MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài 01 1.2 Mục đích nghiên cứu 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu 02 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 02 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 03 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 03 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 04 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 05 2.3.1 Mục tiêu giải pháp 2.3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 3.2.1 GP1: Tư hàm số giải hệ phương trình 2.3.2.2 GP2: Giải hệ thường gặp phương pháp hàm số 2.3.2.3 GP3: Xây dựng dấu hiệu nhận biết hệ phương trình giải phương pháp hàm số Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập ẩn số Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có tương tự hai nhóm ẩn số Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép 2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” giải hệ phương trình Kĩ thuật 1: ÉP hàm đặc trưng khoảng đồng biến ( nghịch biến ) Kĩ thuật 2: ÉP hệ xuất hàm đặc trưng cách xét dấu cho biến Kĩ thuật 3: ÉP hệ xuất hàm đặc trưng qua phép giải toán trung gian Kĩ thuật 4: ÉP hệ xuất hàm đặc trưng phương pháp hệ số 05 05 11 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN 16 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, hệ phương trình vấn đề quan trọng Toán học phổ thông, trải dài xuyên suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT Đây vấn đề hay khó, xuất nhiều dạng câu phân loại mức độ cao đề thi học sinh giỏi, đề thi tuyển sinh cấp học Việc giải toán phương trình, hệ phương trình đa dạng phong phú, việc phân loại theo dạng toán đặc trưng phân loại theo phương pháp giải toán Do đa dạng dạng toán, phương pháp giải mật độ xuất dày đặc đề thi nên học sinh có khối lượng lớn kiến thức tập thực hành khổng lồ Vì vậy, chiến lược cách học phần kiến thức học sinh dễ sa vào việc lo giải tập toán mà định hướng tư phương pháp Giải tập Toán phần quan trọng, thiếu môn Toán học, làm tập giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng thời rèn luyện khả tư cho học sinh Bài tập giải phương trình, hệ phương trình toán quan trọng, xuất nhiều đề thi mức độ cao Tuy nhiên nội dung lí thuyết phần hệ thống SGK phổ thông trình bày đơn giản, rải rác từ lớp 10 đến lớp 12, không phân loại dạng toán, phương pháp Điều gây khó khăn nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng toán phương pháp giải toán cho học sinh Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán phương trình, hệ phương trình Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm muốn nêu cách xây dựng định hướng “giải toán hệ phương trình” “tư hàm số” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong sáng kiến kinh nghiệm nội dung phương pháp trang bị cho học sinh để giải toán hệ phương trình Đó là: “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tư hàm số để giải hệ phương trình ” Từ đề giải pháp nhằm nâng cao hiệu giải toán phương trình, hệ phương trình học sinh trường THPT Hoằng Hóa 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các dấu hiệu nhận biết toán hệ phương trình giải tư hàm số Các kĩ thuật giải toán hệ phương trình tư hàm số 