Đang tải... (xem toàn văn)
Vận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường trònVận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường tròn
Lời nói đầu BỘ ĐỀ THI – TÀI LIỆU FILE WORD MÔN TOÁN Bộ đề thi thử THPTQG năm 2016, 2017, 2018 file word có lời giải Bộ đề thi, tập, tài liệu, giảng, chuyên đề lớp 10 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 11 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 12 – File word Các tài liệu tham khảo hay độc khác file word HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU (Số lượng có hạn) Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán” Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN Phần Một số kiến thức cần nhớ Đường kính dây cung Cho đường tròn tâm I có dây cung AB khác đường kính H trung điểm AB Khi đó, IH đường trung trực AB Thật ra, ΔIAB cân I (IA = IB = R) nên IH vừa đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác Tiếp tuyến tính chất hai tiếp tuyến cắt a Cho d tiếp tuyến đường tròn tâm (I; R) H tiếp điểm Khi đó: i) d I ; d R ii) IH vuông góc d b Giả sử AB, AC tiếp tuyến đường tròn (I; R) với B, C tiếp điểm đó: i) AI đường trung trực BC ii) Tứ giác ABIC nội tiếp Góc tâm a Định nghĩa: Góc tâm góc có đỉnh tâm hai cạnh hai bán kính b Tính chất: Hai góc tâm chắn hai cung Góc nội tiếp a Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh hai dây cung b Tính chất: i) Các góc nội tiếp chắn hai dây cung Đặc biệt, góc nội tiếp chắn dây cung ii) Các góc nội tiếp chắn dây cung iii) Góc nội tiếp ( 90 ) nửa góc tâm chắn dây cung iv) Góc nội tiếp chắn đường kính góc vuông Góc tạo tiếp tuyến dây cung http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a Định nghĩa: Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, có cạnh tia tiếp tuyến cạnh lại dây cung xAC góc tạo tiếp tuyến dây cung BỘ ĐỀ THI – TÀI LIỆU FILE WORD MÔN TOÁN Bộ đề thi thử THPTQG năm 2016, 2017, 2018 file word có lời giải Bộ đề thi, tập, tài liệu, giảng, chuyên đề lớp 10 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 11 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 12 – File word Các tài liệu tham khảo hay độc khác file word HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU (Số lượng có hạn) Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán” Rồi gửi đến số điện thoại http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn b Tính chất: i) Góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn ii) Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn dây cung Tứ giác nội tiếp Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn Ta có phát biểu tương đương sau: a Tứ giác nội tiếp ⇔ tổng hai góc đối tứ giác 180° b Tứ giác nội tiếp ⇔ hai góc kề chắn cạnh c Tứ giác nội tiếp ⇔ góc đỉnh góc đối đỉnh Phần Rèn luyện kĩ chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải toán Bài toán (BT1) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) H trực tâm, M trung điểm BC G trọng tâm ΔABC AK đường kính Chứng minh: a) BKCH hình bình hành b) AH 2IM ; BH 2IN CH 2IP N, P trung điểm AC AB c) H, G, I thẳng hàng HI 3GI d) Trong trường hợp A 60 Chứng minh: AH AI Chứng minh CH AB BH AC a) CH / / KB; BH / / KC KB AB KC AC Do đó, ABKC hình bình hành b) ABKC hình bình hành M trung điểm BC, suy M trung điểm HK Do IM đường trung bình ΔAHK http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AH / / IM AH IM AH IM Các ý lại tương tự Bạn đọc thử chứng minh để nhớ c) G trọng tâm ΔABC nên AM AG Mà AM đường trung tuyến ΔAHK nên G trọng tâm ΔAHK HI đường trung tuyến ΔAHK nên H, G, I thẳng hàng HI 3GI d) A 60 BIC 120 MIC 60 (góc nội tiếp 1/2 góc tâm chắn dây cung) ΔIMC vuông M Ta có: IM IC.cos60 IC 2IM IA IC 2IM Mà AH 2IM (câu b) Suy AH AI Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(-1; 2), trực tâm H(1; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 0) Viết phương trình cạnh BC Phân tích: BC có vtpt AH (2; 1) Nếu tìm điểm thuộc cạnh BC toán giải? Gọi M trung điểm BC Nhớ lại AH 2IM (BT1 câu b) Thế có điểm M Giải BC có vtpt AH (2; 1) Gọi M trung điểm BC Khi đó: 2 2( xM 2) 1 AH IM M 3; 2 1 2( yM 0) 1 BC qua M có vtpt AH nên BC: x 3 y BC : x y 13 / 2 Chú ý: Trong làm em phải chứng minh AH 2IM (xem BT1 câu b) 4 4 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(1; 3), trọng tâm G ; tiếp tuyến A 3 3 đường tròn ngoại tiếp ΔABC có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh ΔABC Giải Đặt d : x y tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ΔABC Gọi M, I trung điểm BC tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC Khi đó: HI 3GI (xem BT1 câu c) AM 3GM (tính chất trọng tâm) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 4 xI xI xI 3 1 Từ: HI 3GI I ; 2 2 y 3 y y I I I 3 Ta có: IA d IA : 3x y m I IA m m 5 2 Vậy IA :3x y A d IA nên tọa độ A nghiệm hệ: 3x y x A(1; 2) x 3y y Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA 2 5 3 1 3 IA ; IA IA2 C : x y 2 2 2 2 4 xM xM 3 Ta có: AM 3GM M ;1 2 y 1 3 y M M 3 BC qua M có vtpt AH (0;1) nên BC có phương trình: 3 BC : x y 1 BC : y 2 B, C BC C nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình: y 1 x x 2 B(0;1), C (3;1) B(3;1), C (0;1) 3 1 y 1 y 1 x y 2 2 Vậy: A(1;2), B(0;1), C(3;1) A(1;2), B(3;1), C(0;1) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(-1; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3; -3) đỉnh B(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh A, C biết xA xC Giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ta có: IB (2;4) IB 20 Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I BỘ ĐỀ THI – TÀI LIỆU FILE WORD MÔN TOÁN Bộ đề thi thử THPTQG năm 2016, 2017, 2018 file word có lời giải Bộ đề thi, tập, tài liệu, giảng, chuyên đề lớp 10 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 11 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 12 – File word Các tài liệu tham khảo hay độc khác file word HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU (Số lượng có hạn) Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán” http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Rồi gửi đến số điện thoại Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn bán kính IB có phương trình: x 3 y 3 20 2 Gọi M trung điểm AC, ta có BH 2IM (xem BT1 câu b) xM (1 1) xM BH IM M (2; 2) yM 2 y (3 1) M Đường thẳng AC vuông góc IM qua M có phương trình: AC : x y A, C BC C nên tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình: x 1, y x y A(5;1), C (1;5) 2 x 5, y 1 x 3 y 3 20 xA xC Vậy tọa độ điểm cần tìm A(5;1), C (1;5) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(1; 2), tâm đường tròn ngoại tiếp I(3; -2), A 60 Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, đỉnh A thuộc đường thẳng d : x y xB xC Giải Với A 60 ta chứng minh AH AI Suy A thuộc đường trung trực IH Đường trung trực IH qua trung điểm N(2; 0) IH có vtpt HI (2; 4) nên có phương trình : x y Điểm A d nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x y x A(4;1) x 5y y 1 Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IA nên có phương trình: x 3 y 10 Gọi M trung điểm BC, ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x 3 2( x 3) 3 3 AH IM M ; 2 2 1 2( y 2) y BC qua M có vtpt AH (3;1) có phương trình BC : 3x y B, C BC C nên tọa độ B, C nghiệm hệ phương trình: 3 3 x , y x y 3 3 2 B ; ; ; C 2 2 2 x y 10 3 ,y x 2 3 3 Vì xB xC Vậy điểm cần tìm A(4;1), B ; ; ;C 2 37 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trọng tâm G(1; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I ; 18 18 cạnh AC có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết xA Giải Gọi M trung điểm AC, ta có IM AC IM : x y m I thuộc IM nên suy IM : x y M AC IM nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình: 2 x t x 5 M ;1 Do G trọng tâm ΔABC, ta có x 2y 2 y 1 5 xB 2 xB 3(1 ) MB 3MG B(2;1) Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IB 2 yB yB 3(1 1) 2 7 37 1105 có phương trình: C : x y Các