình thức khác nhau, bước đầu tơi nắm sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tập Cụ thể giải toán học sinh thường mắc phải sai lầm sau: + Cách trình bày tốn khơng rõ ràng, thiếu lập luận, làm không đủ bước vội vàng kết luận, + Sử dụng cơng thức cịn sai, chưa vận dụng phù hợp công thức vào tốn cụ thể + Nhiều cịn nhìn sai đề dẫn đến làm sai toán, + Chưa khai thác hết giả thiết tốn, chưa tìm mối liên hệ giả thiết kết luận tốn, Chính học sinh khó để phát sai lầm mắc phải giải tốn Vì giáo viên phải biết học sinh mắc phải sai lầm gì, đồng thời phải liệt kê, phân loại sai lầm đưa nhiều ví dụ để chứng tỏ Sau đó, giáo viên đưa cách khắc phục, tạo niềm tin cho học sinh giải toán Các tài liệu viết khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm toán chưa nhiều, chưa sâu nghiên cứu nên chưa thực thuận lợi cho thầy trò việc dạy học loại toán này, chưa xây dựng hệ thống tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp, để học sinh có hội rèn luyện kĩ giải toán, tạo nên nhạy bén nhiều tình học tập 2.2.1 Về phía giáo viên: Quan tâm nhiều đến việc trang bị kiến thức trình bày lời giải toán cho học sinh mà chưa thực trọng việc khắc phục sai lầm cho học sinh 2.2.2 Về phía học sinh: Các em nắm kiến thức kỹ giải bất phương trình mũ lơgarit yếu, lúng túng việc lựa chọn phương pháp giải Đặc biệt có em cịn thấy nản trí giải bất phương trình mũ lơgarit, em khơng biết vận dụng kiến thức học vào giải toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong học bất phương trình mũ lơgarit cịn học sinh chưa hiểu rõ chất, khả suy luận lơgic, khả khái qt phân tích tốn cịn hạn chế Một số khơng học sinh thường sai lầm biến đổi tương đương bất phương trình, học sinh thường khơng để ý đến số dương khác 1, quên điều kiện xác định bất phương trình, Vì học sinh cịn lúng túng, khó hiểu, hay mắc vào sai lầm dẫn đến kết sai Nên chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Do dạy cho học sinh, thầy giáo cần phân tích sai lầm hay gặp phải để học sinh tránh đáp án có tính chất “bẫy” học sinh vào lựa chọn đáp án sai Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học, áp dụng đề tài lớp 12A2, 12A4 hai năm học 2015-2016, 2016-2017 Khi tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập hứng thú có hiệu Bằng cách kiểm tra, đối chứng nhận thấy chuyên đề góp phần nâng cao kĩ giải bất phương trình mũ lơgarit cho em học sinh, giúp em khắc phục sai lầm giải toán Để em đạt kết tốt kỳ thi THPT Quốc gia, xin đưa số ví dụ phân tích lỗi thường gặp em, giúp em khắc phục lỗi đó, đồng thời giúp em thấy phương pháp giải bất phương trình mũ lôgarit hay, độc đáo Ví dụ Nghiệm bất phương trình log (3x − 2) < là: A x > B x < C < x < D log < x < [2] Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: x 3 − > ⇔ 3x − > ⇔ 3x > ⇔ x > Ta có: log (3 − 2) < ⇔  x 3 − > x Vậy đáp án đáp án A Lời giải học sinh 2: Ta có: log (3x − 2) < ⇔ 3x − < ⇔ 3x < ⇔ x < Vậy đáp án đáp án B Lời giải học sinh 3: Ta có: log (3x − 2) < ⇔ −1 < 3x − < ⇔ < 3x < ⇔ < x < Vậy đáp án đáp án C Ba học sinh giải toán với ba đáp số khác (học sinh chọn đáp án A, học sinh chọn đáp án B, học sinh chọn đáp án C) Vậy người làm đúng? Nhận xét: Đây tốn giải bất phương trình thuộc dạng 2.1.1.7 Học sinh đưa điều kiện xác định đúng, đưa 3x − > sai (Vì số > ) nên chọn sai đáp án (A) Học sinh chưa đưa điều kiện xác định 3x − > nên chọn sai đáp án (B) Học sinh đưa chiều bất phương trình đúng, đưa điều kiện xác định 3x − > −1 sai nên chọn sai đáp án (C) Lời giải đúng: 3x − > ⇔ < 3x − < ⇔ < 3x < ⇔ log < x < Ta có: log (3 − 2) < ⇔  x 3 − < x Vậy đáp án đáp án D Ví dụ Tập số x thỏa mãn ( )4 x ≤ ( ) 2− x là: 3 A (−∞; ] B [ − ; +∞) 2 C (−∞; ] D [ ; +∞) [6] Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: 3 2 Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ x ≤ − x ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 2: 3 2 Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ x ≥ − x ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ Vậy đáp án đáp án D Lời giải học sinh 3: 3 2 3 Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ ( )4 x ≤ ( ) 2+ x ⇔ x ≤ + x ⇔ 3x ≤ ⇔ x ≤ Vậy đáp án đáp án A Em có nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Học sinh chưa đưa hai vế số vội đưa x ≤ − x sai nên chọn sai đáp án (C) Học sinh chưa đưa hai vế số vội đưa x ≥ − x sai nên chọn sai đáp án (D) Học sinh đưa hai vế số sai số mũ vế phải ( + x ) đưa x ≤ + x sai nên chọn sai đáp án (A) Lời giải đúng: 3 2 3 Ta có: ( )4 x ≤ ( ) 2− x ⇔ ( )4 x ≤ ( ) −2+ x ⇔ x ≥ −2 + x ⇔ 3x ≥ −2 ⇔ x ≥ − Vậy đáp án đáp án B Ví dụ Giải bất phương trình A x > B log (3x − 1) > < x 10 [5] Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: 3x − > Ta có: log (3x − 1) > ⇔  3x − < ⇔ < x ⇔ 3x − < 23 ⇔ x < Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 3: Ta có: log (3x − 1) > ⇔ 3x − > 32 ⇔ x > 10 Vậy đáp án đáp án D Ba học sinh giải toán với ba đáp số khác (học sinh chọn đáp án B, học sinh chọn đáp án C, học sinh chọn đáp án D) Vậy người làm sai? Nhận xét: Đây tốn giải bất phương trình thuộc dạng 2.1.1.5 Học sinh đưa điều kiện xác định đúng, đưa 3x − < 23 sai (Vì số > ) nên chọn sai đáp án (B) Học sinh chưa đưa điều kiện xác định đưa 3x − < 23 sai (Vì số > ) nên chọn sai đáp án (C) Học sinh đưa chiều bất phương trình đúng, đưa x − > sai nên chọn sai đáp án (D) Lời giải đúng: Ta có: log (3x − 1) > ⇔ log (3x − 1) > log 23 ⇔ 3x − > ⇔ 3x > ⇔ x > Vậy đáp án đáp án A Ví dụ Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1) A S=(2; +∞) B S = (−∞; 2) C S = ( ; 2) D S = (−1; 2) [5] Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: x +1 > Ta có: log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1) ⇔   x > −1 ⇔ ⇔ −1 < x < x + > x − x <   Vậy đáp án đáp án D Lời giải học sinh 2: Ta có: log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1) ⇔ x + > x − ⇔ x < Vậy đáp án đáp án B Lời giải học sinh 3: Ta có: log 12 ( x + 1) < log 12 (2 x − 1) ⇔ x + < x − ⇔ x > Vậy đáp án đáp án A Em có nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Đây tốn giải bất phương trình thuộc dạng 2.1.2.4 Học sinh đưa cách giải bất phương trình x + > x − , đưa điều kiện xác định thiếu ( x + > ) nên chọn sai đáp án (D) Học sinh đưa cách giải bất phương trình x + > x − chưa đưa điều kiện xác định nên chọn sai đáp án (B) Học sinh chưa đưa điều kiện xác định đưa x + < x − sai nên chọn sai đáp án (A) Lời giải đúng:  x > −1 x +1 >  log ( x + 1) < log (2 x − 1) ⇔ 2 x − > ⇔  x > ⇔ < x < Ta có:   2 2 x + > 2x −1    x < Vậy đáp án đáp án C Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình: log ( x + x − 1) > log là: A S = (−2 − 14; −2 + 14) B S = (−∞; −2 − 5) ∪ ( −2 + 5; +∞) C S = (−∞; −2 − 14) ∪ (−2 + 14; +∞) D S = (−∞; −5) ∪ (1; +∞) [10] Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1:  x < −2 − 14 Ta có: log ( x + x − 1) > log ⇔ x + x − > ⇔ x + x − 10 > ⇔   x > −2 + 14 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; −2 − 14) ∪ (−2 + 14; +∞) Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 2: Ta có: log ( x + x − 1) > log ⇔ x + x − < ⇔ x + x − 10 < ⇔ −2 − 14 < x < −2 + 14 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−2 − 14; −2 + 14) Vậy đáp án đáp án A Lời giải học sinh 3:  x > −2 + Ta có: log ( x + x − 1) > log ⇔ x + x − > ⇔   x < −2 − Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; −2 − 5) ∪ ( −2 + 5; +∞) Vậy đáp án đáp án B Em có nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Học sinh đưa cách giải bất phương trình sai từ đầu log ( x + x − 1) > log ⇔ x + x − > nên chọn sai đáp án (C) Học sinh sai từ đầu log ( x + x − 1) > log ⇔ x + x − < nên dẫn đến chọn đáp án sai (A) Học sinh không đọc kĩ đề đưa điều kiện mà vội vàng kết luận nên chọn đáp án sai (B)  x > −2 + Lời giải đúng: Điều kiện: x + x − > ⇔   x < −2 − Với điều kiện bất phương trình tương đương với: log ( x + x − 1) > log x > ⇔ x2 − 4x − > ⇔ x2 + x − > ⇔  Kết hợp với điều kiện ta được:  x < −5 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; −5) ∪ (1; +∞) x >  x < −5  Vậy đáp án đáp án D 3x + < là: 10 x − 3 C S = ( ; +∞) D S = (1; ) [4] 10 Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình: log A S=(-∞;1) ∪ ( ; +∞) 10 B S = ( ;1) ∪ ( ; +∞) Có học sinh giải tốn sau: 10 Lời giải học sinh 1: TXĐ: D = ( ; +∞) x < 3x + 3x + 2 ⇔ 3x + > 10 x − ⇔ x − 10 x + > ⇔  Ta có: log x > 10 x − 10 x − 3  Ta tập nghiệm bất phương trình cho là: S=(-∞;1) ∪ ( ; +∞) Vậy đáp án đáp án A  3x + >0  ⇔ 10 x − > ⇔ x > Lời giải học sinh 2: Điều kiện xác định: 10 x − 10 10 x − ≠  Ta tập nghiệm bất phương trình cho là: S = ( ; +∞) 10 Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 3: 3x + 3x + ⇔ 3x + > 10 x − ⇔ x − 10 x + > ⇔ < x < 10 x − 10 x − Ta tập nghiệm bất phương trình cho là: S = (1; ) Ta có: log Vậy đáp án đáp án D Các em nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Đây tốn giải bất phương trình thuộc dạng 2.1.1.7 Học sinh tìm TXĐ đúng, đưa cách giải bất phương trình giải đến x ∈ (−∞;1) ∪ ( ; +∞) không đối chiếu với điều kiện xác định nên chọn sai đáp án (A) Học sinh đọc sai u cầu tốn nên sau tìm tập xác định bất phương trình chọn sai đáp án (C) Học sinh chưa đưa điều kiện xác định q trình giải cịn sai nên chọn sai đáp án (D)  3x + >0  ⇔ 10 x − > ⇔ x > Lời giải đúng: Điều kiện xác định: 10 x − 10 10 x − ≠  x − 10 x + > ⇔ < x < x < 3x + 3x + 2 ⇔ 3x + > 10 x − ⇔ x − 10 x + > ⇔  Ta có: log x > 10 x − 10 x − 3  Kết hợp với TXĐ ta tập nghiệm bất phương trình cho là: S =( ;1) ∪ ( ; +∞) Vậy đáp án đáp án B 10 Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình: log3 (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ là: 3 A S=(- ;- ] ∪ [3; +∞) B S = (− ;3] C S = [3; +∞) D S = ( ;3] [7] Có học sinh giải toán sau: 4 x − > ⇔x>− 2 x + > Lời giải học sinh 1: Điều kiện:  (4 x − 3) ≤ ⇔ (4 x − 3) ≤ 9(2 x + 3) Ta có: log (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ ⇔ log3 2x + 3 ⇔ 16 x − 42 x − 18 ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất 3 phương trình là: − < x ≤ Tập nghiệm bất phương trình là: S = (− ;3] 8 Vậy đáp án đáp án B 4 x − > ⇔x>− 2 x + > Lời giải học sinh 2: Điều kiện:  Ta có: log (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤  x ≤ − (4 x − 3) 2 ⇔ log ≤ ⇔ (4 x − 3) ≤ 9(2 x + 3) ⇔ 16 x − 42 x − 18 ≤ ⇔   2x + x ≥  − Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình là: x ≥ Tập nghiệm bất phương trình là: S = [3; +∞) Vậy đáp án đáp án C Tại ba học sinh giải toán lại chọn ba đáp án khác nhau? Nguyên nhân sai từ đâu? Ta xem nhận xét sau: Nhận xét: Học sinh đưa điều kiện xác định giải