UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1(2,0 điểm)  x y x  y   x  y  2xy   Cho biểu thức: P    :    (với x  0, y  0, xy  )   xy  xy  xy     a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P P Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 10x   3x   9x   2x  b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I  2;1 Tìm tọa độ điểm A, B tương ứng thuộc tia Ox , Oy cho tổng IA  IB  AB có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên n  2008 cho: 22008  22012  22013  22014  22016  2n số phương Câu (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O ;R), đường kính AD cố định Vẽ tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O ;R) Gọi I giao điểm AC BD; K hình chiếu I AD a) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK b) Gọi F giao điểm CK BD Chứng minh: BI.DF = BD.IF c) Gọi E trung điểm ID Chứng minh: ED  EB.EF d) Xác định vị trí điểm B để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD lớn Tính giá trị lớn theo R Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 2a  3b  4c  2015 Chứng minh: 3b  4c  2020 2a  4c  2020 2a  3b  2020    15  2a  3b  4c -HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: .Giám thị 2: UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm trang ) Nội dung Câu Câu a) 1,25 điểm  P       xy 1  x  y  xy   xy 1  xy  Điểm  x  y   xy  x  y  2xy :   xy   0,5  x  2y x  xy  xy  x  y  xy 0,5  x 1  y  x  1  x 1  y   x 0,25 Ta có: P  x  0,25 b) x x 0,75 Lại có x   x với x  nên P   1 x 1 x điểm Vậy  P   P  P Câu 10x   9x   0,25 0,25 ĐK: x  phương trình ban đầu trở thành:  a) 1,0 điểm   0,25  3x   2x   x 3 x 3  0 10x   9x  9x   2x  1     x  3   0 9x   2x    10x   9x  1   x   x  (thỏa mãn) 10x   9x  9x   2x  Vậy phương trình có tập nghiệm S  3  0,25 0,25 0,25 Gọi K đối xứng với I qua tia Oy, suy K( -2;1) Gọi H đối xứng với I qua tia Ox, suy H(2; -1) Ta có: AI  AH , BI  BK suy IA  IB  AB  AH  AB  BK  HK b) 1,0 Dấu "="  H , A, B, K thẳng hàng hay A, B giao điểm đường thẳng HK điểm với tia Ox, Oy tương ứng phương trình HK : y  1 x , suy A  B  O  0;0  0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Ta có:    22008 +22012 +22013 +22014 +2 2016 +2n =2 2008 1+24 +25 +26 +28 +2n-2008 =22008 369+2n-2008 1,0 n 2008  b với b  * điểm số phương 369  Đặt a  n  2008 số nguyên dương , ta có phương trình: 369  2a  b Xét hệ đồng dư mod ta có: 369   mod 3 ; 2a  1; 2 mod 3 ; b  0;1 mod 3  0,25 0,5 Suy 2a  1 mod 3 suy a số chẵn hay a  2c c  * Phương trình trở thành: 369  b  22 c  41.3.3   b  2c  b  2c  Do b  2c  b  2c suy ra:  b  ; b    41;9  ;  369;1 ;  41.3;3   b;    25;16  ; 185;184  ;  63; 60  c c 0,25 c   b; c    25;  Vậy n  a  2008  2c  2008  2016 số cần tìm Câu C B I F E a) K O A 1,0  điểm Ta có ABD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AKI  900 (gt)   CAD  Suy tứ giác ABIK nội tiếp  IBK D 0,25   CAD   sđCD  Suy IBK   IBC   BI phân giác góc CBK  Lại có IBC 0,25  Chứng minh tương tự có CI phân giác BCK Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCK 0,25 0,25 Ta có CI đường phân giác BCF  BI CB  (1) (t/c đường phân IF CF giác tam giác) Lại có  ACD  900  CD  CI  CD phân giác tam giác BCF b) 1,0 BD CB điểm suy ra:  (2) ( t/c đường phân giác tam giác) DF CF Từ (1) (2), có: BI BD   BI DF  BD.IF IF DF 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có KE trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác tam giác IKD  KE  ED  ID   BDA  ( t/c góc  tam giác KED cân E  BEK 0,25 tam giác)  )Suy BEK   BCA  (3)   BCA  (2 góc nội tiếp chắn AB Mà BDA c) 1,0   BCA   4  ( chứng minh trên)  BCK điểm Mặt khác CI phân giác BCK   BCK  , suy tứ giác BCEK nội tiếp Từ (3) (4) suy BEK   EBC   EBK   EKF EBK  EK  EB.EF Suy EKC Mà EK  ED ( chứng minh trên)Suy ra: ED  EB.EF Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD vuông B, suy ra: r  AB  BD  AD  AB  BD  R d) 1,0 Suy r lớn 2 AB  BD lớn 2 2 điểm Ta có:  AB  BD    AB  BD   AD  R  AB  BD  2 R ( dấu " =" xảy AB  BD  R ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25   Suy r  AB  BD  R  2  R Vậy max r  R    B điểm  AB  BD   AB  BD   AD Câu Đặt x  2a  1; y  3b  1; z  4c  bất đẳng thức trở thành: cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  2018 chứng minh: y  z  2018 x  z  2018 x  y  2018    15 (*) x y z 1,0 Ta có: điểm  x y  y z   z x 1 1 VT(*)              2018         2018  15 x yz  y x  z y  x z  x y z 2018 2015 2015 2015 a ;b ;c Dấu “=”  x  y  z  12 Chú ý: Mọi cách làm khác mà cho điểm tương đương -HẾT - 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/ Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807 Trang | ... luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội...UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán (Chuyên Toán) ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm gồm trang... tương đương -HẾT - 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247 - Chương trình