Luyện tập: Giải toán cách lập phương trình Mục lục Bài toán người bán hàng 1.1 Lịch sử 1.2 Phát biểu 1.2.1 Dưới dạng đồ thị 1.2.2 Đối xứng bất đối xứng Tìm kiếm lời giải 1.3.1 Ví dụ minh họa 1.3.2 Công thức 1.3.3 Các thuật toán 1.3.4 Ứng dụng 1.3.5 Độ phức tạp tính toán 1.3.6 Các trường hợp đặc biệt 1.3.7 Cải thiện ngẫu nhiên 1.4 Ghi 1.5 Liên kết 1.3 Yakov Isidorovi Perelman 2.1 Sự nghiệp 2.2 Tác phẩm 2.3 Vật lý giải trí 10 2.4 am khảo 10 2.5 Liên kết 10 2.6 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 11 2.6.1 Văn 11 2.6.2 Hình ảnh 11 2.6.3 Giấy phép nội dung 11 i Chương Bài toán người bán hàng thuật toán cho TSP tăng theo cấp số nhân với số thành phố TSP có vài ứng dụng chí dạng thức nguyên thuỷ lập kế hoạch, logistic, sản xuất microchip ay đổi chút xuất toán nhiều lĩnh vực việc phân tích gen sinh học Trong ứng dụng này, khái niệm thành phố thay đổi thành khách hàng, điểm hàn bảng mạch, mảnh DNA gen, khái niệm khoảng cách biểu diễn thời gian du lịch hay giá thành, hay giống so sánh mảnh DNA với Trong nhiều ứng dụng, hạn chế truyền thống giới hạn tài nguyên hay giới hạn thời gian chí làm cho toán trở nên khó Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, phiên định toán TSP thuộc lớp NP-đầy đủ Vì giải thuật hiệu cho việc giải toán TSP Hay nói cách khác, giống thời gian chạy xấu cho bất ký giải thuật cho toán TSP Bài toán người bán hàng (tiếng Anh: travelling tăng theo hàm mũ với số lượng thành phố, salesman problem - TSP) toán NP-khó thuộc chí nhiều trường hợp với vài trăm thành phố thể loại tối ưu rời rạc hay tổ hợp nghiên cứu vài năm CPU để giải cách xác vận trù học lý thuyết khoa học máy tính Bài toán phát biểu sau Cho trước danh sách thành phố khoảng cách chúng, tìm chu trình 1.1 Lịch sử ngắn thăm thành phố lần Nếu người bán hàng xuất phát từ điểm A, khoảng cách hai điểm biết đâu đường ngắn mà người bán hàng thực cho hết tất điểm điểm lần để quay lại điểm A ban đầu? Bài toán nêu lần năm 1930 toán nghiên cứu sâu tối ưu hóa Nó thường dùng làm thước đo cho nhiều phương pháp tối ưu hóa Mặc dù toán khó giải trường hợp tổng quát, có nhiều phương pháp giải xác heuristic tìm để giải số trường hợp có tới hàng chục nghìn thành phố Nguồn gốc toán người bán hàng chưa biết rõ Một sổ tay dành cho người bán hàng xuất năm 1832 có đề cập đến toán có ví dụ cho chu trình nước Đức ụy Sĩ, không chứa nội dung toán học Bài toán người bán hàng định nghĩa kỉ 19 nhà toán học Ireland William Rowan Hamilton nhà toán học Anh omas Kirkman Trò chơi Icosa Hamilton trò chơi giải trí dựa việc tìm kiếm chu trình Hamilton Trường hợp tổng quát TSP nghiên cứu lần nhà toán học Vienna Harvard năm 1930, đặc biệt Karl Menger, người định nghĩa toán, xem xét thuật toán hiển nhiên cho toán, phát thuật toán láng giềng gần không tối ưu Ngay hình thức phát biểu đơn giản nhất, toán TSP có nhiều ứng dụng lập kế hoạch, hậu cần, thiết kế vi mạch Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, phiên định TSP (cho trước độ dài L, xác định xem có tồn hay không chu trình qua đỉnh lần có độ dài nhỏ L) thuộc lớp NP-đầy đủ Do đó, có nhiều khả thời gian xấu CHƯƠNG BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG Hassler Whitney đại học Princeton đưa tên toán người bán hàng sau Trong năm 1950 1960, toán trở nên phổ biến giới nghiên cứu khoa học châu Âu Mỹ George Dantzig, Delbert Ray Fulkerson Selmer M Johnson công ty RAND Santa Monica có đóng góp quan trọng cho toán này, biểu diễn toán dạng quy hoạch nguyên đưa phương pháp mặt phẳng cắt để tìm lời giải Với phương pháp này, họ giải tối ưu trường hợp có 49 thành phố cách xây dựng chu trình chứng minh chu trình ngắn Trong thập niên tiếp theo, toán nghiên cứu nhiều nhà nghiên cứu lĩnh vực toán học, khoa học máy tính, hóa học, vật lý, ngành khác 20 B A 42 30 34 35 C D 12 Năm 1972, Richard M Karp chứng minh toán TSP đối xứng với bốn thành phố chu trình Hamilton NP-đầy đủ, kéo theo toán TSP NP-đầy đủ Đây lý giải toán học cho điểm cuối đỉnh sau thăm hết đỉnh khó