điều kiện lại sai, cách giải bất phương trình Vì phải kết hợp với điều kiện nên sai Dẫn đến chọn sai đáp án (B) Học sinh sai điều kiện xác định, giải đến bất phương trình 16 x − 42 x − 18 ≤ sai (vì hệ số a = 16 )nên dẫn đến chọn đáp án sai (A) Học sinh đưa điều kiện xác định giải đến bất phương trình 16 x − 42 x − 18 ≤ sai nên chọn đáp án sai (C) Lời giải đúng: Điều kiện: x > Ta có: log (4 x − 3) + log 13 (2 x + 3) ≤ (4 x − 3) ≤ ⇔ (4 x − 3) ≤ 9(2 x + 3) 2x + 3 ⇔ 16 x − 42 x − 18 ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất 3 phương trình là: < x ≤ Tập nghiệm bất phương trình là: S = ( ;3] 4 ⇔ log Vậy đáp án đáp án D [log (2-x )]>0 là: Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình: log 2017 A S=(-∞;0) ∪ (0; +∞) B S = (−1;1) C S = (− 2; 2) Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: D S = (−1;0) ∪ (0;1) [log (2-x )]>0 ⇔ − x > ⇔ x < ⇔ − < x < Ta có: log 2017 Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 2: Ta có: log [log (2-x )]>0 ⇔ 2 − x > ⇔ − x > ⇔ −1 < x <  log (2 − x ) > 2017 Vậy đáp án đáp án B Lời giải học sinh 3: 10 2 2 [log (2-x )]>0 ⇔ log (2 − x ) < ⇔ − x < ⇔ x > ⇔ x ≠ Ta có: log 2017 Vậy đáp án đáp án A Các em nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Học sinh đọc chưa kĩ đề, đưa điều kiện xác định − x > log (2 − x ) mà vội vàng đưa đáp án C nên chọn sai Học sinh đưa điều kiện xác định đúng, chưa giải bất phương trình mà chọn đáp án B nên sai Học sinh đưa cách giải bất phương trình log (2 − x ) < , không tìm điều kiện xác định nên chọn sai đáp án (A)  − x > ⇔ − x > ⇔ −1 < x < Lời giải đúng: Điều kiện:  log (2 − x ) > Với điều kiện bất phương trình cho tương đương với:  −1 < x < log (2 − x ) < ⇔ − x < ⇔ x > ⇔ x ≠ Kết hợp với điều kiện được:  x ≠ Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = (−1;0) ∪ (0;1) Vậy đáp án đáp án D x2 + x ) < là: Ví dụ Tập nghiệm bất phương trình: log 2016 (log x+4 2017 A S = (−∞; −4) ∪ (−3;8) B S = (−4; −3) ∪ (8; +∞) C S = (−4; 2) ∪ (2; +∞) D S = (−4; −1) ∪ (0; +∞) Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1:  x2 + x  x2 + x > >0   x2 + x x+4 x+4 )  x + x >1   x + x+4  −4 < x < x2 + x x2 − ⇔ >1⇔ >0⇔ Vậy đáp án đáp án C x+4 x+4 x > Lời giải học sinh 2: Ta có: log 2016 (log 2017  −4 < x < − x2 + x x2 + x )0⇔ x+4 x+4 x > Vậy đáp án đáp án D Lời giải học sinh 3: Ta có: log 2016 (log 2017 ⇔ log x2 + x x2 + x ) < ⇔ log 2016 (log ) < log 2016 x+4 x + 2017 2017  −3 < x < x2 + x x2 + x x2 + x x − x − 24 > ⇔ log > log 6 ⇔ 0 >0    −4 < x < x2 + x x2 − x+4 x+4 ⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔   x > 2 x+4 x+4  log x + x > x + x >1  x +  x + Bất phương trình cho tương đương với: log 2016 (log 2017 x2 + x x2 + x x2 + x ) < log 2016 ⇔ log > ⇔ log > log 6 x+4 x+4 x+4 2017  −4 < x < −3 x2 + x x − x − 24 x2 + x x − x − 24 >6⇔ >0⇔ >6⇔ >0 ⇔ x+4 x+4 x+4 x+4 x >  −4 < x < − So với điều kiện ta suy ra:  Tập nghiệm bất phương trình cho x > là: S = (−4; −3) ∪ (8; +∞) Vậy đáp án đáp án B ⇔ Ví dụ 10 Giải bất phương trình: ( + 2) x −1 ≥ ( − 2) − x +3 A S = [-1; 2] C S = (−∞; −1] ∪ [2; +∞) −1 − 17 −1 + 17 ] ∪[ ; +∞) 2 −1 − 17 −1 + 17 D S = [ ; ] [3] 2 B S = (−∞; Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: Ta có: ( + 2)( − 2) = ⇒ − = = ( + 2) −1 5+2 Bất phương trình tương đương với: ( + 2) x −1 ≥ ( + 2) x −3  x ≤ −1 ⇔ x −1 ≥ x2 − ⇔ x2 − x − ≤ ⇔  x ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; −1] ∪ [2; +∞) Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 2: Ta có: ( + 2)( − 2) = ⇒ − = = ( + 2) −1 