Hướng dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

20 601 0
Hướng dẫn học sinh giải bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học môn khoa học số mơn khoa học tự nhiên; Tốn học giúp thúc đẩy khả phát triển tư cho người học, người nghiên cứu Trong chuyển tích cực giáo dục nước ta, nhận thấy dạy học giúp học sinh phát triển tư yêu cầu quan trọng hàng đầu Đối với dạy học mơn Tốn nói chung dạy học giải tập Tốn nói riêng, dạy học giúp phát triển tư cho học sinh ngồi việc địi hỏi giáo viên lực chuyên môn, lực sư phạm đòi hỏi nhiều thời gian tâm huyết người giáo viên Trong nội dung học tập trường THPT, phần hàm số đóng vai trị quan trọng hàng đầu có nhiều kiến thức đề cập nhiều dạng tập phong phú nhằm bồi dưỡng lực kĩ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả sáng tạo, tự học, điển hình tốn đồ thị câu hỏi phụ Mặc dù dạng toán thường gặp xuất hầu hết đề thi học sinh thường vướng tâm lí “đầu có xi lọt” nên để làm tốt đề thi, em cần làm tốt từ đầu tốn Trong q trình giảng dạy, nhận thấy: đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến em cần nắm vững kiến thức sách giáo khoa làm mức độ vận dụng đơn giản, nhiên kết hợp viết phương trình tiếp tuyến với tương giao, cực trị, tiệm cận, chứng minh bất đẳng thức… câu hỏi, đa số em lung túng giải trọn vẹn vấn đề Từ thực tế đó, tơi tổng hợp khai thác thành chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh giải tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số” làm đề tài nghiên cứu với dạng toán khác nhau, dạng gồm mục phương pháp, ví dụ, tập xếp theo thứ tự từ dễ đến khó để phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, bên cạnh tập tự luận tơi cịn đưa thêm tập trắc nghiệm ý cần thiết cho tập khó 1.2.Mục đích nghiên cứu : Tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh giải tốn phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số” với mong muốn tự bổ sung vốn kiến thức phục vụ trình giảng dạy cho thân nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp kĩ hiệu Hi vọng đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn linh hoạt, chủ động tương đối đầy đủ gặp tốn viết phương trình tiếp tuyến 1.3.Đối tượng nghiên cứu : Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 11 12 bậc trung học phổ thông trường THPT Mai Anh Tuấn Phạm vi nghiên cứu: Một số mảng kiến thức lý thuyết tập (bao gồm tự luận trắc nghiệm) nêu học chương V (từ trang 145 đến trang 180) sách Đại số giải tích 11; chương I (từ trang đến trang 67) sách Giải tích 12, bậc trung học phổ thơng 1.4.Phương pháp nghiên cứu: Đề tài sử dụng phương pháp khảo sát thông qua việc giảng dạy thực tế, thu thập thông tin từ nguồn tài liệu liên quan; phương pháp thống kê, xử lí thơng tin; trao đổi thảo luận với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực Trong phương pháp từ quan sát thực tiễn q trình giảng dạy, tơi thu thập thông tin để giải vấn đề 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Điều 24.2 Luật giáo dục (sửa đổi) 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư sáng tạo người học; phù hơp với đặc điểm lớp học môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động dến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh” Trong lý luận dạy học rõ: Phương pháp dạy học tích cực phương pháp giáo dục/ dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học Trong hoạt động học tập tổ chức, định hướng người thầy, người học chủ động, tự lực, tích cực tham gia vào trình tìm kiếm, khám phá, phát kiến thức, vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tiễn, qua lĩnh hội nội dung học tập phát triển lực sáng tạo Phương pháp dạy học không quan tâm đến yêu cầu thông hiểu, ghi nhớ, tái kiến thức theo SGK mà đặc biệt ý đến lực nhận thức, rèn luyện kỹ phẩm chất tư (phân tích, tổng hợp, xác lập quan hệ kiện, giả thuyết, qui lạ quen…) nhằm giúp học sinh có kinh nghiệm tiếp cận tốn khó theo bước từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với khả em 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua thực tế giảng dạy THPT nói chung dạy chương trình lớp 11, 12 nói riêng, tơi nhận thấy: - Khả phân tích, tổng hợp kiến thức vấn đề học sinh nhìn chung chưa tốt - Kỹ biến đổi phân loại dạng tốn để tìm mối liên hệ yếu tố học sinh