S GIO DC V O TO PH TH K THI TUYN SINH VO LP 10 TRUNG HC PH THễNG CHUYấN HNG VNG NM HC 2015-2016 MễN: TON (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn) Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang CHNH THC Cõu (1,5 im) n2 + a) Chng minh rng nu s nguyờn n ln hn tho v nguyờn t thỡ n chia ht cho x y ( x y ) = 2( x + 1) b) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: Cõu (2,0 im) A= a) Rỳt gn biu thc: ( 3+ 2 + 3+ b) Tỡm m phng trỡnh: Cõu (2,0 im) a) Gii phng trỡnh: + ( ) 2 l cỏc s ( x ) ( x 3) ( x + ) ( x + ) = m cú nghim phõn bit x2 x = x ( x ) b) Gii h phng trỡnh: Cõu (3,5 im) ằ BC ) n + 16 x + xy 10 y = 2 x + y = 10 Cho ng trũn (O; R) v dõy cung BC = R c nh im A di ụng trờn cung ln cho tam giỏc ABC nhn Gi E l im i xng vi B qua AC v F l im i xng ACF ABE vi C qua AB Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc v ct ti K (K khụng trung A) Gi H l giao im ca BE v CF ã BKC a) Chng minh KA l phõn giỏc gúc v t giỏc BHCK nụi tip b) Xỏc nh v trớ im A din tớch t giỏc BHCK ln nht, tớnh din tớch ln nht ca t giỏc ú theo R c) Chng minh AK luụn i qua mụt im c nh Cõu (1,0 im) thc: Cho s thc dng x, y, z tha món: P= 1 + + = x y z Tỡm giỏ tr nh nht ca biu y2z2 z2 x2 x2 y2 + + x ( y2 + z ) y ( z + x2 ) z ( x2 + y ) HT -H v tờn thớ sinh: S ụ bao danh: Thớ sinh khụng c s dng ti liu Can b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm S GIO DC V OTO PH TH CHNH THC K THI TUYN SINH VO LP 10 TRUNG HC PH THễNG CHUYấN HNG VNG NM HC 2015-2016 HNG DN CHM MễN: TON (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn) (Hng dn chõm gm 05 trang) I Mt s chỳ ý chm bi Hng dõn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mụt cỏch, ch m thi, cỏn b ụ chm thi cn bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi ti t, h p lụ-gic v cú th chia nh n 0,25 im Thớ sinh lm bi theo cỏch khỏc vi Hng dõn m ỳng thỡ t ch m c n th ng nh t cho im tng ng vi thang im ca Hng dõn chm im bi thi l tng im cỏc cõu khụng lm trũn s II ap an-thang im Cõu (1,5 im) n2 + n + 16 a) Chng minh rng nu s nguyờn n ln hn tho v l cỏc s nguyờn t thỡ n chia ht cho x y ( x y ) = 2( x + 1) b) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: Ni dung i m a) (0,5 im) m2 Ta cú vi mi s nguyờn m thỡ chia cho d , hoc 2 0,25 n = 5k + n2 + = 5k + M5; k Ơ * n + Nu chia cho d thỡ n2 + nờn khụng l s nguyờn t n = 5k + n + 16 = 5k + 20M5; k Ơ * n2 + Nu chia cho d thỡ n + 16 0,25 nờn khụng l s nguyờn t n M5 Vy hay n chia ht cho b) (1,0 im) x y ( x y ) = 2( x + 1) x 2( y + 1) x + 2( y 1) = (1) 0,25 ' phng trỡnh (1) cú nghim nguyờn x thỡ theo y phi l s chớnh phng ' = y + y + y + = y + y + = ( y 1) 0,25 Ta cú ' { 0;1; 4} ' chớnh phng nờn ' = ( y 1) = y = + Nu thay vo phng trỡnh (1) ta cú : x = x2 x = x ( x 4) = x = 0,25 ' = ( y 1) = y  + Nu + Nu + Vi y = ' = ( y 1) = y = x x + 16 = ( x ) = x = y=3 thay vo phng trỡnh (1) ta cú: y = x = x = + Vi thay vo phng trỡnh (1) ta cú: ( x; y ) { ( 0;1) ; ( 4;1) ; ( 4;3) ; ( 0; 1) } Vy phng trỡnh (1) cú nghim nguyờn : Cõu (2,0 im) A= a) Rỳt gn biu thc: ( 3+ ) 2 + 3+ b) Tỡm m phng trỡnh: + ( ) 2 0,25 ( x ) ( x 3) ( x + ) ( x + ) = m cú nghim phõn bit Ni dung i m a) (1,0 im) A= 2(3 + 5) 4+ 6+2 + 2(3 5) 62 0,25 3+ 5 = + + ữ = + 5+ 5 ữ + ( + 1) ( 1)2 0,25 (3 + 5)(5 5) + (3 5)(5 + 5) 15 + 5 + 15 + 5 = ữ = ữ 25 (5 + 5)(5 5) 0,25 = 20 = 20 Vy b) (1,0 im) A = 0,25 0,25 ( x ) ( x 3) ( x + ) ( x + 5) = m ( x + x 8)( x + x 15) = m ( 1) Phng trỡnh x + x + = ( x + 1) = y ( y ) , t phng trỡnh (1) tr thnh: ( y ) ( y 16 ) = m y 25 y + 144 m = (2) Nhn xet: Vi mụi giỏ tr y>0 thỡ phng trỡnh: ( x + 1) 0,25 =y cú nghim phõn bit, ú phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit phng trỡnh (2) cú nghim dng phõn bit ' > ' = 4m + 49 > 49 < m < 144 S > 25 > P > 144 m > 49 < m < 144 Vy vi Cõu (2,0 im) 0,25 thỡ phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit a) Gii phng trỡnh: x2 x = x ( x ) b) Gii h phng trỡnh: x + xy 10 y = 2 x + y = 10 Ni dung a) (1,0 im) x iu kin: (*) x x = x ( x ) x + x x + x 2( x + x 1) = Ta cú: y ( **) x + x = y y y = t (iu kin: ), phng trỡnh tr thnh y = y y = ( y + 1) ( y 3) = y = +Vi + Vi y = y=3 0,25 khụng tha iu kin (**) ta cú phng trỡnh: i m 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x x = x x = x = 2 x = 6x + x x x + 10 = x = x + x = x = tha iu kin (*) Vy phng trỡnh cú nghim b) (1,0 im) x + xy x + y y = (1) x + xy 10 y = 2 2 x + y = 10 (2) x + y = 10 ( ) 0,25 T phng trỡnh (1) ta cú x + xy ( x + y ) y = x + xy x y y = x x y + x y xy + 3xy y = ( x y ) ( x + xy + y ( x 2y) ( x 2 + xy + y ) 2 ) =0 x = 2y 2 =0 x + xy + y = 0,25 0,25 y 11y x + xy + y = x + ữ + =0 x= y =0 2 + Trng hp 1: x= y=0 Vi khụng tha phng trỡnh (2) x = 2y + Trng hp 2: thay vo phng trỡnh (2) ta cú: y =1 x = y + y = 12 y = y = x = Vy h phng trỡnh cú nghim Cõu (3,5 im) ằ BC 0,25 ( x ; y ) { ( 2;1) ; ( 2; 1) } Cho ng trũn (O; R) v dõy cung BC = R c nh im A di ụng trờn cung ln cho tam giỏc ABC nhn Gi E l im i xng vi B qua AC v F l im i xng ACF ABE vi C qua AB Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc v ct ti K (K khụng trung A) Gi H l giao im ca BE v CF ã BKC a) Chng minh KA l phõn giỏc gúc v t giỏc BHCK nụi tip b) Xỏc nh v trớ im A din tớch t giỏc BHCK ln nht, tớnh din tớch ln nht ca t giỏc ú theo R c) Chng minh AK luụn i qua im c nh Ni dung a) (1,5 im) ãAKB = ãAEB ằAB Ta cú (vỡ cung chn cung ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AEB) ãABE = ãAEB ãAKB = ãABE M (tớnh cht i xng) suy (1) ãAKC = ãAFC ằAC (vỡ cung chn cung ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AFC) ãACF = ãAFC ãAKC = ãACF (tớnh cht i xng) suy (2) ãABE = ãACF