Mục lục Tiêu đề Trang 1.3 Đối tượng nghiên cứu: MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Thực đổi giáo dục nay, là: không dạy kiến thức cho em, mà cần dạy phương pháp suy luận, khả vận dụng, khả kết nối môn khoa học, hướng tư khái quát phát minh khoa học Người thầy phải thực điều hướng dẫn hoc sinh thực tiết học Tất nhiên để làm được, người thầy phải có khả trên, với yêu nghề đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo tình có vấn đề cho hoc sinh, từ đưa tư tưởng phát minh vào tiết học, với xuất phát điểm phải từ SGK sau phát triển toán, dạng toán lên để đáp ứng nhu cầu học tập học sinh Hệ phương trình nội dung quan trọng chương trình toán phổ thông Hệ phương trình có nhiều dạng cách giải khác Đơn giản hệ hai phương trình bậc hai ẩn, hệ ba phương trình bậc ba ẩn Hệ hai phương trình bậc hai ẩn học sinh học cấp hai, đến lớp 10 ôn tập lại học hệ ba phương trình bậc ba ẩn Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác học sinh không tìm hiểu thức chương trình học, nhà trường có biết thông qua tài liệu tham khảo, tự học Chính bồi dưỡng học sinh giỏi không đơn cung cấp cho em hệ thống tập nhiều, tốt, khó hay mà phải cần rèn luyện khả sáng tạo cho học sinh Dạng toán giải Giải hệ phương trình mảnh đất thuận lợi cho thực công việc 1.2 Mục đích nghiên cứu: Hệ phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình ôn thi học sinh giỏi cấp thi Đại học sau Để đáp nhu cầu học tập học sinh mạnh dạn cung cấp thêm phương pháp kỹ giải hệ phương trình Để em có cách nhìn toàn diện dạng toán Cho nên thân mạnh dạn tìm tòi nghiên cứu đưa “Một số phương pháp giải hệ phương trình cho học sinh giỏi lớp trường THCS Đông Cương” nhằm đáp ứng tốt bền vững trình ôn thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải hệ phương trình Những toán cụ thể bao gồm phân tích lời giải Các tập tự luyện 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Giáo viên đưa tập cụ thể ⇒ với học sinh phân tích, định hướng ⇒ thuộc dạng ⇒ phương pháp giải dạng ⇒ tìm tòi lời giải ⇒ phân tích lời giải ⇒ vận dụng vào giải tương tự Định hướng học sinh tham khảo thêm tài liệu liên quan, hướng dẫn cách học nhà, cách khai thác nguồn tài liệu, rèn luyện tính tự học NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận: Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, môn toán môn học đáp ứng đầy đủ yêu cầu Việc học toán học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng toán giải hệ phương trình dạng toán quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp học sau môn học khoa học tự nhiên khác, … Vấn đề đặt làm để học sinh giải toán hệ phương trình cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn Các phương pháp chủ yếu như: * Phương pháp - Cơ sở phương pháp: Ta rút ẩn (hay biểu thức) từ phương trình hệ vào phương trình lại - Nhận dạng: Phương pháp thường hay sử dụng hệ có phương trình bậc ẩn * Phương pháp đưa dạng tích - Cơ sở phương pháp: Phân tích hai phương trình hệ thành tích nhân tử Đôi cần tổ hợp hai phương trình thành phương trình hệ đưa dạng tích * Phương pháp cộng đại số - Cơ sở phương pháp: Kết hợp phương trình hệ phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương trình khả thi có lợi cho bước sau - Nhận dạng: Phương pháp thường dùng cho hệ đối xứng loại II, hệ phương trình có vế trái đẳng cấp