5+2 Bất phương trình tương đương với: ( + 2) x −1 ≥ ( + 2) − x +3  −1 − 17 x ≤ ⇔ x −1 ≥ − x2 + ⇔ x2 + x − ≥ ⇔   −1 + 17 x ≥  12 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; −1 − 17 −1 + 17 ] ∪[ ; +∞) 2 Vậy đáp án đáp án B = ( + 2) −1 5+2 Lời giải học sinh 3: Ta có: ( + 2)( − 2) = ⇒ − = Bất phương trình tương đương với: ( + 2) x −1 ≥ ( + 2) − x +3 −1 − 17 −1 + 17 ≤x≤ 2 −1 − 17 −1 + 17 ; ] Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = [ 2 ⇔ x −1 ≥ − x2 + ⇔ x2 + x − ≥ ⇔ Vậy đáp án đáp án D Các bạn có nhận xét cách giải ba học sinh trên? Nhận xét: Học sinh đưa cách giải bất phương trình giải đến x − x − ≤ sai nên chọn sai đáp án (C) Học sinh sai từ đầu ( − 2) − x +3 = ( + 2) − x +3 nên dẫn đến chọn đáp án sai (B) Học sinh sai từ đầu ( − 2) − x +3 = ( + 2) − x +3 , giải bất phương trình x + x − ≥ sai nên dẫn đến chọn đáp án sai (D) 2 Lời giải đúng: Ta có: ( + 2)( − 2) = ⇒ − = = ( + 2) −1 5+2 Bất phương trình tương đương với: ( + 2) x −1 ≥ ( + 2) x −3 ⇔ x − ≥ x − ⇔ x − x − ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = [-1; 2] Vậy đáp án đáp án A Ví dụ 11 Tập nghiệm bất phương trình: 5 (t + 2t + )t −t −1 ≥ (t + 2t + )3t − là: 4 −2 − −2 + )∪( ;1] ∪ [3; +∞) A S = (−∞;1] ∪ (3; +∞) B S = (−∞; 2 −2 − −2 + −2 − −2 + ] ∪[ ;1] ∪ [3; +∞) D S = ( −∞; )∪( ;1) ∪ (3; +∞) C S = (−∞; 2 2 [4] Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: Ta có: 5 (t + 2t + )t −t −1 ≥ (t + 2t + )3t − ⇔ t − t − ≥ 3t − ⇔ t − 4t + ≥ ⇔ t ∈ (−∞;1] ∪ [3; +∞ ) 4 Khi tập nghiệm bất phương trình cho là: S = (−∞;1] ∪ (3; +∞) Vậy đáp án đáp án A Lời giải học sinh 2: Ta có: (t + 2t + )t −t −1 ≥ (t + 2t + )3t − 4 13   −2 −  −2 −  t < t < 2    2  −2 + t + 2t + >   −2 + ⇔ ⇔ t > ⇔ < t ≤1 2   t − t − ≥ 3t −   t ≥  t ≤     t ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = (−∞; −2 − −2 + )∪( ;1] ∪ [3; +∞) Vậy đáp án đáp án B 2 Lời giải học sinh 3: 5 ≥ (t + 2t + )3t − 4   −2 −  −2 −  t < t < 2   2   −2 + t + 2t + >   −2 + ⇔ ⇔ t > ⇔ < t 3t −   t >  t <     t > Ta có: (t + 2t + )t −t −1 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là: S = ( −∞; −2 − −2 + )∪( ;1) ∪ (3; +∞) Vậy đáp án đáp án D 2 Đây tốn học sinh dễ mắc sai lầm số chứa ẩn t , học sinh thường quên xét điều kiện số Vậy ba học sinh bạn mắc sai lầm ? Nhận xét: Học sinh nhầm lẫn kiến thức nên chưa xét điều kiện số t + 2t + mà vội vàng kết luận nên khoanh đáp án sai (A) Học sinh đọc chưa kĩ đề, đưa trường hợp số t + 2t + > mà vội vàng chọn đáp án B nên sai Học sinh đưa trường hợp số t + 2t + > khơng để ý đến dấu bất phương trình nên khoanh đáp án sai (D) 4 4 Lời giải đúng: Ta có: t + 2t + = t + 2t + + = (t + 1) + ≥ , ∀t ∈ R Xảy trường hợp sau:  −2 + t = 2 TH1: t + 2t + = ⇔ t + 2t + = ⇔  4  −2 − t =   −2 − −2 +  ;     Khi tập nghiệm bất phương trình cho TH1 là: T1 =  14 t + 2t + ≥  TH2: ≤ t + 2t + < ⇔  4 t + 2t + <  t ∈ R −2 − − +  ⇔ ) −2 − −2 + ⇔ t ∈ ( ; t ∈ ( ; )   2 Khi bất phương trình cho tương đương với: t − t − ≤ 3t − ⇔ t − 4t + ≤ ⇔ t ∈ [1;3] Khi tập nghiệm bất phương trình cho TH2 là: T2 = ∅  −2 + t < −2 − −2 + 2 ⇔ t ∈ (−∞; )∪( ; +∞) TH3: t + 2t + > ⇔ t + 2t + > ⇔  4  −2 − 2 t >  Khi bất phương trình cho tương đương với: t − t − ≥ 3t − ⇔ t − 4t + ≥ ⇔ t ∈ (−∞;1] ∪ [3; +∞ ) Khi tập nghiệm bất phương trình cho TH3 là: T3 = (−∞; −2 − −2 + )∪( ;1] ∪ [3; +∞) 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là:  −2 − −2 +  −2 − −2 + S = T1 ∪ T2 ∪ T3 =  ; )∪( ;1] ∪ [3; +∞)  ∪ ∅ ∪(−∞; 2 2   = (−∞; −2 − ] ∪ [ −2 + ;1] ∪ [3; +∞) Vậy đáp án đáp án C 2 Ví dụ 12 Tập