1 Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài : Những năm gần đây, câu hình học tọa độ mặt phẳng Oxy thuộc hệ thống câu hỏi phân loại, loại tập tương đối khó đến khó Để giải được, yêu cầu phải phát tính chất đặc biệt hình Các tính chất đặc biệt chủ yếu nằm chương trình toán học cấp THCS mà học từ lâu, đa số em học sinh thường không nhớ Để chinh phục câu hình học phẳng đề thi học sinh giỏi đề thi TNTHPT Quốc Gia, trước hết cần cung cấp cho học sinh kiến thức Hình học phẳng tính chất đặc biệt thường sử dụng mở nút thắt toán Sau cần làm thật nhiều tập áp dụng tính chất Kho tàng toán học thật mênh mông biết cách phân loại dạng toán phân tích hướng giải không cảm thấy “ngợp” thấy “bí” trước hình học phẳng Trong hệ thống toán hình học phẳng, hay gặp toán tam giác, nói xuất chúng chiếm đến nửa số toán Tính chất điểm đường tam giác vô nhiều nhiều tính chất thú vị Do đa dạng, vừa hay lại vừa khó toán tam giác nên nhiều thầy cô giáo học sinh gặp khó khăn dạy học phần Để giúp thầy cô giáo em học sinh có tài liệu bổ ích toán hình học phẳng tam giác chinh phục đề thi học sinh giỏi, đề thi TNTHPT Quốc Gia, xin chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “PHÂN DẠNG, SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG” 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Cung cấp cho học sinh kiến thức Hình học phẳng tính chất đặc biệt thường sử dụng mở nút thắt toán tam giác hình học phẳng, giúp em giải chùm toán đạt hiệu tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các tính chất hình học đặc biệt tam giác hình học phẳng - Chùm toán tam giác hình học phẳng 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp phân loại hệ thống lý thuyết - Phương pháp thực nghiệm khoa học - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm 1.5.Những điểm SKKN: - Phân dạng rõ ràng, mạch lạc tính chất đặc biệt tam giác hình học phẳng - Hệ thống ngắn gọn, đa dạng toán tam giác có sử dụng tính chất đặc biệt để giải - Chỉ tính hiệu vấn đề ứng dụng thực tiễn Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: 10 toán hình học phẳng: Bài toán 1: Tìm giao điểm hai đường thẳng cắt nhau: Cho hai đt: d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, d : a2 x + b2 y + c2 = Cách tìm: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hpt: a1 x + b1 y + c1 =  a2 x + b2 y + c2 = Bài toán 2: Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng cách điểm khoảng không đổi: Cho đt (d): ax+by+c=0 Tìm tọa tọa độ điểm M thuộc (d) cho IM=l>0, với I cho trước Cách tìm: - Do M thuộc (d) nên gọi tọa độ M(theo ẩn t) -Giải PT IM=l ta tìm t, từ tìm tọa độ M Lưu ý đề cho hoành độ tung độ M thỏa mãn điều kiện để loại bớt trường hợp Bài toán 3: Tìm điểm đối xứng điểm qua điểm cho trước Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua I  xM ' = xI − xM Cách tìm: I trung điểm đoạn MM’: Suy ra:   yM ' = yI − yM Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng cho trước Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đt (d): Các bước tìm: -Viết pt đt (d’) qua M vuông góc với (d), -Tìm tọa độ I giao điểm (d) (d’), -Tìm tọa độ M’ cho I trung điểm đoạn MM’ Bài toán 5: Kiểm tra tính phía hay khác phía hai điểm đường thẳng Kiểm tra tính phía hay khác phía hai điểm A, B đt (d): ax+by+c=0 Cách làm: -Đặt T= ax+by+c -Tính TA = ax A + by A + c; TB = axB + by B + c -Nếu TA TB > A,B phía (d) -Nếu TA TB < A,B khác phía (d) Bài toán 6: Viết pt đt qua điểm tạo với đt cho trước góc α Cách làm: Viết pt đt (d) qua M(x với đt (d’): ax+by+c=0urcho trước góc α r 0;y0) tạo -Gọi VTPT (d) n( p; q ), ( p + q > 0) , VTPT (d’) n '( a; b) urur ap + bq c os( d ; d ') = c os( n ; n ') = = cosα -Khi đó: a + b2 p2 + q2 -Từ pt ta pt đẳng cấp bậc hai p, q Chọn p, q suy pt đt cần tìm Bài toán 7: Viết pt đường phân giác góc tạo hai đt cắt Viết pt đường phân giác góc tạo hai đt cắt (d): ax+by+c=0 (d’): a’x+b’y+c’=0 Cách làm: -Gọi điểm M(x;y) thuộc đường phân giác cần tìm Khi đó: d(M;d)=d(M;d’) ax + by + c a'x + b ' y + c ' ⇔ = a + b2 a '2 + b'2 -Chuyển vế rút gọn PT ta pt hai phân giác cần tìm Bài toán 8: Viết pt đường phân giác trong, góc tam giác Viết pt đường phân giác trong, góc A tam giác ABC Cách làm: -Viết pt TQ đt AB AC, - Viết pt đường phân giác góc A tạo hai đt cắt AB AC -Xét hai phân giác (d): Nếu B, C khác phía (d) (d) phân giác góc A Khi phân giác lại phân giác Nếu B, C phía (d) (d) phân giác góc A Khi phân giác lại phân giác Bài toán 9: Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác Bài toán: Cho tam giác ABC, biết tọa độ đỉnh Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm tam giác ABC Cách làm: Gọi G trọng tâm tam giác Khi G có tọa độ là: G( x A + xB + xC y A + yB + yC ; ) 3 uuur uuur  AH BC = Gọi H(a;b) tọa độ trực tâm tam giác Ta tìm a, b từ hệ pt:  uuur uuur  BH AC = Bài toán 10: Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp tam giác Cách làm: Gọi I(a;b) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta tìm tọa độ M, N trung điểm BC AC uuur uuur  IM BC = Khi ta tìm a, b từ hệ pt:  uur uuur  IN AC = Gọi J(a;b) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi D chân đường cao hạ từ A uuur AB uuur DC Ta tìm tọa độ D từ đẳng thức: BD = AC uur AB uuu r JD Tương tự ta tìm tọa độ J từ đẳng thức: AJ = BD 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: - Rất nhiều học sinh quên kiến thức hình học phẳng, nên nhiều xác định làm phần bản, chủ yếu mang tính chất nhận biết (6điểm) đề thi Quốc gia - Với thực tế tuyển sinh năm tới 6, điểm môn Toán cho em tỷ lệ cao để đậu vào học trường em mong muốn Tôi trăn trở viết đề tài với hy vọng giúp em có hứng thú chinh phục đượcbài toán hình học phẳng, liên quan đến hình học phẳng đề thi Quốc Gia - Đây vấn đề khó toán dành cho học sinh giỏi, nên cần đưa vài phương pháp tiếp cận dễ dàng cho người học người dạy 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề: Phân dạng sử dụng tính chất đặc biệt giải toán tam giác hình học phẳng Dạng 1: Sử dụng 10 tính chất đặc biệt tam giác để giải toán hình học phẳng Tính chất : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, H trực tâm, gọi H’ giao điểm (I) với đt AH CMR : H’ đối xứng với H qua BC Bài giải : · · Ta có : BAH (cùng phụ với ·ABC ) = HCB · · Lại có: BAC = BCH ' · · Suy : BCH = H ' CB Do BC trung trực HH’ hay H’ đối xứng với H qua BC.