Phan Hòa Đại SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016-2017 BÌNH ĐỊNH Đề thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Môn thi: Toán ( ĐỀ CHUNG )  Bài 1: (1,5 đ) Cho biểu thức: T     Rút gọn T Tìm giá trị x để Ngày thi: 06/6/2016 Thời gian làm bài: 120’ x 1 x 1   x     x x   ( Với x > ; x ≠ 1) x 1 x    x T  x  13 Bài 2: (1,5 đ) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy Bài 3: (2 đ) Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hoàn thành ¼ công việc Hỏi làm riêng người hoàn thành công việc bao lâu? Bài 4: (4 đ) Cho đường tròn tâm O dây AB đường kính Vẽ đường kính CD vuông góc với AB K ( D thuộc cung nhỏ AB).M điểm thuộc cung nhỏ BC ( M không trùng với B C) DM cắt AB F a) CM tứ giác CKFM nội tiếp b) Chứng minh: DF.DM=AD2 c) Tia CM cắt đường thẳng AB E Chứng tỏ tiếp tuyến M (O) qua trung điểm EF d) Chứng minh: FB KF  EB KA x  2016 x  2017  x 1 x 1 -* HƯỚNG DẪN GIẢI x 1 x 1   x     x x   ( Với x > ; x ≠ 1) x 1 x    x Bài 5: (1 đ) : Tìm GTLN biểu thức: A   Bài 1: ( đ) Cho biểu thức: T     a)Rút gọn T:Với x > ; x ≠  x 1 x 1   x  T    x x    x 1  x  x       x 1  x 1 .x  x 1  x x  x x  x  1  4x x 1 T  x  13  2x  x  13  2x  x  13  Đặt x  t  , ta  1 3 (TM § K)  t1  1 3 28  14  3 2 pt: 2t -2t-13=0     x x  (TM § K)  1 3 (Lo¹i) t   b)Với x > ; x ≠ 1, ta có Bài 2: (1,5 đ) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1) *Cách 1:2 Dựa vào điều 2kiện nghiệm pt bậc hai: 2 2 (1)  2y x  x  y   x  2y  xy  x  xy  2y x  x  2y  y    x  x(2y  y  1)  2y  y   § Æt 2y  y  a  x  x(a  1)  (a  1)  0(*) Xem (*) pt bậc ẩn x, đk cần pt(1) có nghiệm x nguyên :  số phương    k ( k  N)  (a  1)2  4(a  1)  k  a  2a   k  (a  1)2  k  4  (a   k)(a   k)  4 Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định Vì a  Z k  N nên a-1-k  a-1+k a-1-k ; a-1+k có tính chẵn -lẻ nên có trường hợp: a   k  2 a  k  1 a     TM § K   a   k  a  k  k  -Với a=1 2y2-y=1 2y2-y-1=0 (**) , pt (**) có dạng a+b+c=0 nên có nghiệm:y1=1 (TMĐK) ; y2= c   (loại) a  a   k   22 x   2  2  Với a=1; k=2 pt (*) có hai nghiệm: (TMĐK) 2  a 1 k 11 x1   0  2 Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) (0;1) (2;1) *Cách 2: Đưa pt tích: 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy (1)  x2-2y2x+xy+2y2 -x-y=1  x(-2y2+y+x)-(-2y2+y+x)=1  (-2y2+y+x)(x-1)=1  x      y   x    x   x   x   1       y  (Lo¹i)   2 2   y   2y  x  y   2y   y   2y  y          x   x  x   1 x0 x0           2y2  x  y  1  2y   y  1  2y  y   y   y        y  1 (Lo¹i)    Vậy pt(1) có hai nghiệm nguyên (x;y) (0;1) (2;1) Bài 3: Gọi thời gian làm riêng xong công việc người thợ thứ x ( giờ), người thợ thứ hai y (giờ) ĐK: x ,y > 16 Trong giờ: + Người thợ thứ làm được: (CV) x (CV) y + Cả hai người thợ làm được: (CV) 16 1 Ta pt: + = (1) x y 16 Người thợ thứ làm được: (CV) x Người thợ thứ hai làm được: (CV) y Cả hai người thợ làm được: (CV) Ta pt:   (2) x y + Người thợ thứ hai làm được: Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 1 1  x  y  16 x  24  Từ (1) (2) ta hệ pt:  giải hpt ta được:  (TMĐK) y  48      x y Vậy thời gian làm riêng xong công việc người thợ thứ 24 giờ, người thứ hai 48 C Bài 4: (4 đ) a) CM tứ giác CKFM nội tiếp CD  AB => CKF = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Lại có CMF =900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Suy CKF + CMF =1800 => Tứ giác ABEF nội tiếp b) CMR: DF.DM=AD2 A Ta có: DKF  DMC  900 Lại có : D1 chung => DKF DMC  g.g  M O DF CD    DF.DM  DK.CD(1) DK DM K F B I E Lại có: DAC  90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)); AKC  90 =>  ACD vuông A có D đường cao AK nên: AD =DK.CD (2) Từ (1) (2) suy DF.DM=AD2 c Chứng minh: Tiếp tuyến M đường tròn (O) qua trung điểm EF: Gọi giao điểm tiếp tuyến đường tròn (O) M với AE I -Ta có: M  M  900 ( OMI  90 ), E  M  900 ( CKE  90 ), lại có C  M ( Vì OC=OM =>  OMC cân C) suy E  M =>  IME cân I => IM=IE (3) -Ta có: M  IMF  DME  900 , E  F  900 ( DME  90 ) , mà E  M (c.mt) =>  IMF cân I => IM=IF (4) Từ (3) (4) suy IE=IF =>Tiếp tuyến M đường tròn (O) qua trung điểm EF FB KF d) CMR:  EB KA Ta có: A1  M1 ( góc nội tiếp chắn cung DB) F1  F ( đối đỉnh) FB FD   FB.FA  FM.FD(5) FM FA Ta có DKF  MMF   900  F1  F ( đối đỉnh) => ADF MBF  g.g   FM FK   FE.FK  FM.FD(6) FE FD FB FK FB FK FB FK Từ (5) (6) suy ra: FB.FA=FE.FK =>      FE FA FE  FB FA  FK EB KA => FKD FME  g.g   Bài 5: (1 đ) : ĐK: x  2017 A  x  2016 x  2017   x 1 x 1 Theo BĐT Cô –Si cho hai số không âm, ta có:  x  2016 2017   x  2017 2016  x  1 2017  x  1 2016 Phan Hòa Đại A x  2016  2017  x  1 2017 Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định  x  2017  2016  x  1 20176  x 1  x  1 2017  1 1       2016  x  1 20176 2017  x 1  2016 2017  2017 2016  2016 2017 2017 2016  2016 2017  A       2016 2017  2.2016.2017 8132544 2017  x  2016  x  4033 (TMĐK) 2016  x  2017 Dấu “=” xảy khi:  Vậy Amax= 2017 2016  2016 2017 x=4033 8132544 ... 2017 Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định  x  2017  2016  x  1 20176  x 1  x  1 2017  1 1       2016  x  1 20176 2017  x 1  2016 2017  2017 2016  2016 2017 2017... 2016 2017 2017 2016  2016 2017  A       2016 2017  2 .2016. 2017 8132544 2017  x  2016  x  4033 (TMĐK) 2016  x  2017 Dấu “=” xảy khi:  Vậy Amax= 2017 2016  2016 2017 x=4033... ĐK: x  2017 A  x  2016 x  2017   x 1 x 1 Theo BĐT Cô –Si cho hai số không âm, ta có:  x  2016 2017   x  2017 2016  x  1 2017  x  1 2016 Phan Hòa Đại A x  2016  2017 