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp dạy học theo hướng giải vấn đề Nghiên cứu tư liệu sản phẩm hoạt động sư phạm Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư giải toán học sinh Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh vấn đề liên quan đến nội dung đề tài Phương pháp thống kê, phân tích số liệu 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN SKKN tiếp nối hoàn thiện hệ thống tư hàm số giải phương trình, hệ phương trình SKKN tập trung giải trọn vẹn tư hàm số hệ phương trình (Phần tư hàm số để giải phương trình giải trọn vẹn SKKN năm học 2016 ) Những điểm SKKN là: 1- Phát triển mở rộng tư hàm số cho học sinh toán hệ phương trình 2- Phân loại dạng toán sở hệ phương trình giải tư hàm số 3- Giải triệt để số khó khăn dùng phương pháp khác giải số hệ ( Hệ đối xứng, hệ hoán vị ) 4- Xây dựng hoàn thiện dấu hiệu nhận biết hệ phương trình giải tư hàm số 5- Sáng tạo nên kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” để giải hệ phương trình NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.1 Hàm số đồng biến, nghịch biến - Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số f đồng biến K ∀x1 x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số f nghịch biến K ∀x1 x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) [1] - Nhận xét: Cho f (x) xác định K, ta có: Với ∀x1 x ∈ K ; f ( x1 ) = f ( x ) ⇔ x1 = x 2.1.2 Phương pháp chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến - Để chứng minh tính đơn điệu hàm số y = f (x) K ta dựa vào phương pháp sau: * Phương pháp 1: Dùng định nghĩa [1] + Lấy x1 , x ∈ K , x1 ≠ x , lập tỉ số A = f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 + Dựa vào dấu A để suy tính đơn điệu Nếu A > 0, ∀x1 , x2 ∈ K hàm số f đồng biến Nếu A < 0, ∀x1 , x2 ∈ K hàm số f nghịch biến biến *Phương pháp 2: Dùng đạo hàm [2] Định lí : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng D a) Nếu f ' ( x ) > với x ∈ D hàm số đồng biến khoảng D b) Nếu f ' ( x ) < với x ∈ D hàm số nghịch biến khoảng D c) Nếu f ' ( x ) = với x ∈ D hàm số không đổi khoảng D - Nhận xét: + Nếu f ' ( x ) = số hữu hạn điểm D mở rộng định lí cho f ' ( x ) ≥ ( f ' ( x ) ≤ ) +Nếu chứng minh hàm số đồng biến( nghịc biến) [ a; b] ; [ a; b ) ; ( a; b ] thêm tính chất hàm số phải lên tục [ a; b] ; [ a; b ) ; ( a; b ] thỏa mãn định lí + Học sinh cần phân biệt tính đơn điệu hàm số Tập xác định khác với việc hàm số đơn điệu khoảng Tập xác định 2.1.3 Tư hàm số phương trình Định lí 1: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm f ( x ) = k D không nhiều f ( x ) = f ( y ) x = y với x, y thuộc D Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức f(a)=k f đồng Trong trang này: Mục 2.1.1 tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [1] - Mục 2.1.2 tác giả tham khảo có bổ sung từ TLTK [1], [2] biến D nên * x > a suy f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm * x < a suy f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f(x) = g(x) không nhiều Chứng minh: Giả sử x=a nghiệm phương trình f(x)=g(x), tức f(a)=g(a) Ta giả sử f đồng biến g nghịch biến *Nếu x>a suy f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm *Nếu x 0, ∀t ∈ ( −1; +∞ ) Mà : f ' ( t ) = t + t + t + t + (Vì t ≥ f ' ( t ) > , t ∈ ( −1;0 ) t + > > −2t nên f ' ( t ) > ) Mà hàm số f ( t ) liên tục D Suy hàm số f ( t ) = t + t + + 3t đồng biến D Mặt khác: x +1 + y +1 = ⇔ x +1 − + y +1 − = ⇔ x −3 + x +1 + y −3 =0 y +1 + Suy ra: ( x − 3) ( y − 3) ≥ , xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: x = ⇒ y = Nhận thấy x = y = thỏa mãn hệ cho Trường hợp 2: x > ⇒ y ≥ Khi đó: f ( x ) + f ( y ) > f ( 3) + f ( 3) = 12 ⇒ pt(*) vô nghiệm nên hpt vô nghiệm Trường hợp 3: x < ⇒ y ≤ Khi đó: f ( x ) + f ( y ) < f ( 3) + f ( 3) = 12 ⇒ pt(*) vô nghiệm nên hpt vô nghiệm x = Kết luận: Hệ pt có nghiệm  y = Trong trang này: Ví dụ tác giả đề xuất, lời giải tác giả Nhận xét Bài toán thực tế giảng dạy, học sinh nhận hệ đối xứng loại 1, nhiên phép bình phương đặt ẩn phụ gặp nhiều khó khăn nên đa số học sinh không hoàn thành lời giải toán Lời giải toán ấn tượng sáng tạo được: “phép cộng hàm số ép hàm đặc trưng”  x − x + 8.log 93 ( − y ) = x   Ví dụ Giải hệ phương trình  y − y + 8.log ( − z ) = y [3]   z − z + 8.log ( − x ) = z Tư duy: Đây hệ phương trình hoán vị vòng quanh quen thuộc học sinh Hệ giải phương pháp hàm số hàm đặc trưng đồng biến nghịch biến toàn miền khảo sát nghiệm Lời giải  x log ( − y ) = x2 − 2x +   y x < 7; y < 7; z < ⇔ Điều kiện Hệ pt log ( − z ) = y2 − y +   z log 93 ( − x ) = z − 2z +  t Xét hàm số f ( t ) = đồng biến ( −∞;7 ) , vì: t − 2t + 8−t f '( t ) = > ∀t ∈ ( −∞;7 ) ( t − 2t + 8) t − 2t + Hàm số g ( t ) = log ( − t ) nghịch biến ( −∞;7 ) Giả sử ( x0 ; y0 ; z0 ) nghiệm hệ, ta chứng minh ; x0 = y0 = z0 Xét x0 ≥ y0 : Ta có: g ( y0 ) ≥ g ( z0 ) ⇒ y0 ≤ z0 ⇒ g ( z0 ) ≤ g ( x0 ) ⇒ z0 ≥ x0 ⇒ g ( x0 ) ≥ g ( y0 ) ⇒ x0 ≤ y0 ⇒ x0 = y0 Xét x0 ≤ y0 , tương tự x0 = y0 Lập luận ta được: x0 = y0 = z0 Ta xét x = y = z Giải pt f ( x ) = g ( x ) ta có nghiệm x = Vậy nghiệm hệ: ( 4;4;4 ) Nhận xét Bài toán học sinh học tư hàm số nên đội tuyển Toán THPT Hoằng Hóa 3, năm học 2014 - 2015 giải trọn ven Trong trang này: Ví dụ tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [3] 2.3.2.3 GP3: Xây dựng dấu hiệu nhận biết hệ phương trình giải phương pháp hàm số Việc dấu hiệu đặc trưng để học sinh nhận biết hệ phương trình giải theo tư hàm số điều cần thiết Các dấu hiệu đặc trưng thông qua ví dụ cụ thể tiến hành với trình giải toán học sinh sau: Dấu hiệu 1: Hệ phương trình có phương trình độc lập ẩn số 5 + 16.4 x2 −2 y = + 16 x2 −2 y y − x2 +  Ví dụ Giải hệ phương trình :  [4] x + 17 x + 10 y + 17 = x + 4 y + 11  ( ) Tư duy: Phương trình hệ phương trình độc lập ẩn số, ta sử dụng tư hàm số để giải phương trình ẩn Lời giải ( ) 10 Điều kiện: y + 11 ≥ (*) Đặt t = x − y phương trình (1) có dạng: + 42+t + 2t + 16.4t = ( + 16t ) 2−t ⇔ = ⇔ f (t + 2) = f (2t ) 2+t 2t t t 1 4 với hàm số f ( t ) = 5. ÷ +  ÷ nghịch biến ¡ 7 7 Vậy ta có: t + = 2t ⇔ t = ⇔ x − y = Khi phương trình (2) có dạng: x + x + 17 x + = ( x + ) x + ⇔ ( x + 2) + ( x + 2) + ( x + 2) = ( x2 + ) x2 + + ( x2 + ) + x2 + ⇔ g ( x + 2) = g ( ) 2x2 + ⇔ x + = 2x2 + (Vì hàm số g (t ) = t + t + t đồng biến khoảng ( 0;+∞ ) ) KL: Hệ phương trình có nghiệm (x;y) là: ( 1; −0,5 ) , ( 3;3,5 ) Nhận xét Đây toán hay học sinh thực hành toán rèn luyện nhiều kĩ giải