điểm A, C AC C nên tọa độ A, C nghiệm 18 162 18 hệ phương trình: 2 x y x 3, y 2 A(3; 2), C (2;0) 7 37 1105 x 2, y x y 18 162 18 xA Vậy tọa độ điểm cần tìm A(3;2), B(2;1), C(2;0) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(-3; 0) đỉnh C(3; -7) Tìm tọa độ đỉnh A, B ΔABC Giải Đường tròn ngoại tiếp ΔABC có tâm I bán kính IC có phương trình: x 3 y 85 Gọi M trung điểm AB, ta có CH 2IM (xem BT1 câu b) xM (3 3) xM 3 2 IM CH M (3;3) yM y (1 7) M Đường thẳng AB vuông góc IM qua M có phương trình: AB : y A, B AB C nên tọa độ A, B nghiệm hệ phương trình: x 3 19, y y 3 2 x y 85 x 3 19, y A(3 19;3), B(3 19;3) A(3 19;3), B(3 19;3) Vậy tọa độ điểm cần tìm là: A(3 19;3), B(3 19;3) A(3 19;3), B(3 19;3) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A có phương trình 13x y x y 14 Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC I(-6; 0) Giải Đặt d1 :13x y 0, d2 : x y 14 đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A 13x y x 4 Khi đó, tọa độ A nghiệm hệ phương trình A(4; 9) Gọi H M lần x y 14 y 9 lượt trực tâm trung điểm BC Khi đó: H d1 H (2h 14; h), M d M (m; AH 2IM (xem BT1 câu b) 2h 14 2(m 6) 2h 2m 6 h 1 AH IM 29 13m 13 h m m h 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 13m ) Ta có: x y 1 x 4 B(4; 3) BA (2; 2), BC (6; 2) BA.BC 16 t / m x 3y y 3 Vì BA CD D(4;1) Vậy B(4; 3), C(2; 1), D(4;1) Bình luận: Tới Thầy nghĩ khả phân tích Em tiến chứ! Thầy nghĩ phần lại rèn luyện cách chứng minh kĩ tính toán thật tốt Ví dụ 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC cân A Điểm M thuộc BC (M khác trung điểm BC) Các điểm E, F hình chiếu M cạnh AB AC EF : x y Cạnh BC có phương trình x y Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết I(1; 2) trung điểm AM E có hoành độ dương Phân tích: Chắc chắn ta phải nghĩ đến tìm điểm E, F, M điểm thuộc cạnh BC Vì điểm thuộc đường thẳng có phương trình Để cho ΔABC cân A?? Ta xem gì? Ta thử nghĩ đến trung điểm H BC AH đường cao đường phân giác ΔABC Ta dễ nhận điểm A, E, M, H, F thuộc đường tròn tâm I, với I trung điểm AM, MEA MFA MHA 90 Thử nối IH lại thấy IH EF ?? Nếu ta có tọa độ điểm H? Ta xem giải chi tiết nhé…! Giải Gọi H trung điểm BC I trung điểm AM Ta có: MEA MFA MHA 90 suy điểm A, E, M, H, F thuộc đường tròn (C) tâm I ⇒ IE IF (1) Mặt khác, ΔABC cân A suy ra: EAH FAH HE HF (2) (tính chất góc nội tiếp) Từ (1) (2) dẫn đến IH đường trung trực EF nên IH vuông góc EF Ta có IH EF IH : x y m , mà I IH IH : x y Điểm H IH BC H (5;4) Đường tròn (C) tâm I (1; 2) bán kính R IH có phương trình C : x 1 y 2 2 20 Đường thẳng AH qua H(5; 4) vuông góc BC nên có phương trình AH : x y Điểm A AH C nên tọa độ điểm A nghiệm hệ: 2 x 5, y x 1 y 20 Điểm A(5; 4) loại trùng H, nên A(3; 6) x 3, y x y Các điểm E, F EF C nên tọa độ E, F nghiệm hệ: x 12 y 2 20 x 1, y Vì E có hoành độ dương nên E(3; 2) F(-1; 6) x 3, y 2 x y Đường thẳng AB qua điểm A(3; 6) E(3; 2) nên có phương trình AB : y Điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word B AB BC B(4;3) Điểm H trung điểm BC nên C (6;5) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(3;6), B(4;3), C(6;5) Kết cần nhớ qua ví dụ 18: Cho ΔABC cân A; M điểm thuộc đoạn BC (khác trung điểm BC); E F hình chiếu M AB AC; I trung điểm AM; H trung điểm BC Khi đó: a) Các điểm A, E, M, H, F thuộc đường tròn tâm I b) HI đường trung trực EF Em nhớ chứng minh trước áp dụng vào giải toán nhé…! Ví dụ 24 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I D điểm cung BC không chứa A) P(4; 5) giao điểm AB DC Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔAPC có phương trình T : x y 25 Phương trình đường thẳng DI : x y 10 Tìm đỉnh ΔABC Phân tích: Gọi K tâm đường tròn (T) Một số sai lầm xảy ta dự đoán PK PD PK PD vẽ hình vô tình vậy! Bởi có hai điều tìm D Nhưng chứng minh không Chịu khó vẽ hình lại ta thấy dự đoán sai Rõ ràng ta phải chuyển yếu tố (C) qua (T) (C) chưa có phương trình Gọi M AD T , cần nhớ AM đường phân giác góc A (vì D nằm cung BC) Vậy PAM CAM MP MC (tính chất góc nội tiếp đường tròn (T)) Vậy KM đường trung trực PC Nếu tìm M xong?? Phương trình ID dùng làm gì?? Ak… Nối PM ta thấy PM song song BC?? Nếu tốt PM || BC BM ID Khi viết phương trình PM có điểm M, dẫn đến có C Ta xem giải chi tiết nhé…! Giải Đường tròn (T) có tâm K(0; 2) Gọi M AD T , D nằm cung BC nên AD đường phân giác góc A Xét đường tròn (C) có DAB = DCB (cùng chắn DB), mà DAB DAC suy DAB DAC DBC (1) Xét đường tròn (T) có MPC MAC (2) Từ (1) (2) suy MPC PCB PM || BC Mà BC vuông góc ID nên PM vuông góc ID PM qua P vuông góc ID có phương trình: x y Điểm M PM T nên tọa độ điểm M nghiệm hệ: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 2 x 0, y 3 x y 25 Điểm M(4; 5) loại trùng P, nên M(0; -3) Do KP KC MP MC x 4, y 2 x y nên KM đường trung trực PC KM qua M K có phương trình x PC qua B vuông góc KM nên có phương trình y Gọi N PC KM N (0;5) C ( 4;5) BC qua C vuông góc ID nên có phương trình BC : x y 13 ID đường trung trực BC nên ta 92 11 tìm B ; AP qua P P nên có phương trình AP : x y 14 5 Điểm A AP T nên tọa độ điểm M nghiệm hệ: x y 2 25 x 0, y Điểm A(4; 5) loại trùng P, nên A(0; 7) x 4, y x y 14 92 11 Vậy tọa độ điểm cần tìm A(0;7), B ; , C (4;5) 5 Ví dụ 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vuông A, có H chân đường cao kẻ từ A Gọi D E hình chiếu H cạnh AB AC Điểm K (1; 2) thuộc AB M (0; 1) trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp ΔCDE có phương trình C : x 1 y 3 10 Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết B có 2 hoành độ dương Giải Ta có ADHE hình chữ nhật ADE AHE (1) AHE EHC 90 Mà AHE ECH (2) Từ (1) (2) suy EHC ECH 90 ADE ECH ⇒ tứ giác DBCE nội tiếp Do điểm B, C, D, E thuộc đường tròn (C) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) Do M trung điểm BC nên IM đường trung trực BC BC qua M vuông góc IM nên có phương trình BC : x y Ta có B, C BC C nên tọa độ điểm B C nghiệm hệ: x 12 y 32 10 x 2, y Do điểm B có hoành độ dương nên B(2;0) C (2;2) x 2, y x y Đường thẳng AB qua B K nên có phương trình AB : x y AC qua C vuông góc AB có 22 32 ; phương trình AC : 3x y 10 A AB AC A 13 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 22 32 Vậy tọa độ điểm cần tìm A ; , B(2;0), C (2; 2) 13 13 Ví dụ 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có A(4; 6) Gọi M N điểm thuộc cạnh BC CD cho MAN 45 , điểm M (4;0) đường thẳng MN có phương trình MN :11x y 44 Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Giải Gọi F AM BD, E AN BD, I NF ME Ta có FAN FDN 45 FADN nội tiếp Mà ADN 90 NFA 90 NF AM Tương tự MAE EBM 45 ABME nội tiếp Mà ABM 90 ME AN Do I trực tâm ΔAMN Gọi H giao điểm AI MN, AH vuông góc MN Từ ta có AH : x 11y 58 24 22 ; Tứ giác ABME nội tiếp Điểm H AH MN H 5 BEM BAM (1) Tứ giác AEIF nội tiếp IEF IAF (2) Từ (1) (2) ta có IAF BAM hay HAM BAM Do MAH MAB (cạnh huyền – góc nhọn) suy MB MH , AB AH Vậy AM đường trung trực BH AM có phương trình 3x y 12 B H đối xứng qua AM nên ta tìm B(0; 2) AB (4;8) AB BC 5; BM (4;2) BM Ta có BC BC BM C (8; 2) Mặt khác AD BC D(4;10) BM Vậy tọa độ điểm cần tìm B(0;2), C (8;2), D(4;10) 8 Ví dụ 27 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I đỉnh A(3; 1) Điểm M 3; thuộc đoạn 3 ID F giao điểm AM BC Lấy điểm K thuộc tia CD cho KFA 45 Tìm tọa độ đỉnh B, C, D biết KF : x y Giải Ta có KFA KCA 45 tứ giác KFCA nội tiếp Mà KCF 90 KAF 90 AKF vuông cân A Đường thẳng AM có phương trình x 3 Điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word F AM KF F (3;6) Gọi H trung điểm KF, ta có AH vuông góc KF AH có phương trình 11 x y Điểm H AH KF H ; K (8;1) Tứ giác AHCB nội tiếp ABH ACH 45 Mà 2 ABD 45 , B, D, H thẳng hàng Đường thẳng BD qua H M có phương trình BD : x y B BD B (3t 5; t ), AB (3t 8; t 1), FB (3t 8; t 6) 11 t B ; 11 Ta có: AB.FB 10t 55t 70 2 Điểm B ; loại trung H nên B(1; 2) 2 t B(1; 2) BC qua B vuông góc AB có phương trình BC : 2 x y Đường thẳng DC qua K vuông góc BC nên có phương trình DC : x y 10 C DC BC C(2; 4) Ta có AD