(đpcm) Tính chất 2: Cho tam giác ABC nội u tiếp uur đường uuur tron (I), H trực tâm Kẻ đường kính AA’, M trung điểm BC CMR: AH = 2.IM Bài giải: Ta có : ·ABA ' = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đtr (I) ) ⇒ BA ⊥ BA ' , mà BA ⊥ CH ⇒ BA '/ /CH (1) Chứng minh tương tự ta có : CA’ //BH (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BHCA’ hình bình hành, mà M trung điểm BC suy M trung điểm A’H ⇒ OM ⇒ đường uuur trung uuur bình tam giác AA’H AH = 2.IM Tính chất 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I), BH CK hai đường cao Chứng minh : AI ⊥ KH Lời giải: sd »AC · Kẻ tiếp tuyến Ax ⇒ xAC = ·ABC = Mà ·ABC = ·AHK (do tứ giác KHCB nội · tiếp) ⇒ xAC = ·AHK , mà góc vị trí so le Ax//HK Lại có Ax ⊥ AI ⇒ AI ⇒⊥ HK (đpcm) Tính chất 4: Cho tam giác ABC nội tiếp (I), H trực tâm, gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Chứng minh I J đối xứng qua BC Lời giải : Gọi H’ giao điểm AH với (I), suy tứ giác ACH’B nội tiếp đt (I), suy I đồng thời tâm đtr ngoại tiếp tam giác BH’C Mặt khác H, H’ đối xứng qua BC, suy tam giác HBC đối xứng với tam giác H’BC qua BC Mà I, J tâm đtr ngoại tiếp tam giác H’BC HBC Vậy I J đối xứng qua BC (đpcm) Tính chất : Cho tam giác ABC, gọi H, G, I trực tâm, trọng tâm, tâm đường uuu r tròn uu r ngoại uur tiếp uur tam giác Chứng minh : a) IH = IA + IB + IC uuu r uur b) điểm G, H, I thẳng hàng IH = 3IG Lời giải: uuur uuur a) Ở tính chất 2, ta c/m AH = IM uu r uur uur uu r uuur uu r uuur uuu r Ta có: IA + IB + IC = IA + IM = IA + AH = IH b) tâm uu r Do uur G uur trọng uur u u r tam uuur giác uur nên ta có : IA + IB + IC = 3IG ⇒ IA + IM = 3IG uu r uuur uur uuu r uur ⇒ IA + AH = 3IG ⇒ IH = 3IG Vậy điểm H,G,I thẳng hàng Tính chất : Cho tam giác ABC nội tiếp đtr (I), gọi D, E theo thứ tự chân đường cao hạ từ A, B Các điểm M, N theo thứ tự trung điểm BC AB Chứng minh tứ giác MEND nội tiếp Lời giải : Ta có D trung điểm HH’ ( tính chất 1), M trung điểm HA’( HCA’B hình bình hành- tính chất 2) Như ta có phép vị ( A ') = M tự : V :  (H ; ) ( H ') = D Mà hai điểm A’, H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy hai điểm M,D V thuộc đường tròn (C’) ảnh (C) tâm I qua ( H ; ) (1) Chứng minh tương tự A’, H’cũng thuộc đường V tròn (C’) ảnh (C) tâm I qua ( H ; ) (2) Từ (1) (2) suy D, M, E, N thuộc (C’) Tính chất 7: Cho tam giác ABC, gọi I, J tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp AJ cắt (I) D Chứng minh DB=DJ=DC Lời giải: · · Ta có: BJD = BAD + ·ABJ · Mà ·ABJ = JBC (Do BJ phân giác góc ABC), · · BAD = DAC · · Suy BJD Do tam giác IBD = JBD cân D ⇒ DJ=DB · · ⇒ BD=DCVậy DB=DJ=DC Lại có: BAD = DAC Tính chất 8: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F chân đường cao hạ từ A, B, C, gọi H trực tâm Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Ta có : tứ giác BDHF nội tiếp nên ·ABE = ·ADF tứ giác ECDH nội tiếp nên ·ACF = ·ADE Mà ·ABE = ·ACF · Suy EDA = ·ADF Hay DH phân giác góc EDF Chứng minh tương tự EH, FH phân giác tam giác DEF Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Tính chất 9: Cho tam giác ABC nội tiếp (I) Gọi D, E giao điểm đường cao qua A, C cắt (I) Chứng minh: IB trung trực ED Lời giải: µ = µA = sd BD » ,D µ =C µ = sd BE » E 1 1 2 Ta có : µ =D µ ⇒E 1 Tam giác EBD cân B suy BE=BD Mà IE=ID Vậy IB trung trực ED.