hệ phương trình tư hàm số Dấu hiệu 2: Hệ phương trình có tương tự hai nhóm ẩn số Đây dấu hiệu thường gặp giải hệ phương trình theo tư hàm số 22 x− y − x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y Ví dụ Giải hệ pt :  [4] y − 2( x − 1)3 + =  Tư duy: Phương trình hệ phương trình có tương tự hai nhóm ẩn số x + y 2x − y , ta tư hàm số tìm phép Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu tác giả phát viết Ví dụ 4, ví dụ tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [4] Lời giải Điều kiện: x + y ≥ 0, x − y ≥ (*) Khi đó: 22 x− y + (2 x − y ) x − y = x + y + ( x + y ) x + y ⇔ f (2 x − y ) = f ( x + y ) Hàm số f (t ) = 2t + t t đồng biến [ 0;+∞ ) nên: x − y = x + y ⇔ x = y Thế vào phương trình lại, ta được: y + = 2(2 y − 1)3 (3) t = (2 y − 1)3 Đặt y = 2t − , phương trình (3) trở thành hệ:   y = (2t − 1) Trừ vế tương ứng phương trình hệ, ta được: t = y ( 2(2 y − 1) + 2(2 y − 1)(2t − 1) + 2(2t − 1) + > ∀y , t ) Thế vào hệ: y = (2 y − 1)3 ⇔ y − 12 y + y − = ⇔ y = 11 Với y = ⇒ x = ,thoả mãn (*) Vậy, hệ cho có nghiệm: ( x; y ) = (2; 1) Nhận xét Đây đáp án đề thi, việc giải phương trình (3) tương đối lắt léo, học sinh không quen dạng chắn gặp khó khăn,thậm chí không giải Trong thực tiến dạy học sinh, toán số học sinh giỏi giải phương trình (3) theo hướng sáng tạo theo tư hàm số Dấu hiệu 3: Xử lý phương trình trung gian sau phép Đây đặc trưng hay, thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp cho việc giải toán Không có phương pháp vạn để giải toán, cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống phương pháp giải toán để giải toán 2 x − y + ( y + ) x = y + x (1) Ví dụ Giải hệ pt :  [5] xy + x − 11 + 12 − x + y + − x = (2)  Tư duy: Hệ phương trình dấu hiệu hàm số không xuất ban đầu, có xuất “trung gian xử lí phương trình sau phép thế” Lời giải 4x − + y Điều kiện ≤ x ≤ , y ≥ Ta có : x − y = 4( x − 2) y ≤ 4x + y + ( y + ) x = ( y + ) x ≤ Suy ra: x − y + ( y + ) x ≤ y + x Đẳng thức xảy ra: y = x − Thế vào phương trình (2) ta có: Trong trang này: Nội dung phương pháp, dấu hiệu tác giả phát viết Ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải tác giả x − x − 11 + + x + − x = ⇔ ( x − x − 3) + ( ) ( + 3x − x − + (x − x − 3) ) − 3x − x + = (x − x − 3)   7 =  x ∈  2;  ÷ + 3x + x + − 3x + x −  3  1   ⇔ ( x − x − 3)  − − =0 + x + x + − x + x −   x − x − = (∗)  ⇔ 1  + = (3) − 3x + x −  + 3x + x + ⇔ ( x − x − 3) − − 12 Vấn đề ta giải phương trình (3) tư hàm số 1  7 < Với x ∈  2;  ⇒ + x + x + ≥ + 10 > ⇒ + 3x + x +  3  7 Hàm số : g ( x) = − x + x − nghịch biến  2; ÷  3 7 ⇒ g ( x) ≥ g  ÷ = ⇒ ≤ − 3x + x − 3  7 Do đó, với x ∈  2;  ta có:  3 1 + ≤ + < hay pt(3) vô nghiệm + 3x + x + − 3x + x −  + 13  ;2 13 − ÷   Vậy, hệ có nghiệm  Nhận xét Đây thao tác thường gặp giải phương trình thu sau phép Học sinh học tư hàm số cho phương trình nên chủ động đánh giá phương trình (3) hỗ trợ Máy tính cầm tay 2.3.2.4 GP4: Kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” giải hệ phương trình Khi giải hệ phương trình phương trình có dạng hàm đặc trưng, mà hàm đặc trưng lại đồng biến (hoặc nghịch biến khoảng chứa u , v ) thu phép u = v , chuyển việc giải hệ giải phương trình ẩn Tuy nhiên có số hệ mà : việc xuất hàm đặc trưng chưa có ngay, hàm đặc trưng nhiều khoảng, hàm đặc trưng chưa chịu đồng biến, nghịch biến phải “ép” thành hàm đặc trưng quy để giải toán Sau số kĩ thuật Kĩ thuật 1: ÉP hàm đặc trưng khoảng đồng biến (nghịch biến) Mục đích: Bằng đánh giá điều kiện kéo theo từ phương trình lại hệ đánh giá dấu để u, v nằm khoảng mà hàm đặc trưng đồng biến nghịch biến Ví dụ Giải hệ phương trình:  x − x − x + = y + − y + [5]   x + x + − y + = xy − y − x + − − y − x − Tư duy: Pt(1) ⇔ f ( x − 1) = f ( y ) với f ( t ) = t − t + ¡ Mà: f ' ( t ) = − 2t t2 + = t + − 2t t2 + đổi dấu theo t 13 Hàm f ( t ) nghịch biến A = ( 1; +∞ ) đồng biến B = ( −∞;1) Vấn đề : Ta phải dùng pt(2) để ÉP cho x − 1, y vào tập A, B Thật vậy, ta có ĐKXĐ pt(2) là: xy − y − x + ≥ ⇔ ( x − ) ( y − 1) ≥ Khi đó, xảy trường hợp sau: x − ≥ x −1 ≥ ⇔ TH1:  , suy ta ÉP x − 1, y vào A y − ≥ y ≥   x − ≤ x −1 ≤ ⇔ TH2:  , suy ta ÉP x − 1, y vào B y − ≤ y ≤   Nói tóm lại: Ta “ép hàm đặc trưng” khoảng đồng biến B nghịch biến A Lời giải Từ suy luận dẫn tới phép thế: y = x − , ta thu phương trình: x + x + − + x = x + : Phương trình có nhiều cách giải Nhận xét Đây kĩ thuật hay sáng tạo, học sinh thích thú với việc tạo kĩ thuật Điều thúc học sinh động tìm kiếm kiến thức mới, kĩ thuật giải toán Ví dụ Giải hệ phương trình (1 + 42 x − y )51− x + y = + 2 x− y +1 (1)  [4] x − y = ln x + − ln y + (2) ( ) ( )   Tư duy: Phương trình hệ phương trình độc lập ẩn số, ta sử dụng tư hàm số để giải phương trình ẩn Trong trang này: Nội dung phương pháp, kĩ thuật tác giả sáng tạo trình bày Ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải tác giả Lời giải Điều kiện: x > −3 y > −3 (*) Xét pt(1): Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành: t t + 4t + 2t + 1 4 t t 1− t t +1 (1+ ).5 =1+ ⇔ t = ⇔  ÷ +  ÷ = + (3) 5 5  5 5 t t t 1 4 Hàm số: f (t ) =  ÷ +  ÷ nghịch biến g (t ) = + đồng biến ¡ 5 5  5 Mà t = thỏa mãn (3), nên t = nghiệm phương trình (3) Vậy: x − y = ⇔ y = x − (4) Ta có (2) ⇔ x − 4ln( x + 3) = y − 4ln( y + 3) ⇔ h ( x ) = h ( y ) 14 Hàm số h(t ) = t − 4ln(t + 3) ( −3; +∞ ) nghịch biến khoảng A = ( −3;1) đồng biến khoảng B = ( 1; +∞ ) Vấn đề : Ta phải ÉP cho x, y vào tập A, B Thật vậy: Với x = ⇒ y = 1, ta có x = y = thỏa mãn hệ phương trình cho Từ x − y = ⇔ y − x = x − Với x ≠ ta có: Khi x > ⇒ y > x > ⇒ h ( y ) > h ( x ) Khi x < ⇒ y < x < ⇒ h ( y ) > h ( x ) ∀x ∈ (−3; +∞) \ { 1} Suy với  ta có h( y ) > h( x) x − y = 1,  x = Vậy hệ cho có nghiệm   y = Nhận xét Lời giải đáp án thức, nhiên trình giảng dạy lớp học sinh giỏi, học sinh có cách giải sáng tạo dùng tư hàm số Chẳng hạn: Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành: + 4t + 2t + 1 + 2 t + t + t 1− t t +1 (1+ ).5 =1+ ⇔ t = ⇔ 2t = t +1 ⇔ f ( 2t ) = f ( t + 1) 5 5 x , y Hay để ép vào tập A, B, học sinh dùng phản chứng sau: Giả sử ( x − 1) ( y − 1) < suy x < < y y < < x , mà hai trường hợp dẫn đến phương trình (4) vô nghiệm 10 Trong trang này: Nội dung phương pháp, kĩ thuật tác giả sáng tạo trình bày Ví dụ tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK [4] Kĩ thuật 2: ÉP hệ xuất hàm đặc trưng cách xét dấu cho biến Mục đích: Hệ phương trình “có phương trình gần dạng hàm đặc trưng” dấu