ãBAC ãAKB = ãAKC Mt khỏc (cung phu vi ) (3) T (1), (2) , (3) suy ã BKC hay KA l phõn giỏc ca gúc Gi P, Q ln lt l cỏc giao im ca BE vi AC v CF vi AB 1ã ã BOC = 1200 ; ã BAC = BOC = 600 BC = R Ta cú nờn Trong tam giỏc vuụng ABP ãAPB = 900 ; ã BAC = 600 ãABP = 300 ãABE = ãACF = 300 cú hay T giỏc APHQ cú im 0,5 0,25 0,25 0,25 ãAQH + ãAPH = 1800 PAQ ã ã ã ã + PHQ = 1800 PHQ = 1200 BHC = 1200 (i inh) ãAKC = ãABE = 300 ãAKB = ãACF = ãABE = 300 Ta cú , (theo chng minh phn a) ãBKC = ãAKC + ãAKB = ãAFC + ãAEB = ãACF + ABE ã ã ã = 600 BHC + BKC = 1800 M suy nờn t giỏc BHCK nụi tip b) (1,5 im) BC = R 3, Gi (O) l ng trũn i qua bn im B, H,C, K Ta cú dõy cung ã ã BKC = 600 = BAC nờn bỏn kớnh ng trũn (O) bng bỏn kớnh R ca ng trũn (O) Gi M l giao im ca AH v BC thỡ MH vuụng gúc vi BC, ke KN vuụng gúc vi BC (N thuục BC), gi I l giao im ca HK v BC 1 S BHCK = S BHC + S BCK = BC.HM + BC.KN = BC ( HM + KN ) 2 Ta cú 1 S BHCK BC ( HI + KI ) = BC.KH 2 (do HM HI; KN KI ) KH R Ta cú KH l dõy cung ca ng trũn (O; R) suy (khụng i) S BHCK HM + KN = HK = R KH = R nờn ln nht v S BHCK = R 3.2 R = R Giỏ tr ln nht Khi HK l ng kớnh ca ng trũn (O) thỡ M, I, N trung suy I l trung ằ ABC BC im ca BC nờn cõn ti A Khi ú A l im chớnh gia cung ln c) (0,5 im) ã ã ã BOC = 1200 ; ãBKC = 600 BOC + BKC = 1800 Ta cú suy nờn t giỏc BOCK nụi tip ng trũn ã ằ = OC ả BKO ã ã OB = CKO BKC Ta cú OB=OC=R suy hay KO l phõn giỏc gúc ãBKC theo phn (a) KA l phõn giỏc gúc nờn K ,O, A thng hng hay AK i qua O c nh Cõu (1,0 im) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 + + = x y z Cho s thc dng x, y, z tha món: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 2 2 y z z x x y P= + + x ( y2 + z ) y ( z2 + x2 ) z ( x2 + y ) Ni dung P= 1 x + ữ y z + + im 1 1 y + ữ z + ữ x y z x 0,25 Ta cú 1 = a; = b; = c a, b, c > x y z a + b + c = t thỡ v a b c a b2 c2 P= 2 + + = + + b + c c + a a + b2 a ( a2 ) b ( b2 ) c ( c ) 0,25 Ap dung bt ng thc Cụsi cho s dng ta cú 2a + a + a 2 2 a ( a ) = 2a (1 a )(1 a ) ữ = 2 27 a2 3 a(1 a ) a (1) a(1 a ) 3 Tng t: b2 3 b b(1 b ) P (2); c2 3 c c(1 c ) 3 3 a + b2 + c ) = ( 2 T (1); (2); (3) ta cú a=b=c= x = y = z = 3 hay (3) 0,25 ng thc xy Vy giỏ tr nh nht ca P l HT 3 0,25 ... HT -H v tờn thớ sinh: S ụ bao danh: Thớ sinh khụng c s dng ti liu Can b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm S GIO DC V OTO PH TH CHNH THC K THI TUYN SINH VO LP 10 TRUNG HC... VNG NM HC 201 5-2 016 HNG DN CHM MễN: TON (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn) (Hng dn chõm gm 05 trang) I Mt s chỳ ý chm bi Hng dõn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mụt cỏch, ch m thi, cỏn... x = 6x + x x x + 10 = x = x + x = x = tha iu kin (*) Vy phng trỡnh cú nghim b) (1,0 im) x + xy x + y y = (1) x + xy 10 y = 2 2 x + y = 10 (2) x + y = 10 ( ) 0,25 T phng trỡnh