(DPCM) Tính chất 10: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm I, G trọng tâm tam giác ABC, D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh I trực tâm tam giác DEG Lời giải: Gọi F, H, K trung điểm BC, AC, AD E giao điểm DH CK.G giao điểm AF CD CE CG = = ⇒ GE / / AB, Ta có : CK CD AB ⊥ DI ⇒ GE ⊥ ID DE / / CB, GI ⊥ BC Lại có: ⇒ GI ⊥ ED Vậy I trực tâm tam giác DEG Sử dụng tính chất giải số tập: Bài tập 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3;-1) trung điểm BC Đường cao kẻ từ B tam giác ABC qua E(-1;-3) điểm F(1;3) nằm đường thẳng AC Tìm tọa độ điểm A viết pt cạnh BC, biết D(4;-2) Hướng dẫn giải: -Trước hết em vẽ hình thước thật xác điền kiện toán vào hình vẽ - Các em tạo hình bình hành ( Gọi H trực tâm c/m BHCD hình bình hành, SỬ DỤNG TC 2) Bước thật đơn giản em gỡ nút thắt toán ĐS: A(2;2), pt BC: y+1=0 Bài tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đtr I(2;1), bk R=5, trực tâm H(-1;-1), độ dài BC=8 Hãy viết pt BC Hướng dẫn giải: Hãy tìm nút thắt toán cởi bỏ -Các em tạo hình bình hành? Tao đường kính AA’ ta có hình bình hành BHCA’ (SỬ DỤNG TC 2) Ta có: AH=2MI ( M tr đ BC) ĐS:BC: y+2=0 Bài tập 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đtr I(-2;0), A(3:-7), trực tâm H(3;-1) Xác định tọa độ C biết C có hoành độ dương Hướng dẫn giải: Các em sử dụng TC Bài tập 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đtr O(0;0), gọi M(-1;0), N(1;1) chân đường cao kẻ từ B, C Tìm tọa độ A, B, C biết A nằm (d): 3x+y-1=0 Hướng dẫn giải: Nút thắt toán em tìm OA vuông góc MN Các em áp dụng tính chất để giải ĐS: A(1;-2), B(1;2), C(-2;1) Bài tập 5: Cho tam giác ABC, có đỉnh A(1;5) Tâm đtr nội tiếp ngoại tiếp I(2;2), K ( ;3) Tìm tọa độ B, C Hướng dẫn giải: Ta tìm nút thắt toán -Các em viết dược pt đtr (C) ngoại tiếp tam giác ABC ( tâm K, bk AK) -Viết pt AI AI cắt (C) D suy tọa độ D SỬ DỤNG TC ta có: BD=DI=CD B,C giao điểm đtr (C) đtr (C’) tâm D bk DI ĐS: B(4;1), C(1;1) C(4;1), B(1;1) Các em tìm tòi ví dụ tương tự sử dụng tính chất để giải Dạng 2: Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết tọa độ ba điểm Phần giới thiệu số toán tìm tọa độ đỉnh tam giác biết tọa độ điểm có tính chất Bài toán : Cho tam giác ABC biết toa độ trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử M; N ; P ba trung điểm ba cạnh AB; BC; CA theo công thức tính tọa độ trung điểm ta có  x A + xB  = xM   xC + xB = xN    x A + xC  = xP   y A + yB = yM    yC + xB = yN    y A + yC = yP   Giải hệ ta có tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài tập minh họa Cho tam giác ABC biết M(1;2); N(2;1) P(4;0) tọa độ trung điểm ba cạnh AB; BC;CA Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Bài giải : Áp dụng công thức ta có  x A + xB  = (1)   xC + xB = (2)    x A + xC  = (3)   y A + yB = (4)    yC + xB = (5)    y A + yC = (6)   ⇒ x A + xB + xC = 7; y A + y B + yC = Vậy : xA = 3; xB = −1; xC = 5; y A = 1; yB = 3; yC = −1 ⇒ A(3;1); B(−1;3); C (5; −1) 10 Bài toán : Cho tam giác ABC nhọn biết tọa độ chân đường cao Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử AD; BE; CF đường cao tam giác ABC với trực tâm H Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp dễ chứng minh HD;HE;HF đường phân giác tam giác DEF Bài tập minh họa 2: (HSG Thanh Hóa 2011) Cho tam giác ABC nhọn có tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh A; B; C xuống cạnh tương ứng D(-1; - 2); E( 2; 2) ; F(-1; 2) Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Bài giải : Gọi H trực tâm tam giác ABC ta có phương trình DE : 4x – 3y – = ; EF : y – = 4x − 3y − = ± ( y − 2) Ta có hai phương trình đường thẳng : x − y + = (∆) hay x + y − = (d ) Vậy phương trình phân giác góc FED : Khi thay tọa độ F; D vào (d) thấy F; D phía (d) nên phương trình AC : 2x + y – = (Ta tìm