bậc k * Phương pháp đặt ẩn phụ 2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Ở kỳ thi học sinh giỏi cấp, thi vào trung học phổ thông, môn Toán thành phố Thanh Hóa nhiều nằm đạt kết cao số năm không tốt Đó điều mà người giáo viên đứng lớp lúc phải suy nghĩ, băn khoăn, trăn trở, tìm hiểu nguyên nhân, lý kết không bền vững Để chất lượng đội tuyển bền vững thân thiết nghĩ chương trình dạy học phần quan trọng trình dạy học Trong phần kiến thức “Giải hệ phương trình” năm có Trong trình dạy học bồi dưỡng cho em, giáo viên thường gặp dạng hướng dẫn dạng mà không theo dạng tổng quát Hầu em lúng túng chưa có cách giải tổng quát hay chưa có kỹ thành thạo gặp dạng hệ phương trình Vì việc nhận dạng khái quát hóa cách giải số hệ phương trình việc làm thiết thực cấp bách Để đánh giá khả giải toán có phương án, phương pháp truyền đạt đến học sinh Tôi tiến hành kiểm tra em đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp thành phố năm học 2016-2017 với thời gian làm 30 phút Đề bài:  x + y + xy = Bài (5đ): Giải hệ phương trình:  2  x − y + xy =  x 2  y ( x + y ) = Bài (5đ): Giải hệ phương trình:   y (2 x − y ) =  x Kết cụ thể: Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 16,7 33,3 33,3 16,7 Qua kiểm tra thấy học sinh đội tuyển Toán thức Nhưng chất lượng làm không cao Nếu làm lập luận thiếu chặt chẽ; từ phân dạng để học sinh dễ tiếp thu Trong buổi học thông qua tình có vấn đề tập đưa ra, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng toán, biết nhìn toán nhiều góc độ Hay xuất phát từ toán bất kỳ, yêu cầu học sinh phải phán đoán đưa nhận xét hướng giải Tìm nhiều cách giải thú vị gây hứng thú học tập 2.3 Các giải pháp thực hiện: 2.3.1: Hệ thống kiến thức số hệ phương trình bản: a Hệ phương trình đối xứng loại I: - Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình không thay đổi trật tự phương trình không thay đổi - Cách giải: Biến đổi đưa dạng tổng - tích + Đặt S = x + y; P = xy + Giải hệ với ẩn S; P với điều kiện có nghiệm (x; y) S ≥ P + Tìm nghiệm (x; y) cách vào phương trình X − SX + P = b Hệ phương trình đối xứng loại II - Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình không thay đổi trật tự phương trình thay đổi (phương trình trở thành phương trình kia) - Cách giải: Lấy vế trừ vế phân tích thành nhân tử, lúc đưa dạng ( x − y ) f ( x, y ) = , tức có x = y c Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: a1 x + b1 xy + c1 y = d1 d (a1 x + b1 xy + c1 y ) = d1.d (1) ⇔   2 a2 x + b2 xy + c2 y = d  d1 (a2 x + b2 xy + c2 y ) = d1.d (2) Lấy (1)- (2) ⇒ (a1d − a2 d1 ) x + (b1d − b2 d1 ) xy + (c1d − c2 d1 ) y = phương trình đẳng cấp bậc hai nên tìm liên hệ x, y (bản chất nhân chéo hai phương trình lại với tạo đồng bậc) Lưu ý: Ta làm tương tự dạng đẳng cấp bậc ba bậc bốn d Sử dụng phương pháp tạo phương trình đẳng cấp (đồng bậc)  f m ( x; y ) = a với f m ( x; y ); f n ( x; y ); f k ( x; y ) biểu  f n ( x; y ) = f k ( x; y ) Dạng thường gặp  thức đẳng cấp bậc m; n; k thỏa mãn m + n = k Phương pháp giải: Sử dụng kỹ thuật đồng bậc, tức là: a = f m ( x; y )  ⇒ f m ( x; y ) f n ( x; y ) = a f k ( x; y ) Hệ phương trình cho ⇔ ↓ a f ( x; y ) = a f ( x; y ) k  n phương trình đẳng cấp bậc k, tìm liên hệ x; y 2.3.2 Bài toán cụ thể:  x3 + y = Bài toán 1: Giải hệ phương trình:  (1)  x + y + xy = Phân