ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 MÔN THI : TOÁN ( Cho tất thí sinh) Thời gian làm : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu I (3.5 điểm ) 1) Giải hệ phương trình 2  x  y  xy    x  x y  y  2) Giải phương trình :  x  1 x    x    x    x  Câu II (2.5 điểm ) 1)Chứng minh không tồn số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 12 x  26 xy  15 y  4617 2) Với a, b số thực dương , tìm giá trị lớn nhát biểu thức    M  a  b   a  b b  a  ab Câu III ( điểm )   900 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD Cho hình thoi ABCD có BAD tiếp xúc với BD,BA J, L Trên đường thẳng LJ lấy điểm K cho BK song song ID  a)Chứng minh CBK ABI b)Chứng minh KC  KB c)Chứng minh bốn điểm C, K, I ,L nằm đường tròn Câu IV (1 điểm ) Tìm tập hợp số nguyên dương n cho tồn cách xếp số 1, 2, ,3, , n thành a1 , a2 , a3 , ,a n mà khin chia số a1 ,a1 a2 ,a1 a2 a3 , ,a1 a2 a n cho n ta số dư đôi khác Họ tên thí sinh:…………………………….….Số báo danh:……………… Cán coi thi không giải thích thêm ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÁP ÁN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 MÔN THI : TOÁN ( Cho tất thí sinh) Câu I (3.5 điểm ) 1) Giải hệ phương trình  x  y  xy    x  x y  y  2) Giải phương trình :  x  1 x    x    x    x hướng dẫn giải 1)Giải hệ phương trình 2  x  y  xy  1(1)   x  x y  y (2) Từ phương trình (1) suy ra: xy=x2+y2-1 (3) thay vào (2) ta x  x( x  y  1)  y  x  x3  xy  x  y   x  xy  y  y   ( x  y )( x  xy  y )  y ( x  y )   ( x  y )( x  xy  y )  (4) x  y   2  x  xy  y  (5) từ (4) ta có x=y Thay vào ta có :  x 1  x  y 1 x2  x2  x2   x2      x  1  x  y  1 từ (5) ta có : 1 x  xy  y   x  x y  y  y  4  x  y   ( x  y)  y     x y0 2  y  với x=y=0 thay vào (1) ta có : 0+0-0=1 (vô lí) suy x=y=0 không nghiệm hệ phương trình cho Vậy hệ phương trình cho có S= (1;1);(1; 1) 2) Giải phương trình: ĐKXĐ: 1  x    x  1 x     x    x   x2    x  1 x   x    x  ( x  1)  x  (1  x) x    x  1 x   ( x  1)  x  x  1(2   x)   x  ( x  1)(2 x    x )  x    x  ( x  1)( x    x )   x (*)  x   a  đặt:    x  b  Khi (*) trở thành: a (a  b)  2b  a  a 2b  2b (1) mặt khác ta có a  b  (2)  a3  a0 (ktm)  Xét với b=0 ta có  a  a  Xét với b  Từ (2) ta có: a 2b  b3  2b (3) Từ (1) Và (3) suy : a  a 2b  a 2b  b3   a  b3  a  b Khi từ (2) suy ra: 2a2=2 suy a=1 ( a  ) Do a=b=1  x    x   x  0(tm) phương trình có nghiệm x=0 Câu II (2.5 điểm ) 1)Chứng minh không tồn số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 12 x  26 xy  15 y  4617 2) Với a, b số thực dương , tìm giá trị lớn nhát biểu thức   M  a  b    a  b b  a  ab Hướng dẫn giải 1)Chứng minh không tồn số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức 12 x  26 xy  15 y  4617 a p Chứng minh bổ đề: Nếu số nguyên tố p có dạng: 4n+3 a  b  p   ( a, b  Z )  b p (Tự chứng minh) Ta có: 12 x  26 xy  15 y  4617  12 x  26 xy  15 y  35.19  