u,v chưa xác định nên hàm đặc trưng chưa xuất Bằng đánh giá kéo theo từ hai phương trình, ta dấu u,v, từ thu hàm đặc trưng Ví dụ Giải hệ phương trình  xy x + + = y + + y (1)  [5]  3  x y + xy − = x − 3x y + x (2) Tư duy: Xét y ≠ : ( ) 15  y2 +  x +1 +1 =  + 1÷ Pt(1) ⇔ x ÷ y  y  Vấn đề : Ta phải dùng đánh giá để ÉP dấu cho y để đưa vào bậc hai Thật vậy: 2 Ta có ĐKXĐ phương trình (2) là: x y + xy − ≥ ⇔ y ( x + x ) − ≥ (*) ( ) y2 + + 3y x +1 +1 = ⇔x y2 ( ) Chưa được???? Nhận thấy phương trình (1) có y + + y > 0, ∀y ∈ R nên suy x > Do , từ (*) suy y > (Vì y ≤ (*) không thỏa mãn) Nói tóm lại: Ta ÉP y > nên có hàm đặc trưng : f ( t ) = t ( ) t2 +1 +1 3 đồng biến ( 0;+∞ ) Pt ( 1) ⇔ f ( x ) = f  ÷  y Lời giải Từ suy luận dẫn tới phép thế: y = , ta thu phương trình: x 3x − = x − x + x : Phương trình có nhiều cách giải Nhận xét Một kinh nghiệm giải Toán chất lượng, học sinh thấy vẻ đẹp Toán Phương trình x − = x − x + x học sinh giải nhiều cách có cách giải tư hàm số Kĩ thuật 3: ÉP hệ xuất hàm đặc trưng qua phép giải toán trung gian Mục đích: Hệ phương trình chưa có phương trình dạng hàm đặc trưng phép giải toán ( phép thế, đặt ẩn phụ,thêm bớt biểu thức ) làm xuất hàm đặc trưng  x + x ( x − 3x + 3) = y + + y + +  Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:  3 x − − x − x + = y + + 11 Trong trang này: Nội dung phương pháp, kĩ thuật tác giả sáng tạo trình bày Ví dụ tác giả tham khảo từ TLTK [5], lời giải tác giả Tư duy: Hệ có x, y độc lập nên khả biến đổi để có hàm đặc trưng Nhận thấy Pt(1) tăng bậc cho y ẩn phụ: b = y + ⇔ y = b3 − Pt(1) chuyển thành: x − + x − 3x + x = b + b3 + ⇔ f ( x − 1) = f ( b ) với f ( t ) = t + t + hàm đồng biến ¡ Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hàm đặc trưng ẨN PHỤ Lời giải Từ suy luận dẫn tới phép thế: y + = x − , ta thu phương trình: x − − x − x + = x : Phương trình có nhiều cách giải 16 Nhận xét Hệ phương trình này,học sinh cảm giác khó khăn, cảm giác khó xử lí Tuy nhiên tư hàm số sau phép ẩn phụ giải toán nhẹ nhàng ( y + 1) + y y + = x + 1,5 Ví dụ 11 Giải hệ phương trình :   x + x − x + = + 2 x − y + Tư duy: Hệ có khả biến đổi để có hàm đặc trưng VT(2) có dạng hàm số x Xét Pt(1) có khả x qua y để thay vào PT(2) mà x,y độc lập để sinh hàm đặc trưng Thật vậy: Từ Pt(1) ta thu được: ( 2x − y + = y2 + y y2 + + ⇔ 2x − y + = y + y2 + ( ) ) 2 Thế vào pt(2) ta được: x + x − x + = + y + y + ⇔ f ( x − 1) = f ( y ) với f ( t ) = t + t + hàm đồng biến ¡ Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hàm đặc trưng RÚT ẨN VÀ THẾ Lời giải Từ suy luận dẫn tới phép thế: y = x − , ta thu phương trình: y + y + = : Phương trình có nhiều cách giải Nhận xét Việc giải hệ phương trình phép thê học sinh tiếp cận nhiều.Tuy nhiên kết hợp phép tư hàm số tư tưởng sáng tạo Học sinh thích với kiểu biến đổi tư hàm số giải hệ phương trình  x − 3x + 13 y = y + 3xy − 17 x + 30 Ví dụ 12 Giải hệ phương trình :  2  x + y + xy − x − y + 10 = 12 Trong trang này: Nội dung phương pháp, kĩ thuật tác giả sáng tạo trình bày Ví dụ 10, ví dụ 11, ví dụ 12 tác giả đề xuất giải toán Tư duy: Hệ có dáng dấp hệ đánh giá dùng hàm nối Tuy nhiên hàm nối có dạng hàm đặc trưng xy Khử từ hệ ta thu phương trình: 3 2 x − 3x + 13 y = y − ( x + y − x − y + 10 ) − 17 x + 30 ⇔ x − x = y − y + y ⇔ f ( x ) = f ( y − 1) với f ( t ) = t − t Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hàm đặc trưng PHÉP THẾ Lời giải Từ suy luận dẫn tới phép thế: y = x + , ta thu phương trình bậc hai đơn giản 17 Kĩ thuật 4: ÉP hệ xuất hàm đặc trưng phương pháp hệ số Mục đích: Hệ phương trình chưa có phương trình dạng hàm đặc trưng phương pháp hệ số làm xuất hàm đặc trưng Ví dụ 13 Giải hệ phương trình 2 x + ( x + y + 1) − y + = x + + 16 y + y   x + + y + = y + Tư duy: Hệ có hai phương trình mà x, y độc lập, ta cần phối hợp hai phương trình để làm xuất hàm đặc trưng 2 x + ( x + 1) − x + = 16 y − y + y + Hpt ⇔   x + = y + − y + Ta xét phương trình với hệ số a : x3 + ( x + 1) − x + + a x + = 16 y − y + y + + a y + − y + ( ⇔ x + x + + ( a − 3) x + = 16 y + ( a − 1) y + 2a + ( − a ) y + ) Nhận thấy: Nếu có hàm đặc trưng u , v phải bội nhóm x + , y + Khi xét: a − = − a ⇔ a = 3 3 Ta thu được: x + x = 16 y + 12 y ⇔ x + 3x = y + y ⇔ f ( x ) = f ( y ) với f ( t ) = t + 3t hàm đồng biến ¡ Nói tóm lại: Ta ÉP hệ xuất hàm đặc trưng phương pháp hệ số 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM - Việc áp dụng tư hàm số giải phương trình, hệ phương trình giúp học sinh tự tin có sở phương pháp để giải Toán Từ nâng cao dần lực giải Toán nói chung giải phương trình, hệ phương trình nói riêng Thể việc học sinh lớp dạy có nhiều học sinh vượt qua câu hỏi khó phương trình, hệ phương trình kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh kì thi tuyển sinh Đại học trước - Việc xây dựng giải pháp, dấu hiệu sáng tạo kĩ thuật giải 13 Trong trang này: Nội dung phương pháp, kĩ thuật tác giả sáng tạo trình bày Ví dụ 13 tác giả đề xuất giải toán Toán giúp học sinh học Toán sáng tạo, kích thích tư duy, say mê học Toán mà định hướng cách học cho học sinh nội dung khác Toán học phổ thông Điều góp phần lớn vào phong trào học tập học sinh trường THPT Hoằng Hóa 3, đặc biệt nhóm học sinh chất lượng cao, chinh phục điểm cao kì thi, qua giúp nhà trường bước cải thiện nâng dần công tác học sinh mũi nhọn - Nội dung SKKN trình bày Tổ chuyên môn đến đồng nghiệp nhiều năm đồng nghiệp áp dụng vào thực tiễn dạy học trường THPT Hoằng Hóa Qua thực tiễn nhiều năm nhận thấy tính hiệu cao SKKN tạo cách dạy, cách tiếp cận độc đáo đến nội dung Toán học Nó mẫu để giáo viên áp dụng cho 18 nội dung khác tạo nên phong cách học Toán sáng tạo cho học sinh - SKKN giúp ích thân nhiều, đặc biệt trực tiếp giảng dạy học sinh Việc dạy cho học sinh lớp chất lượng cao, học sinh đội tuyển học sinh giỏi thực tế giúp thân rút nhiều kinh nghiệm quý báu, để từ sáng tạo kĩ thuật mới, giúp cho việc dạy học trở nên thực tư sáng tạo KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Muốn thành công công tác giảng dạy trước hết đòi hỏi người giáo viên phải tâm huyết với nghề, phải đam mê tìm tòi học hỏi, phải nắm vững kiến thức bản, phải tổng hợp kinh nghiệm áp dụng vào giảng SKKN dạng toán, dấu hiệu đặc trưng sáng tạo nên kĩ thuật để giải hệ phương trình tư hàm số Giáo viên cần phải biết phát huy tính tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức học sinh Trong trình giảng dạy phải coi trọng