tích: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ không thay đổi trật tự phương trình hệ không thay đổi ⇒ hệ đối xứng loại I phương pháp giải biến đổi tổng tích Lời giải: Đặt s = x + y; p = xy, ( s ≥ p) Khi đó: x3 + y = ( x + y )( x − xy + y ) = ( x + y )[( x + y )2 − 3xy ] = s − ps  s − 3sp = 2 p = − s s = (1) ⇔  ⇔ ⇔ (thỏa mãn đk) p = s + p = 2 s + 3s − s − 16 = s = x + y = x = x = ⇒ ⇔   p =  xy = y = y = Với  Vậy tập nghiệm hệ cần tìm S = { ( x; y ) } = { (2;0);(0; 2)}  x y + y x = Bài toán 2: Giải hệ phương trình:  2  x y + y x = 20 (2) Phân tích: Khi thay đổi vị trí x y cho hệ không thay đổi trật tự phương trình hệ không thay đổi ⇒ hệ đối xứng loại I Nhưng hệ phương trình có chứa x ; y , nên ta đặt s = x + y ; p = xy ta đặt u = x ; v = y , sau đặt s; p theo u, v kết tương tự Lời giải: Điều kiện x; y ≥ Đặt u = x ≥ 0; v = y ≥ u v + uv = uv(u + v) =  ps = (2) ⇔  ⇔ ⇔   2 2 2 u v + u v = 20 u v [(u + v) − 2uv] = 20  p ( s − p ) = 20  ps = s = u + v  p = u + v = u = u = ( s ≥ p) ⇔  2 ⇔ ⇔ ⇔  v =  p = uv u + v = v =  p s − p = 20  s = với    x =1 Suy ra:    y =2  x = x = x = ⇔  y = y =1  y =  So với điều kiện, nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (1; 4);(4;1)}  x + x y = (1) Bài toán 3: Giải hệ phương trình:  (3)  y + xy = (2) Phân tích: Nếu thay đổi vị trí x y cho hệ không thay đổi phương trình trở thành phương trình ⇒ hệ đối xứng loại II (lấy vế trừ vế) Ngoài quy đồng hệ đẳng cấp bậc ba (đặt x = ty ) Lời giải 1:  x + x y = (1)   y + xy = (2) 2 x + x y = ⇔ 3 2( x − y ) + xy ( x − y ) = 2 x + x y = ⇔ 2 ( x − y )(2 x + y + xy ) = 2 x + x y =  2 x3 + x y = 2   ⇔ ⇔   7y x = y ( x − y )   x + y ÷ +  =            y2 > 0, ∀x, y ÷) (do   x + y ÷ + ÷     x = y x = ⇔ ⇔ 3 x =  y = Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (1;1)} Lời giải 2: Xem hệ phương trình đẳng cấp bậc ba 2t y + t y =  y (2t + t ) = 2t + t x = ty ≠ ⇔ ⇔ 3 ⇒ =1 Đặt hệ  3 2t + t 2 y t + ty =  y (2t + t ) = ⇔ t − t = ⇔ t = ⇒ x = y , vào (1) ⇔ x = ⇔ x = ⇒ y = ⇔ y = 2( y − y ) ⇔ y = 2 y ( − 1) ⇔ y = −1 ⇔ y= 2  −1   −1    ⇒ x = ÷  ÷  ÷ ÷     5 x − y = x − 3xy Bài toán 4: Giải hệ phương trình:  2 (4)  x − x = y − y Phân tích: Nếu để hệ khó tìm hướng giải Nhưng 5 x + 3xy = x + y chuyển hệ pt  3 2 nhân chéo thu phương trình đẳng cấp  x + y = x + y bậc bốn với hai biến x; y có lời giải chi tiết sau: Lời giải: Nhận thấy x = y = nghiệm hệ phương trình Xét x ≠ 0; y ≠ 5 x + xy = x + y (5) ⇔  ⇒ (5 x + xy )( x + y ) = ( x + y )( x + y ) ⇔ x + x y − y = 2  x + y = x + y  x2   x2  x = y x2 ⇔  ÷ +  ÷− = ⇔ = ⇔  y x = − y y  y  Với x = y vào pt thứ hệ ta ⇔ x = x ⇔ x = y = Với x = − y vào pt thứ hệ ta ⇔ x = −2 x ⇔ x = − y = −1  1    Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = (0;0);(−1;1);  ; ÷ 2    Ghi chú: Ngoài nhân chéo để phương trình đẳng cấp ta dùng phương pháp với mục đích tạo phương trình bậc cao ẩn mà trọng tâm phương pháp cụm tạo thành phương trình đẳng cấp, tiền đề bản, công đoạn nhỏ để giải dạng toán  x − x = y + y Bài toán 5: Giải hệ phương trình:  2  x -3y =6 (1) (2) (5) Phân tích: Để ý thấy (1) đưa dạng: x3 − y = 2(4 x + y ) vế trái bậc vế phải bậc Mà phương trình (2) có vế trái bậc hai vế phải bậc không Nghĩ đến việc đồng bậc phương trình (1) cách dùng phương pháp từ phương trình (2) hệ Nhưng trước hết ta cần nhân thêm vào hai vế phương