12 x  26 xy  15 y 19  12 x  12 xy  15 y  38 xy19  3(4 x  xy  y )19  x  xy  y 19  (4 x  xy  y )  y  (2 x  y )  (2 y ) 19 Áp dụng bổ đề ta có 19 số nguyên tố và19= 4.4+3 nên suy : 2 x  y19  x19   12 x  26 xy  15 y 192   y19  y19 điều không xảy 4617 không chia hết cho192 phương trình cho nghiệm nguyên 2) Với a, b số thực dương , tìm giá trị lớn nhát biểu thức   M  a  b    a  b b  a  ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:  a3  b   a1  b   ( a3 a1  b.b )  (a  b)2 1   a    a   ( b3  a.a )  (a  b) b b   b  a 1      a b 1  a  b ( a  b) a b     ( a  b) a b b a  a   b  b3  a (a  b) b 1 ab  1 a b   ab(a  b)  a  b  a  b   M  (a  b)(  )  a  b b  a ab ab ab ab(a  b) vậyMax M=1 a=b=1 Câu III ( điểm )   900 Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABD Cho hình thoi ABCD có BAD tiếp xúc với BD,BA J, L Trên đường thẳng LJ lấy điểm K cho BK song song ID  ABI a)Chứng minh CBK b)Chứng minh KC  KB c)Chứng minh bốn điểm C, K, I ,L nằm đường tròn Hướng dẫn giải B C L G J I D K K   mà ABI  IBD ADI  DBK a) Ta có   CBD ADB ( soletrong )   DBK    CBD ADB  IDB   CBK ADI   ABI  Vậy CBK AIB b)Gọi G giao điểm CJ BK   IJL  (Đối đỉnh) ta có KJG   JBK  (Cùng phụ với BIJ ) IJL   JBI   KJG    KJG   CBK  Mà JBI ABI  CBK   BJC   900 ( ABCD hình thoi Suy tứ giác BCKJ nội tiếp suy BKJ nên AC  BD hay góc BJC vuông) suy BK  CK   ILJ  mà IBJ   JBK  c)Vì tam giác IJL cân I ( J,L Thuộc đường tròn (I)) nên IJL   JCK  ( Hai góc nội tiếp chắn cung JK) suy ILJ   JLC  (Theo b) JBK   ICK  suy tứ giác IKCL nội tiếp suy điểm C, K, I, L nằm hay ILK đường tròn Câu IV (1 điểm ) Tìm tập hợp số nguyên dương n cho tồn cách xếp số 1, 2, ,3, , n thành a1 , a2 , a3 , ,a n mà chia số a1 ,a1 a2 ,a1 a2 a3 , ,a1 a2 a n cho n ta số dư đôi khác Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Với n hợp số n>4 (n-1)!  n Thật ta có: Với n hợp số n>4 n=a.b với a,b số nguyên khác n suy  a; b  n  suy n-1)!  n từ giả thiết ta có an phải n an  n; ai=n (i 1; n  1)  a1a2  n điều trái với đề cho  a1a2 an  n Do an=n n số lớn 4và n hợp số theo bổ đề ta có a1a2 an-1=(n-1)!  n mà a1a2 an  n hai số  chia cho n có số dư điều mâu thuẫn với giả thiết Như n  suy n=4( n hợp số) Xét với n =4 tồn dãy số: 1;3;2;4 có 1; 1.3; 1.3.2;1.3.2.4 chia cho có số dư 1;3;2;0 thoả mãn đề n=4 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÁP ÁN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2017 MÔN THI : TOÁN ( Cho tất thí sinh) Câu I (3.5 điểm ) 1) Giải hệ... x    x hướng dẫn giải 1)Giải hệ phương trình 2  x  y  xy  1 (1)   x  x y  y (2) Từ phương trình (1) suy ra: xy=x2+y 2-1 (3) thay vào (2) ta x  x( x  y  1)  y  x  x3  xy  x... giải: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Với n hợp số n>4 (n -1 )!  n Thật ta có: Với n hợp số n>4 n=a.b với a,b số nguyên khác n suy  a; b  n  suy n -1 )!  n từ giả thi t ta có an phải n an  n;