việc hướng dẫn học sinh đường tìm kiến thức mới, khơi dậy óc tò mò, tư sáng tạo học sinh, tạo hứng thú học tập, dẫn dắt học sinh từ chỗ chưa biết đến biết, từ dễ đến khó 19 Trong thực tế vận dụng SKKN giúp học sinh việc định hướng giải toán với nội dung cụ thể mà thông qua để học sinh thấy việc “ tư hàm số ” để giải phương trình, hệ phương trình tốt có kết Từ thúc học sinh tìm tòi sáng tạo để trang bị cho quy trình lượng kiến thức Nội dung kiến thức SKKN nội dung khó, số học sinh trung bình trung bình khả vận dụng vào giải toán lúng túng, toán cần linh hoạt lựa chọn hàm số thích hợp hay gặp bế tắc giải toán học sinh thường không chuyển hướng cách suy nghĩ để giải toán ( thể sức “ỳ” tư lớn) Vì dạy cho học sinh nội dung này, giáo viên cần tạo cho học sinh cách suy nghĩ linh hoạt sáng tạo vận dụng quy trình Điều đòi hỏi người giáo viên cần phải khéo léo truyền thụ quy trình cách giải toán linh hoạt toán Khả ứng dụng thực tiễn giảng dạy nhà trường SKNN cao, giáo viên nào, lớp học áp dụng vào giảng dạy hiệu SKKN mở rộng lớp toán tham số, toán bất phương trình tư phương pháp cho nội dung khác Toán học 3.2 KIẾN NGHỊ Qua thành công bước đầu việc áp dụng nội dung thiết nghĩ cần thiết phải có đổi cách dạy học Không nên dạy học sinh theo quy tắc máy móc cần cho học sinh quy trình mô mang tính chọn lựa để học sinh tự tư tìm đường giải toán SKKN tiếp cận đến vấn đề khó phổ dụng việc dạy học sinh chất lượng cao, thực tế giảng dạy trường THPT Hoằng Hóa nhiều năm cho thấy hiệu rõ rệt Vì vậy, giáo viên khác áp dụng sáng tạo thêm để nâng cao chất lượng học sinh mà giảng dạy Mong qua báo cáo kinh nghiệm đồng nghiệp cho thêm ý kiến phản hồi ưu nhược điểm cách dạy nội dung Cuối mong nội dung đồng nghiệp nghiên cứu áp dụng vào thực tiễn dạy học để rút điều bổ ích Bài viết chắn nhiều thiếu sót mong đóng góp ý kiến, phê bình, phản hồi đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) 20 Lê Văn Lâm TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Sách giáo khoa Đại Số 10 nâng cao – Đoàn Quỳnh tổng chủ biên – Nguyễn Huy Đoan chủ biên – NXB Giáo Dục [2] Sách giáo khoa Giải Tích 12 nâng cao – Đoàn Quỳnh tổng chủ biên – Nguyễn Huy Đoan chủ biên – NXB Giáo Dục [3] Đề thi Học sinh giỏi giải Toán Máy tính cầm tay – Sở GD ĐT Thanh Hóa năm học 2014 – 2015 [4] Đề thi Học sinh giỏi môn Toán – sở GD& ĐT Thanh Hóa từ năm học 21 2011 – 2012 đến năm học 2013 – 2014 [5] Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: http://www.vnmath.com/ - Nguồn: http://k2pi.net.vn/ 22 ... tích số liệu 1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SKKN SKKN tiếp nối hoàn thiện hệ thống tư hàm số giải phương trình, hệ phương trình SKKN tập trung giải trọn vẹn tư hàm số hệ phương trình (Phần tư hàm số để giải. .. tư hàm số kĩ thuật “ép hàm đặc trưng” giải hệ phương trình 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp 3.2.1 GP1: Tư hàm số giải hệ phương trình Có nhiều cách khác để phân loại tư hàm số giải hệ phương. .. Hướng dẫn học sinh sử dụng tư hàm số để giải hệ phương trình ” Từ đề giải pháp nhằm nâng cao hiệu giải toán phương trình, hệ phương trình học sinh trường THPT Hoằng Hóa 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU