SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đ ề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a − b = 29 + 12 − Tính giá trị biểu thức: A = a (a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn Chứng minh xy + (1 + x )(1 + y ) = x + y2 + y + x2 = Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x + + x2 + x + = x + + x + 2) Giải hệ phương trình 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x   x − y − = x + y + − x + y − Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y 2) Tìm số nguyên k để thỏa mãn x + x − y − y + 20 = k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 = + AK AB AC · MIN 3) Đường thẳng qua M vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho minh bất đẳng thức a, b số dương thỏa mãn điều kiện 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b ( a + b)3 + 4ab ≤ 12 Hết -Họ tên thí sinh S ố báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: Chứng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu Ý I Nội dung Cho a − b = 29 + 12 − Điể m Tính giá trị biểu thức: 1,00 A = a (a + 1) − b (b − 1) − 11ab + 2015 2 a − b = 29 + 12 − = ( 3+ 5) − = 3+ −2 = A = a − b3 + a + b − 11ab + 2015 0,25 = (a − b)(a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 I 0,25 = 3( a + b + ab) + a + b − 11ab + 2015 0,25 = 4( a − 2ab + b ) + 2015 = 4(a − b) + 2015 = 2051 0,25 Cho x, y hai số dương thỏa mãn xy + (1 + x )(1 + y ) = 1,00 x 1+ y + y 1+ x = Chứng minh xy + (1 + x )(1 + y ) = ⇔ (1 + x )(1 + y ) = − xy 0,25 ⇒ (1 + x )(1 + y ) = (1 − xy ) II ⇔ + x + y + x y = − xy + x y 0,25 ⇔ x + y + xy = ⇔ ( x + y ) = ⇔ y = − x 0,25 ⇒ x + y2 + y + x2 = x + x2 − x + x2 = 0,25 Giải phương trình Pt 2x + + 4x2 + 9x + = x + + 4x + ⇔ x + + ( x + 2)(4 x + 1) = x + + x + x≥− ĐK: 1,00 0,25 Đặt t = x + + x + 1, t ≥ (hoặc t ≥0 ) ⇒ t = x + ( x + 2)(4 x + 1) + ⇔ x + ( x + 2)(4 x + 1) = PTTT TH1 t − 4t + = ⇔ t = t =1 t2 − t =3 giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t≥ bị loại x=− t = ⇒ x + + 4x +1 = TH Giải pt tìm (TM) x=− II Vậy pt có nghiệm 2 x − y + xy − x + y + = y − x + − − x  2  x − y − = x + y + − x + y − Giải hệ pt y − x + ≥ 0, x + y + ≥ 0, x + y − ≥ 0, x ≤ ĐK: 0 =  y − 2x + = x =  ⇔ ⇒  3 − x = y =1  −1 = 10 − TH (Không TM hệ) x ≠ 1, y ≠ TH Đưa pt thứ dạng tích ta x+ y−2 ( x + y − 2)(2 x − y − 1) = y − x + + − 3x   ( x + y − 2)  + y − x + 1 =  y − x + + − 3x  nên Do x + x − = 3x + − − x Thay vào pt thứ ta ⇔ x + x − = 3x + − + − − x 3x + 2+ x ⇔ ( x + 2)( x − 1) = + 3x + + + − x 0,25 0,25 1,00 0,25 y − 2x + ≥ + y − 2x + > ⇒ x + y − = y − x + + − 3x y = 2− x 0,25 0,25 0,25   ⇔ ( x + 2)  + +1 − x =  3x + + + − x  x ≤1 Do Vậy III + +1− x > 3x + + + − x 0,25 nên x + = ⇔ x = −2 ⇒ y = (TMĐK) x + x − y − y + 20 = x, y Tìm số nguyên thỏa mãn (1) 2 (1) ⇔ x + x + 20 = y + y Ta có x + x < x + x + 20 ≤ x + x + 20 + 8x Ta thấy ⇔ x x + < y ( y + 1) ≤ x + x + ( Vì ) ( )( 1,00 0,25 ) x, y ∈¢ nên ta xét trường hợp sau y ( y + 1) = x + x + ⇔ x + x + 20 = x + 3x + ( )( + TH1 ⇔ 2x = 18 ⇔ x = ⇔ x = ±3 ) 0,25 y + y = + + 20 ⇔ y + y − 110 = x2 = Với , ta có ⇔ y = 10 ; y = −11 (t.m) y ( y + 1) = x + x + ⇔ x + x + 20 = x + 5x + ( + TH2 ⇔ 4x = 14 ⇔ x = + TH3 )( ) 0,25 (loại) 2 y ( y + 1) = ( x + 3) ( x + ) ⇔ 6x = ⇔ x = y ( y + 1) = ( x + ) ( x + ) (loại) 0,25 + TH4 ⇔ 8x = ⇔ x = ⇔ x = Với x2 = , ta có y + y = 20 ⇔ y + y − 20 = ⇔ y = −5 ; y = Vậy PT cho có nghiệm nguyên ( x ; y) : ( ; 10 ) , ( ; − 11) , ( −3 ; 10 ) , ( −3 ; − 11) , ( ; − ) , ( ; ) III Tìm số nguyên k để phương Đặt k − 8k + 23k − 26k + 10 số 1,00 M = k − 8k + 23k − 26k + 10 M = ( k − 2k + 1) − 8k ( k − 2k + 1) + 9k − 18k + Ta có 0,25 2 2 = ( k − 1) − 8k ( k − 1) + ( k − 1) = ( k − 1) ( k − 3) + 1 M số phương phương TH TH ( k − 1) ( k − 3) ( k − 1) =0 ( k − 3) +1 số = ⇔ k =1 +1 số phương, đặt ( k − 3) + = m2 ( m ∈ ¢ ) ⇔ m − ( k − 3) = ⇔ (m − k + 3)(m + k − 3) = 2 Vì m, k ∈ ¢ ⇒ m − k + ∈ ¢ , m + k − ∈ ¢ m − k + =  m + k − = Vậy IV k =1 0,25 hoặc nên m − k + = −1  m = 1, k = ⇔ ⇒k =3  m + k − = −1  m = −1, k = k =3 0,25 0,25 k − 8k + 23k − 26k + 10 số phương · MIN Chứng minh IA tia phân giác góc 1,00 M E H P O I B A C K N · · · AMO = ANO = AIO = 900 ⇒ Theo giả thiết IV điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO ⇒ ·AIN = ·AMN , ·AIM = ·ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM = AN ⇒ ∆AMN ⇒ ·AMN = ·ANM cân A ⇒ ·AIN = ·AIM ⇒ đpcm 1 = + AK AB AC Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 = + ⇔ AB AC = AK ( AB + AC ) ⇔ AB AC = AK AI AK AB AC AB + AC = AI (Do ∆ABN ∆ANC ⇒ AB AC = AN ∆AIO ⇒ AK AI = AH AO đồng dạng với ∆AMO ⇒ AH AO = AM Tam giác vuông M có đường cao MH ∆AHK IV 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 ) đồng dạng với ⇒ AK AI = AM 0,25 AN = AM ⇒ AB AC = AK AI Do Đường thẳng qua M, vuông góc với ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A để AMPN hình bình hành 0,25 0,25 0,25 1,00 Ta có AN ⊥ NO, MP ⊥ NO, M ∉ AN ⇒ AN / / MP Do AMPN hình bình hành Tam giác TH Đặt PTTT Do ⇔ AN = MP = x ∆NEM ⇒ ∆ANO R − x2 = t , t ≥ ⇒ x2 = R2 − t TH PTTT 0,25  2t = − R 2( R − t ) = R − Rt ⇔ 2t − Rt − R = ⇔  t = R t ≥ ⇒ t = R ⇔ R2 − x2 = R ⇔ x = ⇒ A ≡ B Đặt (Loại) 2x = R + R2 − x2 ⇔ 2x2 = R2 + R R2 − x2 R R − x2 = t , t ≥ ⇒ x2 = R2 − t 0,25  2t = R 2( R − t ) = R + Rt ⇔ 2t + Rt − R = ⇔  t = − R t ≥ ⇒ 2t = R ⇔ R − x = R ⇔ x = Do R ⇒ AO = R 0,25 Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b Chứng minh bất đẳng thức ( 12 ≥ (a + b )3 + 4ab ≥ ab ) + 4ab t = ab , t > Ta có Đặt 3 12 ≥ 8t + 4t ⇔ 2t + t − ≤ ⇔ (t − 1)(2t + 3t + 3) ≤ Do 0,25 đồng dạng với 2x2 NE = NO − OE ⇒ = R − R2 − x2 ⇔ 2x2 = R2 − R R2 − x2 R NE = NO + OE ⇒ V AN NO 2x = ⇒ NE = NE EM R 2t + 3t + > 0, ∀t nên t −1 ≤ ⇔ t ≤ Vậy < ab ≤ 1,00 0,25 Chứng minh Thật vậy, BĐT 1 + ≤ , ∀a, b > + a + b + ab thỏa mãn ab ≤ 1 1 − + − ≤0 + a + ab + b + ab  b − a  a ab − a ab − b b  + ≤0⇔ − ÷ ÷≤ + a + b (1 + a )(1 + ab ) (1 + b)(1 + ab ) + ab    ( ⇔ b− a ) ( ab − 1) (1 + ab )(1 + a )(1 + b) 0,25 ≤0 < ab ≤ Do nên BĐT + 2015ab ≤ 2016, ∀a, b > + ab Tiếp theo ta CM thỏa mãn ab ≤ Đặt t = ab ,0 < t ≤ ta 0,25 + 2015t ≤ 2016 1+ t 2015t + 2015t − 2016t − 2014 ≤ ⇔ (t − 1)(2015t + 4030t + 2014) ≤ Vậy 1 + + 2015ab ≤ 2016 1+ a 1+ b BĐT ∀t : < t ≤ 0,25 Đẳng thức xảy a = b =1 ... -Họ tên thí sinh S ố báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: Chứng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT. .. nguyên ( x ; y) : ( ; 10 ) , ( ; − 11) , ( −3 ; 10 ) , ( −3 ; − 11) , ( ; − ) , ( ; ) III Tìm số nguyên k để phương Đặt k − 8k + 23k − 26k + 10 số 1,00 M = k − 8k + 23k − 26k + 10 M = ( k − 2k +... VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Câu Ý I Nội dung Cho a − b = 29 + 12 − Điể m Tính giá trị biểu thức: 1,00 A =