SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP ‘‘NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC TẠP Ở LỚP 10 Người thực hiện: Nguyễn Thị Hà Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực môn : Toán THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤC A MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán trung học phổ thông, phương trình vô tỷ nội dung quan trọng, thường có đề thi chuyên đề, kỳ thi khảo sát, thi học sinh giỏi sở tổ chức đặc biệt kỳ thi THPT Quốc Gia hàng năm để xét công nhận tốt nghiệp lấy kết để tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng Phương trình vô tỷ có nhiều dạng khác với số lượng tập phong phú nhiều cách giải kỹ thuật giải khác nên có gây khó khăn nhiều cho giáo viên học sinh Chính lý nội dung đòi hỏi giáo viên học sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt Trong thời đại ngày với phát triển vũ bão công nghệ thông tin nhà sản xuất máy tính cầm tay không ngừng nâng cấp cho đời hệ máy tính với tốc độ tính toán cực nhanh nhiều chức có chức tìm nghiệm Kết hợp với chức đưa “PHƯƠNG PHÁP “ NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC TẠP ” Hy vọng với đề tài giúp cho độc giả có cách nhìn tổng quát cách nhân liên hợp giải phương trình vô tỷ đặc biệt em học sinh có kỹ giải phương trình vô tỷ để bước vào kì thi đạt kết tốt MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tôi nghiên cứu đề tài nhằm giúp học sinh giải số phương trình vô tỉ với hỗ trợ máy tính cầm tay phương pháp nhân lên hợp ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp 10A5, 10A6 khóa học 2015-2016, lớp 10A4, 10A3, 10A5 khóa học 2016-2017 trường THPT Đông Sơn PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết - Kiểm tra, khảo sát để đánh giá hiệu đề tài B NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP “NHÂN LIÊN HỢP” CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM a Phương trình ẩn Cho hàm số y = f ( x ) hàm số y = g ( x ) có tập xác định D f Dg Mệnh đề chứa biến “ f ( x ) = g ( x ) ” gọi phương trình ẩn ( x ẩn) Tập D = D f ∩ Dg gọi điều kiện xác định phương trình, Số x0 ∈ D cho f ( x0 ) = g ( x0 ) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình Tập T = { x0 ∈ D : f ( x0 ) = g ( x0 ) } gọi tập nghiệm phương trình ( 1) Giải phương trình tìm tập nghiệm T Nếu tập nghiệm T = φ ta nói phương trình vô nghiệm b Hai phương trình tương đương Hai phương trình ẩn gọi tương đương chúng có tập nghiệm ( rỗng) Nếu phương trình f ( x ) = g ( x ) tương đương với phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) ta viết f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x ) Hai phương trình có điều kiện xác định D tương đương với ta nói hai phương trình tương đương với D với điều kiện D hai phương trình tương đương với c Phép biến đổi tương đương Phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi tập nghiệm gọi phép biến đổi tương đương Định lý: Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) xác định D;h ( x ) hàm số xác định D Khi D phương trình cho tương đương với phương trình sau: + f ( x) + h( x) = g ( x) + h( x) + f ( x ) h ( x ) = g ( x ) h ( x ) h ( x ) ≠ 0∀x ∈ D d Phương trình hệ Phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) gọi phương trình hệ phương trình f ( x ) = g ( x ) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) Khi ta viết f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ) Định lý: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương 2 trình hệ phương trình cho f ( x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) e Phương trình vô tỷ phương trình chứa ẩn dấu f Phương trình vô tỷ dạng Dạng Dạng  f ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x)  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x) g Các biểu thức liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hợp A+ B A− B A− B A+ B 3 A+ B A − AB + B 3 A−3 B A + AB + B Tích A− B A− B A− B A− B GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Sau đưa số ví dụ giải phương trình vô tỷ cách nhân liên hợp, có phân tích giải thích chi tiết lời giải ví dụ sau số ví dụ có đánh giá ưu nhược điểm phương pháp nhằm giúp độc giả hiểu sâu sắc kỹ thuật nhân liên hợp để giải phương trình vô tỷ Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = x + x + + 3x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 ( 1) Chú ý: Dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x = − 1  1 Tại x = − ta có − + −  − ÷+ = nên 2  2 ( 1) ⇔ x + x + + ( 3x + − x + ) = ⇔ ( x + 3) ( x + 1) + ( 3x + − x + )( 3x + + x + 3x + + x + 2x +1 =0 3x + + x +   ⇔ ( x + 1)  x + + ÷= 3x + + x +   ⇔ ( x + 3) ( x + 1) + ) =0  x=−  ⇔ 2 x + + = ( 1.1)  3x + + x + > Do ( 1.1) vô nghiệm 3x + + x + Vì x ≥ −1 nên x + + Vậy phương trình có nghiệm x = − Ví dụ 2: Giải phương trình: x − + − x = x − x + ( ) Lời giải: Điều kiện: ≤ x ≤ Chú ý: Dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x = Tại x = ta có − = − = nên ( ) ⇔ ( x − − 1) + ( − x − 1) = x − x + x−4 x−4 − = ( x − ) ( x − 1) x − +1 − x +1   1 ⇔ ( x − 4)  − − x − 1÷ = − x +1  x − +1  x = ⇔  1 = + x − (2.1)  x − + − x +1 ⇔  ≤ ( 2.1.1)  x − +1 ≥ ⇒ x − +1  Vì ≤ x ≤ nên  2 x − ≥ ⇒ + x − > ( 2.1.2 )  − x +1 Từ (2.1.1) (2.1.2) suy (2.1) vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = Nhận xét: Trong ví dụ ta thấy x = −  1 − + = 3 − ÷+  2  1 − + −  − ÷+ = Do đó, ta thêm bớt mà nhân liên hợp  2 Nhưng ví dụ x = ta có − = − = 1, theo − + − = nên ta phải thêm bớt cách làm nhân liên hợp Ví dụ 3: Giải phương trình: x + − − x + 12 x − 28 x − = ( 3) Lời giải: Điều kiện: − ≤ x ≤ Tương tự hai ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm 5 phương trình x = Tại x = ta có + = 4, ( 3) ⇔ x + − − ( − x −1) + 12 x − 28 x − = ( x − 5) 2x − ⇔ + + 2x − 6x +1 = ( 6x +1 + )( − = nên ) − x +1   ⇔ ( x − 5)  + + x + 1÷ = − 2x +1  6x +1 +   x=  ⇔  + + x + = ( 3.1)  x + + − 2x +1 1 + + x + > ⇒ ( 3.1) vô nghệm Vì − ≤ x ≤ nên 6x +1 + − x +1 Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình ( x − ) x + − ( x − ) x + = ( x − 1) Lời giải: ( 4) Điều kiện x ≥ − Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = x=3 Tại ( x − 5) ta x + = 3, ( x − ) x + = ; có x + = 0, ⇔ ( x − 3)  ⇔ ( x − 5)    ⇔ ( x − 5)    ⇔ ( x − 5)    ( x=5 ta có x + = x = ta có x + x + không phương Do ta có ( 4) ⇔ ( 2x − 6) ( ) x + − − ( x − 5) x + + ( x − ) = ( x − 5) x+4 +3 ) − ( x − 5) x + + ( x − 5) = ( x − 3)  − x + + 3 = x+4 +3   ( 2x − 6) − 2x + −  = x+4 +3   ( 2x − 6) 2x − =0 − x+4 +3 2x + +   ( ) ( )  ⇔ ( x − 5) ( x − 6)  −  x+4 +3  ⇔ ( x − 5) ( x − 6)  =0 2x + +   ( 2x + − x + ( x+4 +3 )( 2x + + ) ) =0 x = ( x − ) ( x − ) = ⇔ ⇔  x =  x + = x +  x = Vậy phương trình có ba nghiệm x = 1, x = 3, x = Nhận xét: Trong ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm ba nghiệm Nhưng xác định biểu thức nhân liên hợp ta nhân nghiệm mà thay vào ta số hữu tỷ trước ( tìm nghiệm x = x = trước) Nếu tìm nghiệm mà thay vào ta số vô tỷ trước ( tìm nghiệm x = ví dụ trên) toán trở nên phức tạp Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 − x + x + = 3x − x + ( 5) Lời giải: Điều kiện: −2 ≤ x ≤ * Cách Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có nghiệm x = −1 Tại x = −1 ta có − x = 2, x + = , x = ta có − x = 1, x + = Do ta có: ( 5) ⇔ 3 − x − + x + − = 3x − x − ( ⇔3 ) ( ( − x − 1) + x + +1 = ( x + 1) ( 3x − 5)  − ( 3x − 5)  = x + +1  3− x +  x +1 = −3 + − ( 3x − ) = ( 5.1) 3− x + x + +1 ⇔ ( x + 1)   ⇔   x +1 3− x +  ) −3 + Ta coi ( 5.1) phương trình bình thường tiếp tục dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x = Tại x = ta có  3− x + = −1;    − ÷− ( 3x − ) = ÷+  3− x +   x + +1   2− x+2  − x −1  + ÷  ÷− ( 3x − ) = − x + ÷  x + + ÷ Do ta có ( 5.1) ⇔ 1 −   ⇔   −3 x + +1 =  ÷+ ( − x ) =  − x +1 3− x + x + + x + +1÷      ⇔ ( − x) + + 1÷ =  − x +1 3− x + x + + x + +1 ÷   ⇔  2−x ( + 2 ) ( ( ) − x +1 ( ) ) ( ⇔ − x = ⇔ x = Vì 2−x 3− x + + ( ) x+2 +2 ) x + +1 +1 = vô nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x = −1; x = * Cách 2: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x = −1,x = Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta hai nghiệm + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 3 − x ta đặt y = 3 − x Ta có đồ thị hàm số y = 3 − x qua A ( −1; ) B ( 2; 3) Ta có AB : y = − x + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào x + ta đặt y = x + Ta có đồ thị hàm số y = x + qua C ( −1;1) D ( 2; ) Ta có CD : y = x + ( 5.2 ) + Ta có ( 5) ⇔ 3 − x − ( − x + )  + 3 x + − ( x + )  = ( x − x − ) + Vì −2 ≤ x ≤ nên 3 − x − x + > 0,3 x + + x + > Do đó: − x2 + x + − x2 + x + + = − x2 + x + ( 5.2 ) ⇔ 3− x − x +5 x + + x + ( ) ( )   + − ÷÷ = ( 5.3) 3− x − x +5 x + + x +  + Vì ≤ x ≤ nên 3 − x − x + ≥ 2,3 x + + x + ≥ ( )3 ⇔ − x + x +  ⇒ + 3− x − x +5 x + + x +  x = −1 + Do ( 5.3) ⇔ − x + x + = ⇔  x = −3< Vậy phương trình có nghiệm x = −1, x = ( 6) Ví dụ 6: Giải phương trình: x −1 + 12 x − = x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ * Cách 1: Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có nghiệm x = Tại x = ta có x − = 2, 12 x − = Do đó, ( ) ⇔ x −1 − + 12 x − − = x − ( ⇔ ) ( ( x − 1) 5x −1 + + ) 12 ( x − 1) 12 x − − ( ) − x2 − =   12 ⇔ ( x − 1)  + − ( x + 1) ÷ = 12 x − −  5x −1 +  x −1 =   ⇔ 12  + − ( x + 1) = ( 6.1)  x − + 12 x − + Ta coi ( 6.1) phương trình bình thường tiếp tục dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x = Tại x = ta có đó,  5x −1 + = 1; 12 12 x − + = Do    12 − 1÷+  − ÷− ( x − ) =  x − +   12 x − +  ( 6.1) ⇔  − 5x −1 ⇔ ⇔  ⇔ ( − x)    ( 5x −1 + ( ( ( − 3x − ) − ( x − 2) = 12 x − + 5( − x) ) 5x −1 + ( + x − ) + ( ( − 3x ) ) 12 x − + ( + x − ) − ( x − 2) =  + + 1÷ = ÷ ÷ 5x −1 + + x − 12 x − + 2 + x −  x=2   ⇔ + +1 =  5x −1 + + x − 12 x − + 2 + x −  + +1 = vô nghiệm 5x −1 + + x − 12 x − + 2 + x − )( ( Ta thấy + ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) )( )( ) ) Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1; x = * Cách 2: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x = 1,x = Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta hai nghiệm trên: + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào x − ta đặt y = x − Ta có đồ thị hàm số y = x − qua A ( 1; ) B ( 2; 3) Ta có AB : y = x + + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 12 x − ta đặt y = 12 x − Ta có đồ thị hàm số y = 12 x − qua C ( 1; ) D ( 2; ) Ta có CD : y = x + Do ( ) ⇔  x −1 − ( x + 1)  +  12 x − − x  = x − 3x + Vì x ≥ nên x −1 + x + > 0, 12 x − + x > Do đó: − x + 3x − − x + 3x − + = x − 3x + ( 6) ⇔ x −1 + x + 12 x − + x +   1 ⇔ − x + 3x −  + + 1÷ = 12 x − + x +   5x −1 + x + ( )  − x + 3x − = ⇔  1 + +1 =  x − + x + 12 x − + x +   x =1  x =   ⇔  1 + + = ( 6.2 )  12 x − + x +  5x −1 + x + 1 + +1 > x −1 + x + 12 x − + x + Vì x ≥ nên Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x = • Chú ý: Trong ví dụ ví dụ ta thấy cách đơn giản cách Nhưng có nhiều ví dụ mà thực cách phức tạp Khi ta buộc phải dùng cách chẳng hạn ví dụ ví dụ sau: Ví dụ 7: Giải phương trình: x − + x + + − x = x +   ( 7) Lời giải: Điều kiện x ∈  − ;1   Tương tự ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm Nên ta có ( 7) ⇔ ( 4x2 − 2x ) − 2x + − − x = x = ( ) ( ) − 2x − = 2x −2 x − =0 2x + + − 2x + 1   ⇔ x  ( x − 1) − + ÷= 2x + + − 2x +     2x + + − − 2x − ÷  ⇔ x ( x − 1) + =0  2x + + − 2x + ÷   ⇔ ( x2 − x ) − ( )( ) ( ( ) ( )( ( ) ( )( )  2x + − + − − 2x   ÷= ⇔ x ( x − 1) +  2x + + − 2x + ÷   2x −1 2x −1   +  ÷ 2x + + + − 2x ÷  ⇔ x  ( x − 1) + ÷= x + + − x +  ÷  ÷   1   +  ÷ 2x + + + − 2x ÷  ⇔ x ( x − 1) 1 + ÷= x + + − x +  ÷  ÷    x ( x − 1) =  1  + ⇔ 2x + + + − 2x 1 + =0  2x + + − 2x +  1 + 1+ − 2x Ta thấy: + x + + = vô nghiệm 2x + + − 2x + ( ( ( ( ) ) ( )( ( ) ( )( ( ) ) ) ( )( ( ) ) ) ) ) ) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = • Nhận xét: Trong ví dụ ta dùng cách toán tính toán phức tạp thêm bớt để nhân liên hợp tìm nhân tử trung ta phải tính đến số vô tỷ − 2x + 2x + = 5− x 5+ x Lời giải: Điều kiện −5 < x < Ví dụ 8: Giải phương trình ( 8) Tương tự ví dụ dùng máy tính cầm tay ta tìm nghiệm x = −4 x = Nên ta có ( 8) ⇔ ⇔2 4 − = 5− x 5+ x 4    + x −1 −  − ÷−  − ÷=  5− x 3  5+ x  5− x +2 5+ x − ( ) ( 5− x −3 + ) ⇔ ( ( −4 − x ) 5− x +3 + ) ( ( x + 4)  − − x  1− x +  −  ÷−  ÷= 5− x   5+ x  + x +1  )     4 x+4 −x − ÷  ÷ ⇔ + − −4 =0 5− x +3 + x +1  + − x − x ÷  1+ x + 5 + x ÷         ( −4 − x ) ( x + 4) x+4 −x − ÷−  ÷= ⇔ + −  5− x +3 + x +1  + − x − x ÷  1+ x + 5 + x ÷       −1 2  ÷= ⇔ ( x + 4) + − +  5− x +3 + x +1 3 + − x − x 1+ x + 5 + x ÷    − x −1 + − + x 16 − x + − x − − x + −   ÷= ⇔ ( x + 4) +2  − x + + x +1 3 + − x 25 − x + x + ÷   4− x 4− x 4− x 4− x   + 16 − x + +  ÷ 3− 5+ x − x −1 x+5 −3 ÷  − x +1 ⇔ ( x + 4)  +2 ÷= − x + + x + 3 + − x 25 − x + x +  ÷  ÷   ( ( −4 − x ) ( ) ( ) ( ( ( ( ( ) ( ) ( )( ( ) ( )(    ⇔ ( x + 4) ( − x )        ⇔    ( x + 4) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ) + ) ( ( − x + 3) ( − x +1 ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) ) ) )  ÷ 3− 5+ x − x −1 x +5 −3 ÷ +2 =0 + x +1 3 + − x 25 − x + x + ÷ ÷ ÷  ) 4+ ) ( ( + ) ( ) ) ( ) ( x + 4) ( − x ) = 1 + 4+ + − x +1 3− 5+ x − x −1 x+5 −3 +2 =0 − x + + x +1 3 + − x 25 − x + x + ) ( )( Phương trình ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 1 18 + 8+ + − x +1 − + x + − x −1 x+5 −3 = vô − x + + x + 3 + − x 25 − x + x + )( ) ( ) ( ) nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm x = −4; x = • Nhận xét: Trong ví dụ ta dùng cách toán tính toán phức tạp thêm bớt để nhân liên hợp tìm nhân tử trung ta phải tính đến biểu thức phức tạp Ví dụ 9: Giải phương trình: 79 + x − x − = 50 − x Lời giải: ( 9) 2 −9  79 + x − x ≥ ⇔ x ∈ ; Điều kiện    2  50 − x ≥   * Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x = 1,x = x = Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta ba nghiệm trên: + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 79 + x − x ta đặt y = 79 + x − x Ta có đồ thị hàm số y = 79 + x − x qua A ( 1; ) ,B ( 5; ) C ( 7; 3) Ta có Parabol qua ba điểm 33 A,B,C : y = − x + x + 4 + Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào 50 − x ta đặt y = 50 − x Ta có đồ thị hàm số y = 50 − x qua D ( 1; ) ,E ( 5; ) E ( 7;1) Ta có Parabol qua ba điểm D, E C có phương trình: y = − x + x + 25 33  33  79 + x − x +  − x + x + ÷ = ⇔ 79 + x − x = x − x − 4 4  33  x −x− ≥0  4  ⇔ 79 + x − x =  x − x − 33   ÷  4 4 33  x −x− ≥0  ⇔ 4  x − x3 − 18 x + 200 x − 175 = +Nếu ( Nếu )  x ∈ −∞ ; − 37  ∪  + 37 ; +∞   ⇔ ⇔ x = −5  ( x + ) ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = 25  x − x − ≥0 25    2 4 50 − x +  − x + x + ÷ = ⇔    16 ( 50 − x ) = ( x − x − 25 )  ( )  x ∈ −∞ ; − 29  ∪  + 29 ; +∞   ⇔ ⇔ x = −5  ( x + ) ( x − 1) ( x − ) ( x − ) = + Thay x = −5 vào ( ) không thỏa mãn  33   2  79 + x − x +  − x + x + ÷ ≠    + Với x ≠ −5 ta có  ta có 25   2  50 − x +  − x + x + ÷ ≠     33   25  ( ) ⇔  79 + x − x −  − x + x + ÷÷ =  50 − x −  − x + x + ÷÷       2 33  25    79 + x − x −  − x + x + ÷ 50 − x −  − x + x + ÷ 4    ⇔ =  33    25     2  79 + x − x +  − x + x + ÷÷  50 − x −  − x + x + ÷÷       ⇔ ( x + 5) ( x − 1) ( x − 5) ( x − ) = ( x + ) ( x − 1) ( x − ) ( x − )  33    25     2  79 + x − x +  − x + x + ÷÷  50 − x +  − x + x + ÷÷       ⇔ ( x + ) ( x − 1) ( x − ) ( x − )  79 + x − x + − 50 − x  =    ( x + 5) ( x − 1) ( x − 5) ( x − ) = ⇔ 2  79 + x − x + − 50 − x = ( 9.1) + Dùng máy tính cầm tay nhân liên hợp ta phương trình ( 9.1) có nghiệm x = −5 Nghiệm loại Vậy phương trình ( ) có tập nghiệm S = { 1; 5; 7} * Nhận xét: Phương trình ( ) ta giải cách bình phương đưa phương trình bậc cao dùng máy tính cầm tay đưa tích phương trình bậc hai Tuy nhiên tác giả muốn đưa kỹ thuật nhân liện hợp, nhân lần ba nghiệm ví dụ 10 sau việc bình phương đưa phương trình bậc cao rất phức tạp Ví dụ 10: Giải phương trình x − 30 x + 40 + x − 18 x + 16 = x − x + x + Lời giải: Điều kiện x ∈ ¡ ( 10 ) * Chú ý: Dùng máy tính ta tìm phương trình có hai nghiệm x = 1,x = x = Bây ta tìm đại lượng cần “thêm bớt” vào biểu thức chứa để sau nhân liên hợp lần ta ba nghiệm trên: * Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào x − 30 x + 40 ta đặt y = x − 30 x + 40 Ta có đồ thị hàm số y = x − 30 x + 40 qua A ( 1; ) ,B ( 2; ) C ( 3; ) Ta có Parabol qua ba điểm A,B,C có phương trình y = x − x + * Để tìm đại lượng cần thêm bớt vào x − 18 x + 16 ta đặt y = x − 18 x + 16 Ta có đồ thị hàm số y = x − 18 x + 16 qua D ( 1; ) ,E ( 2; ) E ( 3; ) Ta có Parabol qua ba điểm D,E C có phương trình: y = x − 3x + + Với ∀x ∈ ¡ ta có x − 30 x + 40 + x − x + ≠ x − 18 x + 16 + x − x + ≠ Do x − 30 x + 40 − ( x − x + ) + x − 18 x + 16 − ( x − x + ) = x − x + 11x − ( 10 ) ⇔ ⇔ x − 30 x + 40 − ( x − x + ) x − 30 x + 40 + ( x − x + ) 2 − x + 10 x3 − 35 x + 50 x − 24 ⇔ x − 30 x + 40 + ( x − x + ) 2 + x − 18 x + 16 + ( x − x + ) + x − 18 x + 16 + ( x − x + ) 2 − x + x − 11x + x x − 18 x + 16 + ( x − x + ) 2 = x − x + 11x − = x − x + 11x −   x−4 x ⇔ ( x − x + 11x − ) 1 + +  = 2 2 x − 30 x + 40 + x − x + x − 18 x + 16 + x − x +    x3 − x + 11x − = ( 10.1) ⇔  x−4 x 1+ + = ( 10.2 )  x − 30 x + 40 + x − x + x − 18 x + 16 + x − x +  x =1 ( 10.1) ⇔ ( x − 1) ( x − x + ) = ⇔  x =  x = x−4 x + =0 ( 10.2 ) ⇔ + x − 30 x + 40 + x − x + x − 18 x + 16 + x − x + x−4 x + = Nếu x ≥ ta có1 + x − 30 x + 40 + x − x + x − 18 x + 16 + x − x + = x − 30 x + 40 + ( x − ) x − 30 x + 40 + x − x + không nghiệm ( 10.2 ) Nếu x < ta có + = + x x − 18 x + 16 + x − x + x−4 x − 30 x + 40 + x − x + + > ⇒ ∀x ≥ x x − 18 x + 16 + x − x + x−4 x + + + > 6 x − 30 x + 40 + x − x + 6 x − 18 x + 16 + x − x + = > x−4 x + + + = 2 x − 5x + 6 x − 18 x + 16 + x − x + x − 19 x + 21 x − 18 x + 16 + x + x + = + ( x − x + ) 6 x − 18 x + 16 + x − x + ( ) > ⇒ ∀x < không nghiệm ( 10.2 ) Do ( 10.2 ) vô nghiệm Vậy phương trình ( 10 ) có ba nghiệm phân biệt • Nhận xét: ví dụ việc tìm biểu thức nhân liên hợp để tìm ba nghiệm vấn đề khó đồi hỏi học sinh phải giỏi thực làm việc chứng minh phương trình lại vô nghiệm khó đòi hỏi học sinh phải có khả tư tốt làm làm BÀI TẬP VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 1) x − 11x + 21 = 33 x − 2) x + − x = x ) 3) ( 4) x − + − x − x + x + = x + − 3x − = x + 5) x + x + 20 = 3x + 10 6) x − x + − x + = x − 7) x + x + 3 x + x + − 18 = 8) x + x + = x ( x + 5) + 9) 3x − 12 x − 10 + x − x + 12 = 10) ( x + 4) ( x + 1) − x + x + = ) 11) ( 12) x + + − x = x + −2 x + x + 12 − 23 x + + 10 − x − 30 + x − x = 4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đánh giá định tính Việc xử sáng kiến có tác dụng lớn việc bồi dưỡng tư cho học sinh, đặc biệt kỹ tổng hợp kiến thức giúp học sinh nâng cao hiệu học tập Phương pháp giải toán tổng quát, nên cho trường hợp Học sinh giáo viên có thêm phương pháp làm nhanh câu hỏi khó b) Đánh giá định lượng Qua nhiều năm giảng dạy thấy toán giải phương trình vô tỉ toán khó học sinh kể em học tốt Bởi hướng dẫn cho em thực giải toán trình bày đây, cụ thể lớp 10A1, 10A5, 10A6 khóa học 2015-2016, lớp 10A4, 10A3, 10A5 khóa học 2016-2017 Qua kiểm tra, khảo sát lớp thu kết sau đây: Năm học 2015-2016 Lớp Số học sinh Số học sinh giải Số học sinh giải được khảo sát toán trước áp toán sau áp dụng đề tài dụng đề tài 10A1 40 học sinh hs = 15% 30 hs = 75% 10A5 41 học sinh 10 hs = 26% 25 hs = 90% 10A6 41 học sinh hs = 20% 32 hs = 78% Năm học 2016-2017 Lớp Số học sinh Số học sinh giải Số học sinh giải được khảo sát toán trước áp toán sau áp dụng đề tài dụng đề tài 10A4 37 học sinh hs = 16% 29 hs =64 % 10A3 43 học sinh hs = 12% 36 hs = 84% 10A5 42 học sinh 11 hs = 24% 30 hs = 89% Qua kết so sánh ta thấy học sinh có tiến bộ, với cách giải học sinh trung bình tiếp thu làm câu tương tự Từ năm học 2016-2017 học sinh thi trắc nghiệm môn toán nên đề tài phù hợp cho em có hỗ trợ máy tính cầm tay Như vậy, giảng dạy dạng toán đỡ vất vả hơn, em hứng thú học C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Trên đưa phương pháp để giải phương trình vô tỉ Đối với giáo viên, việc áp dụng sáng kiến giúp giáo viên có phương pháp hiệu để giải phương trình vô tỷ Đối với học sinh, hướng dẫn giáo viên, với máy tính cầm tay em có phương pháp hiệu để giải phương trình vô tỷ KIẾN NGHỊ Đề nghị nhà trường bổ sung số đầu sách (ở phần “tài liệu tham khảo”) để học sinh tham khảo thực hành giải toán theo đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25/3/2017 Cam kết không copy Tác giả NGUYỄN THỊ THU THỦY NGUYỄN THỊ HÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách tập Đại số lớp 10 NXB Giáo dục Đề thi tuyển sinh Đại học khối, năm Phương pháp giải toán Đại số Tác giả: Lê Hồng Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, NXB Hà Nội Các dạng toán luyện thi Đại học Tác giả: Phan Huy Khải, NXB Hà Nội ... toán cực nhanh nhiều chức có chức tìm nghiệm Kết hợp với chức đưa “PHƯƠNG PHÁP “ NHÂN LIÊN HỢP” NHẰM GIÚP HỌC SINH GIẢI NHANH MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHỨC TẠP ” Hy vọng với đề tài giúp cho... toán giải phương trình vô tỉ toán khó học sinh kể em học tốt Bởi hướng dẫn cho em thực giải toán trình bày đây, cụ thể lớp 10A1, 10A5, 10A6 khóa học 2015-2016, lớp 10A4, 10A3, 10A5 khóa học 2016-2017... cách nhân liên hợp giải phương trình vô tỷ đặc biệt em học sinh có kỹ giải phương trình vô tỷ để bước vào kì thi đạt kết tốt MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tôi nghiên cứu đề tài nhằm giúp học sinh giải số phương