trình (1) để xuất hệ số để = x − y Lời giải 3( x − y ) = 6(4 x + y ) (7) ⇔ ⇒ x3 − y = ( x − y )(4 x + y ) Ta có  2 6 = x − y ⇔ x + x y − 12 xy = ⇔ x ( x + xy − 12 y ) = ⇔ x( x − y )( x + y ) = +) Với x = , vào (2) ⇔ −3 y = : vô nghiệm x =  x = −3  y =1  y = −1 +) Với x = y , vào (2) ⇔ y = ⇔     x = −4 x = 13   +) Với x = −4 y , vào (2) ⇔ 13 y = ⇔   y = y = −   13      Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = (±3; ±1);  ±4 13 13 6   ;± ÷ 13 13 ÷   3( x − y ) = 2(4 x + y ) Nhận xét: Sau biến đổi (7) ⇔  ta hoàn toàn 2 6 = x − y giải cách nhân chéo hai phương trình với nhau, tạo phương trình đẳng cấp bậc với biến x, y Nhưng nhiều toán, nhân chéo mang lại hiệu không cao, tức không tạo phương trình đẳng cấp Ta xét toán sau:  x − y = ( x − y )(2 xy + 3) (1) Bài toán 6: Giải hệ phương trình:  2 (2)  x − xy + y =3 (6) Phân tích: Phương trình (1) có vế trái bậc 3, vế phải tích bậc ( x − y ) với lượng (2 xy + 3) Nếu lượng biến đổi thành bậc hai, thu phương trình đẳng cấp bậc Thật = x − xy + y vào xy + = xy + ( x − xy + y ) thu bậc 2, hiển nhiên (1) phương trình đẳng cấp bậc có lời giải sau: Lời giải: 3  x − y = ( x − y )(2 xy + 3) (1)  2 (2)  x − xy + y =3 3 = x − xy + y ⇔ 3 2 2 x − y = ( x − y )(2 xy + x − xy + y ) 3 = x − xy + y ⇔ 3 2) 3 2 x − y = ( x − y )( x + xy + y = x − y  x =  3 = x − xy + y 3 = x − xy + y  y = ⇔ ⇔ ⇔    x = −2  x = y x = y    y = −1 Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (2;1);(−2; −1)} Nhận xét: Giải hệ phương trình đưa tích số dạng toán thường xuyên xuất kỳ thi Để đưa tích số ta sử dụng số kỹ thuật như: Kỹ thuật tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai, ký thuật liên hợp, kỹ thuật dùng phương pháp cộng  x + xy + y =7 Bài toán 7: Giải hệ phương trình:  2  x − xy − y = − x + y (1) (2) (7) Phân tích: Phương trình (1) (2) có dạng tam thức bậc theo ẩn x theo ẩn y ta không tìm phương trình (1) Do định hướng biến đổi tích số phương trình (2) với hướng suy nghĩ sau đây: Hướng 1: Nhận thấy vế trái (2) có dạng đẳng cấp nên sử dụng máy tính để phân tích thành tích số nhóm này, tức có x − xy − y = ( x − y )( x + y ) ta cần phân tích vế trái theo hạng tử tích này, có sẵn viết − x + y = −( x − y ) nên có nhân tử, tức (2) ⇔ ( x − y )( x + y ) + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = Lưu ý: Việc phân tích thành tích số biểu thức có dạng bậc hai biến: F ( x; y ) = ax + bxy + cy = a ( x − x1 y )( x − x2 y ) với x1 ; x2 hai nghiệm phương trình f ( x) = ax + bx + c = Ta làm tương tự việc phân tích đa thức bậc hai biến dạng F ( x; y ) = ax + bx y + cy x + dy = a ( x − x1 y )( x − x2 y )( x − x3 y ) Hướng 2: Xem (2) phương trình bậc ẩn x , tức (2) ⇔ x + (1 − y ) x − y − y = Ta có ∆ x = (1 − y )2 + 4(2 y + y ) = y + y + = (3 y + 1) số phương nên có: x = y −1 + 3y +1 y −1− 3y −1 = y; x = = − y − hay (2) ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = 2 Hướng 3: Xem (2) phương trình bậc ẩn y , ta kết tương tự x = 2y x = 2y ⇔ x + y +1 =  x = − y −1 Lời giải: Ta có (2) ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = ⇔  10 y =1⇒ x =  y = −1 ⇒ x = − 2 * Với x = y , vào (1) ⇔ y = ⇔   y = −3 ⇒ x =  y = ⇒ x = −3 * Với x = − y − , vào (1) ⇔ y + y − = ⇔  Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (2;1);(−2; −1);(2; −3);(−3; 2)}  xy + x + y = x − y (1) Bài toán 8: Giải hệ phương trình:   x y − y x − 1=2x − y (2) (8) Phân tích: Nhận thấy (1) có dạng tam thức bậc với ẩn x; y nên có hướng sau: Hướng 1: Nếu chuyển vế dạng (1) ⇔ x − xy − y = x + y có vế trái dạng đẳng cấp nên phân tích x − xy − y = ( x − y )( x + y ) có nhân tử với vế phải Hướng 2: Xem (2) phương trình bậc ẩn x ẩn y ta phân tích tìm nhân tử từ (2), tức có (2) ⇔ ( x + y )( x − y − 1) = Lời giải: Điều kiện x ≥ 1; y ≥ ⇒ x + y ≥ (1) ⇔ ( x − y )( x + y ) − ( x + y ) = ⇔ ( x + y )( x − y − 1) = ⇔ x − y − = , (do x + y ≥ ) Suy x = y + vào (2) ⇔ (2 y + 1) y − y y = y + ⇔ y ( y + 1) = 2( y + 1) ⇔ y = 2, (do: y + ≥ 1) ⇔ y = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (5; 2)}  xy + x − = Bài toán 9: Giải hệ phương trình:  (1)  x − x y + x + y − xy − y = (2) 2 (9) Phân tích: Từ phương trình (2), nhìn nhận phương trình bậc với ẩn y lập ∆ không số phương nên không áp dụng phân tích theo tam thức Lúc ta nghĩ đến việc nhóm hạng tử, ta nên ưu tiên phép thử hạng tử có chứa số giống trước, nhận thấy nhóm x3 − xy = x( x − y ) có x − y dựa vào để ghép cặp lại Tức x3 − x y + x + y − xy − y = x( x − y ) + ( x − y ) − y ( x − y ) có nhân tử x − y Lời giải: Từ (2) ⇔ x( x − y ) + ( x − y ) − y ( x − y ) = ⇔ ( x − y )(2 x − y + 1) = ⇔ y = x y = x + 11 *) Với y = x , vào (1) ⇔ x3 + x − = ⇔ x = ⇒ y =  −1 + ⇒y= x = 2  *) Với y = x + , vào (1) ⇔ x + x − = ⇔  −1 − ⇒ y=− x =    −1 −   −1 +   ;− ÷ ; ;  ÷ ÷ ÷       Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = (1;1);   Nhận xét: Kỹ thuật phân tích thành tích số việc tách - ghép - nhóm hạng tử kỹ thuật việc giải hệ phương trình Ngoài pháp phân tích đa thức biến F ( x; y ) máy tính bỏ túi sau: Bước 1: Cho biến chứa bậc cao 1000, chẳng hạn x = 1000 (nếu x; y bậc cho x hay y được) Bước 2: Thế x = 1000 vào F ( x; y ) phân tích F ( x; y ) thành nhân tử (phân tích ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) Hoocner phương trình bậc cao) Bước 3: Dựa vào đa thức 1000 = x trở lại F ( x; y ) biểu thức tích Ví dụ: Từ (2) ⇔ y − ( x + x + 1) y + x3 + x = cho x = 1000 được:  y = 1000000 = (1000) = x y − 1002001 y + 2001000000 = ⇔   y = 2001 = 2.100 + = x + lúc viết (2) ⇔ ( y − x )( y − x − 1) = * Ngoài việc kỹ thuật tách, ghép, nhóm tam thức bậc hai để đưa phương trình tích ta sử dụng kỹ thuật liên hợp:   x + y + x + = ( y − 3) x Bài toán 10: Giải hệ phương trình:   x+ y + x = x+3  (1) (10) (2) Phân tích: Từ (1), nhận thấy ( x + y ) − ( x − 3) = y − có nhân tử với vế phải nên ghép thức lại với để tiến hành liên hợp Nhưng liên hợp xuất mẫu số dạng A − B nên ta phải xét lượng có khác hay chưa? Lời giải: Điều kiện x > 0; x + y ≥ Khi (1) dương nên cần y > Với y > ⇔ x + y > x + ⇔ x + y > x + ⇔ x + y − x + > thì: y −3 y −3 1 (1) ⇔ x + y − x + = x ⇔ x + y − x + = x ⇔ x + y − x + = x (3) 12  x + y + x = x + Kết hợp (3) với (2), suy hệ:   x + y − x + = x ⇒ x + x +3 = 0 < x < ⇔ x + + x + 3x = ⇔ x + 3x = − x ⇔  ⇒ y = (thỏa mãn đk) x = Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (1;8)}  x y + x − x + = (1) Bài toán 11: Giải hệ phương trình:  2 (2)  x y − x + y = (11) Phân tích: Nhận thấy (1), (2) phương trình bậc hai với ẩn x , biệt số delta không phương Đối với hệ phương trình đại số có biến không độc lập với nhau, chẳng hạn x y Thường ta làm theo bước sau: ( y + 3) x − x + = * Viết lại hệ hai phương trình bậc hai với ẩn x :  2  y x − x + y = * Lập tỉ số hệ số: y + −4 = = ⇒ y = −1 ⇒ x = nghiệm hệ y2 −2 y 2  x − x + = 2( x − x + 1) = ⇔ * Thế y = −1 vào hệ ban đầu:   x − x + =  x − x + = (1') (2') * Do để hai phương trình (dạng = 0) cộng lại ta phải nhân phương trình thứ hai với -2 Lúc đó, lấy (1’) - 2.