khăn việc tìm kiếm chu trình ngắn lại lần Mô hình thường đồ Một bước tiến lớn thực cuối thập niên 1970 thị đầy đủ (giữa cặp đỉnh có cạnh) Nếu không 1980 Grötschel, Padberg, Rinaldi cộng có đường hai thành phố thêm cạnh giải trường hợp lên tới 2392 thành phố, sử với độ dài đủ lớn vào đồ thị mà không ảnh hưởng đến dụng phương pháp mặt phẳng cắt nhánh cận kết tối ưu sau Trong thập niên 1990, Applegate, Bixby, Chvátal, Cook phát triển chương trình mang tên Concorde giải nhiều trường hợp có độ lớn kỉ lục 1.2.2 Đối xứng bất đối xứng Gerhard Reinelt xuất liệu trường hợp có độ khó khác mang tên TSPLIB năm 1991, Trong toán TSP đối xứng, khoảng cách hai sử dụng nhiều nhóm nghiên cứu để so sánh thành phố không đổi dù theo chiều Như kết Năm 2005, Cook cộng giải đồ thị toán đồ thị vô hướng Việc đối trường hợp có 33810 thành phố, xuất phát từ xứng làm giảm nửa số lời giải Trong toán thiết kế vi mạch Đây trường hợp lớn đó, với toán TSP bất đối xứng đường giải TSPLIB Trong nhiều trường hợp khác hai thành phố chiều có độ dài khác với hàng triệu thành phố, người ta tìm lời giải chiều, tạo nên đồ thị có hướng Các tai với sai số không 1% so với lời giải tối ưu nạn giao thông, đường chiều hay phí hàng không thành phố với phí điểm xuất phát điểm đến khác ví dụ bất đối xứng 1.2 Phát biểu Có người giao hàng cần giao hàng n thành 1.3 Tìm kiếm lời giải phố Anh ta xuất phát từ thành phố đó, qua thành phố khác để giao hàng trở thành phố ban đầu Mỗi thành phố đến lần, khoảng Cũng toán NP-khó khác, có hướng sau cách từ thành phố đến thành phố khác để tiếp cận toán người bán hàng biết trước Hãy tìm chu trình (một đường khép kín thỏa mãn điều kiện trên) cho tổng độ dài • iết kế thuật toán tìm kiếm lời giải tối ưu (thường cạnh nhỏ hoạt động hiệu cho trường hợp nhỏ) 1.2.1 Dưới dạng đồ thị Bài toán người bán hàng mô hình hoá đồ thị vô hướng có trọng số, thành phố đỉnh đồ thị đường thành phố cách Khoảng cách hai thành phố độ dài cạnh Đây vấn đề cực tiểu hoá với điểm đầu • iết kế thuật toán heuristic để tìm lời giải tốt không thiết tối ưu • iết kế thuật toán xấp xỉ để tìm lời giải không lớn so với lời giải tối ưu • Giải trường hợp đặc biệt 1.3 TÌM KIẾM LỜI GIẢI Lặp lại bắt đầu với đỉnh khác: Có ba đường có chiều dài 45 km giống Một nhân viên bán hàng có cửa hàng A, đường tốt tìm thuật toán láng giềng gần ABDCEA = 45 km 1.3.2 Công thức Tổng chi phí ACEBDA 8+4+15+10+14 = 51 1.3.1 Ví dụ minh họa Sử dụng thuật toán láng giềng gần (tiếng Anh: nearest neighbour algorithm) Các bước thuật toán: • Bước 1: Chọn đỉnh bắt đầu V • Bước 2: Từ đỉnh hành chọn cạnh nối có chiều dài nhỏ đến đỉnh chưa đến Đánh dấu đến đỉnh vừa chọn • Bước 3: Nếu đỉnh chưa đến quay lại bước Công thức: Bước để giải trường hợp TSPs lớn phải để tìm công thức toán học tốt vấn đề Trong trường hợp vấn đề nhân viên bán hàng du lịch, cấu trúc toán học đồ thị, thành phố biểu thị điểm (hoặc nút) dòng rút kết nối hai nút (gọi vòng cung cạnh) Liên kết với dòng khoảng cách (hoặc chi phí) Khi nhân viên bán hàng nhận từ thành phố để thành phố khác trực tiếp, sau đồ thị cho hoàn chỉnh Một chuyến vòng quanh thành phố tương ứng với số tập hợp dòng, gọi tour du lịch chu trình Hamilton (Đường Hamilton) lý thuyết đồ thị Chiều dài tour du lịch tổng độ dài đường chuyến vòng quanh Tùy thuộc vào có hay không đạo, cạnh đồ thị qua vấn đề, phân biệt đối xứng từ đối xứng vấn đề nhân viên bán hàng Xây dựng bất đối xứng TSP m thành phố, giới thiệu không-một biến • Bước 4: ay lại đỉnh V Bài toán có năm thành phố với khoảng cách thành phố tính km Sử dụng thuật toán láng giềng gần nhất, bắt đầu từ đỉnh, tìm đường thích hợp cho người bán hàng, cửa hàng đặt A cần qua tất thành phố lại Bắt đầu với đỉnh A • Từ A, đỉnh gần C, chiều dài AC =8 • Từ C, đỉnh chưa viếng thăm gần E, CE = • Từ E, đỉnh chưa viếng thăm gần B, EB = 15 • Từ B, đỉnh chưa viếng thăm gần D, BD = 10 • Không đỉnh chưa viếng thăm, quay A, DA = 14 Tổng chi phí ACEBDA + + 15 + 10 + 14 = 51 thực tế tất nút đồ thị phải có cạnh tay phía từ nó, có vấn đề chuyển nhượng cổ điển Những khó khăn không đủ công thức cho phép “subtours”, có nghĩa là, cho phép vòng phân chia xảy Vì lý này, mô hình thích hợp vấn đề du lịch nhân viên bán hàng không đối xứng phải loại bỏ subtours từ xem xét việc bổ sung “subtour loại bỏ" hạn chế Vấn đề sau trở thành CHƯƠNG BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG 1.3.3 Các thuật toán nơi mà K tập hợp thích hợp khác rỗng thành phố 1,…, m Chi phí c ij phép khác với chi phí c ji Lưu ý có m (m-1) không-một biến công thức Xây dựng đối xứng vấn đề nhân viên bán hàng, người ta ghi nhận hướng qua không đáng kể, c ij = c ji Từ hướng không quan trọng bây giờ, người ta xem xét đồ thị, nơi có vòng cung (vô hướng) hai nút Vì vậy, cho x j e { 0,1 } biến định nơi j chạy qua tất cạnh E đồ thị vô hướng c j chi phí cạnh Để tìm tour du lịch biểu đồ này, người ta phải chọn tập hợp cạnh mà tất nút chứa hai xác cạnh lựa chọn Như vậy, vấn đề xây dựng vấn đề khớp đồ thị G v có m (m-1) / không-một biến, tức nửa số lượng công tác xây dựng trước Như trường hợp bất đối xứng, subtours phải loại bỏ thông qua hạn chế loại bỏ subtour Vấn đề xây dựng như: Các thuật toán: phương pháp xác để giải vấn đề đòi hỏi thuật toán tạo giới hạn ràng buộc giá trị nhỏ thực trường hợp vấn đề Bất kỳ tour du lịch vòng quanh chuyến mà qua thành phố lần giải pháp khả thi với chi phí định mà nhỏ so với tour du lịch chi phí tối thiểu uật toán xây dựng giải pháp khả thi, giới hạn giá trị tối ưu, gọi công nghệ tự động Những giải pháp chiến lược sản xuất câu trả lời đảm bảo chất lượng xa họ từ câu trả lời tối ưu Các thuật toán heuristic mà cố gắng để tìm giải pháp khả thi nỗ lực gọi công nghệ tự động xây dựng thuật toán lặp lặp lại thay đổi cố gắng cải thiện số giải pháp bắt đầu gọi công nghệ tự động cải thiện Khi giải pháp có phụ thuộc vào điểm xuất phát ban đầu thuật toán, thuật toán sử dụng nhiều lần từ nhiều điểm khởi đầu (ngẫu nhiên) Đối với khảo sát tuyệt vời công nghệ tự động cải thiện ngẫu nhiên, xem Junger, Reinelt Rinaldi (1994)[1] ông thường, nhu cầu giải pháp nhanh chóng, người ta giải cho thuật toán heuristic thiết kế tốt chứng minh thực nghiệm để tìm tour du lịch “gần tối ưu” đến nhiều vấn đề TSP Nghiên cứu Johnson (1990)[2] , Junger, Reinelt Rinaldi (1994) [1] mô tả thuật toán tìm giải pháp cho TSPs lớn (vấn đề với hàng chục ngàn, chí hàng triệu biến) để vòng 2% tối ưu thời gian hợp lý Đối với phương pháp tiếp cận thuật toán di truyền để TSP, xem Potvin (1996)[3] , cách tiếp cận ủ mô 1.3 TÌM KIẾM LỜI GIẢI thấy Aarts, et al (1988), cách tiếp cận mạng lưới thần kinh, xem Potvin (1993)[4] , cách tiếp cận tìm kiếm kỵ, xem Fiechter (1990)[5] Bảo lãnh thực cho chẩn đoán đưa Johnson Papadimitriou (1985)[6] , phân tích xác suất công nghệ tự động thảo luận Karp Steele (1985)[7] , phát triển thử nghiệm thực tế chẩn đoán báo cáo Golden Stewart (1985)[8] Để biết gần gũi ràng buộc với giá trị tối ưu, người ta phải biết thấp ràng buộc giá trị tối ưu Nếu giới hạn trùng, chứng tối ưu đạt Nếu không, ước tính bảo thủ sai số tương đối thực ràng buộc cung cấp khác biệt phần phần bị ràng buộc chia cho ràng buộc thấp Do đó, cần kỹ thuật ranh giới thấp để tìm thể chứng minh giải pháp tối ưu cho vấn đề tổ hợp khó khăn chí để có giải pháp đáp ứng đảm bảo chất lượng Vì vậy, làm để có cải thiện thấp ràng buộc? Một thư giãn vấn đề tối ưu hóa vấn đề tối ưu hóa mà giải pháp khả thi có chứa tất giải pháp khả thi vấn đề ban đầu có giá trị hàm mục tiêu nhỏ với giá trị hàm mục tiêu cho điểm khả thi cho vấn đề ban đầu Do thay “true” vấn đề với khu vực có tính khả thi khả giải dễ dàng ư giãn tiếp tục tinh chế để thắt chặt khu vực có tính khả thi để đại diện cho chặt chẽ vấn đề thực Các kỹ thuật tiêu chuẩn để đạt giới hạn thấp vấn đề TSP sử dụng thư giãn mà dễ dàng để giải vấn đề ban đầu Những nới lỏng có hai khả thi rời rạc hay liên tục Một số nới lỏng xem xét cho TSP Trong số thư giãn n-đường dẫn, thư giãn chuyển nhượng, thư giãn phù hợp, thư giãn 1-cây, chương trình thư giãn tuyến tính Để tạo cách ngẫu nhiên TSPs không đối xứng, vấn đề có đến 7500 thành phố giải cách sử dụng thư giãn khoán, cho biết thêm subtours khuôn khổ chi nhánh ràng buộc sử dụng đoán ranh giới dựa subtour vá, (Miller Pekny, 1991) [9] Đối với TSP đối xứng, thư giãn 1-cây nới lỏng phù hợp thành công Những nới lỏng nhúng vào khuôn khổ chi nhánh cắt á trình tìm kiếm hạn chế vi phạm thư giãn định, gọi máy bay cắt kỹ thuật tất thành công cho vấn đề TSP lớn sử dụng máy bay để cắt liên tục thắt chặt việc xây dựng vấn đề Điều quan trọng cần nhấn mạnh tất phương pháp tính toán thành công với TSP sử dụng khía cạnh-định bất bình đẳng cắt máy bay Máy bay cắt chung loại văn học lập trình số nguyên sử dụng đơn sở-đại diện để có cắt giảm, chẳng hạn Gomory cắt giảm giao lộ, từ lâu bị bỏ rơi tính chất hội tụ nghèo Một cắt giảm đơn giản chứng minh để xác định khía cạnh TSP polytope cắt giảm loại bỏ subtour Bên cạnh khó khăn, bất bình đẳng lược, bất bình đẳng bè lũ, đường, xe cút kít xe đạp bất bình đẳng, bất bình đẳng thang vương miện hiển thị để xác định khía cạnh polytope Lý thuyết hệ khía cạnh cho việc lại vấn đề nhân viên bán hàng đối xứng cung cấp Grötschel Padberg (1985)[10] Junger, Reinelt Rinaldi (1994)[1] Các mô tả thuật toán chúng sử dụng việc cắt giảm cách tiếp cận máy bay thảo luận Padberg Rinaldi (1991)[9] Junger, Reinelt Rinaldi (1994)[1] Triển khai thực xử lý song song trình bày Christof Reinelt (1995) [11] Applegate, et al (1998)[12] Cắt giảm thủ tục máy bay sau nhúng vào tìm kiếm gọi chi nhánh cắt giảm Một số vấn đề TSP lớn giải sử dụng xử lý song song để hỗ trợ việc tìm kiếm tối ưu eo hiểu biết cấu trúc toán học vấn đề TSP cải thiện, với tiến liên tục công nghệ máy tính, có khả nhiều vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khó khăn quan trọng giải cách kết hợp cắt thủ tục hệ máy bay, chẩn đoán, sửa chữa biến thông qua tác động hợp lý giảm chi phí tìm kiếm 1.3.4 Ứng dụng Người ta hỏi, nhiên, cho dù vấn đề để nhận tất ý có Ngoài việc “polytope” vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khó khăn từ phức tạp điểm lý thuyết xem, có trường hợp quan trọng vấn đề thực tế xây dựng vấn đề TSP nhiều vấn đề khác khái quát vấn đề Bên cạnh việc khoan mạch in bảng mô tả trên, vấn đề có cấu trúc TSP xảy phân tích cấu trúc tinh thể, (Bland Shallcross, 1987)[13] , đại tu động tuốc bin khí (Pante, Lowe Chandrasekaran, 1987)[14] , xử lý vật liệu nhà kho (Ratliff Rosenthal, 1981)[15] , việc cắt giảm vấn đề chứng khoán, (Garfinkel, 1977), phân nhóm mảng liệu, (Lenstra Rinooy Kạn, 1975), trình tự công việc máy tính (và Gilmore Gomory, 1964) phân công tuyến đường cho máy bay hạm đội quy định (Boland, Jones, Nemhauser, 1994) Biến thể có liên quan vấn đề nhân viên bán hàng du lịch bao gồm nguồn tài nguyên hạn chế du lịch vấn đề nhân viên bán hàng có ứng dụng lập kế hoạch với thời hạn tổng hợp (Pekny Miller, 1990) Nghiên cứu cho thấy giải thưởng thu thập vấn đề nhân viên bán hàng (Balas, 1989)[16] vấn đề Orienteering (Golden, Levy Vohra, 1987)[14] trường hợp đặc biệt tài nguyên hạn chế TSP an trọng vấn đề nhân viên bán hàng du lịch thường thể toán nhiều vấn đề tổ hợp phức tạp, tiếng quan trọng số vấn đề định tuyến xe, có nghĩa là, vấn đề xác định cho đội xe mà khách hàng phục vụ xe theo thứ tự xe nên đến khách hàng giao Đối với điều tra có liên quan, xem Christofides (1985) Fisher (1987) CHƯƠNG BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG Một thành phố xa xôi có hội lựa chọn (khả hiển thị Cường độ cao đường mòn pheromone đặt cạnh hai thành phố, lớn xác suất mà cạnh chọn Đã hoàn thành hành trình nó, kiến gia gửi pheromone tất cạnh qua, hành trình ngắn uật toán tối ưu hóa áp dụng cho nhiều vấn đề tối ưu hóa tổ hợp khác nhau, từ phân bậc hai Sau lần lặp, đường mòn kích thích với Proteingấp định tuyến xe (Vehicle routing tố bay problem) nhiều phương pháp có nguồn gốc thích nghi với vấn đề động thực tế biến ngẫu nhiên, vấn đề ngẫu nhiên, đa mục