nghiệm bất phương trình: ( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥ A S = (0;1] B S = (−∞; − ] ∪ [1; +∞) x C S = [1; +∞) D S = (−∞;1] [3] Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: Điều kiện: x > Với điều kiện bất phương trình tương đương với: 2015 + 2006 log3 x 2015 − 2006 log3 x 2015 + 2006 log3 x ) −( ) ≥ Đặt t = ( ) , t >0 3 3  t≤− 2  Bất phương trình trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − ≥ ⇔  t t ≥ ( Nên tập nghiệm bất phương trình là: S = (−∞; − ] ∪ [1; +∞) Vậy đáp án đáp án B Lời giải học sinh 2: Điều kiện: x > Với điều kiện bất phương trình tương đương với: ( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥ 3log3 x 15 2015 + 2006 log3 x 2015 − 2006 log3 x 2015 + 2006 log3 x ) −( ) ≥ Đặt t = ( ) , t >0 3 3  t ≤ − 2 Bất phương trình trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − ≥ ⇔  t t ≥ ⇔( 2015 + 2006 log x ) ≥ ⇔ log x ≥ ⇔ x ≤ Kết hợp với ta thu t ≥ Khi đó: ( 3 S = ( −∞ ;1] Vậy đáp án đáp án D Nên tập nghiệm bất phương trình là: Lời giải học sinh 3: Điều kiện: x > Với điều kiện bất phương trình tương đương với: ( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥ 3log3 x 2015 + 2006 log3 x 2015 − 2006 log3 x 2015 + 2006 log3 x ⇔( ) −( ) ≥ Đặt t = ( ) , t >0 3 3  t≤− 2  Bất phương trình trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − ≥ ⇔  t t ≥  Kết hợp với t > ta thu t ≥ 2015 + 2006 log3 x ) ≥ ⇔ log x ≥ ⇔ x ≤ Đối chiếu với điều kiện ta được: < x ≤ Nên tập nghiệm bất phương trình là: S = (0;1] Vậy đáp án đáp án A Khi đó: ( Các em có nhận xét làm ba học sinh ?  t≤−  mà Nhận xét: Học sinh đưa điều kiện xác định đúng, giải đến  t ≥ vội vàng đưa đáp án B nên sai Học sinh đưa điều kiện xác định đúng, giải đến log x ≥ mà vội vàng đưa x ≤ (Do số 3), không đối chiếu với điều kiện nên chọn sai đáp án (đáp án D) Học sinh đưa điều kiện xác định đúng, giải đến log x ≥ mà vội vàng đưa x ≤ (Do số 3) nên chọn sai đáp án (đáp án A) Lời giải đúng: Điều kiện: x > Với điều kiện bất phương trình tương đương với: ( 2015 + 2006)log3 x − ( 2015 − 2006) log3 x ≥ 3log3 x 2015 + 2006 log3 x 2015 − 2006 log3 x 2015 + 2006 log3 x ⇔( ) −( ) ≥ Đặt t = ( ) , t >0 3 3  t≤− 2  Bất phương trình trở thành: t − ≥ ⇔ 3t − 2t − ≥ ⇔  t t ≥  2015 + 2006 log x ) ≥ ⇔ log x ≥ ⇔ x ≥ Kết hợp với t > ta thu t ≥ ⇔ ( 3 16 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = [1; +∞) Vậy đáp án đáp án C Vậy giải bất phương trình mũ lơgarit học sinh thường mắc sai lầm sau: Quên tìm điều kiện xác định bất phương trình, khơng để ý đến số nên đưa chiều bất phương trình sai, khơng đọc kỹ đề, tính tốn sai, giải bất phương trình sai, vận dụng cơng thức sai Cách khắc phục: Học sinh phải đọc kỹ đề, tìm tập xác định bất phương trình xác, biết xác định chiều bất phương trình số a > (Bất phương trình chiều với bất phương trình ban đầu) số < a < (Bất phương trình ngược chiều với bất phương trình ban đầu), số a chứa tham số phải xét thêm trường hợp a = , nắm vững phương pháp giải bất phương trình bản, BÀI TẬP VẬN DỤNG x Bài Tập nghiệm bất phương trình: log 22 x ≥ log + là: 2 1 2 x +1 x Bài Tập nghiệm bất phương trình: − 2.3 − ≥ tập số thực là: A S = (−∞;0] B S = [0; +∞) C S = [1; +∞) D S = (−∞;1] [9] Bài Có tất giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình sau: A S = (−∞; ] ∪ [2; +∞) B S = [ ;4] C S = (0; ] ∪ [3; +∞) D S = (0; ] ∪ [4; +∞) [9] log x + log (2 x − 1) + log (4 x + 3) < A B C D [10] x 1− x 2x Bài Tập nghiệm bất phương trình: > ( 2) là: A x > + B x < − C − < x < + D x > + x < − [9] Bài Tập nghiệm bất phương trình: log x + log (10 − x) > là: A S = (0;10) B S = (2;10) C S = (8;10) D S = (2;8) [9] x Bài Các giá trị thực x thỏa mãn điều kiện < 27 là: A −2 < x < B −2 ≤ x ≤ C −3 < x < D −3 ≤ x ≤ 3 +1 Bài Nghiệm bất phương trình ( ) x + 3( ) x > 12 là: A < x < B −1 < x ≠ C −1 < x < D x > [1] Bài Tập nghiệm bất phương trình [log (x-3)] ≤ là: x2 − 4x − A < x < B < x < C x = D x ∈ (−∞;1) ∪ (5; +∞) Bài Tập nghiệm bất phương trình: log ( x + 1) − log (5 − x) < − log ( x − 2) là: A S = (3;5) B S = (2;3) C S = (2;5) D S = (−4;3) Bài 10 Nghiệm bất phương trình ( ) x −3 x + ≥ [a; b] Khi giá trị lớn b − a bằng: A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp và nhà trường 2.4.1 Thực nghiệm sư phạm 17 Mục đích việc thực nghiệm đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đắn giả thuyết khoa học, tính hiệu việc khắc phục sai lầm học sinh khối 12 THPT giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit 2.4.2 Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm Được cho phép Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tiến hành dạy buổi cho học sinh lớp 12A với nội dung: Khắc phục sai lầm học sinh khối 12 THPT giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit Sau q trình dạy học, tiến hành kiểm tra lớp 12A4 Chọn lớp đối chứng lớp 12A3 trường THPT Vĩnh Lộc Dưới nội dung kiểm tra (thời gian: 15 phút) A (−∞; −4) ∪ (8; +∞) B (−∞; 4) ∪ (8; +∞) C (−∞; −8) ∪ (8; +∞) D (−∞; −4) ∪ (4; +∞) [8] x2 + 6x + log < − log ( x + 1) Bài Giải bất phương trình : 2( x + 1) Bài Tập nghiệm bất phương trình : ( ) x −2 x < ( )16+ x là: A − 2 < x < + 2 C − < x < + B − 2 < x < + 2 D − < x < + [8] − < là: 7x A (−∞; +∞) B (1;3) C (−∞;0) ∪ (0; +∞) 3x + log < là: Bài Tập nghiệm bất phương trình : 8x − 5 A (−∞;1) ∪ ( ; +∞) B ( ;1) ∪ ( ; +∞) C ( ; +∞) 3 Bài Giải bất phương trình : log x − 5log x + ≤ Bài Tập nghiệm bất phương trình: x + A ≤ x ≤ 27 B ≤ x < 36 C ≤ x ≤ 27 Bài Nghiệm bất phương trình 22 x +1 < ( ) 15 < x − B [0; 2) ∪ (3;7] D (1; ) [4] D ≤ x < 36 [8] x −1 (a; b) Khi a.b bằng: A B C Bài Giải bất phương trình log5 (2 x + 15) ≤ A − D (0;log 3) [4] D [10] x≤5 D − 15 < x≤5 có tập nghiệm là: C (−∞;1) D [0;1) ∪ (2;3] −2 + 11 x + 11 x ) − 2( ) − > là: 7 A T = (−∞;0) B T = (1; +∞) C T = (−∞; − ) ∪ (1; +∞) D T = (0; +∞) [4] Bài 10 Giải bất phương trình : log x [log3 (9 x -72)] ≤ A log9 73 < x ≤ B log 73 ≤ x ≤ C log9 73 < x < D log3 73 < x ≤ [12] Bài Tập nghiệm bất phương trình 3( 18 Dụng ý tập trên: Nhằm kiểm tra khả giải bất phương trình mũ lôgarit em học sinh 2.4.3 Kết thực nghiệm Trong lớp 12A4 mà tiến hành dạy thực nghiệm khơng có học sinh giỏi, có khoảng 11 đến 15 em học tương đối khá, lại mức trung bình Bởi vậy, phần lớn em cho giải bất phương trình mũ lơgarit tương đối khó Về kiểm tra, tơi chấm kĩ thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12 A4 45 20 21 46, 10 22,2 11,1 0 12 A3 45 4,4 12 26, 15 33,4 14 31, 4,4 Kết sơ bộ: + Lớp thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên 88,9%, có 66,7% loại khá, giỏi + Lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên 64,5%, có 31,1% loại khá, giỏi 2.4.