chưa thực linh hoạt - Kỹ tính tốn học sinh cịn yếu 2.3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phần A: Hệ thống bổ sung nội dung lí thuyết: A1.Khái niệm đạo hàm hàm số điểm: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) điểm x0 thuộc f ( x)  f ( x0 ) x dần đến x0 gọi x  x0 khoảng Giới hạn (nếu có) tỉ số đạo hàm hàm số cho điểm x0, kí hiệu f’(x0) y’(x0), tức f’(x0) = Lim x x f ( x)  f ( x0 ) x  x0 Trong định nghĩa trên, đặt x = x – x0 y = f(x0+ x) – f(x0) ta có Lim x  f ( x0  x)  f ( x0 ) y Lim  f '( x0 ) x  x x Chú ý rằng: ) Số x = x – x0 gọi số gia biến số điểm x0, Số y=f(x0+ x) – f(x0) gọi số gia hàm số ứng với số gia x điểm x0 )Số x không thiết mang dấu dương .) x y kí hiệu ( không nên nhầm lẫn x = x y = y) A2.Tiếp tuyến đồ thị hàm số: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), M0 cố định thuộc (C) có hồnh độ x0 Với điểm M thuộc (C) khác M0, ta kí hiệu xM hồnh độ kM kM hệ số góc cát tuyến M0M.Giả sử tồn giới hạn hữu hạn k0 xLim  x0 Khi ta coi đường thẳng M0T qua M0 có hệ số góc k0 vị trí giới hạn cát tuyến M0M M di chuyển dọc theo(C) dần đến M0 Đường thẳng M0T gọi tiếp tuyến (C) điểm M0, điểm M0 gọi tiếp điểm A3.Hệ số góc tiếp tuyến Giả sử hàm số f có đạo hàm điểm x0 Với điểm M (C) ta có M kM  f ( xM )  f ( x0 ) xM  x0 Vì f có đạo hàm điểm x0 nên f '( x0 ) xLim x M f ( xM )  f ( x0 )  Lim k M k xM  x xM  x0 Do đó, đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0, f(x0)) A4.Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0,f(x0)) có phương trình : y = f’(x0)(x- x0) + f(x0) A5.Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị : Đường thẳng y = kx + b tiếp xúc với đường cong y = f(x) hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x) kx  b   f '( x) k Phần B: Bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số Dạng 1: Bài toán viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Đây dạng thường gặp dễ giải toán tiếp tuyến a Phương pháp: - Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị (C) hàm số y = f(x) có dạng y = f’(x0) (x – x0) + y0 - Để viết phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0), học sinh cần xác định ba yếu tố x0, y0, f’(x0) dựa theo giả thiết toán u ( x) - Riêng với hàm số y = v( x) có đồ thị (C), (C) cắt trục hồnh điểm có u '( x) hồnh độ x = x0 tiếp tuyến có hệ số góc k = v( x) Thật vậy, (C) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = x0 nên u(x0) = v(x0) góc k  y '( x0 )  Hệ số u '( x)v( x)  v '( x)u ( x) u '( x)  v ( x) v( x) b Các ví dụ tự luận Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y = x3 –6x2 +9x–2 điểm M có hồnh độ x0= Phân tích:Bài tốn cho x0= đồng thời ẩn y0 f’(x0), để viết phương trình tiếp tuyến cần xác định hai yếu tố Bài giải: Ta có x0= => y0= y(x0) = 2, y’(x0) = y(1) = nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 0(x – ) + hay y = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  giao x điểm đồ thị với trục hồnh Phân tích: Đây tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số dạng phân số nên ta dùng nhận xét trình bày để giải Bài giải: Giao điểm A(2; 0), B(-4; 0).Phương trình tiếp tuyến y = 6x – 12 y  x  24 Ví dụ 3: [Cao đẳng khối A, A1, B, D - 2013] Cho hàm số y  x  Gọi M x điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ Tiếp tuyến đồ thị M cắt trục tọa độ A B Tính diện tích tam giác OAB Phân tích: Đối với tốn viết phương trình tiếp tuyến điểm M biết tung độ y0, ta thường tìm hồnh độ x0 cách giải pt f(x0) = y0 Từ viết phương trình tiếp tuyến điểm tìm Bài giải: Tập xác định: D = R\ {1} Ta có pt: y '  x  5  x 2  M (2;5) Vì x  y '(2)  nên phương trình tiếp tuyến (d): y = - 3x ( x  1) 11 ; 0) cắt Oy B (0; 11) Vì tam giác 121  OA.OB  [8] Đường thẳng (d) cắt Ox A ( OAB vng O nên SOAB Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2x + có đồ thị (C) Giả sử hai điểm A, B thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A, B song song với nhau.Chứng minh điểm uốn (C) trung điểm AB Bài giải : y’ = 3x2 – 6x + 2, y” = 6x – 6, điểm uốn M (1; 1) Giả sử A, B có hồnh độ a, b (a b) Tiếp tuyến A B song song nên k1 = k2  3a2 – 6a + = 3b2 – 6b + (a – b) (a + b – 2) =  a + b = => A(a; a3 – 3a2 + 2a + 1), B(2 – a; -a3 + 3a2 – 2a + 1) Trung điểm AB M (1; 1) điểm uốn đồ thị [8] Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2x  (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận M x điểm thuộc (C ), tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B Chứng minh M trung điểm AB tam giác IAB có diện tích khơng đổi M thay đổi (C) Tìm M để AB nhỏ Bài giải: Tập xác định: D = R\ {1} Đồ thị (C) có tiệm cận ngang y = 2a  2a  ) y  (a  2) ( x  a)  a  a 2a (d) cắt tiệm cận A (2a – 1; 2) B (1; ) Suy trung điểm AB a tiệm cận đứng x = Tiếp tuyến M (a; điểm M.Giao hai tiệm cận I (1; 2) Tam giác IAB vuông I nên S IAB  IA.IB 2 const AB Dấu “=” xảy a = a = nên M (3; 3) M (1; 1) c.Ví dụ trắc nghiệm [8] Ví dụ 6: (Đề thi thử THPT Lam Kinh – 2017): Hàm số y x3  x  (C) Tiếp tuyến giao điểm (C) với Ox là: A, y = -x + B, y = -x -1 C, y = 2x + D, y = 2x – Ví dụ 7: (Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2017) Hàm số y x3  x  (C) Tiếp tuyến giao điểm (C) với Oy là: A, y = 2x + B, y = -x + C, y = -x -1 C, D, y = 2x – Ví dụ 8: (Đề thi thử THPT chuyên KHTN – 2017) Tiếp tuyến điểm có x  có hệ số góc 2x  1 C, D, 3 hoành độ -1 đồ thị y  A, B, - Ví dụ : (Đề thi thử THPT Hàn Thuyên) Tiếp tuyến điểm M đồ thị y x  tạo với hai tiệm cận tam giác vng có diện tích khơng đổi Tìm x  diện tích A, B, C, D, Ví dụ 10 : (Đề thi thử THPT Hoài Ân – 2017) Tiếp tuyến điểm M có tung x  cắt Ox, Oy A, B SOAB : x 119 123 125 B, C, D, 6 độ đồ thị y  A, 121 Ví dụ 11 : (Đề thi thử THPT chuyên Lam Sơn – 2017) Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ đồ thị y log3 x là: A, ln B, 5ln C, ln D, 5ln3 d Bài tập áp dụng[8] Bài tập 1[Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc-2014]: Cho hàm số y = mx3 – (2m+1) x + m + có đồ thị (Cm) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị giao điểm đồ thị với trục tung tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Đáp số m 7 2 14, m  6 Bài tập [Đề thi thử THPT chuyên ĐHSPHN-2014]: Cho hàm số y = -x3 +3x+2 có đồ thị (C) Đường thẳng d qua I (0; 2) có hệ số góc k Tìm k để d cắt (C) ba điểm phân biệt I, A, B Gọi d1, d2 tiếp tuyến (C) A, B.Chứng minh I cách d1, d2 Đáp số k < Bài tập 3: [Đề thi thử THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa – 2013] Viết phương trình đường thẳng d cắt đường thẳng (C) y = x3 – 3x2 +4 ba điểm phân biệt N, P, 2 (x – 2)  x Bài tập 4: [Đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh A-2014] Cho hàm số y  x M (2; 0) cho tiếp tuyến N P vng góc Đáp số y = (C).Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm M biết khoảng cách từ M đến đường thẳng y = 2x–1 1 Đáp số y = x + y = 8x – 2 Dạng 2: Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc a Phương pháp: Ta biết đồ thị (C) hàm số y = f(x) có hệ số góc tiếp tuyến điểm x = x0 k = f’(x0) Để lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) biết hệ số góc tiếp tuyến k, ta làm theo hai cách Cách 1: Xét hàm số, tính đạo hàm y’ = f’(x) Hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình: f’(x) = k, giải pt để suy x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng y = k(x – x0) + y0 Cách 2: Phương trình đường thẳng với hệ số góc k có dạng y = kx + b Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hệ có nghiệm Giải hệ suy phương trình tiếp tuyến Nghiệm hệ hồnh độ tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị Chú ý - Hai đường thẳng song song hai hệ số góc (Sau giải phải thử lại để loại trường hợp trùng nhau) - Hai đường thẳng vng góc tích hai hệ số góc -1 - Hệ số góc đường thẳng tang góc tạo đường thẳng trục hoành - Hai đường thẳng d1, d2 khơng vng góc có hệ số góc k1, k2 góc chúng tính theo cơng thức tan   k1  k2  k1k2 b Các ví dụ tự luận Ví dụ 12: Cho hàm số y = x3 – 3x – có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M có hệ số góc Bài giải: Cách : Gọi x0 hoành độ điểmM, x0 nghiệm phương trình : y’(x0) = k  x02 – =  x0 = Vậy M (2; 0) M (-2; -4) Cách 2: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y = 9x + m (d) tiếp xúc với (C)  x  x  9 x  m hệ có nghiệm  Vậy M (2; 0) M (-2; -4) 3 x  9 Ví dụ 13: [Đề thi ĐH khối B – 2006] Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên đồ thị x Giải: Tập xác định: D = R\ {-2} Đồ thị có tiệm cận xiên y = x – Tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên nên có hệ số góc k = -1 Xét phương trình: y’(x0) = k  x0 =   nên phương trình tiếp tuyến y = x – [8] Ví dụ 14: [Đề thi thử THPT chuyên ĐH Vinh – 2013] Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị hàm số (C) : y  x Viết phương trình tiếp tuyến (d) x (C) điểm M cho IM vng góc (d) Phân tích: Vì IM chưa có hệ số góc cụ thể nên chọn phương pháp viết theo hệ số góc rối, viết theo tọa độ điểm M cần phương trình đủ Bài giải: Tập xác định: D = R\ {2} Đồ thị có tiệm cận x = y = giao điểm chúng I (2; 1) Gọi M (a ; a ) a (C ) (a 2) Hệ số góc tiếp tuyến (d) M k1= y’ (a) =  (a  2) Hệ số góc IM k2  yM  y I 1   =-1 Hai đường thẳng vng góc nên xM  xI (a  2) (a  2) (a  2) suy a = ; a = 3, ta có phương trình tiếp tuyến y = -x + 1và y = -x + 5.[8] (3m  1) x  m  m có đồ thị (C) Tìm m để tiếp tuyến x  m đồ thị giao điểm đồ thị với Ox song song với (d): y=x Bài giải: đồ thị (C) cắt trục hoành m m  Tiếp 2 m m (3m  1) tuyến hồnh độ giao điểm x0  có hệ số góc k  Tiếp tuyến 3m  4m 1 1 (3m  1) song song với (d) nên  => m = ; m = -1.Với m = phương trình 5 4m tiếp tuyến y = x - (loại tiếp tuyến trùng (d)) Với m = -1phương trình Ví dụ 15: Cho hàm số y  tiếp tuyến y = x + 1(thỏa mãn) Vậy m = -1 Ví dụ16: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = hai trục Ox, Oy A, B cho AB = x  biết tiếp tuyến cắt x  OA Bài giải: Cách : Ta có y’ = ( x  1)2 Phương trình tiếp tuyến M (a ; 2a  2a  ) a    2(a  a  1)  ;0  , Oy  y = (a  1)2 (x – a) + cắt Ox A  a    2(a  a  1)  2 B  0;  Tam giác OAB vuông O nên OA + OB = AB  (a  2)   a = -1 a =-3 nên phương trình tiếp tuyến y = 3x + y = 3x + 14 Cách 2: OA2 + OB2 = AB2  tanOAB = OB = Suy hệ số góc k = 3 OA Phương trình tiếp tuyến y = 3x + y = 3x + 14 Ví dụ 17: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = x  biết tiếp tuyến cắt x  hai trục Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân O Phân tích: Với tốn ta có hai lựa chọn: Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị x = x0, viết phương trình tiếp tuyến x = x0, tìm giao điểm tiếp tuyến với trục tọa độ thay vào biểu thức OA = OB Tam giác OAB vuông cân O nên góc OAB = 450 k = 1 1 a  ) y = (2a  3) (x – a) + 2a  a  2a  8a  cắt Ox A(2a + 8a + 6; 0), Oy B(0; ) Vì OA = OB 2a  (2a  3) Bài giải: Cách 1: Tiếp tuyến M (a ; nên a =-1 (loại) a =-2 phương trình tiếp tuyến y = - x – Cách 2: Tam giác OAB vuông cân O nên góc OAB = 450 hay hệ số góc k = 1 Khi k = 1, phương trình 1   a = -1 a = -2 Với a = -1 (2a  3) phương trình tiếp tuyến y = -x khơng cắt trục hai điểm phân biệt nên loại Với a =- phương trình tiếp tuyến y = - x – c.Ví dụ trắc nghiệm[8] Ví dụ 18 ( Đề thi thử THPT Hòn Gai 2017 ) : Cho hàm số y x3  3x  4(C ) Tìm M ∈ (C) cho tiếp tuyến M song song với d: y = 9x + A, M(-3; -4) B, M(1; 0), M(-3; -4) C, M(-1; -1), M(3; 5) D, M(1; 0) Ví dụ 19 (Đề thi thử THPT Tĩnh Gia – 2017) : Cho hàm số y  x3  x  x  Tiếp tuyến điểm có hệ số góc lớn A, y = 2x B, y = 2x – C, y = -2x D, y = -2x + Ví dụ 20 (Đề thi thử sở GD-ĐT Bà Rịa Vũng Tàu) : (C): y x3  3x  x  (d) tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Điểm thuộc (d): A, M(0; 3) B, N(-1; 2) C, P(3; 0) D, Q(2; -1) Ví dụ 21 (Đề thi thử THPT chuyên Hà Giang – 2017) Tìm M thuộc (C) y  x3  x  x  cho tiếp tuyến M có hệ số góc nhỏ 5 5 A, M(2;  ) B, (2; ) C, ( ; 2) D, (  ; 2) 3 3 Ví dụ 22 (Đề thi thử THPT Quốc học Huế - 2017) Tìm M thuộc (C) : y  x x  cho tiếp tuyến M song song với (d): y  x  2 A, M(0; 1) M(2; 3) B, (1; 0) (-3; 2) C, M(-3; 2) D, M(1; 0) d Bài tập áp dụng Bài tập 5: Tìm tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  biết tiếp tuyến vuông x  góc với đường thẳng (d): y = x + Đáp số y = -2x + y = -2x – Bài tập 6: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị song song với đường thẳng (d): 9x – y + = Đáp số y = 9x – 26 x  biết tiếp tuyến tạo x  1 với đường thẳng (d): y = 3x góc 450 Đáp số y = x + 1, y = x +5 2 x  m Bài tập 8: Tìm m để đồ thị (C): y  có tiếp tuyến song song cách x  43 đường thẳng (d) : 3x + y – = khoảng Đáp số m = m = Bài tập 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y  Dạng 3: Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước a Phương pháp Cách 1: Gọi phương trình tiếp điểm M(x0; y0) tiếp tuyến d đồ thị y – y0 = f’(x0) (x - x0).Vì tiếp tuyến qua A nên yA – y0 = f’(x0) (xA x0 ) Giải phương trình x0; y0 viết phương trình tiếp tuyến Cách 2: Gọi k hệ số góc đường thẳng d qua A, phương trình d dạng y = k(x – xA) + yA tiếp tuyến hệ sau có nghiệm:  f ( x) k ( x  x A )  y A  Giải hệ tìm x, tìm k, viết phương trình tiếp tuyến  f '( x) k b Các ví dụ tự luận Ví dụ 23: [Đề thi thử THPT chuyên Quốc học Huế] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến qua A (1; -1) Bài giải: Tiếp tuyến (d) M (a, a4 – 2a2) y = (4a3 – 4a)(x – a) + a4 – 2a2 Vì A (d) nên (a – 1)2(3a – 1)(a + 1) = x = 1 x = (d): y = -1 Với x = Với x =  32 (d): y = x+ [8] 27 27 Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy lúc số tiếp tuyến số tiếp điểm, cụ thể : có tiếp điểm có hai tiếp tuyến Như suy đồ thị hàm số bậc có tiếp tuyến tiếp xúc đồ thị hai điểm phân biệt Ví dụ 24: Cho (C) y = x3 – 2x2 + (m – 2) x + 3m (m tham số) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị hàm số qua điểm A (1 ;  55 ) 27 Bài giải : Hệ số góc tiếp tuyến M(x0, y0) : k = y’(x0) = 3x02 – 4x0 + m – 10 2 11m 55  x0 = => M ( ; ) =>phương trình tiếp 3 3 27 10 11m 55  tuyến: y = (m - ) (x - ) + Vì A thuộc tiếp tuyến nên m = 3 27 Ta có kmin = m - Ví dụ 25: [Đề thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc – 2014] Viết phương trình tiếp 1 x qua giao điểm tiệm cận Ox 2x  1 Bài giải: Đồ thị có giao điểm tiệm cận Ox M (- ; 0) Đường thẳng d qua M: y = k(x + ) tiếp tuyến hệ sau có nghiệm:  1 x  x  k ( x  ) 1 1  x   k  Vậy d: y = x.[8]  3 12 12  k  (2 x  1) tuyến (C): y  Ví dụ 26: Cho (C) : y  x  x  Chứng minh từ A (1; -1) kẻ x  hai tiếp tuyến vng góc đến (C) 10 Bài giải : Đường thẳng d: y = k(x – 1) – tiếp tuyến hệ  x  x   x  k ( x  1)   3  1   x  k sau có nghiệm:  (tích -1) 2  x  x k  ( x  1) c.Ví dụ trắc nghiệm [8] Ví dụ 27 (Đề thi thử THPT Bắc Kạn – 2017) Số tiếp tuyến qua điểm A(1; -6) đồ thị y x3  3x  là: A, B, C, D, Ví dụ 28 Hai tiếp tuyến parabol y x qua điểm  2;3 có hệ số góc A B C D -1 Ví dụ 29 Cho hàm số y x3  3x  (C) Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua A( 1;  2) A y 9 x  7; y  B y 2 x; y  x  C y x  1; y 3x  D y 3x  1; y 4 x  d.Bài tập áp dụng Bài tập 9: Viết phương trình tiếp tuyếnvới đồ thị (C) : y = x3 – 3x2 – 9x + 20 biết tiếp tuyến qua A (3; -7) Đáp số y =-9x + 20, y =-7 Bài tập 10: Cho hàm số y =4x2 +3mx+6 Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến qua A (1; -2).Đáp số : m > -4 Bài tập 11: Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + Gọi M điểmtrong mặt phẳng cho biểu thức T = + đạt giá trị nhỏ nhất, A, B điểmcực trị hàm số C (0; 39) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ M đến đồ thị Đáp số : y = 12x + 12 Dạng : Bài toán kẻ n tiếp tuyến đến đồ thị hàm số a.Phương pháp : Tiếp tuyến (d) qua A có hệ số góc k y = Dùng điều kiện tiếp xúc để tìm k Điều kiện để qua A kẻ n tiếp tuyến hệ phương trình có n nghiệm k phân biệt b.Các ví dụ tự luận Ví dụ 30: [Đề thi HSG Thanh Hóa – 2015] Tìm trục tung điểm kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) y = hai tiếp điểm hai tiếp tuyến nằm hai phía Ox Bài giải: Tập xác định D = R\ {1} Đường thẳng (d) qua A (0; m) có phương trình y = kx + m Đường thẳng d tiếp tuyến đường thẳng 11 hệ sau có nghiệm k phân biệt : Thế (2) vào (1) ta (m – 1) x2 -2(m + 2) x+ m + = (3) Từ A kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C )  hệ có hai nghiệm k phân biệt  hệ có hai nghiệm x phân biệt  pt (3) có hai nghiệm x phân biệt x  m > -2.Giả sử hai tiếp điểm (x1; y1), (x2; y2) Theo Viet: Hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh y1.y2 <  < 0 m >- Vậy m >- [8] Nhận xét: Hai điểm A(x1; y1), B (x2; y2) nằm hai (cùng) phía Ox y1.y2 < (y1.y2 > ) Hai điểm A(x1; y1), B (x2; y2) nằm hai (cùng) phía Oy x1.x2 < (x1.x2 > 0) Hai điểm A(x1; y1), B(x2; y2) nằm hai (cùng) phía đường thẳng d: ax + by + c = (ax1 + by1 + c) (ax2 + by2 + c) < (>0) Ví dụ 31: [Đề thi thử THPT Amsterdam – 2014] Cho hàm số y = x3 + 3x2 – Tìm d: y = 9x – điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị Bài giải : Gọi đường thẳng qua M (a; 9a – 7) : y = k(x – m) + 9m – tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm k phân biệt Thế (2) vào (1) ta (x – 1) [2x2 + (5 – 3m) x + – 9m] = (3) Từ M kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (C )  hệ có ba nghiệm k phân biệt  hệ có ba nghiệm x phân biệt  phương trình (3) có ba nghiệm x phân biệt phương trình 2x2 +(5 – 3m)x + – 9m = có hai nghiệm x phân biệt x  m (- ; -5) ( ; + )\{1}.[8] Ví dụ 32: Cho hàm số y = x4 - 2x2 – Tìm trục tung điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị 12 Bài giải: Đường thẳng qua M (0; a) Oy : y = kx + m tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm k phân biệt : Thế (2) vào (1) ta 3x4 – 2x2 + m + = (3) Đặt t = x2, t > 0: 3t2 – 2t + m + = (4) Phương trình (3) có ba nghiệm x phân biệt pt (4) có hai nghiệm t thỏa mãn t1 = < t2 => m = -1 Thử lại, với m = -1, pt (4) có hai nghiệm t1 = 0, t2 = (tm) => => phương trình (2) có nghiệm , , Vậy từ M (0; -1) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị Lưu ý hàm số bậc hai điều kiện “có ba giá trị k phân biệt” “ba nghiệm x phân biệt” không tương đương xảy trường hợp tiếp tuyến tiếp xúc với đường thẳng hai tiếp điểm, nên sau giải phải thử lại Ở hàm số bậc hàm số phân thức điều kiện tương đương c.Ví dụ trắc nghiệm [8] Ví dụ 33 (Đề thi thử THPT Thanh Hà – 2017) : Có tiếp tuyến đồ thị y x  x  song song với đường phân giác góc phần tư thứ A, B, C, D, Ví dụ 34 (Đề thi thử THPT Bắc Kạn – 2017) Có tiếp tuyến đồ thị y 2 x  x  song song với Ox A, B, C, D, d.Bài tập áp dụng Bài tập 12: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – (C) Tìm (d): y = điểm kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị Đáp số m (- ; -1) ( ; + )\ {2} Bài tập 13: Cho hàm số (C) Tìm trục tung điểm mà từ kẻ hai tiếp tuyến đến hai nhánh đồ thị.Đáp số < m < Bài tập 14: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – Tìm m để đường thẳng d: y = m (2 – x) + cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt A (2; 2), B, C cho tích hệ số góc tiếp tuyến B, C nhỏ nhất.Đáp số : m = -1 Bài tập 15: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm trục tung điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị.Đáp số : M (0; 1), M (0; -1) Dạng : Sử dụng toán tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức : 13 a Phương pháp: Khái niệm tính lồi lõm đồ thị hàm số : Cho y = f(x) (C) có đạo hàm (a; b) Đồ thị hàm số gọi lồi (a ; b) với điểm M(c ; f(c)) (c ∈ (a ;b)) tiếp tuyến đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số nằm phía đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số Tương tự cho khái niệm đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số lõm Dấu hiệu lồi lõm đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số : Nếu f ’’(x) < 0, ∀x ∈ (a ; b) đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số lồi khoảng (a; b) Nếu f ’’(x) > 0, ∀x ∈ (a ; b) đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số lõm khoảng (a; b) Nhận xét : Cho hàm số y = f(x) y = g(x) có đồ thị hàm số nằmồ thị (C) (G) - Trên khoảng (a ; b) đồ thị hàm số nằmồ thị (C) nằm đồ thị hàm số nằmồ thị (G) f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ (a ; b) - Nếu đồ thị y = f(x) lồi (a; b) tiếp tuyến C(c; f(c)) (c ∈ (a ;b)) y = f’(c)(x – c) + f(c) f(x) < f’(c)(x – c) + f(c) Nếu đồ thị y = f(x) lõm (a; b) f(x) > f’(c)(x – c) + f(c) Chú ý : Phương pháp cho phép ta đánh giá biểu thức f(x) dễ dàng thông qua biểu thức bậc Hơn nữa, ta chọn c để dấu xảy theo u cầu tốn b Ví dụ tự luận Ví dụ 35: Cho a, b, c > a + b + c = CMR a  b  c ab  bc  ca Bài giải : Dấu “=” a = b = c = Bất đẳng thức tương đương với a  b  c 9  a  b  c Xét hàm số f ( x ) x  x , tiếp tuyến x = y = 3x Ta có f(x) – 3x ≥0,  x∈(0 ;1) nên với a, b, c ∈(0 ;1) : f(a) + f(b) + f(c) ≤ 9.[10] Ví dụ 36 : Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = CMR : (2a  b  c) (2b  a  c ) (2c  b  a)   8 2a  (b  c ) 2b  (a  c) 2c  (b  a ) Bài giải : Vì a + b + c = nên ta có: a  2a  b  2b  c  2c    8 3a  2a  3b  2b  3c  2c 1 x  x  f ( x )  Xét hàm số Tiếp tuyến x = y = 4x + Ta có f(x) – 3 x  x  (4x + ) ≥ 0,  x∈(0 ;1) nên với a, b, c ∈(0 ;1) : f(a) + f(b) + f(c) ≤ [10] c Bài tập [10] Bài tập 16: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1      4     a b c a  b  c  a  b b  c c  a  Bài tập 17: Cho a, b, c, d > a + b + c + d = Chứng minh rằng: a b c d     2 2  3a  3b  3c  3d 14 Dạng 6: Một số dạng toán khác a Ví dụ tự luận Ví dụ 37 [Đại học khối D 2007] : Cho hàm số y  2x (C) Tìm điểm M thuộc