SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Người thực hiện: Hoàng Minh Hạnh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Hải SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2017 MỤC LỤC Mở đầu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phần I: Sử dụng định lý Vi-et cho toán biểu thức nghiệm phương trình bậc hai Phần II: Sử dụng định lý Vi-et để giải toán số nghiệm phương trình quy bậc hai Kết luận kiến nghị Tr ang 2 19 MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Trong môn học bậc tiểu học, trung học sở hay trung học phổ thông, môn toán môn học khó hấp dẫn lý thú Việc học toán có ý nghĩa lớn học sinh Nó giúp em bước phát triển lực tư khoa học; hình thành kĩ ứng dụng toán học vào thực tiễn vào việc học tập môn học khác Ở trường THCS, dạy học toán, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lý việc dạy học giải toán có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học toán trường phổ thông Đối với học sinh THCS coi giải toán hình thức chủ yếu việc học toán Trong chương trình toán THCS ″Định lý Vi-ét ” phần kiến thức vô quan trọng Định lý Vi-ét ứng dụng có vai trò "chìa khoá" mở hướng giải cho nhiều toán khác nhau, từ toán đến toán nâng cao như: toán nghiệm phương trình quy bậc hai, toán chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức Điều cho thấy, phạm vi ứng dụng định lý Vi-ét giải toán đa dạng phong phú Và để giải dạng toán đòi hỏi học sinh phải có tư sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức có logic hệ thống Là giáo viên giảng dạy Toán bậc THCS, thân lại nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán tham dự kì thi cấp thành phố cấp Tỉnh, trăn trở để em làm tốt dạng toán đồng thời giúp em có tư sáng tạo trình khai thác ứng dụng định lý Vi-ét Và cao giúp em tìm tòi, phát hiện, tạo hứng thú trình học môn Toán Xuất phát từ thực tế lý lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi-et giải toán tìm cực trị toán số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững kiến thức định lí Vi-et, biết phân tích điều kiện đề cho, xác định rõ yêu cầu, có phân loại định hướng rõ ràng toán có liên quan, từ có hướng giải đúng, tự tin giải tập nhanh hơn, có hiệu cao.Trên sở giúp học sinh phát triển khiếu thân thông qua việc tìm hiểu ứng định lý Vi-ét mức độ cao - Mở cho em góc nhìn mẻ định lý Vi-ét, đáp ứng nguyện vọng việc nâng cao kiến thức, khám phá kiến thức mới, kích thích tìm tòi sáng tạo , từ tạo niềm say mê yêu thích toán học nhiều - Góp phần nâng cao chất lượng môn toán, đặc biệt nâng cao chất lượng học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9A, 9C trường Trung học sở Đông Hải Thành phố Thanh Hóa - Tỉnh Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp vấn đề lý luận việc dạy toán ứng dụng định lý Vi-ét - Phương pháp pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết áp dụng đề tài - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Rút học cho thân đồng nghiệp để giảng dạy tốt NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Định lý Vi-ét ứng dụng phong phú đa dạng Có nhiều cách vận dụng định lý tùy thuộc vào đặc thù toán Điều tương đối khó học sinh THCS Để vận dụng tốt nội dung không chỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức có kỹ giải toán định mà hỏi em phải trải qua thao tác tư như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hóa Thông qua em biết tìm phương pháp giải vấn đề; có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh; Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết Điều giúp phát huy tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh góp phần xây dựng rèn luyên em trở thành người động sáng tạo thích ứng với thay đổi cuả hoàn cảnh phát triển xã hội 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nhiệm: Tại trường THCS Đông Hải, lớp 9A 9C giảng dạy toán ứng dụng định lý Vi-ét như: tính tổng tích nghiệm phương trình bậc hai, nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tổng tích, xét dấu nghiệm phương trình bậc hai em biết cách làm Còn toán mức độ vận dụng vận dụng cao liên quan đến số toán chứa tham số số nghiệm phương trình quy bậc hai, chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị em biết cách vận dụng định lý Vi-et để làm Trong trình giảng dạy học sinh lớp 9, thân nhận thấy dạng toán khó mà tài liệu tham khảo chỉ đưa tập giải mà không nêu phương pháp rõ ràng cho dạng toán Do học sinh phương pháp suy luận để vận dụng kiến thức học Trước vấn đề thấy cần thiết phải có cách tiếp cận ứng dụng định lý Viet giải số toán nâng cao để giúp học sinh có thêm kiến thức, nâng cao kỹ giải toán vận dụng định lý Vi-et, bồi dưỡng tư sáng tạo em 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để phát huy hiệu phát triển tư sáng tạo học sinh đòi hỏi người giáo viên cần có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu đầu tư Vì trình giảng dạy áp dụng giải pháp sau đây: +) Bước đầu tạo hứng thú cho em toán vận dụng Từ kiến thức khai thác, xây dựng hệ thống dạng toán vận dụng với nhận dạng rõ ràng giúp học sinh độc lập suy nghĩ sáng tạo cách giải ( khái quát hoá kiến thức ) sử dụng kiến thức học Muốn vậy, cho học sinh lật lật lại vấn đề, tìm khía cạnh sâu sắc nội dung để học sinh hiểu nắm kiến thức Và để đạt điều này, chuẩn bị nhiều câu hỏi chủ đạo có tính định hướng, giao công việc cụ thể để HS phát tìm tòi lời giải vận dụng kiến thức lời giải +) Sau phân loại hướng dẫn ví dụ, cuối phần, giao tập để em luyện tập củng cố kiến thức Và cuối kiểm tra kiến thức đánh giá kỹ vận dụng Sau xin trình bày nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi-ét để giải toán tìm cực trị toán số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” PHẦN I: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Kiến thức vận dụng: 1/ Định lý Vi-ét đảo: (Tìm số biết tổng tích ) Nếu số u v có tổng u + v = S tích u.v = P u v nghiệm phương trình bậc hai : x − Sx + P = 2/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Phương trình bậc hai: ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm ⇔ ∆ = b − 4ac ≥ Trong phần vận dụng định lý Vi-ét đảo để chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN mà biểu thức có tính đối xứng, (có thể đưa dạng chứa tổng chứa tích hai biến) có điều kiện ràng buộc đẳng thức có tính chất đối xứng Tôi đưa phương pháp giải toán sau: Đặt vế chứa biến bất đẳng thức biểu thức cần tìm cực trị A - Biểu diễn tổng hai biến tích hai biến theo A - Sử dụng định lý Vi-ét đảo: hai biến nghiệm phương trình bậc hai với tham số A - Để tồn hai biến phương trình bậc hai (tham số A) phải có nghiệm Từ tìm miền giá trị A Cách làm tạo nhiều hứng thú với em giải số toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị mà lâu em e ngại công cụ đơn giản, quen thuộc, định lý Vi-ét đảo Ví dụ 1: Cho a, b thỏa mãn: a + b =1 Chứng minh: a + b3 + ab ≥ Hướng dẫn: Đặt A = a + b3 + ab Vì a + b =1 nên 1− A A = a + b3 + ab = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) + ab = − 2ab ⇔ ab = a + b =  1− A = (1) Ta có  − A nên a, b nghiệm pt: X − X + ab = Để tồn a, b pt (1) phải có nghiệm 1− A 4A − ⇔ ∆ ≥ ⇔ 1− ≥0⇔ ≥ ⇔ 4A − ⇔ A ≥ 2 1 Dấu "=" xảy ∆ = pt (1) có nghiệm kép X1 = X2 = nên a = b = 2 3 Nhận xét: Đặt A = a + b + ab biết a + b =1 việc tìm tích ab theo A đơn giản Từ xác định phương trình bậc hai nhận a, b làm nghiệm tìm điều kiện để phương trình có nghiệm công việc tương đối dễ dàng với học sinh Để giải toán theo phương pháp khác đòi hỏi học sinh phải nắm tính chất bất đẳng thức số bất đẳng thức phụ phải biết cách áp dụng Điều học sinh dễ Ví dụ 2: Cho số thực x , y , z khác thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz ; x2 = yz Chứng minh : x2 ≥ Hướng dẫn: Gợi ý HS tìm y + z yz theo biến x sử dụng định lý Vi-et đảo để tìm điều kiện tồn y z  y + z = x3 − x  y + z = xyz − x ⇔  2 yz = x  yz = x  y; z nghiệm phương trình: t − ( x − x ) t + x = (1) Để tồn y, z pt (1) phải có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ ( x3 − x ) − x ≥ ⇔ x ( x + 1) ( x − 3) ≥ Vì x ≥ 0; x + > nên x − ≥ ⇔ x ≥ (đpcm) Nhận xét: Cách làm đơn giản, dễ hiểu, học sinh sử dụng đến kiến thức bất đẳng thức 1 + Ví dụ 3: Cho a, b dương có a + b =1 Tìm GTNN M = a +1 b +1 Hướng dẫn: 1 ( a + b) + = + = Ta có: M = ( a + b =1) a + b + ab + ( a + b ) + ab + ⇔ M ( ab + ) = ⇔ abM = − 2M Nếu M = = vô lý nên M ≠ ab = − 2M M a + b =  − 2M = (1) Ta có:  − 2M nên a,b nghiệm pt: X − X + M ab = M Để tồn a, b pt (1) phải có nghiệm − 2M 9M − 12 ⇔ ∆ ≥ ⇔ 1− ≥0⇔ ≥ mà a, b dương nên M >0 Do M M M − 12 ≥ ⇔ M ≥ 1 Vậy M NN = ∆ = pt (1) có nghiệm kép X1 = X2 = nên a = b = 2 Nhận xét: - Việc giải toán cách sử dụng hệ bất đẳng thức Cosi không khó Nhưng em, việc vận dụng bất đẳng thức phụ vào giải toán lại khó Cách làm giúp em tháo gỡ khó khăn đồng thời mở cho em hướng suy nghĩ cho toán cực trị hai biến đưa dạng chứa tổng tích - Ba ví dụ: 1, 2, cách làm toán không phức tạp Tuy nhiên nhiều toán phức tạp hơn, việc sử dụng điều kiện tồn hai biến phải kết hợp với việc tìm GTLN, GTNN biểu thức bậc hai biến Ví dụ 4: Cho x + y = − a; x + y + xy = Tìm GTLN, GTNN P = x + y − xy Hướng dẫn: 2 Ta có: x + y + xy = ⇔ ( x + y ) − xy = ⇔ xy = ( x + y ) −  x + y = − a x + y = − a x + y = − a ⇔ Vì nên  (1)  2  xy = ( − a ) −  xy = a − 4a + 2 x; y nghiệm phương trình: t − ( − a ) t + a − 4a + = (2) Để tồn x, y pt (2) phải có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ ( − a ) − ( a − 4a + 1) ≥ ⇔ −3a + 12a ≥ a ( a − ) ≤ ⇔ ≤ a ≤ (3) 2 Theo ta có: P = x + y − xy = ( x + y ) − 3xy = ( − a ) − ( a − 4a + 1) 2 P = −2a + 8a + = −2 ( a − 4a + ) + = −2 ( a − ) + ≤ Vậy: PLN = a = thỏa mãn ĐK (3) Khi thay a vào (1) ta  x = 3; y = − x + y = ⇔    xy =  x = − 3; y = Mặt khác: P = −2a + 8a + = 2a ( − a ) + Vì theo (3) a ≥ 0; − a ≥ nên P ≥ Vậy: PNN =1 a = a = Khi thay a vào (1) ta x + y =  x + y = −2 ⇔ x = y =  ⇔ x = y = −1   xy =  xy = Nhận xét: Đối với toán này, thông thường em làm sau Tìm x + y xy theo a sau thay vào P tìm GTLN, GTNN P mà điều kiện a Như có GTNN mà GTLN Đó sai lầm chủ yếu HS không sử dụng Vi-et đảo tìm ĐK để x, y tồn suy điều kiện a Do GV cần khắc sâu để HS không mắc phải sai lầm Những toán cực trị phức tạp có bậc hai bậc ba vận dụng định lý Viet để giải 1 Ví dụ 5: Cho x; y dương thỏa mãn: + = Tìm GTNN A = x + y x y 1 + = ⇔ x + y = xy x y Đặt x + y =S; xy = P ta được: S = 2P Mặt khác: Để tồn x; y S ≥ P ⇔ ( P ) ≥ P ⇔ P ≥ P ⇔ P ( P − 1) ≥ (1) Vì x; y dương nên P > Do từ (1) ta có P ≥ Hướng dẫn: Ta có: Từ gt A = x + y nên A2 = ( x+ y ) = x + y + xy = P + P P ≥ Do A2 ≥ ⇔ A ≥ (vì A > 0)  xy = ⇔ x = y =1 = P = ⇔  x + y =  Vì P ≥ nên Vậy ANN Ví dụ 6: Cho số x; y thỏa mãn: x ( ) x −1 + y ( ) y − = xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức: F = x + y + xy Hướng dẫn: x x − + y y − = xy Ta có: ( ( ) ⇔ ( x ) + ( y ) − ( x + y ) = xy ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) = xy 3 ) 2 3 3 3 3  x + y = S S2 − S Đặt  từ biểu thức ta có ⇔ S − S = 3P ⇔ P = (*) xy = P  S2 − S 2 Để tồn x; y S ≥ P ⇔ S ≥ ⇔ S − 4S ≤ ⇔ S ( S − ) ≤ ⇔0≤S ≤4 S − S S + 2S Theo ra: F = x + y + xy = S + P = S + = 3 ⇔ 3F = S + S Vì ≤ S ≤ nên ≤ 3F ≤ 42 + 2.4 ⇔ ≤ F ≤ Vậy: FNN = S = P = ( theo (*)) ⇔ x = y = FLN = S = P = 4( theo (*)) Do x ; y nghiệm pt 3 t − 4t + = ⇔ t1 = t = ⇔ x = y = ⇔ x = y = BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho x; y dương x + y = Tìm GTNN biểu thức: x y    a/P = + b / Q = 1 − ÷1 − ÷ y +1 x +1 y   x  Bài 2: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện Chứng − ≤ a; b; c ≤ 2 1   25  Bài 3: Cho a + b = Chứng minh:  a + ÷ +  b + ÷ ≥ a  b  3x2 2 Bài 4: Tìm GTLN, GTNN A = x + y + z biết y + yz + z = − 2 2 Bài 5: Cho x + y = m; x + y = - m Tìm GTLN, GTNN F = xy - 6(x + y) Bài 6: Cho x; y thỏa mãn: x + y = x2 + y2 Tìm GTLN P = xy a + b + c = - ; a2 + b2 + c2 = PHẦN II: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Kiến thức vận dụng Xét dấu nghiệm phương trìnhbậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a ≠ 0) −b c  ;P =  S = a a  - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm trái dấu P < ⇔ ac < ∆≥ P > - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm dấu :  Δ ≥  - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm dương là: P > S >  Δ ≥  - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm âm là: P > S <  Δ = - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm kép dương là:  S > Δ = S < - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm kép âm là:  Trong phần trình bày phương pháp giải cách tổng quát số dạng toán liên quan đến số nghiêm phương trình quy bậc cách lựa chọn cách đặt ẩn phụ khôn ngoan để đưa toán việc xét dấu nghiệm phương rình bậc hai theo ẩn phụ, sử dụng định lý Vi-ét cách thông qua ví dụ để đến toán tổng quát Đầu tiên, đưa ví dụ toán phương trình trùng phương chứa tham số sau: Ví dụ 1: Cho phương trình: x − 2mx + m − 3m + = (1) a) Tìm m để phương trình (1) vô nghiêm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Với ví dụ trên, học sinh biết đặt x ẩn phụ t ( t ≥ 0) em giải quen phương trình bậc bốn trùng phương Tuy nhiên, sau đưa phương trình bậc hai ẩn t em lại xử lý theo yêu cầu toán cho phương trình bậc hai Một vài em biết phương trình (1) vô nghiệm phương trình bậc hai ẩn t vô nghiệm Còn trường hợp khác, em không suy luận Vướng mắc em chưa tìm mối liên hệ số nghiệm x với số nghiệm t Do đặt ẩn phụ x = t ( t ≥ ) nêu rõ: với t = x = nên nghiệm x = 0; với t > x = t nên nghiệm x = ± t , với t x2 = t nên nghiệm x = ± t a) Để phương trình (1) vô nghiệm ⇔ pt (2) vô nghiệm có hai nghiệm âm TH1: Phương trình (2) vô nghiệm ⇔ ∆ ' < ⇔ 3m − < ⇔ m < ∆ ' ≥  TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm t1 ≤ t2 < ⇔  P > S <  3m − ≥  ⇔ m − 3m + > (vô nghiệm)  2m <  phương trình (1) vô nghiệm b) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≥ TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ⇔ m2 − 3m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ Kết luận: Vậy với m < ∆ ' ≥  TH2: Phương trình (2) có nghiệm ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥   m ≥  3m − ≥  2 ≤ m ≤1  m ≤ ⇔ m − 3m + ≥ ⇔   ⇔ 3   2m ≥ m ≥ m ≥  m ≥   ≤ m ≤ m ≥ phương trình (1) có nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm t = nghiệm âm pt (2) có nghiệm kép TH1: Phương trình (2) có nghiệm t = nghiệm âm  m − 3m + = P = ⇔ t1 < = t2 ⇔  ⇔ (vô nghiệm) S < m <   Kết luận: Vậy với ∆ = 3m − = ⇔ (vô S =  2m = TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép ⇔  nghiệm) Kết luận: Vậy giá trị m để phương trình (1) có nghiệm d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương ∆ ' = 3m − = ⇔ ⇔ ⇔m= S >  2m > TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu: t1 < < t2 ⇔ ac < m − 3m + < ⇔ < m < Kết luận: Vậy với < m < phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt e) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có nghiệm nghiệm dương  m − 3m + = P = m = ⇔ t1 = < t2 ⇔  ⇔ ⇔ S > m =  2m > Kết luận: Vậy với m = m = phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có nghiệm dương  m > ∆ ' > 3m − > 2  < m ⇔ 2m > ⇔ m > ⇔   P > m − 3m + >  m < m >      m > 2 < m Nhận xét: Từ ví dụ 1, học sinh có nhìn rõ ràng cho toán nghiệm phương trình bậc trùng phương trường hợp dẫn dắt giáo viên, em tự suy luận kiến thức xét dấu theo định lý Vi-ét học, nên yêu cầu em đưa toán tổng quát: Bài toán tổng quát Cho phương trình bậc bốn trùng phương: ax + bx + c = ( 1) ( a ≠ 0, x ∈ R ) a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Đặt x = t ( t ≥ ) , thay vào pt (1) ta phương trình bậc hai ẩn t: at + bt + c = ( ) Với t = nghiệm x = 0; với t > nghiệm x = ± t a) Để phương trình (1) vô nghiệm ⇔ pt (2) vô nghiệm có hai nghiệm âm TH1: Phương trình (2) vô nghiệm ⇔ ∆ < ∆ ≥  TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm t1 ≤ t2 < ⇔  P > S <  b) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ≥ TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 ≤ ≤ t2 ⇔ P ≤ ∆ ≥  TH2: Phương trình (2) có nghiệm ≤ t1 ≤ t2 ⇔  P ≥ S ≥  c) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm t = nghiệm âm pt (2) có nghiệm kép TH1: Phương trình (2) có nghiệm t = nghiệm âm P = ⇔ t1 < = t2 ⇔  S < ∆ = TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép ⇔  S = d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu ∆ = TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương ⇔  S > TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu: t1 < < t2 ⇔ ac < e) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có nghiệm nghiệm dương P = ⇔ t1 = < t2 ⇔  S > f) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ pt (2) có nghiệm dương ∆ >  ⇔ < t1 < t2 ⇔  S > P >  Nhận xét: Với cách rõ mối quan hệ nghiệm x nghiệm t tạo hứng thú cho em cách suy luận đồng thời bước đầu tạo thói quen viết rõ ràng mối quan hệ số nghiệm x với số nghiệm t đặt ẩn phụ Để phát triển tư em nữa, đưa ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình ( x − x ) − 2m ( x − x ) + m + = ( 1) a) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Nhận xét: Thông thường em đặt ẩn phụ là: x - 2x = t đưa phương trình (1) phương trình t2 - 2mt + m + = (2) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ Phương trình(1) có nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm ⇔ ∆ > Còn trường hợp phương trình (1) có nghiệm em làm Một vài em hiểu vấn đề tốt sau đặt ẩn phụ x2 - 2x = t, từ điều kiện có nghiệm pt ẩn x theo t, em suy điều kiện t t ≥ -1 Khi đó, em biết để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có nghiệm t ≥ -1 Đây toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với mốt số thực khác vượt khả em em trang bị kiến thức so sánh nghiệm phương trình bậc hai với (hay xét dấu ngiệm) từ định lý Vi-ét Như vậy, với cách thứ sai, cách