phương trình cạnh lại từ xác định định tam giác ABC) ĐS: A(1;4), B(-4;-1), C(5;-4) Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ P;Q;R ba điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác ABC cạnh tam giác ABC Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng giải Ta gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC IP ⊥ BC ; IQ ⊥ AC ; IR ⊥ AB Do ta lập phương trình đường tròn qua P; Q; R lập phương trình cạnh tam giác ABC  11  ; ÷lần lượt  5 Bài tập minh họa 3: Cho tam giác ABC biết tọa độ P (3;0);Q (4;1);R  ba điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC; CA; AB tam giác ABC Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Bài giải : Do đường tròn nội tiếp tam giác ABC qua P; Q; R nên phương trình 2 : ( x − 3) + ( y − 1) = Ta có tâm I(3;1) đường thẳng AC; BC; AB qua Q; P ; R có véc tơ uur uur uur pháp tuyến IQ; IP; IR có phương trình tương ứng : AC : x = BC: 4x – 3y – = ; AB : y = 11 Nên tọa độ đỉnh tam giác A(4;4) ; B(1;0) ;C(4;0) Bài toán 4: Cho tam giác ABC biết H trực tâm tam giác ABC tọa độ trung điểm E; F; K ba đoạn HA; HB; HC.Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng giải: Ta có EK // AC; EF // AB; FK // BC nên tam giác ABC ảnh tam giác EFK qua phép vị tự tâm H tỷ số Bài tập minh họa 4: Cho tam giác ABC nhọn với H trực tâm tam giác ABC Biết tọa độ trung điểm  5  3 5 1 E  4; ÷; F  1; ÷; K  ; − ÷ ba đoạn HA; HB;  2  2 2 2 HC.Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Bài giải Ta thấy trực tâm tam giác ABC trực tâm tam giác EFK Phương trình EH vuông góc với FK : - 3x + 4y + = Phương trình FH vuông góc với EK : x + 2y – =  −3 x + y + = ⇒ H (2;1) x + y − = Tọa độ điểm H nghiệm hệ        Do E  4; ÷; F 1; ÷; K  ; − ÷ trung điểm HA; HB; HC  2  2 2 2 nên tọa độ đỉnh A (6;4);B(0;2); C(3 ;- 2) Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm đường cao với đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử đường cao cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P,Q,R Theo tính chất trực tâm H ta có HE= EP; HG= GR nên EF//PQ; FG//QR QC phân giác góc PQR hay đỉnh C giao đường tròn phân giác QC, tương tự ta xác định A; B 5 Bài tập minh họa 5: Cho tam giác ABC biết ba đường cao AH; CH tam giác cắt đường tròn 12 BH;  11  ; ÷ Hãy xác định tọa độ đỉnh  5 ngoại tiếp tam giác R(-1;-1) ; P (1;3); Q  tam giác Bài giải : Do đường tròn ngoại tiếp tam giác qua P; Q; R nên có phương trình : x + ( y − 1) = 2 Lại có phương trình đường thẳng RP : 2x – y =1; PQ : 2x + y – = 0; RQ : x – 2y – = Nên phương trình đường phân giác góc QPR là: x= 1; y = thử lại ta thấy phân giác góc QPR x = nên tọa độ điểm C nghiệm hệ :  x + ( y − 1)2 = ⇒ C (−2; 2); C (1;3) ≡ F (1;3)  x = Vậy tạo độ đỉnh C ( -2 ; 2) Tương tự tọa độ đỉnh A(2; 2) B(1; -1) Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm phân giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác.Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng giải : Ta có : ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ sd ( AP + Q1 N ) = sd (CP + BN + Q1B ) 2 ¼ ¼ = sd ( AQ1 + NP ) = ∠AQQ1 ⇒ ∠AQP = 900 Hay AN ⊥ Q1P ∠AQP = Từ ta có cách dựng sau : Dựng đường tròn qua ba điểm cho, sau dựng đường thẳng Vuông góc với dây cung cắt đường tròn điểm đỉnh tam giác Bài tập minh họa 6: Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm phân giác kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P(−2;3); Q(6;3); R(1; −2) Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng dẫn giải Như chứng minh ta lập phương trình đường tròn qua P; Q; R 2 Ta có phương trình : ( x − ) + ( y − ) = 17 Phương trình PQ : y = 3; QR : x – y – = 0; PR : 5x – 3y – = Vậy đường thẳng qua R vuông góc với PQ : x = 1; đường thẳng qua P vuông góc với RQ : x + y = 1; đường thẳng qua Q vuông góc với PR : 3x – 5y = 3; 13 ( x − ) + ( y − ) = 17 Do tọa độ đỉnh C nghiệm hệ :   x = ( x − ) + ( y − ) = 17 Do tọa độ đỉnh A nghiệm hệ :   x + y = ( x − ) + ( y − ) = 17 Do tọa độ đỉnh B nghiệm hệ :  3 x − y = Giải hệ ta có  −39 −18   A ( 3; −2 ) ; B  ; ÷; C ( 1;6 )  51 17  Bài toán : Cho tam giác ABC biết tọa độ ba tâm đường tròn bàng tiếp tam giác Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Hướng giải : Giả sử R; S ; T tâm ba đường tròn bàng tiếp Tam giác ABC hình vẽ Theo tính chất phân giác ta có R;A; S thẳng hàng; S;C; T thẳng hàng; R; B T thẳng hàng Bên cạnh ta có : RS ⊥ AT ; RC ⊥ TS ; SB ⊥ RT Từ ta có cách giải sau : Lập phương trình đường thẳng RS; ST; RT, sau tìm hình chiếu T; R; S lên ba đường thẳng Tọa độ hình chiếu tọa độ đỉnh cần tìm Bài tập minh họa 7: Cho tam giác ABC biết tọa độ tâm đường tròn bàng tiếp góc A T(-3;-1); tâm đường tròn bàng tiếp góc B S(4;0) tâm đường tròn bàng tiếp góc C R(-2;4) Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Bài giải : Hình Ta có phương trình qua R; S; T là: RS : x + y − = 0; RT : x − y + 14 = 0; ST : x − y − = Khi phương trình đường cao TA; SB; RC : TA : x − y + = 0; RC : x + y + 10 = 0; SB : x + y − = Vậy : tọa độ ba đỉnh A; B; C nghiệm hệ sau: 2 x + y − = ⇒  3 x − y + =  −5 12  5 x − y + 14 = A ; ÷ ;  ⇒  13 13   x + y − = 17   x − y − =   −33 −19  B  −2 ; ÷;  ⇒C ; ÷  13 13  7 x + y + 10 =  25 25  Bài toán 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ ba điểm M; N; P ba điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC 14 Hướng giải : Giả sử M ; N; P điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Khi xét tứ giác BHCP dễ thấy tứ giác hình bình hành nên BH // CP hay AC vuông góc với AC A; I ; P thẳng hàng; tương tự B; I; N C; I ; M thẳng hàng (Với I tâm đường tròn Từ ta xác định ba đỉnh tam giác biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, đường tròn qua ba điểm M; N; P Bài tập minh họa 8: Cho tam giác ABC biết tọa độ ba điểm M (1;3); N (9;3); P(8; - 4) ba điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài giải : Hình Qua ba điểm M; N; P ta có phương trình đường tròn : ( x – ) + y2 = 25 Vậy tâm đường tròn : I(5;0) Do A đối xứng với P(8; -4) qua tâm I nên A(2:4); Do B đối xứng với N(9; 3) qua tâm I nên B(1:-3) Do C đối xứng với M(1; 3) qua tâm I nên C(9:-3) Vậy tọa độ ba đỉnh A(2;4); B(1;-3) ; C(9;-3) Bài tập luyện tâp Bài : Cho tam giác ABC nhọn Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC biết tọa độ chân đường cao hạ từ A; B; C tương ứng : H(2;-1)’; Q(2;2) K(-2;2) Bài : Cho tam giác ABC biết trung điêm ba cạnh AB; BC ; CA M(-2;1); P( -1;-2) Q( 0; 0) Bài Cho tam giác ABC biết tọa độ giao điểm phân giác kẻ từ đỉnh A; B; C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác P(5; 4); Q(5;0); R( −1; 4) Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác Bài 4: Cho tam giác ABC biết tọa độ ba điểm M (0;5); N (1;0); P(5; 0) ba điểm đối