(2’) thu tích: ( y + 1) f ( x) =  x y + x − x + = (1) Lời giải: Ta có:  2 (2)  x y − x + y = ( y + 3) x − x + = ⇔ 2  y x − x + y = 2  y x − x + y = ⇔ 2 2  x y + 3x − x y − y + = 2  y x − x + y = ⇔ 2  x ( y − y + 3) = 2( y − 1)  y x − x + y = ⇔ 2  x ( y + 1)( y − y + 3) = 2( y − 1)( y + 1)  y x − x + y = ⇔ 2 ( y + 1)  x ( y − y + 3) − 2( y − 1)  = 13  y x2 − 2x + y =  ⇔  y + =  2   x ( y − y + 3) − 2( y − 1) = (*)  y x2 − 2x + y =   y = −1 ⇒ x = ⇔    x = 2( y − 1) ≥ ⇒ y ≥   y2 − 3y + Với y ≥ 1, (2) ⇒ = y ( x + 1) − x ≥ x + − x = ( x − 1) ≥ Nếu dấu “=” xảy ra, tức x = y = Nhưng nghiệm không thỏa mãn (*) Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (1; −1)}  x + xy = xy − x − 49 (1) Bài toán 12: Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y = 10 y − 25 x − (2) Phân tích: 3 xy − xy + x + x + 49 = Viết hệ dạng phương trình bậc ẩn y:  2  y − (8 x + 10) y + x + 25 x + = Lập tỉ lệ hệ số: 3x 6x x3 + x + 49 = = ⇒ x = −1 X + 10 x + 25 x +  −3 y + y + 45 = −3( y − y − 15) = ⇔ Thế x = −1 vào được:   y − y − 15 =  y − y − 15 = Do đó, lấy (1)+3.(2) thu phương trình tích số: ( x + 1) f ( x) =  x + xy = xy − x − 49 (1) Lời giải: Ta có:  2  x − xy + y = 10 y − 25 x − (2) 2  ( x + 3xy − xy + 3x + 49) + 3( x + y − xy − 10 y + 25 x + 9) = ⇔ 2   x + y − xy − 10 y + 25 x + = (2) 2  ( x + 3x + 78 x + 76) + (3xy + y ) − 30 xy − 30 y = ⇔ 2   x + y − xy − 10 y + 25 x + = (2) 2  ( x + 1)( x + x + 76) + y ( x + 1) − 30 y ( x + 1) = ⇔ 2   x + y − xy − 10 y + 25 x + = (2) 2  ( x + 1)( x + x + 76 + y − 30 y ) = ⇔ 2   x + y − xy − 10 y + 25 x + = (2) 14 (12) ( x + 1) ( x + 1) + y −  = ( )    ⇔ 2   x + y − xy − 10 y + 25 x + = (2) Với x = −1 , vào (2) ⇔ y − y − 15 = ⇔ y = y = −3   x = −1 ⇔ (không thỏa mãn hệ)  y = y = ± x +1 = 2 Với ( x + 1) + 3( y − 5) = ⇔  Vậy tập nghiệm hệ S = { ( x; y ) } = { (−1;5); ( −1;3)} (1) 6 x y + y + 35 = Bài toán 13: Giải hệ phương trình:  2 5 x + y + xy + x + 13 y = (2) (13) Phân tích: 6 yx + y + 35 = Viết lại hệ dạng:  2 5 x + (2 y + 5) x + y + 13 y = 15   −15 x + = −3(5 x − ) =    4 ⇔ y = − ⇒  lấy (1) + 3.(2) thu  5 x − = 5x − =   4 phương trình tích số có dạng: (2 y + 5( f ( x) = có lời giải sau: 6 x y + y + 35 = (1) Lời giải: Ta có:  2 5 x + y + xy + x + 13 y = (2) 6 yx + y + 35 = ⇔ 2 5 x + (2 y + 5) x + y + 13 y = 6 yx + y + 35 = ⇔ 2 15 x + 15 y + xy + 15 x + 39 y + x y + y + 35 = 6 x y + y + 35 = ⇔ 2  y (2 y + y + 5) + 3x (5 + y ) + 3x (5 + y ) + (8 y + 34 y + 35) = 6 x y + y + 35 = ⇔  y ( y + 1) ( y + ) + 3x ( + y ) + 3x ( + y ) + ( y + ) ( y + ) = 6 x y + y + 35 = ⇔ 2 ( y + ) ( y + y + x + x + ) = 15 6 x y + y + 35 =  2  ⇔ 5 1   ( y + )  y + ÷ +  x + ÷  =       Với y = − 15 vào (1) ⇔ −15 x + = ⇔ x = ±    Vậy tập nghiệm hệ phương trình S =  ± ; − ÷  2   x + xy = −49 (1) Bài toán 14: Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y = y − 17 x (2) (14) Phân tích: 3 xy + x + 49 = Viết lại hệ dạng:  2  y − 8( x + 1) y + x + 17 x = x = −1 hệ phương trình −  3( y − 16) = ⇔  y − 16 =  x + xy = −49 (1) Lời