làm thứ hai lại đến bế tắc Do đó, hướng dẫn em suy luận để đặt ẩn phụ sau: Hướng dẫn: 2 Vì x − x = x − x + − = ( x + 1) − suy x − x + = ( x + 1) ≥ 0∀x nên Đặt t = x − x + t ≥ , suy x − x = t − Thay vào phương trình (1) ta phương trình sau: t − ( m + 1) t + 3m + = ( ) Với t = x − x + = ta nghiệm x = 1, Với t > x − x + = t ⇔ ( x − 1) = t nên ta nghiệm x =1± t a) Để phương trình (1) vô nghiệm ⇔ pt (2) vô nghiệm có hai nghiệm âm TH1: Phương trình (2) vô nghiệm − 13 + 13 ⇔ ∆ ' < ⇔ m2 − m − < ⇔ + 13   ⇔ < t1 < t2 ⇔  S > ⇔ 3m + > ⇔m> P > m + >   + 13 phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài toán tổng quát Cho phương trình bậc bốn dạng tam thức: Kết luận: với m > α ( ax + bx + c ) + β ( ax + bx + c ) + γ = ( 1) ( α ≠ 0; a ≠ ) a) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Xét a > (với a < 0, làm tương tự)  b  b − 4ac  Ta có ax + bx + c = a  x +  nên ÷ − 2a  4a   b − 4ac b   ax + bx + c + = a x + ÷ ≥ 0, 4a 2a   b − 4ac đặt t = ax + bx + c + t ≥ 4a b − 4ac Thay ax + bx + c = t − vào phương trình (1) ta phương 4a b − 4ac trình sau: α ( t − k ) + β ( t − k ) + γ = (2) với k = 4a 2 Phương trình (2): α t + ( β − 2α k ) t + α k − β k + γ = (3) a) Để phương trình (1) vô nghiệm ⇔ pt (3) vô nghiệm có hai nghiệm âm b) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (3) có nghiệm t ≥ c) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (3) có nghiệm t = nghiệm âm pt (3) có nghiệm kép d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (3) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu e) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (3) có nghiệm nghiệm dương f) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (3) có nghiệm dương Cụ thể trường hợp giống trường hợp toán Nhận xét: Khi gặp dạng toán em học sinh thường đặt t = ax + bx + c − ( b − 4ac ) − ( b − 4ac ) với điều kiện t ≥ a > 0, t ≤ a < Phương 4a 4a trình nhận α t + β t + γ = , để giải yêu cầu toán học sinh gặp trở ngại công cụ để giải Chính với cách giải trình bày tạo cho em học sinh hứng thú, em sử dụng kiến thức đơn giản, quen thuộc định lý Vi-et để giải dạng toán Sau tổng quát hai ví dụ nêu trên, tiếp tục đưa thêm toán tổng quát phương trình bậc bốn thường gặp nữa: Bài toán tổng quát Cho phương trình bậc dạng: ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) ( x + d ) = k ( 1) với a + c = b + d a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình (1) ⇔  x + ( a + c ) x + ac   x + ( b + d ) x + bd  = k ( ) 2 a+c a+c  Nhận thấy x + ( a + c ) x +  ÷ =x+ ÷ nên 2     a+c đặt t = x + ( a + c ) x +  ÷ , t ≥ 0,   2 a+c thay x + ( a + c ) x = t −  ÷ vào (2) ta phương trình bậc hai ẩn t:   2 2  a + c)   (  a +c   a+c  t +  ac + bd −  t +  ac −  ÷  bd −  ÷  − k = ( 3)           a+c a+c  Với t =  x + ÷ = nên nghiệm x = − ;   2 a+c a+c  với t >  x + ÷ = t nên nghiệm x = ± t − 2   2 a+c a+c  Nhận xét: Bằng cách đặt t = x + ( a + c ) x +  ÷ = x+ ÷ ta 2     ≥ đưa toán xét dấu phương trình bậc hai ẩn t với t Do đó, với yêu cầu toán ta trường hợp tương tự toán toán Ví dụ Cho phương trình: ( )( )( ) x x − m + x − m − x − m = 3m + ( 1) , với tham số m ≥ a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình (1) ⇔ x − mx x − mx + m − = 3m + ( ) ( )( ( ) Nhận thấy x − mx + m = x − m ) ≥ 0∀m ≥ nên đặt t = x − mx + m ( t ≥ ) , thay x − mx = t − m ( t ≥ ) vào phương trình (2) ta phương trình: t − ( m + 1) t − 2m − = ( ) Với t = ( x− m ( ) = nghiệm x = Với t > x − m ) m = t hai nghiệm x = m± t a) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương ∆ = m + 10m + 21 = ⇔ ⇔ (vô nghiệm) S > m + >   TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu: t1 < < t2 ⇔ ac < −2m − < ⇔ m > − Kết luận: Vậy với m > − phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có nghiệm dương   m < −7  m2 + 10m + 21 >   m > −3 ∆ >    ⇔ < t1 < t2 ⇔  S > ⇔ m + > ⇔ m > −1 (vô nghiệm)  P > −2m − >    m < −  Kết luận: Vậy giá trị m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt BÀI TẬP VẬN DỤNG x − ( m + 1) x + m − m − = Bài Cho phương trình: a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) vô nghiệm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình: ( x − x + ) − ( 2m − 1) ( x − x + ) + m − 3m − = ( 1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài Cho phương trình: ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) = 2m − a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt ( 1) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài nghiên cứu thử nghiệm thời gian dài Tôi nhận thấy học sinh nắm hứng thú học tập, tư em mạch lạc hơn, vận dụng kiến thức linh hoạt Nhờ làm tập em làm nhanh có hiệu hơn, có số em đưa cách giải hay ngắn gọn cho toán Tôi thử nghiệm với hai nhóm học sinh lớp 9, nhóm 10 em học sinh giỏi theo hai cách dạy khác nhau: Nhóm thứ dạy theo cách thông thường, nhóm thứ hai dạy theo đề tài thu kết sau: Nhóm thứ nhất: Dưới điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 50 40 10 0 Nhóm thứ hai: Dưới điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 10 30 40 20 Do việc bồi dường học sinh giỏi mang lại kết tương đối tốt: Năm học 2016-2017, có học sinh đạt giải toán 9: Cấp thành phố: giải nhì, giải ba; Cấp tỉnh: giải khuyến khích Cùng với thành tích khác, thành tích góp phần đưa trường THCS Đông Hải lên vị trí thứ 37 trường thi học sinh giỏi cấp thành phố KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: Với đề tài: “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi-ét để giải toán tìm cực trị toán số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” hệ thống đưa số toán tổng quát nghiệm phương trình quy bậc hai, toán cực trị; đồng thời nêu lưu ý cần thiết để gặp ví dụ khác, em giải Trên dạng tập ứng dụng Định lí Vi-ét cách tương đối mà lựa chọn để truyền đạt đến học sinh, mong qua em vận dụng tốt phát huy lực học tập môn toán Qua thực tế giảng dạy tìm hiểu tài liệu cố gắng thể đề tài nghiên cứu Tuy nhiên trình thực tránh khỏi tồn tại, thiếu sót mong bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để vấn đề mà đưa có hiệu cao Tôi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 10 tháng 04 năm 2017 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết Hoàng Minh Hạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp thành phố, đề thi vào trường chuyên tỉnh 2/ '' Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số'' - Nguyễn Đức Tấn ... dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi- ét để giải toán tìm cực trị toán số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” hệ thống đưa số toán tổng quát nghiệm phương trình quy bậc hai, toán cực trị; ... vận dụng Sau xin trình bày nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi- ét để giải toán tìm cực trị toán số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” PHẦN I: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ÉT. .. thức nghiệm phương trình bậc hai Phần II: Sử dụng định lý Vi- et để giải toán số nghiệm phương trình quy bậc hai Kết luận kiến nghị Tr ang 2 19 MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Trong môn học bậc tiểu học,