Математика 1; Формула Тейлора и Маклорена . )()( ! )( .)( !2 )('' )( !1 )(' )()( )( 2 xRax n af ax af ax af afxf n n n +−++−+−+= Формула Тейлора f(x)= P(x) - )(xR n 1 )1( )( )1( )( )( + + − + = n n n ax n Cf xR )( ! )0( . !2 )0('' !1 )0(' )0()( )( 2 xRx n f x f x f fxf n n n +++++= Формула Маклорена 2; Разложение Многочлена на Множители: 01 2 2 1 1 .)( axaxaxaxaxP n n n n n n +++++= − − − − i α ,( ni .1 = ) корени 0)( = xP n k n kk n xxxaxP ) .()()()( 21 21 ααα −−−= при nkkk n =+++ . 21 3; Неопределенный пнтеграл . Свойства. определенние : F(x) называеться первое образное Неопределенный интеграл для f(x) если F’(x)=f(x) Свойства: 0 1 . ∫∫ = dxxfdxxf )()( αα ( const = α ) .2 0 ∫ ∫∫ +=± dxxfdxxfdxxfxf )()())()(( 2121 .3 0 ( ) dxxf ∫ )( ‘ =f (x) .4 0 ( ) dxxfdxxfd )()( = ∫ 0 5 . ∫ += CxFxdF )()( (C= const ) 4; Замена переменной в неопределенном интеграле . Интегрирование по частям . Интегралы группы четырех. Замена переменной в неопределенном интеграле ; Вычисление интеграл dxxfI ∫ = )( . Замена )(tx ϕ = предлогай дифферензуемая dttdx )(' ϕ = ∫ ∫ ∫ === dttfdtttfdxxfI )()('))(()( 1 ϕϕ Интегрирование по частям : Пусть )(xu и )(xv дифферензуемые Функции вычисления d(u.v) = udv + vdu ∫ ∫ ∫ +=⇔ vduudvvud ).( ∫ ∫ +=⇔ vduudvvu. ∫ ∫ +=⇔ vduvuudv . Интегралы группы четырех. ∫ ++ + = dx cbxax BAx I 2 1 ∫ ++ + = dx cbxax BAx I 2 2 dxcbxaxI ∫ ++= 2 3 Метод вычисление ; ])[( 4 4 ) 2 ( ] 4 ) 2 [( ) 44 2 2( )( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 qpxa a bac a b xa a b c a b xa a b c a b x a b xa a c x a b xacbxax ++= − ++= −++= −+++= ++=++ a b p 2 = 2 2 4 4 a bac q − = Выполним x+p = t 5. интегрирование рациональных ; Пусть )(xP m многчлен m )(xQ n многчлен n Рацниональный дробь назваеться )( )( xQ xP n m . Дробь называеться правило если m < n Вычисление интеграла ∫ dx xQ xP n m )( )( + Если дробь неправило nm > )( )( )( )( )( xQ xR xF xQ xP n s k n m += )( ns < nmk −= многчлен ∫ = ? )( )( dx xQ xR n s при )( ns < Или ∫ = ? )( )( dx xQ xP n m при )( nm < + Если дробь провило )( nm < p k s ppp s m k mm n cxbxacxbxaxxxnQ ) .()() .()()()( 2 11 2 121 121 ++++−−−= ααα pk s ppp pp sm k k mm n m cxbxa CxB cxbxa CxB x A x A x A xQ xP )( . )( )( . )()( )( )( 2 11 2 1 11 2 2 1 1 121 ++ + ++ ++ + + − ++ − + − = α αα dx cxbxa CxB cxbxa CxB x A x A x A dx xQ xP pk s ppp pp sm k k mm n m ] )( . )()( . )()( [ )( )( 2 11 2 1 11 2 2 1 1 121 ∫∫ ++ + ++ ++ + + − ++ − + − =⇒ ααα 6; Интегрирование рацпональных выражений : 0 1 ∫ = dxxxxRI s ); .;;( 21 α αα При s s s n m n m n m === ααα ; .;; 2 2 2 1 1 1 i m ( si .1 = ) Z ∈ j n Nsj ∈= ) .1( Замена k tx = Где к общии заменаченый дробей s ααα , .,, 21 0 2 dxbaxbaxbaxRI s ]) .()()([ 21 α αα +++= ∫ Замена k tbax =+ Где к общии заменаченый дробей s ααα , .,, 21 0 3 ∫ + + + + + + = dx dcx bax dcx bax dcx bax I s ]) .()()[( 21 ααα Замена k t dcx bax = + + Где к общии заменаченый дробей s ααα , .,, 21 0 4 ∫ += dxbxaxI pnm )( интеграл от дифференцальный Бинома Расмотрем pnm bxax )( + А) если р – целое число то интеграл можно вычисленния Вычисление скобкии по формулу Нютона Б) если n m 1 + - целое число то интеграл можно вычисленние замены : kn tbxa =+ к знаминатель числа р В) если p n m + + 1 - целое число замены knn txbxa =+ к знаминатель числа р Г) интегралы ∫ − dxxaxR ),( 22 замена tax sin = или tax cos = ∫ − dxaxxR ),( 22 замена t a x sin = или t a x cos = ∫ + dxaxxR ),( 22 замена atgtx = 7; интегрирование пригономических выражений . 0 1 ∫ = xdxI n cos 1 или ∫ = xdxI n sin 2 Правило 1: если n натуральное число и n четная то интеграл указаного вида можно вычисление 2 2cos1 cos 2 2cos1 sin 2 2 x x x x + = − = Правило 2: если n нечетная то интеграл можно вычисленние замены sinx = t или cosx=t 0 2 ∫ = dxxI mn cossin Можно вычисление по правилом 1 если n , m оба четные По правилом 2 если n,m в случае нечетные 0 3 ∫ = bxdxaxI coscos 1 ∫ = bxdxaxI sincos 2 ∫ = bxdxaxI cossin 3 ∫ = bxdxaxI sinsin 4 Использует формулы ])cos()[cos( 2 1 cos.cos ])sin()[sin( 2 1 cos.sin xbaxbabxax xbaxbabxax −++= −++= ])cos()[cos( 2 1 sin.sin xbaxbabxax −−+−= 0 4 ∫ = xdxtgI n 1 ∫ = xdxgI n cot 2 Замена tgx = t dx t dt dxtgdt x = + += 2 2 1 )1( 0 5 dxxxRI ∫ = )cos,(sin Замена t x tg = 2 dx t dt = + ⇔ 2 1 2 2 1 2 sin t t x + =⇒ ; 2 2 1 1 cos t t x + − = ; 2 1 2 t t tgx + = 0 6 dxtgxRI ∫ = )( Замена dx t dt tgxt = + ⇔ = 2 1 8; определенные интеграл 0 1 Если ∃ придел последовательности интеграл суммы n S при мах 0 → x который независит от способа развидения отрезка [a;b] и выбора точес i ξ на частисных ];[ ba то его назвают определенный интегралом [ ] baxf ;/)( и обазначит dxxf b a ∫ )( dxxfxf b a i n i i x ∫ ∑ =∆ →∆ )()( lim 0max ξ 0 2 Функции у=f(x) называется интегрируемой на ];[ ba Если на этом отрезке ∃ придел последовательности ее интеграл Теорема )(xfy = непрерывна на ];[ ba то оно интегризуемая на ];[ ba ∫ ∫∫ = −= a a a b b a dxxf dxxfdxxf 0)( )()( 9. Свойства 1-6 определенных интегралов 0 1 . ∫ ∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 0 2 . ∫∫ = b a b a dxxfdxxf )()( αα ( α =const) 0 3 если );()()( baxxfx ∈∀≤ ϕ ∫∫ ≤⇔ b a b a dxxfdxx )()( ϕ 0 4 если m – наименьшее значение M – наибольшее значение на ];[ ba то )()()( abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ 0 5 Теорема о среднее m – наименьшее значение M – наибольшее значение на ];[ ba и непрерывна на [a;b] то ];[ ba ∈∃ ξ ))(()( abfdxxf b a −= ∫ ξ Доказать Функции )(xf неирерывна на [a;b] то она достигает на этого на отрезке свое найменьше т свое найбольше M значения Из свойства 0 4 Пусть ∫ ∫ − = ≤ − ≤⇒ b a b a dxxf ab Mdxxf ab m )( 1 )( 1 µ Mm ≤≤ µ По теорему промезуточнам значению непрерывна ];[ ba ∈∃ ξ такая что µξ = )(f )()()( ξ fabdxxf b a −=⇔ ∫ 0 6 ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( при ];[ bac ∈ 10. Интеграл с переменным верхним пределом . 1 T (об интеграле переменным верхним пределом). . ) .()() .()()()( 2 11 2 12 1 12 1 ++++−−−= ααα pk s ppp pp sm k k mm n m cxbxa CxB cxbxa CxB x A x A x A xQ xP )( . )( )( . )()( )( )( 2 11 2 1 11 2 2 1 1 12 1 ++ +. )()( [ )( )( 2 11 2 1 11 2 2 1 1 12 1 ∫∫ ++ + ++ ++ + + − ++ − + − =⇒ ααα 6; Интегрирование рацпональных выражений : 0 1 ∫ = dxxxxRI s ); .;;( 21 α αα При