BC D(4;3) Vậy tọa độ điểm cần tìm B(1;2), C(2;4), D(4;3) Ví dụ 28 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(3; 2) K(1; 4) giao điểm AH đường tròn ngoại tiếp ΔABC Viết phương trình cạnh BC Giải Gọi D E chân đường cao kẻ từ A B Ta có tứ giác ADBE nội tiếp EBC EAD (cùng chắn DE), mà EAD DBC (cùng chắn CK) Do EBC KBC Vậy EBC KBC BC vuông góc HK nên BC đường trung trực HK D trung điểm HK nên D(2;3) Đường thẳng BC qua D có vtpt HK (2; 2) có phương trình BC : x y Ví dụ 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H K(1; 0) điểm đối xứng H qua BC D chân đường cao kẻ từ A E(2; 1) hình chiếu K AC F(0; 2) giao điểm ED AB Tìm tọa độ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word đỉnh ΔABC Giải Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ΔABC Gọi M giao điểm BH AC Ta có tứ giác AMDB ⇒ DBM = DAM Mặt khác, DBM = DBK (do H K đối xứng qua BC) Do KBC KAC K thuộc đường tròn (C) Do ABKC nội tiếp nên KBF KCA (1) Từ (1) (2) ta có KBF KDF ⇒ tứ giác KDBF nội tiếp Mà KDB 90 nên KBF 90 hay KF vuông góc AB AB qua F vuông góc KF nên có phương trình AB : x y Đường thẳng AC qua E vuông góc KE nên có phương trình AC : x y 2 7 A AB AC A ; AK có phương trình AK : x y EF có phương trình EF: x y 3 3 137 10 21 D EF AK D ; BC qua D vuông góc AK có phương BC : x y 13 13 13 18 17 17 22 B BC AB B ; C BC AC C ; 13 13 13 13 18 17 17 22 Vậy tọa độ điểm cần tìm A ; , B ; , C ; 3 13 13 13 13 Ví dụ 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I Điểm M(1; 2) N(0; 1) trung điểm BC ID Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có hoành độ dương Giải Kẻ ME vuông góc AD, ABME hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn (C) đường kính MA hay BE EN đường trung bình tam giác AID EN || AI EN BD AI BD ENB 90 N thuộc (C) dẫn đến ANM 90 hay AN vuông góc MN Hơn nữa, ANM ABN 45 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Do tam giác AMN vuông cân N Đường thẳng AN qua N vuông góc MN có phương trình AN : x y A AN A(t;1 t), AN (t; t ), MN (1;1) Từ A(1;0) n Vậy A(1;2) AN AM A(1; 2) l Bình luận: Đối với toán hình vuông hay toán có góc vuông tỉ lệ cạnh nói chung Ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa để chứng minh tính chất sau: Chọn hệ trục tọa độ Ox ' y ' hình vẽ Ta có a a 3a A(0;0), B(a;0), C (a; a), D(0;a), M a; , N ; 2 4 a 10 a 10 a 3a 3a a AN ; AN ; AM ; AM 2 4 4 Ta tính được: AN AM AM AN suy tam giác AMN vuông cân N Sau giải tiếp Ví dụ 31 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH 3x y , trung điểm cạnh BC M (3;0) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C tam giác ABC Phương trình EF x y Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương Giải Gọi I trung điểm AH D chân đường cao kẻ từ A Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I bốn điểm BFEC thuộc đường tròn tâm M Do E, F giao tuyến hai đường tròn nên EF vuông góc IM Ta có: IE IH IEH IHE BHD MEB MBE MEB IEH MBE BHD 90 Tức ta có ME IE I giao điểm IM EF suy I(1; 6) Điểm E thuộc vào đường thẳng EF suy E (3t 7; t ) Ta có IE.ME E (5;4) E (1;2) Với E (2;3) IE ; E (1;2) IE Vì điểm A thuộc AH nên A(a;3a 3) Ta có: IA IE IA2 IE a 1 3a 3 20 a 2 Vì A có hoành độ dương nên A(1 2;6 2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Ví dụ 32 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I Phân giác góc A tam giác ABC cắt BC D cắt đường tròn (C) E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Biết K (1;1), E(0;4) AB có phương trình x y điểm B có hoành độ dương Tìm tọa độ đỉnh A Giải Gọi F trung điểm BD K tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABD nên ta có KF BD BKD 2BAD (góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung) BAD BKF Mặt khác, EBC EAC BAD Từ điều trước ta suy EBC BKF EBC FBK BKF FBK 90 KB EB Ta có: B AB B(b; b 3) KB EB KB.EB b 1 b 1 Do B có hoành độ dương nên ta chọn B(1;4) A AB A( a; a 3), a Từ KA KB a 1 a 2 Do điểm A khác B nên ta chọn A(2;1) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(2;1) Ví