PHÒNG PHÒNGGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠOYÊN YÊNĐỊNH ĐỊNH TRƯỜNG TRƯỜNGTHCS THCSLÊ LÊĐÌNH ĐÌNHKIÊN KIÊN SÁNG SÁNGKIẾN KIẾNKINH KINHNGHIỆM NGHIỆM HƯỚNG HƯỚNGDẪN DẪNHỌC HỌCSINH SINHKHÁ, KHÁ,GIỎI GIỎILỚP LỚP66 CÁCH CÁCHHỌC HỌCMỘT MỘTSỐ SỐDẠNG DẠNGBÀI BÀITẬP TẬPVỀ VỀSỐ SỐNGUYÊN NGUYÊN tỉnh Thanh Hóa Hóa tỉnh Thanh Người Người thực thực hiện: hiện: Trịnh Trịnh Văn Văn Kiện Kiện Chức vụ: Giáo viên Chức vụ: Giáo viên Đơn Đơn vị vị công công tác: tác: Trường Trường THCS THCS Lê Lê Đình Đình Kiên, Kiên, huyện Yên Định, huyện Yên Định, SKKN SKKN thuộc thuộc môn: môn: Toán Toán YÊN ĐỊNH, NĂM 2017 YÊN ĐỊNH, NĂM 2017 MỤC LỤC NỘI DUNG MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu TRANG 1 1-2 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu TT NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cở sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh 3-4 10 11 nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 4-17 17-18 19 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong việc nâng cao chất lượng dạy học toán trường phổ thông, việc đổi phương pháp dạy học vô quan trọng Sự phát triển xã hội đòi hỏi người thầy ngày cao hơn, chất lượng dạy học phải có nhiều tiến Đặc biệt môn toán môn học bản, sáng tạo hấp dẫn đòi hỏi học sinh phải chủ động tích cực việc tìm tòi phần kiến thức định hướng tổ chức dạy học thầy cô Chính trình dạy học mà đặc biệt cho đối tượng học sinh khá, giỏi cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải cho dạng bài, đồng thới khai thác mở rộng tập nhiều hướng khác giúp em phát triển tư sáng tạo, có cách nhìn đa chiều toán, vận dụng nội dung lí thuyết Các em tìm thấy mối liên hệ kiến thức mà có với tập xa lạ mà em gặp Đối với học sinh lớp tập chương II số nguyên hoàn toàn so với kiến thức tiểu học nên khó, đề thi học sinh giỏi lớp làm tảng cho chuyên đề nâng cao lớp lại phần kiến thức quan trọng, bắt đầu phần mở rộng tập hợp số nhằm phát triển tư duy, hình thành phương pháp học cho học sinh giúp em có cách nhìn phát triển mở rộng tập hợp số Cũng có số tài liệu đề cập đến số dạng chưa sâu, chưa có tính hệ thống, logic toàn diện, chưa khai thác nhiều điểm khó mà học sinh hay nhầm lẫn khó tư Vì nghiên cứu chọn lọc đưa số dạng tập, ví dụ có tính tiêu biểu, giúp học sinh có định hướng dễ tiếp cận với dạng toán 1.2 Mục đích nghiên cứu Cung cấp kiến thức phương pháp tự học cho học sinh học môn toán nói chung toán lớp nói riêng Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh, khơi dậy tính sáng tạo đam mê giải toán học sinh Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng toán từ giúp em hình thành phương pháp giải Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số dạng tập sử dụng kiến thức lí thuyết chương II số nguyên lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 6, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua việc làm tập học sinh tiết giảng dạy lớp, kiểm tra học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cở sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Đặc điểm lứa tuổi THCS muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy cô giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động đồng thời phát triển lực tự học học trình lâu dài, kiên nhẩn phải có phương pháp Tính tích cực, tự giác, chủ động lực tự học học sinh thể số mặt như: Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn, máy móc Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh Tính chủ động học sinh thể chổ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề, có khả khai thác vấn đề từ vấn đề biết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tham khảo học hỏi đồng nghiệp nhà trường nhận rằng: *) Về phía học sinh: Học sinh làm tập rập khuôn, máy móc, lười suy nghĩ, lười tư làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân Các em cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân không phát huy hết Không học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao Nhiều học sinh hài lòng với lời giải mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển toán, sáng tạo toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân *) Về phía giáo viên: Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán các luyện tập, tự chọn Chưa cụ thể hóa cách sâu sắc nội dung lí thuyết, khai thác khía cạnh lí thuyết vào tập Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, quan trọng nâng cao tư cho em làm cho em có hứng thú học toán Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài nhiều năm trường THCS Lê Đình Kiên số trường huyện cho thấy điều đó, cụ thể năm học 2016-2017 với 43 học sinh khá, giỏi lớp trường THCS Lê Đình Kiên thấy kết sau: Điểm Điểm từ đến Điểm từ đến Điểm từ đến dưới SL(bài) % SL(bài) % SL(bài) % 4,65 38 88,37 6,98 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: 10 SL(bài) % 0 Trước tình hình thực tế trên, nghiên cứu tài liệu với kinh nghiệm giảng dạy hệ thống lại số tập ví dụ nhằm giúp học sinh có định hướng tốt đồng thời tiếp cận dễ dàng với loại tập Do thời gian khóa có hạn nên hướng dẫn học sinh học chuyên đề vào buổi học phụ đạo, bồi dưỡng với cách thức nêu ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinh thảo luận tìm lời giải, gợi ý sau nêu lời giải rút toán tổng quát, nhận xét cho ví dụ 2.3.1 Dạng toán thực phép tính Nhận xét: Dạng toán học sinh thường hay nhầm lẫn giá trị lũy thừa số nguyên, cần hiểu rõ: n +) ( −a ) = ( − a ) ( −a ) ( −a ) ( có n thừa số − a) +) − a n = − ( a.a a ) (có n thừa số a) + ) ( −a ) 2n = a 2n ; ( −a ) 2n+1 = −a 2n+1 Cần nhận xét kĩ giá trị lũy thừa, giá trị tuyệt đối số sử dụng quy tắc dấu ngoặc thứ tự thực phép tính biểu thức Ví dụ 1: Thực phép tính: a) −52 + ( −4 ) − (−3)3 b) 710 : ( −7 ) + ( −6 ) : ( −6 ) c) ( − 25).2017 ( − 2)2.( − −2 ).( − 1)2n+1 ( với n ∈ N*) 2  5    12 d) 2017 − 60  −117 − ( −3) ( −5 ) − −2 : ( −2 )        ( ) Hướng dẫn a) −72 + ( −5 ) − (−3)3 = −49 + 25 − (−27) = ( ) 7−4 = −710−7 + ( −6 ) b) 710 : ( −7 ) + ( −6 ) : ( −6 ) = 710 : −77 + ( −6 ) = −73 + ( −6 ) = −343 + ( −216 ) = −559 c) ( − 25).2017 ( − 2)2.( − −2 ).( − 1)2n+1 ( với n ∈ N*) = ( − 25).2017 4.( − 2).( − 1) = ( − 25.4)  2017.( −2 ) ( −1)  = ( − 100).4034 = − 403400 d) 2  5  2017 − 60  −117 − ( −3) ( −5 ) − −212 : ( −2 )     ( )      = 2017 − 60  −117 − ( −3) ( −5) − −212 : −25   ( )( ) 2        2    = 2017 − 60  −117 − ( −3) ( −5) − 27    ( )   2  = 2017 − 60  −117 − 135 −128  = 2017 − 60.{ 117 − 49} = 2017 − 60.68 = −2063   Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: A = −1 − + + − − + + − − 2013 − 2014 + 2015 + 2016 − 2017 Nhận xét: tập học sinh phải phát quy luật tổng, xác định số số hạng nằm quy luật để chia nhóm thực ví dụ học sinh cần tách riêng số -2017 với phần lại Hướng dẫn Xét tổng B = −1 − + + − − + + − − 2013 − 2014 + 2015 + 2016 B = ( −1 − + + ) + ( −5 − + + 8) + + ( −2013 − 2014 + 2015 + 2016 ) Tổng B có tất 2016 số hạng chia làm 2016:4 = 504 (nhóm) Mỗi nhóm có tổng Suy ra: B = 4.504 = 2016 Do A = −1 − + + − − + + − − 2013 − 2014 + 2015 + 2016 − 2017 = B − 2017 = 2016 − 2017 = −1 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí: a) 79.99 + ( −47 ) 129 −12.99 − 47.( −30 ) b) 2017.( 1234 − 3017 ) − 3017 ( 1234 − 2017 ) Hướng dẫn a) 79.99 + ( −47 ) 129 −12.99 − 47 ( −30 ) = ( 79.99 −12.99 ) + ( −47 ) 129 − 47 ( −30 )  = 99.( 79 −12 ) + 47  −129 − ( −30 )  = 99.67 + 47 ( −99 ) = 99 ( 67 − 47 ) = 99.20 = 1980 b) 2017.( 1234 − 3017 ) − 3017 ( 1234 − 2017 ) = 2017.1234 − 2017.3017 − 3017.1234 + 3017.2017 = ( 2017.1234 − 3017.1234 ) + ( 3017.2017 − 2017.3017 ) = ( 2017.1234 − 3017.1234 ) = 1234 ( 2017 − 3017 ) = −1234000 Bài tập tương tự: Thực phép tính: ( ) b) 1310 : ( −13) + −77 : ( −7 ) a) −122 + ( −11) c) ( −6 ) − −53  −12 − 13 − 33 ( ) ( )  d) ( − 5)3 2018 (− − ) ( − 1)2n ( với n ∈ N*) 2  10     12 e) 112 −111 530 − ( −12 ) + −11 : ( −11)        ( ) Tính giá trị biểu thức: a) M = − + − + + 2013 − 2015 + 2017 b) N = ( − + 10 −14 + 18 − 22 + + 3994 − 3998 ) ( −9 ) −104 Tính giá trị biểu thức sau cách hợp lí: a) 47.89 − 48.169 + 89 ( −99 ) + 48.80 b) 456.( 135 − 756 ) − 756 ( 135 − 456 ) 2.3.2 Dạng toán tìm số nguyên chưa biết Nhận xét: Bài toán học sinh cần nắm rõ: hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, có bình phương Hai số có giá trị tuyệt đối chúng đối nhau, hai lũy thừa có số mũ số Giá trị tuyệt đối số nguyên không âm dấu tích số nguyên, cần nắm rõ “quy tắc dấu ngoặc” “quy tắc chuyển vế” tính chất phép cộng phép nhân số nguyên Ví dụ 1: Tìm số nguyên x biết: a) | 2x + 14| - 19 = -7 b) | 18 – | -x + 5|| = 12 c) 12 – 2.(-x + 3)2 = - 38 d) -20 + 3.(2x + 1)3 = -101 e) 3x + = x - 17 f) | 5x – 2| ≤ g) (x- 7) (x + 3) < h) x +1 + x - + x + = x - 10 Hướng dẫn  x + 14 = 12 a) x + 14 −19 = −7 ⇒ x + 14 = 12 ⇒   x + 14 = −12  x = −1 ⇒  x = −13 Vậy x∈{ −1; − 13} 18 − − x + = 12  −x + = b) 18 − − x + = 12 ⇒  ⇒ 18 − − x + = −12  − x + = 15 − x + = x =   − x + = −3 x =8  ⇒ ⇒  − x + = 15  x = −10    − x + = −15  x = 20 Vậy x∈{ 2;8; −10;20} 2 2 c) 12 − ( − x + 3) = −38 ⇒ ( − x + 3) = 50 ⇒ ( − x + 3) = 25 ⇒ ( − x + ) = 52 = ( −5 ) − x + = ⇒  − x + = −5  x = −2 ⇒ x = Vậy x∈{ −2;8} 3 3 d) − 20 + ( x + 1) = −101 ⇒ ( x + 1) = −81 ⇒ ( x + 1) = −27 ⇒ ( x + 1) = ( −3 ) ⇒ x + = −3 ⇒ x = − Vậy x∈{ −2} é3x + = x - 17 e) 3x + = x - 17 Þ ê ê3x + =- ( x - 17) Þ ê ë éx =- 19 ê Vậy x∈{ −19;3} êx = ë f) | 5x – 2| ≤ Ta có x − ≥ 0, ∀x Theo đề | 5x – 2| ≤ suy x − = ⇒ x = 2:5 (loại x ∉ Z ) Vậy x∈∅ g) Vì (x- 7) (x + 3) < nên x-7 x+3 trái dấu Mặt khác với x số nguyên ta có x + > x – Suy x+3>0 x-7-3 x Þ x - 10 > Þ x > Do x +1 + x - + x + = x - 10 Þ x +1+ x - + x + = x - 10 Þ 1- + +10 = x - x - x - x Þ 16 = x Þ x = Vậy x = Ví dụ 2: Tìm số nguyên x biết: a) − ( − x + ) − ( − x − ) = −4 ( 12 − x ) + 48 b) − ( 15 − 3x ) + ( x − ) = −5 − ( − x ) Hướng dẫn 10 a) − ( − x + ) − ( − x − ) = −4 ( 12 − x ) + 48 ⇒ − ( −5 x + 35) − ( −3x − 15) = − ( 48 − x ) + 48 ⇒ x − 35 + 3x + 15 = −48 + x + 48 ⇒ x + 3x − x = −48 + 48 + 35 − 15 ⇒ x = 20 ⇒ x = Vậy x = b) − ( 15 − 3x ) + ( x − 8) = −5 − ( − x ) ⇒ − ( 30 − x ) + ( 28 x − 32 ) = −5 − ( −18 x ) ⇒ −30 + x + 28 x − 32 = −5 − + 18 x ⇒ x + 28 x −18 x = −5 − + 30 + 32 ⇒ 16 x = 48 ⇒ x = Vậy x = Ví dụ 3: Tìm x, y ∈ Z biết: a) ( x − 3) ( y + 1) = 10 b) xy − y − x = −41 Nhận xét: Để làm tập học sinh cần nắm rõ quan hệ ước số bội số số nguyên, quan hệ chia hết tập số nguyên: A.B = m m chia hết cho A B hay A B ước m Hướng dẫn a) Vì x, y số nguyên, ( x − 3) ( y + 1) = 10 nên x-3 2y+1 ∈ Ư(10)= { ±1; ± 2; ± 5; ± 10} Mặt khác 2y+1 không chia hết ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: 2y+1=1 x-3=10 suy y=0 x=13 Trường hợp 2: 2y+1=-1 x-3=-10 suy y=-1 x=-7 Trường hợp 3: 2y+1=5 x-3=2 suy y=2 x=5 Trường hợp 4: 2y+1=-5 x-3=-2 suy y=-3 x=1 Vậy y=0 x=13; y=-1 x=-7; y=2 x=5; y=-3 x=1 b) Ta có xy − y − x = −41 ⇒ ( x − ) y = x − 41 ( 1) Với x, y số nguyên, ( x − 5) y = x − 41 Suy x − 41Mx − ⇒ ( x −10 ) − 31Mx − ⇒ 31Mx − ⇒ x-5∈ Ư(31) = { ±1; ± 31} 11 -Với x-5=1 ⇒ x=6 thay vào (1) ta y=-29 -Với x-5=-1 ⇒ x=4 thay vào (1) ta y=33 -Với x-5=31 ⇒ x=36 thay vào (1) ta y=1 -Với x-5=-31 ⇒ x=-26 thay vào (1) ta y=3 Vậy x=6 y=-29; x=4 y=33; x=36 y=1; x=-26 y=3 Bài tập tương tự Tìm số nguyên x biết: a) | 2x + 10| – 17 = –9 b) | 20 – | –x + 3|| = 10 c) 11 – 2.( –2x + 13)2 = – d) – 23 + 3.(2x + 12)3 = –22 + e) 3x + 22 = x - f) | 2x – 12| ≤ g) (x – 1) (x + 4) < 2 h) x +3 x + 2017 = x + 2019 i) 7.(-x - 7) - 5.(-x - 3) = 12.(3 - x) k) 5.(-3x - 7) - 4.(-2x - 11) = 7.(4x + 10) + Tìm x, y ∈ Z biết: a) (2x + 1) (3y – 2) = - 55 c) (x + 1) (xy – 2) = 11 b) (x - 3) (y + 5) = -17 d) xy - 7x + y = -22 2.3.3 Dạng toán quan hệ chia hết Nhận xét: Để làm tốt loại tập học sinh cần nắm rõ tính chất chia hết: - Nếu A + BMm BMm AMm Ngược lại AMm BMm A + BMm - Nếu AMB ⇒ mAMB Điều ngược lại chưa nên sử dụng tính chất cần lưu ý thử lại giá trị tìm xem có thỏa mãn hay không kết luận - Học sinh cần ý cách tách số hạng nhân thêm với số khác 0, dùng tính chất đưa toán điều kiện biểu thức có giá trị nguyên ước số Ví dụ 1: Tìm số nguyên n cho: a) − 2nM2n − b) 2n2 + 11M 3n + Hướng dẫn 12 a) Ta có − 2nM2n − ⇒ ( − 3) − ( 2n − 3) M2n − ⇒ 6M2n − (vì 2n − 3M2n − ) Suy 2n-3 ∈ Ư(6) = { ±1; ± 2; ± 3; ± 6} Mặt khác 2n-3 không chia hết ta có trường hợp sau: +) 2n − = ⇒ n = +) 2n − = −1 ⇒ n = +) 2n − = ⇒ n = +) 2n − = −3 ⇒ n = Vậy n∈{ 0;1;2;3} ( ) b) 2n2 + 11M 3n + ⇒ 6n2 + 33M 3n + ⇒ 6n2 + 2n + ( 33 − 2n ) M 3n + ⇒ 33 − 2nM 3n + (vì 6n2 + 2nM 3n + ) 33 − 2nM 3n + ⇒ 99 − 6nM 3n + ⇒ ( 99 + ) − ( 6n + ) M 3n + ⇒ 101M 3n + (vì 6n + 2M 3n + ) Suy 3n+1 ∈ Ư(101) = { ±1; ± 101} +) 3n + = ⇒ n = +) 3n + = −1 ⇒ n = −2:3 (loại n ∉ Z ) +) 3n + = −101 ⇒ n = −34 +) 3n + = 101 ⇒ n = 100:3 (loại n ∉ Z ) Thử lại với n = 0, n = −34 thỏa mãn 2n2 + 11M 3n + Vậy n∈{ 0; −34} Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n cho n + ước 111 n – bội 11 Vì n+2 ước 111 suy n + ∈{ ±1; ±3; ±37; ±111} Mà n số nguyên dương nên n + ∈{ 3;37;111} / 11 (loại) - Nếu n + = ⇒ n = suy n − = − = −1 M - Nếu n + = 37 ⇒ n = 35 suy n − = 35 − = 33 M11 (chọn) / 11 (loại) - Nếu n + = 111 ⇒ n = 99 suy n − = 99 − = 97 M Vậy n = 35 Ví dụ 3: Tìm số nguyên n biết: a) −40M2n + 24M2n + ( −11) ; − nM7 b) n − 3M −100 < n < 100 Nhận xét: Trong tập số nguyên không đề cập đến ƯCLN BCNN nên em thấy khó khăn, cần xét quan hệ ƯCLN BCNN tập số tự nhiên sau dùng quan hệ 13 ước số - bội số tập số nguyên a ước b –a ước b, a bội b –a bội b Hướng dẫn a) Ta có −40M2n + 24M2n + suy 2n + ∈ ƯC ( 24; −40 ) Trong tập N, ƯCLN ( 24;40 ) = ⇒ 2n + ∈ { ±1; ±2; ±4; ±8} / nên 2n + ∈ { ±1} ⇒ n ∈{ −1; −2} Vậy n∈{ −1; −2} Nhưng 2n + M ( −11) − nM7 suy n − ∈ BC(-11 ;7) b) Ta có n − 3M Trong tập N, BCNN ( 11;7 ) = 77 ⇒ n − ∈{ 0; ±77; ±154; } Nhưng −100 < n < 100 nên n − ∈{ 0; ±77} ⇒ n ∈{ 3; −74;80} Vậy n∈{ 3; −74;80} Bài tập tương tự Tìm số nguyên n cho a) n +  n + c) 3n2 +  n – 1 − 2n 20M2n −1 e) 30M b) n2 + n + 17  n + d) 3n +  2n + 13 ; 2n − 3M −50 < n < 50 f) − 2nM Tìm n ∈ Z cho n – bội n – n + bội n + 3.Tìm tất số nguyên a, b cho tổng số tích số 2.3.4 Dạng toán chứng minh Ví dụ 1: Cho S = – + 32 – 33 + + 398 – 399 a) Chứng minh S bội – 20 b) Tính S, từ suy 3100 chia cho dư Nhận xét: Đối với dạng tập ta phải hướng dẫn cho học sinh kiểm tra số số hạng tổng đó, sau chia số hạng vào vừa đủ nhóm cho nhóm chia hết cho số cho từ tổng chia hết cho số Còn với cách tính tổng dạng cần nhân thêm vế với lũy thừa có số với số lũy thừa tổng, số mũ với khoảng cách giữu số mũ tổng cộng 14 trừ tổng với tổng ban đầu để làm triệt tiêu lũy thừa từ tính tổng Hướng dẫn a) ( ( + 396 − 397 + 398 − 399 ) ⇒ S = ( −20 ) + 34 ( −20 ) + + 396 ( −20 ) M ( −20 ) b) ) ( ) S = − + 32 − 33 + + 398 − 399 = − + 32 − 33 + 34 − 35 + 36 − 37 + Vậy SM ( −20) S = − + 32 − 33 + + 398 − 399 ⇒ 3S = − 32 + 33 − 34 + + 399 − 3100 − 3100 ⇒ 4S = − 3100 ⇒ S = Vì tổng S số nguyên nên − 3100 M4 ⇒ 3100 : dư Vậy 3100 : dư Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên a, b khác a bội b; b bội a a = b a = -b Nhận xét: Học sinh cần biết biểu diễn quan hệ ước số bội số số nguyên: Nếu a bội b a = m.b với m số nguyên Hướng dẫn Vì a bội b suy a = m.b ( 1) với m số nguyên khác Vì b bội a suy b = n.a ( ) với n số nguyên khác Từ (1) (2) suy a.b = m.n.a.b ⇒ m.n = ⇒ m = n = m = n = −1 Với m = n = ta a = b Với m = n = −1 ta a = - b Vậy với số nguyên a, b khác a bội b; b bội a a = b a = -b Bài tập tương tự Cho S = – + 72 – 73 + + 798 – 799 a) Chứng minh S bội 300 b) Tính S, từ suy 7100 chia cho dư 15 Cho B = – – 52 – – 52016 – 52017 a) Chứng minh B chia hết cho b) Chứng minh – 5n+1 = 4B n = 2017 2.3.5 Dạng toán GTLN-GTNN Ví dụ : Tìm GTLN GTNN của: g) B = − ( x − 3) − x − + 25 a) A = − x + − 21 Nhận xét: Học sinh cần nắm rõ tính chất giá trị tuyệt đối, bình phương số nguyên: A ≥ 0; − A ≤ 0; A2 ≥ 0; − A2 ≤ với giá trị A, tổng số không âm số không âm Hướng dẫn a) Ta có − x + ≥ 0, ∀x ⇒ − x + − 21 ≥ −21, ∀x ⇒ A ≥ −21 A = −21khi − x + = ⇒ x = Vậy GTNN A = −21 x = b) B = − ( x − 3) − x − + 25 Ta có − ( x − 3) ≤ 0; − x2 − ≤ 0, ∀x Suy B = − ( x − 3) − x − + 25 ≤ 25, ∀x B = 25 ( x − 3) = x2 − = ⇒ x = Vậy GTLN B = 25 x = Bài tập tương tự Tìm GTLN GTNN của: a) B = − x − 17 + y − 36 + 12 b) C = − x − − 35 16 c) ( d) D = -21 – x + 10 − x2 − 25 D = 3(3x – 12)2 – 37 ) 2.3.6 Dạng toán xét dấu tích số nguyên: 2 3 Ví dụ 1: Cho A = ( 5m − 8m − 9m ) ( −n + 4n ) Với giá trị m n A ≥ Nhận xét: Để làm tập học sinh cần nắm rõ dấu lũy thừa tích số nguyên: x2n ≥ 0, x2n+1 ≤ ⇔ x ≤ 0, ∀x ∈ Z Học sinh cần nắm rõ có số chẵn thừa số dấu tích tích chúng số dương Hướng dẫn ( )( ) 2 3 3 Ta có: A = 5m − 8m − 9m −n + 4n = m ( − − ) n ( −1 + ) = −36m n Để A ≥ ⇒ −36m2n3 ≥ , mà −36 < m2 ≥ 0, ∀m suy n3 ≤ ⇒ n ≤ Vậy để A ≥ m, n ∈ Z n ≤ Ví dụ 2: Cho a b trái dấu, 3a2b1980 -19a5b1890 dấu Xác định dấu a b? Hướng dẫn ( )( ) ( )( ) 1980 −19a5b1890 = ( −19.3) a 2.a5 b1980.b1890 = −57a7b3870 Xét tích 3a b Vì 3a2b1980 -19a5b1890 dấu, suy −57a7b3870 > mà −57 < b3870 ≥ 0, ∀b suy a7 < ⇒ a < hay a số âm Do a b trái dấu mà a số âm nên b số dương Vậy a số âm, b số dương Ví dụ 3: Trong số nguyên x, y, z có số dương, số âm số Em số biết: x = y 2.( y − z ) Nhận xét: Để làm tâp học sinh cần nắm rõ tính chất giá trị tuyệt đối bình phương số nguyên: x ≥ 0, ∀x ∈ Z x 2n ≥ 0, ∀x ∈ Z 17 Hướng dẫn Từ đề cho thấy ta giải phương án loại trừ Ta có x = y 2.( y − z ) ( 1) - Nếu x = từ (1) suy y = y = z trái giả thiết - Nếu y = từ (1) suy x = trái giả thiết Suy z = thay vào (1) ta x = y3 Vì y3 = x ≥ 0, ∀x ⇒ y số nguyên dương, suy x số nguyên âm Vậy x số nguyên âm, y số nguyên dương, z = Ví dụ 4: Cho 2017 số nguyên số có tích âm Hỏi tích 2017 số âm hay dương? Mỗi số nguyên âm hay dương? Nhận xét: Để làm tập học sinh cần nắm rõ dấu tích số nguyên tích số nguyên số nguyên âm tích phải có số lẻ số nguyên âm Hướng dẫn Ta thấy 2017 chia thương 288 dư Vì sè có tích âm nên ta chọn số âm 2017 số cho gọi x0, lại 2016 số chia thành 288 nhóm, nhóm có số Do nhóm có tích số số âm nên 288 nhóm cho ta tích số dương nhân với x0 số âm ta kết số âm Suy tích 2017 số cho số âm Ta chứng minh 2017 số cho số âm: Thật vậy, xét nhóm số có tích số âm nên ta có trường hợp sau: - Nhóm có số âm số dương, ta chọn số âm số dương nhóm với số âm x0 ta nhóm gồm số có tích lại số dương(trái giả thiết) - Nhóm có số âm số dương, ta chọn số âm số dương nhóm với số âm x0 ta nhóm gồm số có tích lại số dương(trái giả thiết) 18 - Nhóm có số âm số dương, ta chọn số âm số dương nhóm với số âm x0 ta nhóm gồm số có tích lại số dương(trái giả thiết) Từ ta thấy khả số nhóm số âm phù hợp Vậy 2017 số nguyên số nguyên âm Bài tập tương tự Cho 2017 số nguyên số có tổng âm Hỏi tổng 2017 số âm hay dương? Biết a, b, c ∈ Z Hỏi số 3a2.b.c3; -2a3b5c; -3a5b2c2 âm không? Cho hai tích -2a5b2 3a2b6 dấu Tìm dấu a? Trong số nguyên x, y, z có số dương, số âm số Em số biết: a) y2 = |x| (z – x) b) x8 + y6z = y7 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Sau áp dụng đề tài thấy chất lượng qua kiểm tra 43 học sinh lần trước nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng học sinh đạt điểm giỏi tăng lên nhiều Điểm Điểm từ đến Điểm từ đến Điểm từ đến dưới 10 SL(bài) % SL(bài) % SL(bài) % SL(bài) % 0 11,63 18 41,86 20 46,51 Tôi trao đổi với đồng nghiệp môn trường THCS Lê Đình Kiên để đưa sáng kiến vào dạy cho học sinh qua năm thấy em nắm tốt nội dung , phát triển tốt tư hình thành phương pháp giáp giải giúp học sinh có tảng vững cho năm Trong thời gian giảng dạy qua, với cách làm gặt hái nhiều thành công công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, từ cấp cụm đến cấp huyện cấp tỉnh 19 Kết bồi dưỡng học sinh giỏi hàng năm đạt kết xuất sắc, cấp trên, nhà trường phụ huynh ghi nhận khen thưởng Trong số học sinh giỏi dạy có nhiều em theo học trường THPT chuyên, đặc biệt có em Trịnh Hoàng Đức học chuyên Lam Sơn đạt giải quốc gia năm học 2013-2014, đạt giải nhì quốc gia năm học 2014-2015, em Trịnh Hữu Gia Phúc năm học lớp 10 chuyên Lam Sơn em đạt giải kì thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2016-2017 Trong khóa học này, học sinh giảng dạy đạt giải môn toán cấp huyện năm học 2016-2017, giải nhì casio toán cấp tỉnh giải môn toán cấp tỉnh năm học 2016-2017, nhiều giải cao kì thi học sinh giỏi cấp cụm môn toán khối 6-khối 7, điều làm cho vững tin vào mà hướng dẫn cho lứa học trò KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trên số dạng tập tiêu biểu mà giảng dạy cho học sinh khá, giỏi lớp nơi công tác trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh 20 giỏi nhiều khóa học sinh khác trao đổi với đồng môn áp dụng thử nghiệm sáng kiến này, nhận thấy khả nhận dạng giải tập có tiến rõ rệt, em hoàn thành tốt tập mà đưa để vận dụng cho cụ thể Để đạt kết giáo viên cần phải hệ thống lại hướng dẫn gợi ý để học sinh dễ tiếp cận, đồng thời dễ nhớ cách làm với dạng tập khác Người thầy cần khơi dậy chủ động tìm tòi, tính tích cực sáng tạo học sinh thông qua giảng góp phần nâng cao hiệu chất lượng giáo dục nhà trường Việc giảng dạy loại tập cần bố trí vào buổi học bồi dưỡng học sinh giỏi với thời gian thích hợp để học sinh nắm bắt tốt Tôi mong muốn nhận hưởng ứng tích cực từ phía thầy cô em học sinh trao đổi, nghiên cứu tìm hiểu chuyên sâu chuyên đề dạng toán nói chung dạng tập nói riêng nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Tôi xin trân trọng cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO TT TÊN TÀI LIỆU Sách giáo khoa toán TÁC GIẢ Phạm Đức Chính-Tôn Thân 21 Vũ Hữu Bình-Phạm Gia Đức-Trần Luận Tôn Thân-Vũ Hữu Bình Sách tập toán Sách “Nâng cao phát triển toán 6” Sách “Toán số học nâng cao lớp 6” Một số chuyên đề ôn thi học sinh Phạm Gia Đức-Trần Luận Vũ Hữu Bình Nguyễn Vĩnh Cận Tham khảo qua mạng internet giỏi, đề thi học sinh giỏi toán lớp 6… XÁC NHẬN Thanh hóa, ngày 15 tháng năm 2017 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác 22 Trịnh Văn Kiện ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NGÀNH GD&ĐT YÊN ĐỊNH DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 23 Họ tên tác giả: Trịnh Văn Kiện Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Lê Đình Kiên TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh giỏi lớp số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Hướng dẫn học sinh giỏi lớp cách học tập tổng quát Hướng dẫn học sinh giỏi lớp cách học tập tổng quát Hướng dẫn học sinh giỏi lớp cách phát triển Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Phòng B GD&ĐT Yên Định Năm học đánh giá xếp loại 2011-2012 Phòng GD&ĐT Yên Định A 2013-2014 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2013-2014 Phòng GD&ĐT Yên Định A 2015-2016 tập hình học từ tập 24 ... SKKN Hướng dẫn học sinh giỏi lớp số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Hướng dẫn học sinh giỏi lớp cách học tập tổng quát Hướng dẫn học sinh giỏi lớp cách học tập tổng quát Hướng dẫn học sinh giỏi. .. làm tập học sinh cần nắm rõ dấu tích số nguyên tích số nguyên số nguyên âm tích phải có số lẻ số nguyên âm Hướng dẫn Ta thấy 2017 chia thương 288 dư Vì sè có tích âm nên ta chọn số âm 2017 số. .. phương pháp giải Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Một số dạng tập sử dụng kiến thức lí thuyết chương II số nguyên lớp 1.4 Phương pháp nghiên