giải: Ta có:  2  x − xy + y = y − 17 x (2) 3 xy + x3 + 49 = ⇔ 2  y − 8( x + 1) y + x + 17 x = 3 xy + x3 + 49 = ⇔ 2 ( x + x + 51x + 49) + (3 xy + y ) − 24 xy − 24 y = 3 xy + x + 49 = ⇔ 2 ( x + 1)( x + x + 49) + y ( x + 1) − 24 y ( x + 1) = 16 3 xy + x3 + 49 = ⇔ 2 ( x + 1)( x + x + 49 + y − 24 y ) = 3 xy + x3 + 49 = ⇔ 2   ( x + 1) ( x + 1) + 3( y − 4)  = 3 xy + x3 + 49 =    x = −1 ⇔     x = −1    y =   x = −1 ⇔  y = ±4 Vậy tập nghiệm hệ phương trình: S = { ( x; y ) } = { (−1; 4);( −1; −4)} Nhận xét: Từ toán 11 đến 14 ta tìm hệ số tỉ lệ, từ lựa chọn hệ số nhân vào phương trình thích hợp, cộng lại Đối với toán không tìm hệ số tỉ lệ ta làm nào? Câu trả lời trình bày qua bước giải sau: *) Bước 1: Tìm hai cặp nghiệm hệ phương trình, chẳng hạn: ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) *) Bước 2: Tìm quan hệ tuyến tính hai nghiệm (thực chất viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) mp Oxy ) *) Bước 3: Thế quan hệ tuyến tính cho có lợi vào hệ phân tích thành nhân tử Từ xác định biểu thức nhân vào phương trình Tuy nhiên, cách không giải ta không nhẩm hai cặp nghiệm nghiệm lẻ không dò máy tính bỏ túi 2 (1)  x y + x + y − = Bài toán 15: Giải hệ phương trình:  2  x y − xy − y + y − x + = (2) (15) Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (0;1);(1;0) Quan hệ tuyến tính 2  x (1 − x) = hai nghiệm là: x + y = hay y = − x Thay vào hệ ta được:   − x(1 − x) = nên lấy (1) + x.(2) phân tích nhân tử dạng ( x + y − 1) f ( x) = 2 (1)  x y + x + y − = Lời giải: Ta có:  2  x y − xy − y + y − x + = (2)  x y + x + y − = ⇔ 2 2  x y − x y − 3xy + xy − x + x + x y + 3x + y − = 17  x y + x + y − = ⇔ 2 2 2 ( x y + x y − x y ) − ( x + xy − x) − (3x y + 3xy − 3xy ) + (3x + y − 3) =  x y + x + y − = ⇔  x y ( x + y − 1) − x( x + y − 1) − xy ( x + y − 1) + 3( x + y − 1) =  x y + x + y − = ⇔ ( x + y − 1)( x y − x − 3xy + 3) =  x y + 3x + y − =  ⇔  y = − x    x y − xy − x + = x = ⇒ y = x =1⇒ y = *) Với y = − x , vào (1) ⇔ x(1 − x) = ⇔  *) Với x y − 3xy − x + = ⇔ yx − (3 y + 1) x + = có ∆ y = (3 y − 1) ⇒ x = x = y Khi x = 3, vào (1) ⇔ y + y + = vô nghiệm Khi x = y , vào (1) ⇔ y − y + = vô nghiệm Vậy tập nghiệm hệ phương trình: S = { ( x; y ) } = { (0;1);(1;0)} 2 3 x + xy − x − y − y = (1) Bài toán 16: Giải hệ phương trình:   x − 20 x − x y − 20 y = (2) (16) Phân tích: Nhận thấy hệ có nghiệm: ( x; y ) = (0;0);(2; −1) Do phương trình đường thẳng qua hai điểm (0;0);(2; −1) là: x + y = ⇔ x = −2 y Thế vào hệ ta 9 y ( y + 1) = nên lấy 20( y − 1).(1) + 9.(2) thu phương trình  −20 y ( y + 1)( y − 1) = được:  tích số dạng ( x + y ) f ( x) = có lời giải chi tiết sau: 2 3 x + xy − x − y − y = (1) Lời giải: Ta có:   x − 20 x − x y − 20 y = (2) 2 3 x + xy − x − y − y = ⇔ 2 20( y − 1)(3 x + xy − x − y − y ) + 9(2 x − 20 x − x y − 20 y ) = 2 3 x + xy − x − y − y = ⇔ 2 ( x + y )(18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y ) = 18 3 x + xy − x − y − y =  ⇔  x + y =  2  18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y = y =  y = −1  x = x = 2 Với x = −2 y , vào (1) ⇔ y + y = ⇔  Với 18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y = , kết hợp với (1) được: 18 x + 15 xy − 60 x − 10 y − 80 y =  2 3 x − y + xy − x − y = Đây hệ chứa hai tam thức, giải ta nghiệm:  15 ± 145  ( x; y ) = (10;15);  ;11 ± 145 ÷ ÷   Vậy tập nghiệm