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua giảng dạy kiểm tra thực nghiệm với đối tượng học sinh khác nhận thấy rằng: - Đối với đối tượng học sinh chưa tìm hiểu chuyên đề dù nhóm học sinh đuợc đánh giá học lực lớp 12A3 em có kết chưa cao Lý em chưa nắm vững kiến thức, chưa có kỹ cần thiết giải bất phương trình mũ lơgarit Tuy nhiên có số em thực tốt đánh giá em đa phần học sinh có kiến thức tốt, có khả tư cao ham học hỏi - Với đối tượng tơi giới thiệu em tìm hiểu chuyên đề phần lớn em làm bài, biết cách phân tích để tránh sai lầm thường gặp Số em điểm cao nâng lên rõ rệt, số em trình độ trung bình sau tiếp xúc tìm hiểu chuyên đề làm cao Như qua thân Tôi nhận thấy rằng: Chất lượng học sinh nhóm lấy làm đối chứng có trình độ khả tiếp thu khác nhau, giáo viên tạo điều kiện tiếp xúc giới thiệu cho em sai lầm thường gặp em nắm vững kiến thức mà em vận dụng linh hoạt kiến thức vào tốn, chất lượng mơn học thay đổi rõ rệt, nhiều em say mê tích cực học tập mơn Tốn Qua thân tơi rút số học kinh nghiệm trình giảng dạy Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua trình nghiên cứu đề tài “Khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit (Giải tích 12)”, thu số kết sau 19 - Dạy học nghệ thuật q trình tích lũy kinh nghiệm lâu dài Vì để nâng cao trình độ chun mơn việc đưa sáng kiến kinh nghiệm trình giảng dạy việc làm cần thiết - Sáng kiến kinh nghiệm xây dựng hệ thống toán minh hoạ cho việc phát khắc phục sai lầm học sinh Giúp em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư sáng tạo, nhạy bén giải vấn đề - Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng yêu cầu hoạt động đổi phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo linh hoạt người học Bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên học sinh - Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ sai lầm cách khắc phục sai lầm giúp học sinh tăng hứng thú học tập môn, chất lượng môn học thay đổi rõ rệt Các em hiểu việc tổng ơn kiến thức nói chung hay rèn luyện kỹ làm tập xác ln đóng vai trị quan trọng Nhiều em say mê tích cực học tập mơn Tốn - Qua cách trình bày em tự hệ thống hố sai lầm thường gặp giải dạng tập này, giúp em nâng cao điểm số kỳ thi THPT Quốc Gia tới - Kết thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học đề tài chấp nhận được, có tính hiệu mục đích nghiên cứu hồn thành 3.2 Kiến nghị * Đối với Sở Giáo dục đào tạo: Cần tiếp tục tổ chức giao lưu học hỏi chuyên môn trường trung học phổ thơng tồn tỉnh đặc biệt dạy học theo phương pháp * Đối với nhà trường: Cần tổ chức thêm số buổi hoạt động ngoại khoá với nội dung khắc phục sai lầm học sinh giải tốn nói chung giải bất phương trình mũ lơgarit nói riêng để học sinh trang bị đầy đủ loại tốn này, từ em có nhạy bén làm kỳ thi Trên vài kinh nghiệm việc “Khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit (Giải tích 12)” Trong q trình thực chắn cịn nhiều thiếu sót, mong góp ý chuyên viên, thầy cô giàu kinh nghiệm đồng nghiệp Cuối xin gửi lời chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Vĩnh Lộc, Hội đồng khoa học Trường THPT Vĩnh Lộc Thanh Hóa giúp đỡ tơi q trình tiến hành kiểm nghiệm hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2017 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: 20 Vũ Thị Nhì 21 ... đề: Khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit (Giải tích 12) từ gợi ý cho học sinh phương pháp học tập giai đoạn không học kiến thức mà vận dụng kiến thức vào... tài ? ?Khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm bất phương trình mũ lơgarit (Giải tích 12)? ??, thu số kết sau 19 - Dạy học nghệ thuật q trình tích lũy kinh nghiệm lâu dài Vì để nâng cao trình. .. tốn sai, giải bất phương trình sai, vận dụng cơng thức sai Cách khắc phục: Học sinh phải đọc kỹ đề, tìm tập xác định bất phương trình xác, biết xác định chiều bất phương trình số a > (Bất phương