SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề thức Môn: TOÁN(CHUYÊN) Ngày thi: 05/06/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm) a) Cho số thực x > thỏa mãn điều kiện: x  Tính giá trị biểu thức A  x  x x2  14 B  x  x5 b) Rút gọn biểu thức A   10    10  Bài 2: (2 điểm) a) Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: x  5y  z  2(y  z)  4xy  b) Giải hệ phương trình:        1  2  y x 1  2  x y Bài 3: (2 điểm) a) Chứng minh phân số 21n  tối giản với n nguyên dương 14n  b) Giải phương trình x  mx  n  , biết phương trình có hai nghiệm nguyên dương phân biệt m, n hai số nguyên tố Bài 4: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt I J (R’ > R) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn đó; chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm hai tiếp tuyến với (O’; R’); D tiếp điểm tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I điểm B nửa mặt phẳng bờ O’A) Đường thẳng AI cắt (O’; R’) M (điểm M khác điểm I ) a) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh KB2 = KI.KJ ; từ suy KB = KD b) AO’ cắt BC H Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD Bài 5: (1 điểm) Cho a, b, c > Chứng minh a3 a + ab + b + b3 b + bc + c + c3 c + ac + a  a+b+c GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2 điểm) 1  a) Từ giả thiết suy ra:  x +   16  x +  (do x > 0) x x  1      1   4.14   x +  x +  =  x +  +  x +   A  x +  52 x  x x  x   x   1      1   14.52   x   x     x     x    B  x   724 x x  x  x   x   b) Ta chứng minh X + X2  Y X ± Y= ± X  X2  Y , với X  0; Y  0; X  Y    64  40  8  64  40    A   40    40      2      64  40  8  64  40        2     24  8 2   12   2  10    10  Bài 2: (2 điểm) a) BĐT  x + 5y + z + 2y  2z  4xy  1 Vì x, y, z nguyên nên: x + 5y + z + 2y  2z  4xy  2  x  4xy + 4y + y + 2y + + z  2z +  2   x  2y  +  y + 1 +  z  1  x  2y=0 x =       y + 1=0   y=   z  1=0  z =1   1 b) Điều kiện: x  ; y  2 Từ hệ suy 1 1  2   2 y x x y Nếu x  y  1   x y 2 1  2 y x Nếu x  y  1   x y 2 1  2 y x (1) VT(1) > VP(1) VT(1) < VP(1) nên (1) xảy x = y vào hệ ta giải x = 1, y = Bài 3: (2 điểm) a) Gọi d(d  1) ước chung lớn hai số  21n   14n  3  21n   kd ; 14n   ld với k, l số nguyên dương  7n    k  l  d  21n   3(k  l)d   (21n  4)  (21n  3)  kd  3(k  l)d  (3l  2k)d Vì  3l  2k  d số nguyên dương  3l  2k  d  Vậy phân số 21n  tối giản 14n  b) Gọi x1,x nghiệm nguyên dương phương trình cho, giả sử  x1  x  Theo hệ thức Viet: x1 + x = m; x1.x = n Do n số nguyên tố nên x1  1; x  n Từ x1 + x = m   n = m  n; m hai số tự nhiên liên tiếp  n = 2; m = Khi phương trình x  3x   có hai nghiệm x1  1; x  Bài 4: (3 điểm) a) Chứng minh KB2 = KI.KJ ; từ suy KB = KD   A, O, O’ thẳng hàng Do AO AO’ hai tia phân giác BAC Xét:  KBI Δ KJB  chung  (góc tạo tia tt dây góc nt chắn cung BI) ; BKI Có: J1  B  Δ KBI ∽  KJB (g.g)  KI KB   KB2  KI.KJ (1) KB KJ Tương tự:  KDI ∽  KJD  KI KD   KD  KI.KJ (2) KD KJ Từ (1) (2)  KB  KD B K D I A O H O' J C b) Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn M b) Chứng minh điểm I, H, O’, M nằm đường tròn B K D M I A O O' H J C Xét tam giác ABO’ vuông B, có: AB  AH.AO ' (3) Xét  ABI  AMB có: M  (góc tạo tia tt dây góc nt chắn cung BI); BAI  chung B 1   ABI ∽  AMB (g.g)  AB AI   AB2  AM.AI (4) AM AB Từ (3),(4)  AI.AM  AH.AO'    AHI ∽  AMO' ( AH AM  AI AO' AH AM   ; MAO' : chung ) AI AO'   M   điểm I, H, M, O’ thuộc đường tròn H c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Δ IBD Do: OD // O’B (cùng  AB)  AO OD R OI OI     AO' O'B R' O'M O'I OI cắt O’I A, I, M thẳng hàng  OI // O’M    DOI BO'M   DOI   sđ DI  BIM   BO'M   sđ BM  mà BDI 2 2   BIM   IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp BID  BDI Hay AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BID Bài (1,0 điểm) Ta có:  a  b3 a + ab + b a3 + b3  c3 b + bc + c b3 + c3  a c2 + ac + c c3 b3 = a  b +  b  c +  c  a  = c3 a3      a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 a2  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ac  a2 Vì bất đẳng thức cho tương đương với: a + b3 a + ab + b + b3 + c3 b + bc + c + c3 + a c + ac + a  a + b + c a  ab + b a  ab + b 2 Vì    a  b   (đúng)   a  b   a  b a + ab + b a + ab + b hay a  b3 a  ab  b   a  b  (1) đẳng thức xảy a = b b3  c3 c3  a Tương tự   b  c  (2)   c  a  (3) 2 3 b  bc  c c  ac  a Cộng (1), (2), (3) suy a3 a + ab + b + b3 b + bc + c + c3 c + ac + a Đẳng thức xảy a = b = c GV: Võ.M.Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát  a+b+c Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | ... yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh... trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi,... thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/