tiêu triển khai song song Nó sử dụng để sản xuất giải pháp gần tối ưu cho vấn đề nhân viên bán hàng du lịch Họ có lợi mô luyện kim (Simulated annealing) thuật toán di truyền (Genetic algorithm) phương pháp tiếp cận vấn đề tương tự đồ thị thay đổi tự động; thuật toán đàn kiến chạy liên tục thích ứng với thay đổi thời gian thực Đây quan tâm mạng định tuyến (Network routing) hệ thống giao thông đô thị 1.3.5 Độ phức tạp tính toán Phiên định toán người bán hàng NP-đầy đủ Ngay khoảng cách thành phố khoảng cách Euclide, toán NP-khó - Với n thành phố có: 1/2 × (n − 1)! đường + Giả sử n = 16 =>> 1/2 * 15! = 6.54 ×1011 đường =>> Số đường lớn Các thuật toán ACO gọi hệ thống Ant [17] nhằm mục đích để giải vấn đề nhân viên bán hàng du lịch, mục đích để tìm ngắn chuyến vòng quanh để liên kết loạt thành phố Các thuật toán chung tương đối đơn giản dựa tập hợp kiến, người làm vòng chuyến thành phố Ở giai đoạn, kiến lựa chọn để di chuyển từ thành phố khác theo số quy tắc: Nó phải đến thành phố lần Độ phức tạp tính xấp xỉ Trong trường hợp tổng quát, toán người bán hàng NPO-đầy đủ Khi khoảng cách thỏa mãn bất đẳng thức tam giác đối xứng, toán APX-đầy đủ thuật toán Christofides tìm lời giải xấp xỉ không 1,5 lần lời giải tối ưu Khi khoảng cách bất đối xứng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, thuật toán tốt đạt tỉ lệ xấp xỉ O(log n/ log log n) [18] 1.5 LIÊN KẾT NGOÀI 1.3.6 Các trường hợp đặc biệt 1.3.7 Cải thiện ngẫu nhiên Tối ưu hóa chuỗi Markov thuật toán sử dụng để phát tìm kiếm địa phương phụ thuật toán tìm thấy đường gần với tuyến đường tối ưu cho 700 đến 800 thành phố TSP chuẩn mực cho nhiều chẩn đoán chung đưa để tối ưu hóa tổ hợp thuật toán di truyền, tìm kiếm Tabu, kiến thuộc địa tối ưu hóa phương pháp entropy chéo Không gian Euclide Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 207-250 [9] D Miller and J Pekny (1991) “Exact Solution of Large Asymmetric Traveling Salesman Problems,” Science 251, 754-761 [10] ] M.W Padberg and M Grötschel (1985) “Polyhedral Computations,” in e Traveling Salesman Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 307-360 [11] T Christof and G Reinelt, (1995) “Parallel cuing plane generation for the TSP in Parallel Programming and Applications (P Fritzson, L Finmo, eds.) IOS Press, 163169 Khi thành phố điểm không gian Euclide, toán NP-đầy đủ Tuy nhiên, số chiều không gian số, có thuật toán để tìm lời giải xấp xỉ với độ xác Cụ thể hơn, với ϵ > , d số chiều không gian √ Euclide, có thuật toán chạy thời gian √ d−1 ( d/ϵ)O(d( d/ϵ) ) n + O(dn log n) tìm lời giải không + ϵ lời giải tối ưu.[19] [12] D Applegate, R.E Bixby, V Chvatal, and W Cook (1998) “On the solution of traveling salesman problems” Documenta Mathematica - Extra Volume, ICM III 645658 1.4 Ghi [14] BL Golden, L Levy R Vohra (1987) “Vấn đề Orienteering,” Hải quân nghiên cứu Logistics 34, 307318 [1] M Jünger, G Reinelt and G Rinaldi (1994) “e Traveling Salesman Problem,” in Ball, Magnanti, Monma and Nemhauser (eds.), Handbook on Operations Research and the Management Sciences North Holland Press, 225-330 [2] D S Johnson (1990) “Local Optimization and the Traveling Salesman Problem,” Proc 17th Colloquium on Automata, Languages and Programming, Springer Verlag, 446-461 [3] J.V Potvin (1996) “Genetic Algorithms for the Traveling Salesman Problem”, Annals of Operations Research 63, 339-370 [4] J.V Potvin (1993), “e Traveling Salesman Problem: A Neural Network Perspective”, INFORMS Journal on Computing 328-348 [5] C.N Fiechter (1990) “A Parallel Tabu Search Algorithm for Large Scale Traveling Salesman Problems” Working Paper 90/1 Department of Mathematics, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Switzerland [6] D S Johnson and C.H Papadimitriou (1985) “Performance Guarantees for Heuristics,” in e Traveling Salesman Problem, Lawler, Lenstra, Rinooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 145-180 [13] RE Bland DF Shallcross (1987) "Đi du lịch lớn người bán hàng vấn