hpt: S = { ( x; y )   15 ± 145   ;11 ± 145 ÷ ÷    } = (0;0);(−1; 2);(10;15);   Nhận xét: Qua số toán ta thấy để giải hệ phương trình đòi hỏi người học sinh phải nắm số kỹ thuật biến đổi như: Biến đổi đưa hệ dạng đối xứng loại I; II, hệ gần giống đối xứng loại II; hệ đẳng cấp; kỹ thuật tách, ghép, nhóm, tam thức bậc hai, kỹ thuật liên hợp, kỹ thuật dùng phương pháp cộng để đưa tích số; kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2; Kỹ thuật đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp phương trình; đặt ẩn phụ đưa hệ Ngoài ta có dùng định lý Viét để tìm phép đặt ẩn phụ giải nhiều toán 2.3.3 Bài toán tự luyện:  x + y + xy + y = Bài toán 1: Giải hệ phương trình:   xy ( y + xy + x + y ) = 12  x + y + xy = x − Bài toán 2: Giải hệ phương trình:  4 ( x + xy ) + ( y + 2) = 17 x  x + x + y + = x y + y + Bài toán 3: Giải hệ phương trình:  3 x − + xy − y = x 19  x ( y + 1)( y + x + 1) = x − x + Bài toán 4: Giải hệ phương trình:   x( y + 1) + = x 2  x + y = Bài toán 5: Giải hệ phương trình:  2 ( x + y )(4 − x y -2xy)=2y ( x + y )(3xy − x ) = −2 Bài toán 6: Giải hệ phương trình:  ( x + y )(3xy + y ) = 2.4 Kết sau nghiêm cứu Sau áp dụng SKKN vào giảng dạy cho em, nhận thấy việc học tập em có phần tiến rõ rệt Từ việc tư vào giải thái độ học tập yêu thích môn Tôi tiến hành kiểm tra lại em đội tuyển học sinh giỏi dự thi cấp thành phố năm học 2016-2017 với thời gian làm 30 phút kết cho thấy khả quan Cụ thể: Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL % SL % SL % 00,0 16,7 50,0 33,3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, nhận thấy việc dạy dạng toán giải hệ phương trình có ý nghĩa thực tế cao Nó rèn luyện cho học sinh tư logic, khả sáng tạo, khả diễn đạt xác nhiều quan hệ toán học,… trình dạy học giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm mối quan hệ biến, định hướng phân tích để học sinh vận dụng hết kỹ thuật biến đổi để tiếp cận đến lời giải Bên cạnh đó, giáo viên tạo hứng thú cho học sinh học, hướng dẫn học sinh cách học bài, làm cách nghiên cứu trước nhà Để giải tốt dạng toán hệ phương trình người học cần tìm hiểu nhiều kỹ biến đối Nhưng với phạm vi đề tài đưa số kỹ thuật mà thường hay dùng trình làm tập vận dụng để giải nhiều dạng tập khác Do thời gian hoàn thành đề tài không nhiều nên tránh khỏi thiếu sót mong quý đồng nghiệp đóng góp để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn 20 XÁC NHẬN CỦA TP Thanh Hóa, ngày 22 tháng 03 năm 2017 HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA Hà Thị Thu SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS ĐÔNG CƯƠNG Người thực hiện: Hà Thị Thu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Cương SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán 21 NĂM 2017 THANH HOÁ ... số phương pháp giải hệ phương trình cho học sinh giỏi lớp trường THCS Đông Cương nhằm đáp ứng tốt bền vững trình ôn thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải hệ phương. .. NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS ĐÔNG CƯƠNG Người thực hiện: Hà Thị Thu Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Cương SKKN... hai phương trình thành phương trình hệ đưa dạng tích * Phương pháp cộng đại số - Cơ sở phương pháp: Kết hợp phương trình hệ phép toán: cộng, trừ, nhân, chia ta thu phương trình hệ mà việc giải phương