xứng trực tâm H qua trung điểm ba cạnh Hãy xác định tọa độ đỉnh tam Bài 5: Cho tam giác ABC có đường tròn bàng tiếp góc A K(2;-9), đỉnh B(-3;-4), A(2;6) Tìm tọa độ C Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đtr, D(1;-1) chân đường phân giác góc A, AB có Pt: 3x+2y-9=0, tiếp tuyến A có pt: x+2y-7=0 Viết pt BC Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp (C), đường phân giác góc A cắt (C) M(0;-3), N(-2;1) Tìm tọa độ B,C biết đường thẳng BC qua E(2;-1) C có hoành độ dương 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: - Đối với hoạt động giáo dục: + Qua kết kiểm tra học sinh lớp có lực học tương đương nhau, dạy lớp 10 C3 dạy đề tài “PHÂN DẠNG VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT 15 ĐẶC BIỆT KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG”, lớp 10 C4 không dạy đề tài này, kết thực nghiệm cho thấy việc giảng dạy chuyên đề có tính khả thi Điểm kiểm tra, thi học kỳ kỳ thi khảo sát cấp trường học sinh lớp 10 C3 đạt kết cao 10 C4 + Dạy học đề tài rèn luyện cho học sinh biết phân tích vấn đề, rèn luyện tư logic nhạy bén, biết tìm sở để giải toán tương tự + Dạy học đề tài giúp học sinh có hứng thú, có hội tiếp cận giải câu khó Hình học phẳng đề thi Quốc gia tới - Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường + Với vấn đề khó hình học phẳng, thân nhiều giáo viên khác gặp nhiều khó khăn việc hiểu, trình bày vấn đề cách có hệ thống, logic cho học sinh Vì trăn trở đúc rút kinh nghiệm thân tham khảo tài liệu, đồng nghiệp để viết nên sáng kiến kinh nghiệm này, hi vọng tài liệu có ích đồng nghiệp học sinh + Hiện nay, chất lượng đại trà nói chung nhà trường trọng bên cạnh việc không ngừng nâng cao chất lượng lớp mũi nhọn, cần tăng số lượng học sinh đạt 27 27 điểm thi Đại học Để làm điều vượt qua mốc Hình học phẳng thiếu Tôi mong đề tài, sáng kiến đóng góp phần nhỏ vào mục tiêu chung nâng cao chất lượng vị nhà trường năm học tới Kết luận, kiến nghị Kết luận Trên trình bày sở lí luận, tính chất tam giác Hình học phẳng gồm: - 10 toán bản, 10 tính chất đặc trưng tam giác - Một số toán mẫu, ví dụ áp dụng - Đưa hệ thống tập tự luyện Tôi hy vọng rằng, sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy cô giáo em học sinh THPT 3.2 Kiến nghị Để dạy học đề tài “PHÂN DẠNG VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG” có hiệu trường THPT, có số đề nghị sau: - Các em học sinh cần trang bị đầy đủ MTBT - Giáo viên nên dạy cho học sinh đề tài này, hệ thống chứng minh tính chất hay tam giác - Động viên, khuyến khích giáo viên học sinh sử dụng tính chất để giải toán 16 Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo, em học sinh bạn đọc XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Thị Huyền 17 ... dạng sử dụng tính chất đặc biệt giải toán tam giác hình học phẳng Dạng 1: Sử dụng 10 tính chất đặc biệt tam giác để giải toán hình học phẳng Tính chất : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I,... em học sinh THPT 3.2 Kiến nghị Để dạy học đề tài “PHÂN DẠNG VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG” có hiệu trường THPT, có số đề nghị sau: - Các. .. Qua kết kiểm tra học sinh lớp có lực học tương đương nhau, dạy lớp 10 C3 dạy đề tài “PHÂN DẠNG VÀ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT 15 ĐẶC BIỆT KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG”, lớp 10 C4