x  (C) biết tiếp tuyến (C) M cắt trục tọa độ A B cho tam giác OAB có diện tích 2x Bài giải : Tập xác định : D = R\ {-1} Gọi M ( x0 ; x  1) , tiếp tuyến M x0 2 x0 2 ( x  x )  , (d) cắt Ox Oy A (-x0 ; 0), B(0; ) ( x0  1)2 x0  ( x0  1) 1 1 Từ SABC  ta có x0 = x0 = nên M(1 ;1) M( ; -2) [8] 2 (d) : y  Ví dụ 38: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + có đồ thị (C) Trong tất tiếp tuyến đồ thị tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài giải : Gọi M(x0, y0) thuộc (C), hệ số góc tiếp tuyến M k = y’(x0) = 3x02 + 6x0 – Ta có kmin = -12 x0 = -1 => M (-1; 16)=>phương trình tiếp tuyến: y = -12x + Nhận xét: M (-1; 16) điểm uốn đồ thị Ví dụ 39: Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx + c Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm chung M, N với trục hồnh Gọi P giao điểm đồ thị với trục tung, biết tiếp tuyến đồ thị nghiệm qua P Tìm a, b, c để SMNP 1 Phân tích: Thơng thường ta tìm tọa độ M, N theo a, b, c việc khó khăn, thay vào ta biểu diễn a, b, c theo tọa độ M, N để giảm bớt số ẩn Bài giải: Gọi M (m; 0) N (n; 0) Phương trình x3 + ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt ta giả sử y = x3 + ax2 + bx + c = (x – m)2 (x – n) Giao điểm đồ thị với trục tung P (0; -m2n) mn Vì y’(m) = y’ (n) = (n – m)2 nên phương trình tiếp tuyến y = y = (n – m)2(x – n), đường thẳng chứa P Suy -m2n = -n(n – m)2  (n – m)2 = m2 n= 2m Mà SMNP = nên m = m = -1 Với m = n=2 =>a= -4, b = 4, c = -2 Với m = -1 n= -2 =>a= 4, b = 5, c = Ví dụ 40: Cho (C): y = x3 – 3x – Xét ba điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (C) Gọi A1, B1, C1 giao điểm (C ) với tiếp tuyến (C ) A, B, C Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng Phân tích: - tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị cắt đồ thị điểm khác phương trình cho hồnh độ giao điểm tiếp tuyến đồ thị có hai nghiệm phân biệt Giải : Gọi a, b, c tiếp điểm.Tiếp tuyến A: y = (3a2 – 3)(x – a) + a3 – 3a – cịn cắt (C) điểm A1 có hoành độ -2a, tương tự tiếp tuyến B, C cắt (C ) điểm B1, C1 có hồnh độ -2b, -2c 15   AB (b  a;(b  a )(b  ab  a  3), AC (c  a; (c  a )(c  ac  a  3) A, B, C thẳng hàng a + b + c = Như A, B, C thẳng hàng tổng hoành độ Xét tổng hoành độ điểm A1, B1, C1: -2a +(-2b) + (-2c) = -2(a + b + c) = nên chúng thẳng hàng Ví dụ 41: Tìm tiếp tuyến cố định họ đường cong y  (m  1) x  m (m x m 0) Bài giải: nhận xét x= a tiếp tuyến họ đồ thị Đường thẳng (d): y = kx + b tiếp xúc họ đồ thị hệ sau có nghiệm m 0:  m2  x  m  m  kx  b   Ta có (k + 1)2m2 +2(k – 1) (b + 1) m + (b + 1)2 = thỏa  m  k  ( x  m) mãn với m b = k = -1 Thử lại thấy hệ có nghiệm x = 0, phương trình tiếp tuyến y = -x – cố định Ví dụ 42 : Cho (C) : y = x4 – 2x2 + Viết phương trình tiếp tuyến tiếp xúc đồ thị hai điểm phân biệt Bài giải : Gọi hai tiếp điểm a, b (a b), tiếp tuyến A tiếp  k  f '(a)  f '(b)   f '(a )( x  a )  f (a )  f '(b)( x  b)  f (b)  a  ab  b  0  a 1; b   TH1 :  hai tiếp điểm (1; 1), (-1; 1)  a  1; b 1  a  b 0 tuyến B nên phương trình tiếp tuyến y =  a  ab  b  0 TH2  loại a b.Vậy tiếp tuyến cần tìm y = 3a  3b 2 Ví dụ 43: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (P): y = x2 (P’): y = x2 – 2x – Bài giải: Gọi tiếp tuyến chung (d): y = ax + b (d) tiếp xúc với (P)  x12 ax1  b (P’) nên hai hệ phương trình:   x1  a  x2  x2  ax2  b  có nghiệm  x2  a suy x1=-1, x2 = nên a = -2, b = -1 Vậy tiếp tuyến chung y = - 2x – b.Ví dụ trắc nghiệm.[8] Ví dụ 44 (Đề thi thử THPT Phan Chu Trinh – 2017) : Cho (C) y x3  3x  Tiếp tuyến điểm A(0; 1) cắt đồ thị điểm M khác điểm A Tìm M A, M(-3; 1) B, M(-1; 3) C, M(1; 5) D, M(-2; 5) Ví dụ 45 (Đề thi thử THPT Yên Lạc – 2017) Tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị (C): y x3  3x cắt (C) điểm N không trùng M Kết luận đúng: A, xM  xN 6 B, xM  xN  C, xM  xN  D, xM  xN 3 c Bài tập áp dụng 16 Bài tập 18: Cho (C) y = x  Tìm hệ số góc k đường thẳng (d) qua x  điểm M(-1; 2) cho (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt A, B Đáp số k = -1  2x Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến x  cách hai điểm A (-7; 6), B (-3; 10) Đáp số : y = -5x – 17, y = - x + 4 Bài tập 19: Cho (C) y = Bài tập 20: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến giao điểmcủa đồ thị hàm số (Cm) : y = x  m với trục hồnh, k’ hệ số góc tiếp tuyến điểm có x  hồnh độ x = Tìm m để T = |k + k’| đạt giá trị nhỏ nhất.