A Đặt vấn đề Trong những năm gần đây, học sinh miền núi luôn có một khoảng cách khá xa so với học sinh miền núi về trình độ nhận thức cũng nh tỉ lệ thi đỗ tốt nghiệp và đại học. Chính vì vậy ngời giáo viên phải luôn nghiên cứu tìm tòi, đổi mí phơng páp dạy học sao cho phù hợp với đối tợng học sinh miền núi. Kết quả học tập của học sinh là kết quả tổng hợp chât lợng giảng dạy của thầy với sự nỗ lực học tập của trò, kết quả học tập trên lớp với việc tự học ở nhà. Qua thực tế giảng dạy ở trờng THPT Ba Bể, tôi thấy các em học sinh giải các bài tập tích phân với chất lợng thấp. Vì thế tôi đã áp dụng một số biện pháp nhằm giúp các em có thể giải đợc các bài tập tích phân với chất lợng cao hơn. Để rút ra bài học cần thiết, tôi đã lựa chọn học sinh của lớp 12 A, 12 D. Qua bài kiểm tra chất lợng đầu năm và phần điều tra tôi đã phân loại chất lợng học tập và tìm nguyên nhân, từ đó thực hiện các biện pháp thích hợp trong quá trình giảng dạy. Nội dung bài viết: " Kinh nghiệm dạy giải bài toán tích phân cho học sinh miền núi" Gồm các phần; + Thực trạng về việc giải bài tập tích phân của trờng THPT Ba Bể + Nguyên nhân + Biện pháp tiến hành rèn luyện kĩ năng, kĩ sảo giải bài tập tích phân + Kết quả cụ thể Kết luận ( Những bài học ) Tài liệu tham khảo - Sách giáo khoa - Hớng dẫn giảng dạy toán - Phơng pháp dạy học môn toán - Các sách tham khảo về phơng pháp giải các bài toán tích phân. B. Nội dung I . Thực trạng về việc giải bài tập tích phân của học sinh trờng THPT Ba Bể Năm 2006 - 2007 - Năm học 2007 -2008 tôi đã tiến hành khảo sát 3 loại đối tợng học sinh: Học khá , trung bình, yếu ở lớp 12 A , 12 D qua bài kiểm tra trắc ngiệm tôi thu đợc kết quả theo bảng thống kê sau đây Mức độ Bài tập áp dụng trực tiếp công thức Bài tập vận dụng linh hoạt kiến thức, cần sử dụng kiến thức cũ Giả đúng 35% 7 % Giải sai 65% 93 % Một số lỗi phổ biến - Không thuộc bảng các nguyên hàm VD: 1 0 sin cos b a xdx x = cơ bản: - Không nhớ các kiến thức cơ bản đã học ở các lớp dới đẫn đến không giải đợc các bài tập: VD: 2 2 2 1 0 5 ; cos3 x x dx e xdx + - Không thuộc các quy tắc đổi biến dạng1 đổi biến dạng 2 nên không thể giải đợc các bài tập VD: Tính : 2 2 5 2 2 0 1 ; (2 1) a dx x dx a x + - Không thuộc phơng pháp tích phân từng phần nên không thể giải đợc bài tập. VD: Tính : 2 2 2 1 0 sin ; cos x x xdx e xdx - Đối với một bài tập cụ thể nhiều học sinh không phân biệt đợc nên sử dụng phơng pháp để biến số hay phơng pháp tích phân từng phần: VD: Tính: 6 6 0 0 (2 )sin 3 ; 1 4sin cosx xdx x xdx + - Nhiều học sinh không thuộc công thứcNewton-Leibniz - Một số học sinh không phân biệt đợc nguyên hàm và tích phân: VD: 1 3 2 0 3 x x dx C = + - Đa số các em ngại đọc sách tham khảo về bài tập tích phân, đọc sách thờng đọc không có tính định hớng, không ghi chép, không hiểu các phép biến đổi tắt của các bài toán nên ít có tác dụng. II. Nguyên nhân: - Qua phiếu điều tra với câu hỏi: " Trong các môn học ở bâvs THPT Em thích môn nào ?vì sao?. Tôi nhận thấy 75 % ý kiến các em đều thích học môn khoa học xã hội. Số còn lại các em thích giờ toán nhng còn ít đọc sách tham khảo và ít khi hỏi thầy những ý kiến mang tính khắc sâu một vấn đề nào đó - Nh vậy số học sinh yêu thích môn toán còn rất ít vì thế các em không dành thời gian thích môn toán còn rất ít vì thế các em không dành thời gian thích đáng cho việc giải bài tập toán, đọc sách toán và tích luỹ kĩ năng kĩ sảo giải bài tập toán. Giờ toán các em chỉ chờ thầy giáo chữa hoặc em nào khá nhất lớp lên bảng giải, thầy giáo nhận xét (Bổ xung nếu cần) các em khác thì chép. - Là trờng THPt miền núi, đời sống vật chất tinh thần còn yếu kém, nhiều phong tục tập quán còn lạc hậu, giao lu tiếp xúc ít. Cho nên nhiều bậc phụ huynh ít quan tâm đến việc học hành của con cái. Một số phụ huynh còn phó thác cho nhà trờng giáo dục, một số phụ huynh muốn quan tâm nhng trình độ còn bất cập, thiếu phơng pháp. Vì thế nhiều học sinh lời học và rỗng kiến thức từ nhỏ. - 89% số học sinh của nhà trờng khi nghỉ hè không ôn lại các kiến thức đã học ở trong sách vở. - 25 % số học sinh không biết tính F(a) , F(b) - 15% số học sinh không biết quy đồng mẫu số của hai phân số đơn giản. - 35 % số học sinh không biết tính: = cos nếu 0 x 2 cos cos nếu 2 x x x x Nên không giải đợc bài toán sau: 2 0 0 0 1 cos2 cos cos . 2 x dx xdx x dx + = = = - 75 % số học sinh không thuộc các công thức lợng giác đã học ở lớp 11. - 79 % số học sinh không phân biệtg đợc quan hệ gữa các hàm số lợng và đờng tròn lợng giac. - Các em còn rất lời suy nghĩ khi giải bài tập không có tính sáng tạo chỉ quen giải các bài tập đã giải sẵn chỉ thay một vài con số, các bài tập trong sách giáo khoa thì đa số các em là xem sách giải trớc. Các bài tập có biến đổi đi một chút cần đến tính sáng tạo thì các em không giải đợc: VD: 1 1 1 1 2004 2004 2003 2004 0 0 0 0 ( 1 1) . ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) xdx x dx dx dx x x x x + = = = + + + + 65 % số học sinh không nhớ các các t/c nh. n m a , m n a a ; a m . a n ; lôgarít - 72 % số học sinh không thuộc bảng nguyên hàm và các phơng pháp tính tích phân. Hiện tợng nghỉ học, đi học muộn, bỏ giờ, lời học, quay cóp bài của bạn trong khi kiểm tra .thờng xuyên diễn ra. Một số học sinh khi đợc nhắc nhở, phê bình còn tỏ thái độ bất cần. Tuy nhiên vẫn còn 10 % số học sinhcó ý thức học tập, thuộc các công thức đã học và biết giải một số bài tập tronh SGK vàc các sách tham khảo. III. Biện pháp tiến hành rèn luyện kĩ năng giải bài tập tích phân cho học sinh miền núi * Làm cho học sinh có nhận thức đúng về vai trò quan trọng của môn toán nói chung cụ thể là bài toán tích phân trong chơng trình THPT cũng nh với đời sống xã hội. Các bài giảng của thầy ở trên lớp phải phù hợp với mọi đối tợng học sinh, phải có câu hỏi gợi mở, trắc nghiệm .gây đợc hứng thú hgọc tập cho học sinh. Phải phối hợp tôt 3 môi trờng Nhà trừơng gia đình và xã hội để có đợc phơng pháp giáo dục tối u. Đối với các em bị rỗng kiến thức, thầy giáo phải tổ chức phụ đạo tghêm cho các em. Trong các kì nghỉ hè nhà trờng nên tổ chức các lớp học thêm và phân loại các đối tợng học sinh yếu, kém, trung bình , khá thành từng lớp riêng; Phải cho các em giải bài tập trớc sau đó ới so sánh với sách bài tập. * Vấn đề cấp thiết: Giải bài toán tích phân cho học sinh miền núi 1. Trớc tiên yêu cầu học sinh phải ôn lại các kiến ở thức đã học lớp dới. Giáo viên bổ sung kiến thức cho học sinh thông qua những bài tập cụ thể. 2. Tích phân đợc định nghĩa theo công thức NewTon-Leibniz ( ) ( ) ( ) ( ) b b x x a a f dx F F b F a = = Trong đó F (x ) là một nguyên hàm của f (x) Vì vậy , muốn tính ( ) b a f x dx , trớc hết phải biết một nguyên hàm F (x) của f (x). Tìm nguyên hàm là chuyển từ đạo hàm của một hàm số sang chính hàm số đó. Nếu ta xem việc chuyển đó là một phép toán thì ta nói rằng phép tìm nguyên hàm là phép toán ngợc của phép tính đạo hàm. Từ bảng các đạo hàm cơ bản ta dễ dàng suy ra bảng các nguyên hàm cơ bản. Nh vậy học sinh phải thuộc bảng nguyên hàm cơ bản để làm cơ sở cho việc tìm nguyên hàm. Song với bảng này ta cha tìm đợc nguyên hàm của tất cả các hàm số. 3. Để tính tích phân, trớc hết ta có thể áp dụng định nghĩa và các tính chất của tích phân. VD: 1 0 1 x dx Giải: Ta có 1 nếu 0 x 1 1 1nếu 1 x 2 x x x = Vậy: 1 2 2 1 2 2 2 0 0 1 0 1 1 (1 ) ( 1) ( ) ( 1) 1 2 2 x x x dx x dx x dx x = + = + = Đối với học sinh bị rỗng kiến thức GV cần nhắc lại kiến thức: nếu A 0 nếu A 0 A A A = 4. Phơng pháp hiệu quả để tính tích phân là phơng pháp đổi biến số. Có hai dạng đổi biến số a. Phép biến đổi dạng 1. Để tính ( ) b a f x dx - SGK đã đề ra quy tắc tính tích phân bằng phép biến đổi biến dạng 1. 1. Đặt x = u(t) , u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên ; , đợc xác định bởi: ( )u a = , đợc xác định bởi ( )u b = và f(u(t)) đợc xác định trên ; 2. Biến đổi f (u (t) ) dx thành f (u (t) ) u'(t)dt.= g(t)dt. 3. Tìm một nguyên hàm G(t) của g (t) 4. Ta có ( ) ( ) ( ) b a f x dx g t dt G t = = Giáo viên cần cho học sinh nắm vững quy tắc này. Đối với học sinh lời có thể bắt chép 20 lần nếu không thuộc cứ tăng lên gấp đôi đến khi kiểm tra thấy thuộc bài thì thôi. Sau đó áp dụng quy tắc vào giải bài tập. VD: Tính 2 2 0 a dx a x+ (Với a > 0) Giải: Đặt x = a tant với 2 2 2 cos adt t dx x < < = và Do đó: 4 4 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 cos ( tan ) 4 a dx adt dt a x t a a t a a = = = + + GV cần nhắc lại các kiến thức: 2 2 1 1 tan cos t t + = ; tan0=0; tan 1 4 = Biến đổi cos 2 t(a 2 +a 2 tan 2 t) = a 2 (cos 2 t + sin 2 t) = 1 b/ Phép biến đổi dạng 2: Tính ( ) b a f x dx Quy tắc: 1/ Đặt t = v(x), v(x) là một hàm ssó có đạo hàm và liên tục 2/ Biểu thị f(x)d(x) theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt 3/ Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t) 4/ Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v b v b v a v a g t dt G t= 5/ ( ) ( ) ( ) ( ) b v b v a a f x dx G t = Ví dụ: Tính 1 1 ln e x I dx x + = Đặt t = 1+lnx khi đó dt = dx/x; Đổi cận: 2 2 1 1 2 2 I (2 2 1) 3 3 tdt t t = = = GV cần nhắc lại: ln1 = 0; lne = 1; m n m n a a = Chú ý cách sau không cần đổi biến theo t: 1 3 2 2 1 1 1 2 2 1 ln (1 ln ) (1 ln ) (1 ln ) (1 ln ) (2 2 1) 3 3 e e e I xd x x d x x= + + = + + = + = x 0 a t 0 4 x 1 e t 1 2 4. Phơng pháp tích phân từng phần: Dựa vào công thức ( ) b b b a a a udv uv vdu = Trong đó u=u (x) , v=v (x) là những hàm số có đạo hàm, liên tục. áp dụng công thức trên ta có quy tắc tích phân từng phần nh sau: 1. Viết f(x) dx dới dạng udv = uv , dx, bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm U(x) và phần còn lại làm dv = v , dx. 2. Tính du = u , dx và v = dx = , v dx 3. Tính b a vdu = b a v. u , dx và ( ) b a uv 4. áp dụng công thức trên Điều quan trọng là làm thế nào để chọn u và dv = v , dx trong biểu thức dới dấu tích phân f(x) dx? Nói chung ta nên chọn hàm u phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản hơn, chọn làm dv = v , dx phần của f(x) dx là vi phân của một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm Chẳng hạn đối với các tích phân dạng ( ) ( ) ( ) cos ; ; sin b b b x x x x a a a p xdx p e dx p xdx , trong đó P (x) là một đa thức thì ta nên lấy p(x) làm u và lấy theo thứ tự sinxdx, cosx dx, e x dx làm v'dx ( = dv), còn đối với ( ) ln b x a p xdx thì nên lấy lnx làm u và v' (x) dx Ví dụ: Tính 1 1 I ( 3)x e dx = + Đặt 1 1 2 1 1 1 1 3 3 1 I ( 3) ( 2) 2 x x x x x u x du dx e x e e dx x e dv e dx v e = + = = + = + = = = Trong quá trình h]ớng dẫn học sinh giải bài tập giáo viên càn giảng thật tỉ mỉ, cần phải liên tục phát vấn và ra các câu hỏi trắc nhiiệm để xem vốn kiên thức và khả năng tiếp thu cũng nh t duy lô gíc toán học của học sinh nh thế nào. Từ đó đa ra phơng pháp dạy học với từng bài toán, tng ftình huống và từng đói tợng học sinh . IV. Kết quả Với những biện pháp trên đây , tôi thấy học sinh trờng TPTTH Ba Bể đã có kĩ năng giải bài toán tích phân tăng lên rõ rệt. Cuố năm học, qua phiếu điều tra, kết quả đợc thể hiện nh sau Mức độ Bài tập áp dụng trực tiếp công thức Bài tập cần phép biến đổi toán học và dùng đến kiến thức cũ Giải đúng 55% 26% Giải sai 45% 74% V . Kết luận: Qua một năm học với những cố gắng tìm tòi những phơng pháp dạy giải bài toán tích phân sao cho phù hợp với đối tợng học sinh miền núi đã có những tiến bộ rõ rệt. tuy vậy kết quả cha đều, cha cao. Số học sinh mắc lỗi lặp lại vẫn còn ,nhiều em ch biết giải bài tập. Cho nên việc rèn luyện kĩ năng giải bài toán tích phân cho học sinh đòi hỏi ngời thầy giáo phải kiên trì, tìm ra các phơng pháp phù hợp, lấp các lỗ hổng kiến thức cho học sinh. để việc rèn luyện kĩ năng giải bài toán tích phân đợc tốt hơn, tôi có một vấn đề kiến nghị sau: - Phải kết hợp tốt 3 mặt giáo dục: Nhà trờng - Gia đình - Xã hội - Các lớp dới cần có biện pháp giáo dục học sinh ngay từ đầu - Phải xác định đợc nguyên nhân dẫn đến tình trạng yếu kém ngay từ đầu - Phải xác định đợc nguyên nhân dẫn đến tình trạng yếu kém của học sinh thì áp dụng biện pháp mới có hiệu quả - Các thầy cô giáo cần tích luỹ kiến thức và tìm tòi ra các phơng pháp dạy học tối u phù hợp với từng đối tợng học sinh. Sở giáo dục và đào tạo Bắc Kạn Trờng THPT Ba Bể Kinh nghiệm giảng dạy giải toán tích phân cho học sinh miền núi Ngời viết: Nguyễn Tiến Long Ba Bể Tháng 8 năm 2007 . học sinh không phân biệt đợc nguyên hàm và tích phân: VD: 1 3 2 0 3 x x dx C = + - Đa số các em ngại đọc sách tham khảo về bài tập tích phân, đọc sách. tính tích phân là phơng pháp đổi biến số. Có hai dạng đổi biến số a. Phép biến đổi dạng 1. Để tính ( ) b a f x dx - SGK đã đề ra quy tắc tính tích phân