SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày : 02/6/2017 Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) a) Cho biểu thức P (x )  thỏa mãn 9x  , Q(x )  x x 3 x x 1 x với x  Tìm số nguyên x nhỏ P (x )  Q(x ) b) Tính giá trị biểu thức F  2x  21x  55x  32x  4012 x  10x  20 máy tính cầm tay) x   (không sử dụng Câu 2: (2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y  x2 , đường thẳng d có hệ số góc k qua điểm M (0;1) Chứng minh với giá trị k, (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A B có hoành độ x1, x thỏa điều kiện x1  x  x  y   b) Giải hệ phương trình  x  2y  x  4y  Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình x  2(m  1) x   m  m   (1) (x ẩn số) a) Giải phương trình (1) m  b) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O ) có tâm O hai điểm C , D (O ) cho ba điểm C ,O, D không thẳng hàng Gọi Ct tia đối tia CD, M điểm tùy ý Ct, M khác C Qua M kẻ tiếp  ) Gọi trung tuyến MA, MB với đường tròn (O ) (A B tiếp điểm, B thuộc cung nhỏ CD I điểm CD, H giao điểm đường thẳng MO đường thẳng AB a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định M di động tia Ct c) Chứng minh HA2 MD  MC HC Câu 5: (2,0 điểm) a) Cho a, b, c số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện ab  bc  ac  Tìm giá trị nhỏ biểu thức E  a2 b2 c2   a b b c c a b) Tìm tất số nguyên dương n cho n  3n số phương Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017 – 2018 Khóa ngày 02 tháng năm 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề NHÓM GIẢI ĐỀ: ThS TRẦN NGỌC ĐỨC TOÀN THẦY NGUYỄN VĂN VŨ THẦY HOÀNG ĐỨC VƯƠNG Câu Với x  ta có: P (x )      3 x 3 x 9x 1 3 x 1 x x       x x 3 x x x x x x 3 x   P (x )  x  x x 1 1 x x x 1 x x  :   x x Q(x ) x x x x x P (x ) 1 x x      x  2x  x  x  3x  x   Q(x ) 2 x x     x  x    x    x  Do x nguyên dương nhỏ x thỏa mãn ycbt x  b) Thực phép chia đa thức cho đa thức ta có: F 2x  21x  55x  32x  4012 x  10x  20  2x  x   38x  4112 x  10x  20 Thay x   vào F ta được:      5  28  10    56  19   5   10 5    20 38 5    4112 5 28  10   50  10  20   5 5  3 38   4112 3922  38  56  19  1961  19  2017 2 Câu a) Đường thẳng (d ) có hệ số góc k nên có phương trình (d ) : y  kx  b Vì (d ) qua M (0;1) nên ta có  0k  b  b   (d ) : y  kx  Phương trình hoành độ giao điểm (P ) (d ) : x  kx   x  kx   (*) NHÓM GIẢI ĐÊ: ThS Trần Ngọc Đức Toàn – Thầy Nguyễn Văn Vũ – Thầy Hoàng Đức Vương Vì a, c trái dấu nên (*) có hai nghiệm phân biệt Nói cách khác, (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A B có hoành độ x1, x Theo định lí Viet, ta có S  x1  x  k, P  x1x  1 Khi đó: x1  x   x12  x 22  2x1x   x1  x   4x1x   k    k  (hiển nhiên) Vậy, với giá trị k, (d ) cắt (P ) hai điểm phân biệt A B có hoành độ x1, x thỏa điều kiện x1  x  x  y    b) Giải hệ phương trình  x  2y  x  4y  2  Ta có: 2  3x  6y  3x  12y   3x  3x  6y  12y  3  Lấy phương trình 1  3 , vế theo vế ta được: x  y  3x  3x  6y  12y       x  3x  3x   y  6y  12y   3  x  1  y  2   x    y  x  y   x   y  Thay x   y vào phương trình 2 ta được: 3  y   2y  y   4y  y   x  3y  9y     y   x   Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1;2; 2;1 Câu Điều kiện: x   Đặt t  x    x  t  1, phương trình (1) trở thành: t   2(m  1)t  m  m    t  2(m  1)t  m  m   (2) t  1 (l) a) Khi m  0, (1)  t   2t     t  (n) Với t  ta có x    x    x   x  2 b) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt  phương trình (2) có hai nghiệm t1  1, t2  phân biệt    2  '  (m  1)  m  m     t1    t2    (*) Đưa tổng tích áp dụng định lý Vi-ét phương trình (2) ta được: NHÓM GIẢI ĐÊ: ThS Trần Ngọc Đức Toàn – Thầy Nguyễn Văn Vũ – Thầy Hoàng Đức Vương     4    m  m    m      3    (*)    (t1  1)  (t2  1)    t1  t2   2(m  1)         t t t t t t (  1).(  1)   (  )      2  12 m  m   2(m 1)            m0          m     m0 m           m      m   m  m 4      m             ( 1)( 4) m m        m  1       m  m  3m               m       Vậy, m  thỏa yêu cầu toán Câu a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp   900 , MIO   900 (do I trung điểm CD), MBO   900 Suy điểm  Ta có: MAO M , A,O, I , B nhìn đoạn MO góc vuông Do đó, điểm M , A,O, I , B thuộc đường tròn đường kính OM Vậy tứ giác MAIB nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định M di động tia Ct   ODP   900 Suy tứ giác  Gọi giao điểm tiếp tuyến C D P Ta có: OCP OCPD nội tiếp đường tròn đường kính OP MH MC   OMD   CHOD nội tiếp CMH  Do MH MO  MA2  MC MD   MD MO   900 nên   900 mà OHB  O, H ,C , P , D thuộc đường tròn đường kính OP  OHP điểm A, B, P thẳng hàng  Vậy M di động tia Ct AB qua điểm P cố định HA2 MD  MC HC Ta có: MH MO  MC MD (câu b) MH HC MC MC    MCH  MOD   MD MO OD MO c) Chứng minh NHÓM GIẢI ĐÊ: ThS Trần Ngọc Đức Toàn – Thầy Nguyễn Văn Vũ – Thầy Hoàng Đức Vương   MC OD   HC  Ta có:   OM   HA  MH OH    HA2 MH OH OM MH OH OM MH OM MC MD MD       2 2 2 MC HC MC OA MC OH OM MC MC Vậy HA2 MD  MC HC Câu a) Theo bất đẳng thức cô si, ta có:  a2 b c a2 b c a2 b  c a  2 a   b c b c b c  b2 a c b2 a  c b2 a c  2 b  b  a c a c a c  c2 a b c2 a  b c2 a b 2 c  c   a b a b a b a2 b2 c2 a b c a b c ab  bc  ac    a b c     2 2 b c a c a b a  0;b  0; c   1   a  b  c a b c    ab  bc  ac    Do đó: Vậy E b) Giả sử n  3n  m  m  n  3n  m  n m  n   3n Đặt m  n  3k , suy m  n  3n k , mà m  n  m  n  3n k  3k  n  2k  n  2k     Xét n  2k  2n  m  n   m  n   3n k  3k  3k 3n 2k   2.3k n   n  3k  2k   k  0;1   n   Xét n  2k   n  k   k   Do đó: 2n  3n k  3k  3n k  3n k 2  3n k 2 32   8.3n k 2 n k 2 Theo bất đẳng thức Bernoulli 8.3n k 2  1  2  1  n  k  2  16n  16k  24   Suy 2n  16n  16k  24  8k  12  7n Hơn n  2k   8k  12  7n  14k  14 (vô lí) Vậy n  1; n  “Giữa thành công thất bại có sông gian khổ sông có cầu tên cố gắng” NHÓM GIẢI ĐÊ: ThS Trần Ngọc Đức Toàn – Thầy Nguyễn Văn Vũ – Thầy Hoàng Đức Vương ...ĐÁP ÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017 – 2018 Khóa ngày 02 tháng năm 2017 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề NHÓM GIẢI ĐỀ: ThS TRẦN... 4012 x  10x  20  2x  x   38x  4112 x  10x  20 Thay x   vào F ta được:      5  28  10    56  19   5   10 5    20 38 5    4112 5 28  10   50  10  20 ... 4112 5 28  10   50  10  20   5 5  3 38   4112 3922  38  56  19  1961  19  2017 2 Câu a) Đường thẳng (d ) có hệ số góc k nên có phương trình (d ) : y  kx  b Vì (d ) qua