dụ 33 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vuông A nội tiếp đường tròn T : x2 y x y Gọi H chân đường cao kẻ từ A ΔABC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M N Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC, biết MN có phương trình 20 x 10 y H có hoành độ nhỏ tung độ Giải Đường tròn (T) có tâm I(3; 1) trung điểm BC bán kính R Do IA IC IAC ICA (1) Đường kính AH cắt AB M nên MH AB MH || AC (cùng vuông góc AB) suy MHB ACH (2) Mặt khác ANM AHM (3) (cùng chắn AM) Từ (1), (2), (3) ta có IAC ANM ICA AHM MHB AHM 90 Suy ra: AI vuông góc MN Từ ta viết phương trình AI : x y Điểm A IA T nên tọa độ A nghiệm hệ: x y x 1, y x 5, y Điểm A(1; 2) nhận thỏa A I nằm hai phía MN Điểm x y x y A(5; 0) loại A I nằm phía MN Gọi E tâm đường tròn đường kính AH E trung điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word AH Do AMHN hình chữ nhật (tứ giác có góc vuông) nên E trung điểm MN E MN 9 38 E t; 2t Do E trung điểm AH nên H 2t 1; 4t 10 10 11 13 t H ; 272 896 Vì AH HI AH IH 20t Do H có hoành độ nhỏ t 0 28 25 31 17 H ; t 25 25 25 11 13 tung độ nên ta nhận H ; Đường thẳng BC qua H vuông góc AH nên có phương trình 5 5 BC : x y Vậy A(1;2) BC : x y 3 Ví dụ 34 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I ; , tâm đường tròn nội 16 tiếp ΔABC J (1;0) Đường phân giác góc BAC đường phân giác góc ABC cắt K(2; 8) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết đỉnh B có hoành độ dương Giải Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ΔABC H giao điểm AK đường tròn tâm (C) Xét tam giác BHJ có HJB JAB JBA (góc tam giác) HBJ JBC HBC Mà JBH JBA; HBC HAC HAB (do AJ BJ đường phân giác) Từ điều ta có HBJ HJB (1) HBJ cân H HB HJ Mà HAC HAB HC HB (tính chất góc nội tiếp) Do HJ HB HC Mặt khác, BJ BK đường phân giác phân giác góc ABC nên KB vuông góc JB Suy ra: HJB HKB 90 HBK HBJ (2) Từ (1) (2) suy HBK HKB HBK cân H HB HK Vậy HB HC HK HJ H trung điểm KJ nên 3 H ; 4 Đường tròn (C) có bán kính IH có phương trình 2 2 65 C : x y Từ 2 16 16 65 T : x y Các điểm B, C thuộc đường tròn (C) (T) nên tọa độ B C nghiệm 2 3 65 x y 2 x 5, y 2 hệ: Do B có hoành độ dương nên B(5; -2) C(-2; -2) 2 x 2, y 2 3 65 x y 16 16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đường thẳng AH qua H J có phương trình AH :8x y Điểm A giao điểm AH (C) nên 2 3 65 x ,y x y tọa độ điểm A nghiệm hệ: Vì điểm A phải khác H nên 2 16 16 8 x y x , y 4 1 1 A ; Vậy tọa độ điểm cần tìm A ; , B(5; 2), C (2; 2) 2 2 Bài tập tự rèn luyện Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 1 y 10 Từ điểm A nằm đường tròn 2 kẻ tiếp tuyến AB đến đường tròn (C) (B tiếp điểm) Điểm D(0; -1) thuộc đường thẳng qua B song song AI Tìm tọa độ điểm A, biết A thuộc đường thẳng d : x y Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y 2 10 Từ điểm A thuộc đường thẳng d : x y kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm A, biết D(4; 0) thuộc đường thẳng BC Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(-2; -1), trực tâm H(2; 1) độ dài cạnh BC Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C Biết trung điểm M BC thuộc đường thẳng d : x y M (3; 4) thuộc DE Viết phương trình cạnh BC Bài 14 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(2; 2) độ dài cạnh BC nội tiếp đường tròn C : x2 y 3x y Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết A có hoành độ dương Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn C : x y 20 Chân đường cao hạ từ B C M (1;3) N (2; 3) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết A có tung độ âm Bài 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm I(1; 2) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C, phương trình EF : 3x y Biết tiếp tuyến A đường tròn (C) qua điểm M(3; 2) điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ đỉnh ΔABC Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC Gọi H, K chân đường cao hạ từ đỉnh B C Tìm tọa 1 3 độ đỉnh ΔABC, biết H (5; 1) , K ; , phương trình cạnh BC : x y B có hoành độ âm 5 5 Bài 18 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vuông ABCD vuông A D có CD AB , đỉnh B(1; 2) Hình chiếu D AC H(-1; 0) Gọi N trung điểm HC Tìm đỉnh lại hình thang, biết DN : x y http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 19 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vuông A(-2; 0) Gọi E chân đường cao kẻ từ A F điểm đối xứng E qua A Trực tâm ΔBCF H(-2; 3) Tìm tọa độ đỉnh B C ΔABC, biết trung điểm BC thuộc đường thẳng d : x y Bài 20 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H(1; 2) hình chiếu A BD M(5; 1) trung điểm BC đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A ΔAHD có phương trình d : x y Viết phương trình cạnh BC Bài 21 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC cân A(-1; 3) D điểm thuộc đoạn AB cho BD = 2AD H 3 hình chiếu B CD Điểm B thuộc đường thẳng d : x y M ; trung điểm CH 2 Tìm tọa độ đỉnh B C ΔABC Bài 22 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(5; 8) đường thẳng d : x y Tìm điểm B thuộc đường thẳng d cho khoảng có ba đường thẳng d1 , d2 , d3 thỏa mãn khoảng cách từ A đến d1 , d2 , d3 khoảng cách từ B đến 2 8 Bài 23 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn C : x y 3 26 G 1; trọng 3 tâm ΔABC Điểm M(7; 2) thuộc đường thẳng qua A vuông góc BC ( M A ) Tìm tọa độ đỉnh ΔABC biết tung độ đỉnh B lớn tung độ đỉnh C Bài 24 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn C : x 1 y 2 2 25 Các điểm K (1;1), H(2;5) chân đường cao kẻ từ A B Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết đỉnh C có hoành độ dương Bài 25 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trực tâm H(3; 0) trung điểm cạnh BC M(6; 1) Đường thẳng AH có phương trình x y Gọi D E chân đường cao kẻ từ B C ΔABC Xác định tọa độ đỉnh ΔABC, biết điểm D có tung độ dương Bài 26 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x y 3 điểm M (1; 8) Viết phương trình 2 đường thẳng d qua M cho d cắt (C) hai điểm A B thỏa mãn diện tích ΔABI lớn (I tâm đường tròn (C)) Bài 27 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 1 y đường thẳng d : 3x y m 2 Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PC tới (C) (A, C tiếp điểm) cho ΔPAC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 3 Bài 28 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác A D 2; Tâm 1 đường tròn ngoại tiếp ΔABC I ;1 Tìm tọa độ đỉnh B C ΔABC 2 2 Bài 29 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có trọng tâm G ; ; tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; -2); điểm 3 3 E(10; 6) thuộc đường trung tuyến kẻ từ A F(9; -1) thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, biết đỉnh B có tnug độ lớn Bài 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC cân A nội tiếp đường tròn C : x2 y 10 y 25 Đường 17 6 ; Tìm tọa độ đỉnh ΔABC, kính qua B cắt (C) M(5; 0) Đường cao kẻ từ C cắt (C) N 5 biết đỉnh A có hoành độ dương Bài 31 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn C : x2 y x y 20 Đường phân giác góc A nằm đường thẳng d : x y Biết M(3; -4) thuộc đường thẳng BC điểm A có hoành độ dương Bài 32 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn C : x 1 y 25 M(9; -4) Tìm điểm N thuộc (C) 2 cho MN ngắn Bài 33 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn C : x y 1 Gọi điểm M cho tiếp tuyến qua M 2 tiếp xúc (C) E; cát tuyến qua M cắt (C) A B cho ΔABE vuông cân E Tìm tọa độ điểm M cho MO ngắn (O gốc tọa độ) Bài 34 Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn C : x y 1 đường thẳng d : x y Gọi (C’) đường tròn có tâm I; (C’) tiếp xúc với (C) có bán kính Viết phương trình đường tròn (C’) cho khoảng cách từ I đến d lớn Bài 35 Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm I(3; 0), trực tâm H(2; 0) BC có phương trình x y Lập phương trình cạnh AB, biết đỉnh B có hoành độ nhỏ Đề thi đại học qua năm Bài 36 (THPT Quốc Gia – 2016) Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng BC, BD P giao điểm hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trình x y , M(0; 4), N(2; 2) A có hoành độ nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 37 (THPT Quốc Gia – 2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC vuông A Gọi H hình chiếu vuông góc A BC; D điểm đối xứng B qua H; K hình chiếu vuông góc C AD Giả sử H(-5; 5), K(9; -3) trung điểm AC thuộc đường thẳng x y 10 Tìm tọa độ điểm A Bài 38 (Đề minh họa THPT Quốc Gia – 2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔOAB có A B thuộc đường thẳng : x y 12 K(6; 6) tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm Δ cho AC = AO điểm B, C khác phía so với A Biết điểm C có hoành độ 24 , tìm tọa độ đỉnh A B Bài 39 (D – 2014) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1; 1) Đường thẳng AB có phương trình 3x y tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ΔABC có phương trình x y Viết phương trình cạnh BC Bài 40 (A – 2013 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x y A(4;8) Gọi M đối xứng với B qua C; N hình chiếu vuông góc B MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N (5; 4) Bài 41 (A – 2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng : x y Đường tròn (C) có bán kính R 10 cắt Δ A B cho AB Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) Bài 42 (D – 2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 1 y 1 đường thẳng 2 d : y Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm đường tròn (C); đỉnh N P thuộc d; đỉnh M trung điểm MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P Bài 44 (B – 2012 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn C1 : x2 y 4; C2 : x y 12 x 18 đường thẳng d : x y Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc ( C2 ), tiếp xúc với d cắt ( C1 ) A B cho AB vuông góc d Bài 45 (D – 2012 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB CD Bài 46 (A – 2011 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y x y đường thẳng d : x y Gọi I tâm đường tròn (C); M điểm thuộc d Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M biết tứ giác MAIB có diện tích 10 1 Bài 47 (B – 2011 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh B ;1 , đường tròn nội tiếp ΔABC tiếp xúc 2 với cạnh AB, AC, AB tương ứng D, E, F Cho D(3; 1) EF: y Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Bài 48 (D – 2011 nc) Cho điểm A(1; 0) đường tròn C : x2 y x y Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) hai điểm M, N cho tam giác MAN vuông cân A Bài 49 (D – 2010 cb) Cho ΔABC có đỉnh A(3; -7), trực tâm H(3; -1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(-2; 0) Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có tung độ dương BỘ ĐỀ THI – TÀI LIỆU FILE WORD MÔN TOÁN Bộ đề thi thử THPTQG năm 2016, 2017, 2018 file word có lời giải Bộ đề thi, tập, tài liệu, giảng, chuyên đề lớp 10 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 11 – File word Bộ đề thi, tập, tài liệu giảng, chuyên đề lớp 12 – File word Các tài liệu tham khảo hay độc khác file word HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ TÀI LIỆU (Số lượng có hạn) Soạn tin nhắn “Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn Toán” Rồi gửi đến số điện thoại http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Sau nhận tin nhắn tiến hành liên lạc lại để hỗ trợ hướng dẫn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải toán Bài toán (BT1) Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (I; R) H trực tâm, M trung điểm BC G trọng tâm ΔABC AK đường kính Chứng minh: a) BKCH hình bình...CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN Phần Một số kiến thức cần nhớ Đường kính dây cung Cho đường tròn tâm I có dây cung AB khác đường kính H trung điểm AB Khi đó, IH đường trung trực... giao đường phân giác góc đường tròn ngoại tiếp ΔABC Khi DB DC rõ ràng ID đường trung trực BC (vì IB IC DB DC ) Khi làm tập có ta sử dụng tính chất 2) Các em nên nhớ đường tròn có tính chất