đề phát sinh từ thí nghiệm X-quang tinh thể: Báo cáo sơ tính toán,” Báo cáo kỹ thuật số 730, Trường OR / IE, Đại học Cornell, Ithaca, New York [15] HD Ratliff AS Rosenthal (1981) “Trật tự hái kho hình chữ nhật: Một trường hợp khả giải cho vấn đề người bán hàng Du lịch,” PDRC Báo cáo Dòng số 81-10 Viện Công nghệ Georgia, Atlanta, Georgia [16] E Balas (1989) “Giải thưởng Du lịch u vấn đề người bán hàng,” Mạng 19, 621-636 [17] M Dorigo, V Maniezzo, et A Colorni, Ant system: optimization by a colony of cooperating agents, IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics Part B, volume 26, numéro 1, pages 29-41, 1996 [18] Arash Asadpour, Michel X Goemans, Aleksander Mądry, Shayan Oveis Gharan, Amin Saberi (2010) “An O(log n/ log log n)-approximation algorithm for the asymmetric traveling salesman problem” (PDF) Proceedings of the Twenty-First Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '10) Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, USA tr 379–389 [19] Satish B Rao, Warren D Smith (1998) “Approximating geometrical graphs via “spanners” and “banyans"” Proceedings of the thirtieth annual ACM symposium on eory of computing (STOC '98) ACM, New York, NY, USA tr 540–550 doi:10.1145/276698.276868 [7] R Karp and J.M Steele (1985) “Probabilistic Analysis of Heuristics,” in e Traveling Salesman Problem, Lawler, Lenstra, Rinnooy Kan and Shmoys, eds., John Wiley, 181-205 1.5 Liên kết [8] B.L Golden and W.R Stewart (1985) “Empirical Analysis of Heuristics,” in e Traveling Salesman Tiếng Anh: CHƯƠNG BÀI TOÁN NGƯỜI BÁN HÀNG • Demo applet of a genetic algorithm solving TSP and VRPTW online • TSPLIB • Travelling Salesman Problem at Georgia Tech • Example of finding approximate solution of TSP problem using a genetic algorithm • A Java implementation of a TSP-solution using JGAP (Java Genetic Algorithms Package) e technique used is a Genetic Algorithm • Solution of the Travelling Salesman Problem using a Kohonen Map • Kohonen Neural Network applied to the Traveling Salesman Problem (using three dimensions) • Most TSP loop families grow polynomially Private web page shows that a method exists for obtaining a set of optimal “travelling salesman” routes that is a member of a family that grows no faster than about 2n In2 However, even for large n, the method yields a polynomial rate for most sets of fields of nodes • VisualBots - Freeware multi-agent simulator in Microso Excel Sample programs include genetic algorithm, ACO, and simulated annealing solutions to TSP • Work-in-progress aempted proof on private web page of polynomial calculation time on the 2-D undirected graph • Links to TSP source codes • http://www.delphiforfun.org/Programs/ traveling_salesman.htm e Travelling Salesman Problem (TSP) requires that we find the shortest path visiting each of a given set of cities and returning to the starting point • CONCORDE Home of the CONCORDE TSP Solver, an ANSI C library dedicated to solving the TSP problem • tham khảo Chương Yakov Isidorovich Perelman Yakov Isidorovi Perelman (tiếng Nga: Яков Исидорович Перельман; tháng 12 năm 1882 – 16 tháng năm 1942) nhà văn khoa học Nga Liên Xô tác giả nhiều sách khoa học phổ thông, tiếng Vật lý giải trí lên sao, Những miền xa xăm vũ trụ nhiều khác Nhà khoa học Konstantin Tsiolkovsky, người am hiểu tài trí sáng tạo Perelman viết ông lời nói đầu Du hành vũ trụ: “Tác giả từ lâu tiếng công trình phổ biến, sắc xảo hoàn toàn khoa học vật lý học, thiên văn học toán học, công trình viết ngôn ngữ kỳ diệu dễ nhận thức người đọc” 2.1 Sự nghiệp Ông không liên quan đến nhà toán học Nga Grigori Perelman, sinh năm 1966 ông Yakov Perelman khác Tuy nhiên, Grigori Perelman nói với tờ e New Yorker cha ông tặng Vật lý giải trí truyền cảm hứng toán học cho ông.[3] Perelman sinh năm 1882 thị trấn Białystok, Vương quốc Lập hiến Ba Lan Sau tốt nghiệp trường Đại học Lâm nghiệp Saint Petersburg nhận kỹ sư lâm nghiệp vào năm 1909, Perelman bắt đầu tham gia hoạt động sư phạm, khoa học văn học Ông trở thành tác giả loạt đầu sách giáo khoa nhiều sách phổ biến khoa học báo đăng tạp chí khoa học tiếng Liên Xô Ngoài tác phẩm giáo dục khoa học mình, ông biên tập viên tạp chí iên nhiên Con người Trong xưởng chế tạo iên nhiên, cộng tác viên nhiều tạp chí quen biết với bạn đọc đương thời Tri thức sức mạnh, Kỹ thuật tuổi trẻ Ông chịu ảnh hưởng Ernst Mach nhà Mác-xít Nga Alexander Bogdanov phương pháp sư phạm việc phổ biến khoa học.[1] Năm 1942, Perelman nạn đói Leningrad thời gian thành phố bị quân đội Đức ốc xã phong tỏa.[2] 2.2 Tác phẩm • Toán học giải trí • iên văn học giải trí • Vật lý giải trí (1913) • Số học vui • Đại số giải trí • Vui với môn Toán & Vật lý Sau thành công Vật lý giải trí, Perelman viết hàng loạt sách hấp dẫn vật lý, thiên văn • Số học giải trí học toán học nhà nước Liên Xô dịch sang nhiều ngôn ngữ khác nhau, qua thể đầy đủ • Cơ học giải trí tài tuyệt vời nhà truyền bá khoa học Đặc • Hình học giải trí biệt phổ biến Số học giải trí, iên văn học giải trí, Toán học sống, Những mẫu chuyện toán học • iên văn học giải trí câu đố, Hình học giải trí, Đại số giải trí, Vật lý quanh ta Các sách khác Perelman (chỉ xuất • Toán học sống tác giả sống) trở nên sách hiếm, gồm có cuốn: Bạn có biết vật lý không?, • Vật lý quanh ta Cơ học giải trí, Đại số tờ giấy kẻ ô, Những câu đố số học, Những toán vui 101 câu đố cho nhà toán • Các hòm câu đố ảo thuật học trẻ tuổi, Hai lần hai năm! Các ngụy biện toán học, Phép cầu phương, Các hòm câu đố ảo thuật Ông viết nhiều sách du hành liên (Du Một số sách Perelman dành cho vấn đề du lịch hành vũ trụ, Phóng tên lửa lên Những miền hành tinh Du hành vũ trụ, Phóng tên lửa xa xăm vũ trụ) 10 CHƯƠNG YAKOV ISIDOROVICH PERELMAN 2.3 Vật lý giải trí Cuốn Vật lý giải trí lần xuất quầy sách vào năm 1913, biến trở thành tác phẩm phổ biến khoa học tái nhiều lần với số lượng lớn thời gian tác giả sống, tính đến năm 1936, tất 13 lần với số lượng hàng triệu Đó lần xuất cuối trước tác giả qua đời năm 1942 Cuốn sách có thời thúc niềm ham mê môn khoa học vật lý nhiều hệ độc giả, không riêng đất nước Liên Xô, sách dịch trích dịch sang nhiều thứ tiếng: tiếng Đức, tiếng Pháp, tiếng Anh, tiếng Do ái, v.v…[4] Nội dung sách trình bày “một loạt vấn đề nan giải, câu hỏi rắc rối, mẫu chuyện lý thú, toán vui, nghịch lý, so sánh bất ngờ lấy từ lĩnh vực vật lý, có liên quan đến hàng loạt tượng thường gặp hàng ngày sống, trích từ tác phẩm tiếng tác giả viết chuyện khoa học viễn tưởng Những tài liệu mà tác giả sử dụng đặc biệt rộng rãi, coi mục đích thích hợp sách, đoạn trích dẫn lấy tác phẩm Jules Verne, H G Wells, Mark Twain nhiều người khác.” Trong lời nói đầu (lần xuất thứ 13) Perelman viết: “Mục đích Vật lý giải trí kích động tính hoạt động trí tưởng tượng khoa học luyện cho bạn đọc thói quen suy nghĩ theo tinh thần khoa học vật lý tạo ký ức họ nhiều liên hệ nhà tri thức vật lý với tượng muôn hình muôn vẻ đời sống, với tất điều mà họ thường tiếp xúc.”[4] Tuy vậy, sách Perelman không tránh khỏi trở nên lỗi thời so với ngày tảng khoa học nhân loại có bước tiến vượt sức tưởng tượng tác giả Nhiều kiện Vật lý giải trí cách giải kỹ thuật có kết từ thời xưa, quen thuộc với người đương thời Perelman, hoàn toàn nữa, mà chẳng ví dụ lý thú lịch sử khoa học kỹ thuật.[4] Cuốn sách Nhà xuất Giáo dục Việt Nam phát hành với tựa đề Vật lý vui chia làm tập, với lần tái khác nhau.[5][6] 2.4 Tham khảo [1] Siemsen, H (2010) 'Mach’s Science Education, the PISA Study and Czech Science Education' in: Ernst Mach – Fyzika – Filosofie – Vzdělávání Vol Brno: Masarykova Univerzita, 2010, pp 255–265, DOI: 10.5817/CZ.MUNI.M210-4808-2011-255 [2] Доктор занимательных наук Книги Наука и техника [3] • Nasar, Sylvia; Gruber, David (21 tháng năm 2006) “Manifold Destiny: A legendary problem and the bale over who solved it.” e New Yorker Truy cập ngày 24 tháng năm 2006 [4] Ia.I.Perelman, Vật lý giải trí, Trương ang Giáo dịch, Nhà xuất anh Niên, 2000, tập 1, tr 5-13 [5] Vật lý vui - yển [6] Vật lý vui - yển 2.5 Liên kết • Vật lý giải trí ấn điện tử miễn phí Internet Archive • Những mẫu chuyện toán học câu đố ấn điện tử miễn phí Internet Archive • iên văn học giải trí • Tiểu sử tiếng Tây Ban Nha 2.6 NGUỒN, NGƯỜI ĐÓNG GÓP, VÀ GIẤY PHÉP CHO VĂN BẢN VÀ HÌNH ẢNH 11 2.6 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 2.6.1 Văn • Bài toán người bán hàng Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/B%C3%A0i_to%C3%A1n_ng%C6%B0%E1%BB%9Di_b%C3%A1n_h%C3% A0ng?oldid=26377784 Người đóng góp: DHN, Mekong Bluesman, Nguyễn anh ang, DHN-bot, Ctmt, Viethavvh, JAnDbot, ijs!bot, Ultimate~viwiki, Donduper, TXiKiBoT, TVT-bot, DragonBot, Qbot, OKBot, Huytran1, Nallimbot, ArthurBot, Alpinu, Xqbot, Prenn, TuHan-Bot, EmausBot, Cheers!, WikitanvirBot, Cheers!-bot, Violetbonmua, HOSCO, Huynl, AlphamaBot, Rotlink, Earthshaker, Addbot, OctraBot, Lê Hữu Lộc, aitieuloi, itxongkhoiAWB, TuanminhBot 12 người vô danh • Yakov Isidorovi Perelman Nguồn: https://vi.wikipedia.org/wiki/Yakov_Isidorovich_Perelman?oldid=26548928 Người đóng góp: DHN, Newone, Earthandmoon, Yakushosama, Tuanminh01, TuanminhBot, Trantrongnhan100YHbot Một người vô danh 2.6.2 Hình ảnh • Tập_tin:Commons-logo.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Giấy phép: Public domain Người đóng góp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features (Former versions used to be slightly warped.) Nghệ sĩ đầu tiên: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab • Tập_tin:CongThuc1.gif Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/c/c2/CongThuc1.gif Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tôi sáng tạo toàn tác phẩm Nghệ sĩ đầu tiên: aitieuloi (thảo luận) • Tập_tin:CongThuc2.gif Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/3/33/CongThuc2.gif Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tôi sáng tạo toàn tác phẩm Nghệ sĩ đầu tiên: aitieuloi (thảo luận) • Tập_tin:CongThuc3.gif Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/5/5b/CongThuc3.gif Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tôi sáng tạo toàn tác phẩm Nghệ sĩ đầu tiên: aitieuloi (thảo luận) • Tập_tin:Hinh.PNG Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/d/d6/Hinh.PNG Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tôi sáng tạo toàn tác phẩm Nghệ sĩ đầu tiên: aitieuloi (thảo luận) • Tập_tin:KienDuong.PNG Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/b/b3/KienDuong.PNG Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tôi sáng tạo toàn tác phẩm Nghệ sĩ đầu tiên: aitieuloi (thảo luận) • Tập_tin:Salesman.PNG Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Salesman.PNG Giấy phép: Public domain Người đóng góp: No machine-readable source provided Own work assumed (based on copyright claims) Nghệ sĩ đầu tiên: No machinereadable author provided adell assumed (based on copyright claims) • Tập_tin:Travelling_Salesman_Problem_Hinh_Minh_Hoa.png Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/e/ed/Travelling_ Salesman_Problem_Hinh_Minh_Hoa.png Giấy phép: CC-BY-SA 3.0 Người đóng góp: Tôi sáng tạo toàn tác phẩm Nghệ sĩ đầu tiên: Lê Hữu Lộc • Tập_tin:Weighted_K4.svg Nguồn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Weighted_K4.svg Giấy phép: CC BY-SA 2.5 Người đóng góp: self-made using xfig Nghệ sĩ đầu tiên: Sdo 2.6.3 Giấy phép nội dung • Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... phức tạp tính toán, phiên định toán TSP thuộc lớp NP-đầy đủ Vì giải thuật hiệu cho việc giải toán TSP Hay nói cách khác, giống thời gian chạy xấu cho bất ký giải thuật cho toán TSP Bài toán người... đầu? Bài toán nêu lần năm 1930 toán nghiên cứu sâu tối ưu hóa Nó thường dùng làm thước đo cho nhiều phương pháp tối ưu hóa Mặc dù toán khó giải trường hợp tổng quát, có nhiều phương pháp giải. .. trọng cho toán này, biểu diễn toán dạng quy hoạch nguyên đưa phương pháp mặt phẳng cắt để tìm lời giải Với phương pháp này, họ giải tối ưu trường hợp có 49 thành phố cách xây dựng chu trình chứng