Đáp số: m = -1 m=3 Bài tập 21: Cho (C) : y = x3 – 3x2 + m2x + – m2 Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt cho tổng hệ số góc tiếp tuyến điểm lớn Đáp số: Tmax = m = 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: 2.4.1 Kết thực tiễn Để nghiên cứu đề tài, ngồi phần kiến thức có liên quan, tơi tiến hành tổng hợp, phân dạng tìm tịi cách giải ngắn gọn dễ hiểu cho dạng toán, đồng thời dạng phân loại xếp hệ thống ví dụ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp Kết quả, đưa dạng tốn với 45 ví dụ 21 tập áp dụng, dạng gồm phần phương pháp, ví dụ tập, đồng thời dạng gồm loại tập trắc nghiệm tự luận Ban đầu học sinh gặp khó khăn bỡ ngỡ việc thực Tuy nhiên sau hướng dẫn cụ thể vấn đề gặp phải trở nên đơn giản dễ tiếp cận hơn, đồng thời tạo cho học sinh thói quen tư cách làm việc khoa học, hiệu 2.4.2 Kết thực nghiệm: Để kiểm nghiệm kết đề tài trên, tơi có tiến hành khảo sát số đối tượng học sinh, thu thập số liệu sau: -Lớp thực nghiệm: Lớp 12G, 12K năm học 2015 – 2016 Giỏi (G) Khá (K) Trung bình Yếu Kém Lớp TSHS Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ HS % HS % HS % HS % HS % 12G 41 35 85,37% 14,63% 0,00% 0,00% 0,00% 12K 45 10 22,22% 30 66,67% 11,11% 0,00% 0,00% -Lớp đối chứng: Lớp 12M, 12D năm học 2014 - 2015m học 2014 - 2015c 2014 - 2015 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp TSHS Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ Số Tỷ lệ HS % HS % HS % HS % HS % 12B 42 20 47,62% 18 42,86% 9,52% 0.00% 0.00% 12H 43 0,00% 15 34,88% 27 62,79% 2,33% 0,00% 17 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr Hình 1: Biểu đồ so sánh kết đánh giá Theo kết bảng so sánh biểu đồ, nhận thấy nội dung giải pháp SKKN nêu có kết khả quan Điều thể tỉ lệ lớp phân công giảng dạy áp dụng thử nghiệm với mức độ khác Sau nghiên cứu thử nghiệm áp dụng đơn vị bước đầu có hiệu quả, bên cạnh tơi thấy cần có thời gian nhiều để thử nghiệm, cịn có số HS số lớp chưa đạt yêu cầu điểm kiểm tra xấp xỉ trung bình Ngồi ra, thân tơi tích lũy tài liệu bổ ích q trình giảng dạy cho học sinh 3.Kết luận, kiến nghị 3.1.Kết luận: Đề tài mang tính thực tiễn cao q trình giảng dạy, tơi cần chọn lát cắt ngang phù hợp cung cấp kiến thức phù hợp đầy đủ cho đối tượng học sinh, dù học sinh giỏi, hay trung bình, yếu Tuy nhiên, kinh nghiệm tơi tự tích lũy được, khó tránh khỏi thiếu xót hạn chế, mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp 3.2.Kiến nghị: Những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thực tế tốt, thiết thực Sở Giáo dục – Đào tạo xếp loại cần sưu tập, bổ sung đầy đủ in thành tập san để giáo viên sử dụng làm tài liệu giảng dạy, đồng thời tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh phụ huynh XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh hóa ngày 05 tháng 06 năm 2017 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Phan Thị Thanh 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao Sách Bài tập Đại số - Giải tích 12 Nâng cao Sách giáo khoa Đại số giải tích 11 Nâng cao Sách Bài tập Đại số giải tích 11 Nâng cao Hàm số tập Tác giả: Phan Huy Khải Hàm số tập Tác giả Trần Phương Báo toán học tuổi trẻ Các đề thi đại học, thi thử THPT quốc gia, thi HSG môn toán từ 2002 2017 Nguồn khác: Internet 19 10.Kinh nghiệm giảng dạy số Bài tập phương trình tiếp tuyến Tác giả Nguyễn Thị Thức 20 ... phía đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số Tương tự cho khái niệm đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số lõm Dấu hiệu lồi lõm đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số : Nếu f ’’(x) < 0, ∀x ∈ (a ; b) đồ thị hàm số nằmồ thị hàm. .. trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0,f(x0)) có phương trình : y = f’(x0)(x- x0) + f(x0) A5.Điều kiện tiếp xúc hai đồ thị. .. a Phương pháp: Khái niệm tính lồi lõm đồ thị hàm số : Cho y = f(x) (C) có đạo hàm (a; b) Đồ thị hàm số gọi lồi (a ; b) với điểm M(c ; f(c)) (c ∈ (a ;b)) tiếp tuyến đồ thị hàm số nằmồ thị hàm số

Ngày đăng: 16/08/2017, 14:35

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • 1. Mở đầu

    • 1.1. Lí do chọn đề tài

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan