Luận án tiến sĩ phương pháp giải một số lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng (tt)

31 297 0
Luận án tiến sĩ phương pháp giải một số lớp bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng (tt)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

LI M U Gii thiu bi toỏn ti u a mc tiờu Trong nhng nm 50 ca th k 20, Quy hoch a mc tiờu, hay cũn c gi l Ti u a mc tiờu hoc Ti u vộc t, ó tr thnh mt chuyờn ngnh toỏn hc, thu hỳt s quan tõm ca nhiu tỏc gi v c phỏt trin mnh m sut gn 70 nm qua Cỏc thnh tu ca Quy hoch a mc tiờu c ng dng rng rói thc t, c bit l lý thuyt quyt nh, kinh t, ti chớnh, k thut, vin thụng, (xem [23], [64], [83], [93], [94], ) Bi toỏn quy hoch a mc tiờu c phỏt biu di dng Min f (x) = ( f1 (x), f2 (x), , f p (x)) vi iu kin x X, (MOP) ú X Rn l cỏc phng ỏn chp nhn c, f j : X R, j = 1, , p, p 2, l cỏc hm mc tiờu Do khụng gian giỏ tr R p khụng cú th t y nờn thay vỡ khỏi nim nghim ti u thụng thng, ti u vộc t s dng khỏi nim nghim hu hiu c xỏc nh theo th t tng phn G Cantor (1845-1918) [21] v F Hausdorff (1868-1942) [37] xut Bi toỏn (MOP) c gi l bi toỏn quy hoch a mc tiờu li, ký hiu l (CMOP), nu X l li v f1 , , f p l cỏc hm li õy l trng hp c bit ca bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng, ký hiu l (GMOP), ú f1 , , f p l cỏc hm li suy rng v chp nhn c X cng l li Nu tt c cỏc hm f1 , , f p u l hm tuyn tớnh v X l li a din thỡ ta gi (MOP) l bi toỏn quy hoch a mc tiờu tuyn tớnh v ký hiu l (LMOP) Nh ó bit, (LMOP) l trng hp n gin nht ca bi toỏn (MOP) núi chung v (CMOP) núi riờng Theo tip cn trờn khụng gian quyt nh (decision space), vic gii bi toỏn (MOP) c xem nh vic xỏc nh ton b hay mt phn ca nghim hu hiu XE hoc nghim hu hiu yu XW E õy l mt vic khú, vỡ c trng hp n gin nht ca (MOP) l bi toỏn quy hoch a mc tiờu tuyn tớnh (LMOP), nghim hu hiu XE v nghim hu hiu yu XW E ó l cỏc khụng li vi cu trỳc rt phc Theo H.P Benson [11], lng tớnh toỏn sinh ton b nghim hu hiu XE hoc nghim hu hiu yu XW E ca bi toỏn (LMOP) tng rt nhanh kớch thc ca bi toỏn (tc s bin n, s hm mc tiờu p v s rng buc biu din chp nhn c) tng Vi hy vng gim lng tớnh toỏn, cỏc thut toỏn theo hng tip cn trờn khụng gian nh hay khụng gian giỏ tr (outcome space) c thit k xỏc nh ton b hay mt phn ca nh hu hiu YE = f (XE ) hoc nh hu hiu yu YW E = f (XW E ) Theo nh ngha, YE v YW E tng ng l im hu hiu v im hu hiu yu ca nh Y = f (X) ca chp nhn c X qua ỏnh x f Lý chớnh cho hng tip cn ny l: i) Cỏc bi toỏn ti u a mc tiờu ny sinh thc t thng cú s hm mc tiờu p nh hn rt nhiu so vi s bin n, hay th nguyờn ca khụng gian nh R p nh hn rt nhiu so vi th nguyờn ca khụng gian quyt nh Rn ; ii) Nhiu im ca nghim hu hiu (tng ng1 , nghim hu hiu yu) cú th cú cựng mt nh qua ỏnh x f nờn nh hu hiu YE (t.., nh hu hiu yu YW E ) cú cu trỳc n gin hn XE (t.., XW E ); iii) Trong quỏ trỡnh a quyt nh, ngi ta thng la chn phng ỏn da trờn giỏ tr hu hiu hn l da trờn nghim hu hiu (xem [11]) Trong ti u a mc tiờu, vic nghiờn cu gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu tuyn tớnh (LMOP) cú th xem gn nh hon chnh ó cú nhiu cun sỏch chuyờn kho v bi toỏn (LMOP) (xem [57], [59], [92], [93], v danh mc ti liu tham kho kốm theo) Rt nhiu thut toỏn ó c xut theo c hai hng tip cn trờn khụng gian quyt nh v khụng gian nh gii bi toỏn ny bng nhiu phng phỏp khỏc nh phng phỏp n hỡnh a mc tiờu, phng phỏp tham s, phng phỏp vụ hng húa, phng phỏp nún phỏp tuyn, phng phỏp xp x ngoi hoc kt hp ca cỏc phng phỏp ú, chng hn xem M Zeleny [94], P Armand and C Malivert [7], R.E Steuer [83], J.P Dauer v Y.H Liu [27], H.P Benson [11], N.T.B Kim v D.T Lc [44], [45], M Ehrgott, A Lăohne v L Shao [29], Vi bi toỏn quy hoch a mc tiờu li v khụng li, ó cú mt s thut toỏn c xut Hu ht cỏc thut toỏn theo tip cn trờn khụng gian quyt nh c thit k da trờn cỏc phng phỏp trng s [25], phng phỏp rng buc [36], phng phỏp hm li ớch [93], phng phỏp lexicographic [20], phng phỏp Tchebycheff [83], sinh mt phn nghim hu hiu hay hu hiu yu ca bi toỏn Theo tip cn trờn khụng gian nh, cỏc thut toỏn thng s dng k thut xp x ngoi xõy dng mt dóy cỏc xp x nh, ú ta cú th d dng xỏc nh c hu hiu cỏc xp x ny Vi cỏch tip cn ny, mt mt, thut toỏn sinh mt phn ca nh hu hiu ca bi toỏn, mt khỏc, nú sinh xp x ca nh hu hiu cha ton b nh hu hiu (xem [30], [34], [62] v danh mc ti liu tham kho kốm theo) Trong [65], K Miettinen ó phõn loi chi tit v so sỏnh cỏc phng phỏp hin cú gii cỏc bi toỏn quy hoch a mc tiờu phi tuyn Cỏc phng phỏp sinh xp x ca nghim hu hiu v nh hu hiu c thng kờ [78] Hai bi toỏn ti u ton cc quan trng cú liờn quan cht ch n bi toỏn quy hoch a mc tiờu l bi toỏn ti u mt hm thc trờn nghim hu hiu ca bi toỏn quy hoch a mc tiờu (gi tt l Bi toỏn ti u trờn nghim hu hiu) v bi toỏn quy hoch tớch cng nh cỏc dng m rng ca nú Bi toỏn ti u trờn nghim hu hiu cú mụ hỡnh toỏn hc nh sau h(x) v..k x XE , (P) ú h(x) l mt hm s thc xỏc nh trờn Rn v XE l nghim ca bi toỏn quy hoch a mc tiờu (MOP) Vic gii bi toỏn ny cú ý ngha c bit vỡ nú giỳp ta chn c nghim hu hiu tt nht theo mt tiờu chun no ú m khụng nht T sau õy n ht lun ỏn, cm t "tng ng" s c vit tt l "t.." thit phi xỏc nh c ton b nghim hu hiu Tuy nhiờn, õy l mt bi toỏn khú, thm h l hm tuyn tớnh v XE l nghim hu hiu ca bi toỏn quy hoch a mc tiờu tuyn tớnh (LMOP), vỡ chp nhn c XE , núi chung, l khụng li vi cu trỳc phc v khụng cú mụ t tng minh Bi toỏn (P) Philip [73] a ln u tiờn vo nm 1972 v ó thu hỳt c s quan tõm c bit ca rt nhiu tỏc gi v ngoi nc Nhiu thut toỏn ó c xut gii bi toỏn (P) Cỏc thut toỏn ny cng cú th c phõn loi theo hai hng tip cn bao gm tip cn trờn khụng gian quyt nh Rn (xem H.P Benson [10], J.P Dauer v T.A Fosnaugh [26, 1995], L.T.H An, L.D Mu v P.D To [4], L.T Lc v L.D Mu [60], L.D Mu [67], N.T.B Kim [42], N.V Thoi [87], L.D Mu v H.Q Tuyn [70], N.V Thoi, Y Yamamoto v D Zenke [39], L.T.H An, P.D To, N.C Nam v L.D Mu [5], L.D Mu v L.Q Thy [69], ) v tip cn trờn khụng gian nh R p (xem R Horst v N.V Thoi [38], J Fulop and L.D Mu [31], Y Yamamoto [91], N.T.B Kim v L.D Mu [47], N.V Thoi [88], H.P Benson [16], ) Ta cng cú th phõn loi cỏc thut toỏn da theo phng phỏp c dựng xõy dng thut toỏn, nh thut toỏn xp x ngoi, thut toỏn nhỏnh cn, thut toỏn theo tip cn i ngu, thut toỏn tỡm nh k, thut toỏn tỡm nh khụng k, (xem [92]) Bi toỏn quy hoch tớch v cỏc dng m rng ca nú (gi chung l bi toỏn quy hoch tớch m rng) cú nhiu ng dng quan trng cỏc lnh vc khỏc nh kinh t ti chớnh, ti u húa quy trỡnh sn xut, ti u danh mc u t, thit k chip VLSI, õy cng l lp cỏc bi toỏn ti u ton cc khú v thỳ v nờn ó thu hỳt s quan tõm c bit ca nhiu tỏc gi Bi toỏn quy hoch tớch c phỏt biu nh sau p v..k x X, f j (x), (MP) j=1 ú f j , j = 1, , p, p 2, l cỏc hm s thc xỏc nh trờn X Rn Tng t nh cỏch phõn loi cỏc bi toỏn quy hoch a mc tiờu, nu X l li úng v cỏc hm f1 , , f p l cỏc hm li trờn X thỡ (MP) c gi l bi toỏn quy hoch tớch li, ký hiu l (CMP) Bi toỏn (MP) c gi l bi toỏn quy hoch tớch tuyn tớnh, ký hiu l (LMP), f1 , , f p l cỏc hm tuyn tớnh v X l li a din Trong [63], T Matsui ó ch rng, c trng hp n gin nht ca bi toỏn (MP), tc l bi toỏn (LMP) vi p = v X l a din khỏc rng, cng thuc lp bi toỏn NPkhú Hin ó cú nhiu thut toỏn c xut gii bi toỏn quy hoch tớch tuyn tớnh (LMP) (xem H Konno v T Kuno [52], S Schaible v C Sodini [80], H.P Benson v G.M Boger [17], T Kuno [53], N.T.B Kim [43], N.T.B Kim, T.T.H Yờn v N.T.L Trang [48], L Shao v M Ehrgott [82], ) v quy hoch tớch li (CMP) (xem N.V Thoi [86], T Kuno, Y Yajima, v H Konno [54], H.P Benson [12], R.M Oliveira, v P.A.V Ferreira [71], N.T.B Kim, N.C Nam, L.Q Thy [46], L Shao v M Ehrgott [81], ) Theo hiu bit ca tỏc gi, mc dự cú nhiu ng dng thc tin nhng cú rt ớt cụng trỡnh nghiờn cu bi toỏn quy hoch tớch m rng Mc ớch nghiờn cu v ý ngha ca ti Nh ó trỡnh by, mc dự bi toỏn quy hoch a mc tiờu li v cỏc liờn quan ó c nghiờn cu tng i hon chnh nhng cho n cũn rt ớt thut toỏn gii bi toỏn ti u a mc tiờu li suy rng [92] Hn na, nhu cu ng dng, vic nghiờn cu xõy dng cỏc thut toỏn hiu qu gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng, bi toỏn quy hoch tớch m rng, cng nh bi toỏn ti u trờn nghim hu hiu l cỏc thi s v luụn cn u t nhiu cụng sc Lun ỏn ny nghiờn cu v xut cỏc thut toỏn mi gii cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng Min f (x) = ( f1 (x), f2 (x), , f p (x)) v..k x X, (GMOP) ú X Rn li compact khỏc rng v f l hm vộc t gi li vụ hng trờn X Bi toỏn quy hoch tớch li suy rng tng ng vi bi toỏn (GMOP) m f j (x), v..k x X, (GMP) j=1 ú cỏc hm s f j : Rn R, j = 1, , m v chp nhn c X c gi thit nh phỏt biu ca bi toỏn (GMOP) Bi toỏn quy hoch tớch lừm m rng k max (x) = f0 (x) + fi (x) v..k x X, (GIMP) i=1 ú X Rn l li compact khỏc rng v f j , j = 0, 1, , k, l cỏc hm lừm nhn giỏ tr dng trờn X Bi toỏn quy hoch tớch m rng liờn quan gn gi nht vi bi toỏn (GIMP) ó c nghiờn cu [41] Trong trng hp c bit, k = 2, ó cú mt s thut toỏn hu hiu c xut gii bi toỏn (GIMP) (xem [6], [14], [68], ) Theo hiu bit ca chỳng tụi, cho n nay, hu nh cha cú thut toỏn no c xut gii bi toỏn (GIMP) trng hp tng quỏt Hai bi toỏn ti u trờn nghim hu hiu XE ca bi toỏn quy hoch hai mc tiờu li ú l bi toỏn h(x) = ( f (x)) v..k x XE , (QP) ú : R2 R l hm ta lừm trờn nh Y v bi toỏn max h(x) = ( f (x)) v..k x XE , (DP) vi : R2 R l hm n iu tng trờn nh Y Dng hm mc tiờu h(x) = ( f (x)) vi hm s thc : Y R xut hin nhiu cỏc bi toỏn ny sinh t thc t v cng ó c nhiu tỏc gi quan tõm nghiờn cu, chng hn [47], [87], [88], [91] v danh sỏch ti liu tham kho kốm theo Ngoi cỏc bi toỏn trờn, chỳng tụi ó nghiờn cu v xut thut toỏn gii bi toỏn s max g(x) = f1 (x) + f2i (x)f2i+1 (x) v..k x X, (GCMP) i=1 ú f j , j = 1, , 2s + 1, l cỏc hm lừm trờn li compact khỏc rng X Rn Bi toỏn (GCMP) c H.P Benson [14] a ln u tiờn, sau ú c nghiờn cu [6] Chỳng tụi ó xut phng phỏp nún phỏp tuyn trờn khụng gian nh gii bi toỏn ny Kt qu ny ó c nhn ng Pacific Journal of Optimization [84] Tuy nhiờn, khuụn kh cú hn nờn lun ỏn khụng bao hm kt qu ny Cu trỳc v kt qu ca lun ỏn Chng Bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng dnh gii thiu mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng (GMOP) cựng mt s khỏi nim v kt qu c bn liờn quan Cỏc khỏi nim v kt qu c trỡnh by õy l s chun b thit lp c s lý thuyt cho cỏc thut toỏn c xut cỏc chng sau ca lun ỏn Chng Thut toỏn hng phỏp tuyn gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng xut mt thut toỏn hng phỏp tuyn gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng (GMOP), ú s dng k thut xp x ngoi trờn khụng gian nh xỏc nh nghim hu hiu yu xp x ca bi toỏn (GMOP) Thut toỏn c chng minh l hi t õy l mt úng gúp quan trng v mt lý thuyt cho cỏc phng phỏp xp x ngoi gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu vỡ cha cú cụng trỡnh no trc õy chng minh cht ch c tớnh cht ny Cỏc kt qu tớnh toỏn th nghim chng t tớnh hiu qu v u vit ca thut toỏn Chng Thut toỏn gii mt s bi toỏn quy hoch tớch m rng a cỏc thut toỏn theo tip cn trờn khụng gian nh gii hai bi toỏn quy hoch tớch: Bi toỏn quy hoch tớch li suy rng (GMP) v Bi toỏn quy hoch tớch lừm m rng (GIMP) Thut toỏn gii bi toỏn (GMP) c thit lp da trờn mi quan h ca bi toỏn (GMP) v bi toỏn (GMOP) tng ng vi nú, v cng c xem nh l mt ng dng ca thut toỏn gii bi toỏn (GMOP) ó thit lp Chng Bng cỏc bin i thớch hp, vic gii bi toỏn (GIMP) c a v vic gii bi toỏn cc i mt hm n iu tng trờn cỏc im hu hiu ca mt li úng R2 Cỏc tớnh toỏn th nghim chng t thut toỏn xut l hiu qu Chng Thut toỏn gii bi toỏn ti u trờn nghim hu hiu xut cỏc thut toỏn trờn khụng gian nh gii hai bi toỏn (QP) v (DP) Bng cỏch bin i cỏc bi toỏn gc v bi toỏn tng ng trờn khụng gian nh v tn dng cu trỳc c bit ca nh hu hiu v tớnh cht c thự ca cỏc hm mc tiờu, chng ny xut mt thut toỏn nhỏnh cn gii bi toỏn (QP) v mt thut toỏn nhỏnh cn kt hp vi lc xp x ngoi gii bi toỏn (DP) Vic ỏnh s ca cỏc chng, mc, nh lý, bn túm tt ny c gi nguyờn nh lun ỏn Chng BI TON QUY HOCH A MC TIấU LI SUY RNG Tt c cỏc bi toỏn c nghiờn cu lun ỏn ny u liờn quan gn gi n bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng (GMOP) v trng hp riờng ca nú l bi toỏn quy hoch a mc tiờu li (CMOP) Chng ny gii thiu mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn (GMOP) cựng mt s khỏi nim v kt qu c bn liờn quan 1.1 Hm li suy rng Cho li khỏc rng S Rn Hm s h xỏc nh trờn m cha S c gi l hm gi li (pseudoconvex) trờn S (xem [66, tr 141]) nu h kh vi trờn S v h(x2 ), x1 x2 h(x1 ) h(x2 ) 0, x1 , x2 S nh lý 1.2 v nh lý 1.3 khng nh: Nu h l hm li trờn S thỡ h l gi li trờn S Nu h l gi li trờn S thỡ h l ta li trờn S Hm vộc t f (x) = ( f1 (x), , f p (x)), ú f1 , , f p l cỏc hm xỏc nh trờn S, c gi l hm vộc t tuyn tớnh (t.., li, ta li, gi li) nu cỏc hm f1 , , f p u l cỏc hm tuyn tớnh (t.., li, ta li, gi li) (xem [9, 56, 58]) nh ngha 1.1 Hm vộc t f c gi l gi li vụ hng (scalarly pseudoconvex) p trờn S nu i=1 i fi l hm gi li trờn S vi mi = (1 , , p ) Nhn xột 1.2 Nu f l hm vộc t gi li vụ hng trờn S thỡ f cng gi li trờn S iu ngc li, núi chung, cha chc ỳng Nu f l hm vộc t li trờn S thỡ f cng gi li vụ hng trờn S Cho hm gi li h v cỏc hm ta li g1 , , gm xỏc nh trờn Rn Xột bi toỏn h(x) v..k x S, (SOP) ú S = {x Rn | gi (x) 0, i = 1, , m} D thy S l li Vi mi im x S, ký hiu I(x) = {i {1, , m} | gi (x) = 0} S phn t ca I(x) c ký hiu l |I(x)| nh lý KKT sau õy úng vai trũ quan trng vic thit lp c s lý thuyt ca thut toỏn gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng c trỡnh by Chng nh lý 1.4 ([66, nh lý 10.2.7, tr 156] v [66, nh lý 10.1.2, tr 151]) Cho hm gi li h v hm vộc t ta li g = (g1 , , gm ) kh vi liờn tc trờn mt m cha S Gi s iu kin Slater c tha món, tc x S : gi (x ) < vi mi i = 1, , m , cho Khi ú, x Argmin(SOP) v ch tn ti mt vộc t u R|I(x)| h(x) + u j g j (x) = 0, jI(x) g(x) 0, u 1.2 im hu hiu v hng phỏp tuyn p v Nh thng l, vi hai im bt k a, b R p , ta vit a b nu a b R+ p a > b nu a b intR+ Cho khỏc rng Q R p Ký hiu MinQ v MaxQ ln lt l tt c cỏc im hu hiu theo ngha cc tiu v cc i ca Q, p MinQ := {q Q | q Q : q q, q = q} = {q Q | (q R+ ) Q = {q }}; p MaxQ := {q Q | q Q : q q , q = q} = {q Q | (q + R+ ) Q = {q }} Ký hiu WMinQ v WMaxQ ln lt l tt c cỏc im hu hiu yu theo ngha cc tiu v cc i ca Q, p WMinQ := {q Q | q Q : q > q} = {q Q | (q intR+ ) Q = 0}; / p WMaxQ := {q Q | q Q : q > q } = {q Q | (q + intR+ ) Q = 0} / D thy MinQ WMinQ Q v MaxQ WMaxQ Q Mt compact khỏc rng thỡ luụn cú im hu hiu v im hu hiu yu ([57, H qu 3.11, tr 50]) p Vi R+ cho trc, tt c cỏc im hu hiu -xp x v tt c cỏc im hu hiu yu -xp x ca Q c ký hiu ln lt l Min(Q, ) v WMin(Q, ), Min(Q, ) := {q Q | q Q : q q, q = q}; WMin(Q, ) := {q Q | q Q : q > q} im q R p c gi l im hu hiu yu xp x ngoi (theo ngha cc tiu) ca Q R p nu q + WMin(Q, ) Cho mt úng khỏc rng Q R p v mt im q Q Vộc t v R p c gi l mt hng phỏp tuyn (trong) ca Q ti q nu v, q q vi mi q Q Tp tt c cỏc hng phỏp tuyn ca Q ti q c gi l nún phỏp tuyn ca Q ti q v ký hiu l NQ (q ) (xem [77, nh ngha 6.3, tr 199]) nh ngha 1.2 Cho v NQ (q ) R p Khi ú, v c gi l hng phỏp tuyn p p dng nu v intR+ v ta gi v l hng phỏp tuyn khụng õm nu v R+ \ {0} nh lý 1.5 (xem [57, nh lý 2.10, nh lý 2.11, tr 91]) Cho li khỏc rng Q R p Nu tn ti mt hng phỏp tuyn dng ca Q ti q Q thỡ q MinQ; im q WMinQ v ch tn ti hng phỏp tuyn khụng õm ca Q ti q Mnh 1.6 (Xem [58, Mnh 5.24]) Nu Q R p l úng thỡ WMinQ l úng Nu Q l compact thỡ WMinQ l compact nh lý 1.6 (Xem [40, nh lý 1.2] v [74, nh lý 3]) Cho Q R2 li úng khỏc rng v MinQ = / Khi ú, MinQ ng phụi vi mt on úng khỏc rng R Xột mt úng khỏc rng Q R p Ký hiu p Q+ = Q + R + , p Q = Q R + (1.2) Mnh 1.7 (xem [11], [93]) Cho úng khỏc rng Q R p Khi ú, i) MinQ = MinQ+ v MaxQ = MaxQ ; ii) WMinQ = WMinQ+ Q v WMaxQ = WMaxQ Q; iii) Nu y WMinQ+ v q Q tha y q , thỡ q WMinQ; iv) Nu y WMaxQ v q Q tha y q , thỡ q WMaxQ Theo Mnh 1.7(i), thun tin, ta gi Q+ v Q l cỏc tng ng hu hiu ca Q theo ngha cc tiu v theo ngha cc i, tng ng Ký hiu Q l biờn ca mt Q R p Mnh 1.8 Q+ = WMinQ+ v Q = WMaxQ Gi ym v yM tng ng l im lý tng theo ngha cc tiu v theo ngha cc i ca Q Nu ym Q thỡ MinQ = {ym } v nu yM Q thỡ MaxQ = {yM } Chn hai im b, yO R p tha ym > b > yO (1.3) p v (b + R+ ) \ Q+ , Khi ú, qua mi im ta cú th xỏc nh c mt im hu hiu yu ca Q+ , nm trờn tia xut phỏt t yO v i qua v C th, p Mnh 1.9 Cho úng khỏc rng Q R p v mt im v (b + R+ ) \ Q+ Khi ú, bi toỏn t v..k yO + t(v yO ) Q+ (P(v)) cú mt nghim nht, ký hiu l t Hn na, im y = yO + t(v yO ) WMinQ+ Kt qu sau mụ t mi quan h gia NQ+ (y) v NQ (q) ú y WMinQ+ v q WMinQ Khi ú, q WMinQ v Mnh 1.10 Cho y WMinQ+ v q Q vi y q p p NQ+ (y) R+ = NQ (q) R+ : , y q = nh lý 1.7 (Xem [58, nh lý 5.14, nh lý 5.15]) Cho compact khỏc rng Q R p tha Q+ l li Khi ú, im hu hiu MinQ l liờn thụng v im hu hiu yu WMinQ l liờn thụng ng 1.3 Bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng Chng ca lun ỏn xột bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng Min f (x) = ( f1 (x), f2 (x), , f p (x))T v..k x X, (GMOP) ú X = {x Rn : g(x) 0} l li compact khỏc rng, g : Rn Rm l hm vộc t ta li kh vi liờn tc trờn Rn , f (x) = ( f1 (x), , f p (x)) l hm vộc t gi li vụ hng xỏc nh trờn X D thy, bi toỏn quy hoch a mc tiờu li (CMOP) f v g l cỏc hm vộc t li v bi toỏn quy hoch a mc tiờu tuyn tớnh (LMOP) f v g l hm vộc t tuyn tớnh l hai trng hp c bit ca bi toỏn (GMOP) Ký hiu Y = f (X) = { f (x) | x X}, l giỏ tr hay nh (outcome set) ca bi toỏn (GMOP) Tp cỏc nghim hu hiu v cỏc nghim hu hiu yu ca bi toỏn (GMOP) ln lt c ký hiu l XE , XW E , XE = {x0 X | f (x0 ) MinY }, XW E = {x0 X | f (x0 ) WMinY } t YE = f (XE ) v YW E = f (XW E ) D thy YE = MinY v YW E = WMinY Tp YE v YW E ln lt c gi l nh hu hiu v nh hu hiu yu ca (GMOP) Kt qu sau l h qu trc tip ca nh lý 1.7 Mnh 1.9 Vi gi thit Y + = Y + R p l li, ta cú YE l liờn thụng v YW E l liờn thụng ng Ký hiu XE, v XW E, ln lt l cỏc nghim hu hiu xp x v cỏc nghim hu hiu yu xp x ca bi toỏn (GMOP) v c nh ngha l XE, := {x0 X | f (x0 ) Min(Y, )}, XW E, := {x0 X | f (x0 ) WMin(Y, )} Chng THUT TON HNG PHP TUYN GII BI TON QUY HOCH A MC TIấU LI SUY RNG Xột bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng Min f (x) v..k x X, (GMOP) ú X = {x Rn : g(x) 0} l li compact khỏc rng, g : Rn Rm l hm vộc t ta li, kh vi liờn tc trờn Rn , hm vộc t f : X R p l gi li vụ hng trờn X v iu kin Slater c tha món, tc tn ti x X cho g(x ) < Tng t lc chung ca cỏc thut toỏn xp x ngoi trờn khụng gian nh, thut toỏn nún phỏp tuyn Solve(GMOP) gii bi toỏn (GMOP) sinh mt dóy cỏc a din {Bk } lng tha B0 B1 ã ã ã Bk ã ã ã Y Y, ú, Y R p l mt li compact khỏc rng v WMinY Y = WMinY a din Bk+1 c xỏc nh bi Bk+1 = y Bk | k , y k , yk , ú yk WMinY v k NY (yk ) ú cng l lý cho tờn gi thut toỏn hng phỏp tuyn trờn khụng gian nh Khi thut toỏn kt thỳc, ta nhn c mt phn WMin(Y, ) cha ton b WMinY v mt phn XW E, cha ton b XW E , ú = e vi e = (1, , 1) R p v l sai s cho trc c bit, nu bi toỏn (GMOP) l mt bi toỏn quy hoch a mc tiờu tuyn tớnh thỡ sau hu hn bc lp, vi = 0, ta nhn c YW E v XW E 2.1 Xỏc nh im nh hu hiu yu v hng phỏp tuyn Xỏc nh hai im lý tng ym v yM ca Y Chn yO , b, d R p cho yO < b < ym yM < d (2.1) p p p ) Rừ rng Y l ), Y = Y + (d R+ ) (d R+ v t B0 = B[b, d] = (b + R+ compact, cú th nguyờn y v Y Y B0 Mnh 2.1 MinY = MinY v WMinY = WMinY Y Nhn xột 2.1 Theo nh ngha, nu v B0 \ Y thỡ v B0 \ Y + Theo Mnh 1.9, xut phỏt t im yO theo hng (vk yO ) ta cú th xỏc nh c mt im wk = yO + tk (vk yO ) WMinY + , ú tk l giỏ tr ti u ca bi toỏn (P(vk )) t v..k f (x) t(vk yO ) yO 0, g(x) Bi toỏn (P(vk )) cú nghim ti u nht (xk ,tk ) Vỡ f (xk ) wk WMinY + nờn theo Mnh 1.7(iii), yk WMinY v xk XW E Nhn xột 2.2 Bi toỏn (P(vk )) tng ng vi bi toỏn max f j (x) yOj vkj yOj , j = 1, , p v..k g(x) (P2 (vk )) õy l bi toỏn cc tiu mt hm gi li trờn li Vỡ vy, bi toỏn (P2 (vk )) cú th gii c bng cỏc thut toỏn ca quy hoch li nh lý 2.1 Cho wk WMinY + v xk l nghim hu hiu yu ca bi toỏn (GMOP) p tha f (xk ) wk Khi ú, vộc t khỏc khụng k thuc NY + (wk ) R+ v ch k tn ti mt vộc t k R|I(x )| cho ( k , k ) l mt nghim ca h p k k i=1 i fi (x ) + jI(xk ) j g j (x ) = p k k =0 i=1 i wi fi (x ) p 0, 0, i=1 i = (2.2) Nhn xột 2.3 Vộc t k chớnh l vộc t phỏp tuyn ca siờu phng ta H ca Y ti im yk , ú H = {y R p | k , y = k , yk } thun tin, ta gi yk = f (xk ) l im giỏ tr hu hiu yu ca bi toỏn (GMOP) tng ng vi wk Do YW E = WMinY = WMinY Y nờn H l siờu phng ta ca Y ti yk 2.2 Thut toỏn hng phỏp tuyn trờn khụng gian nh Cho trc mt s thc v vộc t = e vi e = (1, , 1) R p Ký hiu l tt c cỏc nh ca Bk ngoi tr im d; EO l cỏc im hu hiu yu xp x ngoi ca Y ; EY l cỏc im hu hiu yu ca nh Y Vk Thut toỏn Solve(GMOP) Bc (Bc to) Chn sai s 0; Gii cỏc bi toỏn (Pm (i)) v (PM (i)), i = 1, , p, tỡm ym v yM ; Chn ba im b, d R p v yO tha b < ym , yM < d v yO < b; t k = 0, EO = 0, / EY = 0/ v B0 = B[b, d]; Xỏc nh nh V 10 3.2.2 Thut toỏn nhỏnh cn trờn khụng gian nh Cho > nh Nu z MaxY thỡ (z) l mt cn di ca bi toỏn (EPY ) im zopt MaxY c gi l mt nghim -xp x ca bi toỏn (EPY ) nu tn ti mt cn trờn ca bi toỏn (EPY ) tha | (zopt )| (|(zopt )| + 1) Thut toỏn Solve(EPY ) Bc to Chn sai s > 0; Gii bi toỏn (IPi ), i = 1, 2, tỡm zstart v zend ca MaxY ; t = max{(zstart ), (zend )} (cn di tt nht hin ti); Chn z0 {zstart , zend } cho = (z0 ) (z0 l nghim chp nhn c tt nht hin ti); Tỡm nghim ti u z0 ca bi toỏn (RP(E )) vi E = E0 , ú E0 = MaxY l ng cong hu hiu ni hai im z = zstart v zr = zend ; t (E0 ) = (z0 ); t k := v R0 = {E0 } Bc lp k, k = 0, 1, 2, Xem Bc n Bc di õy Bc Tỡm Ek Rk cho (Ek ) = max{(E ) | E Rk }, ú Ek l ng cong hu hiu ni hai im z k v zrk ; t k := (Ek ) (cn trờn tt nht hin ti) Bc Gii bi toỏn (Pro(z )) vi z = zk xỏc nh pk MaxY Khi ú dk = (zk pk ) 2i=1 (zki pki ) l mt vộc t phỏp tuyn tng ng vi pk ; Cp nht k+1 = max{k , ( pk )} (cn di tt nht hin ti); Chn zk+1 {zk , pk } tha k+1 = (zk+1 ) ( zk+1 l nghim chp nhn c tt nht hin ti); t Rk+1 = Rk \ Ek {Ek1 , Ek2 }, ú Ek1 l ng cong hu hiu ni hai im z k v pk , Ek2 l ng cong hu hiu ni hai im pk v zrk Bc Vi mi i {1, 2}, gii bi toỏn (RP(E )) vi E = Eki xỏc nh Idi v nghim ti u zki ; t (Eki ) = (zki ) (cn trờn ca bi toỏn (SP(E )) vi E = Eki ); If Idi = v k+1 < (zki ) Then t k+1 = (zki ) (cn di tt nht hin ti), zk+1 = zki (nghim chp nhn c tt nht hin ti); t Rk+1 = {E Rk+1 | (E ) k+1 > (|k+1 | + 1)} Bc (iu kin dng) If Rk+1 = 0/ Then thut toỏn dng: zopt = zk+1 l nghim ti u -xp x Else t k := k + v chuyn sang Bc nh lý 3.2 Thut toỏn Solve(EPY ) khụng dng ch = v trng hp ny, dóy {zk }, vi zk l nghim chp nhn c tt nht hin ti bc lp k, cú mt im t l nghim ti u ton cc ca bi toỏn (EPY ) 3.2.3 Tớnh toỏn th nghim Thut toỏn c ci t bng ngụn ng Matlab v thc hin trờn mỏy laptop HP Pavilion 1.8Ghz, RAM 2GB Cỏc kt qu tớnh toỏn ch rng thut toỏn lm vic tt i vi nhng bi toỏn cú s chiu ca khụng gian quyt nh tng i ln c trng hp tuyn tớnh v trng hp phi tuyn 17 Chng THUT TON GII BI TON TI U TRấN TP NGHIM HU HIU Xột bi toỏn quy hoch hai mc tiờu li Min f (x) v..k x X, (CBOP) ú f (x) = ( f1 (x), f2 (x)) l hm vộc t li v X Rn l li compact khỏc rng Ký hiu XE l tt c cỏc nghim hu hiu ca bi toỏn ny Gi s yI Y , ú yI l im lý tng ca Y Khi ú, MinY + l mt ng cong liờn thụng, ni im y1 , y2 MinY + , v ng phụi vi mt on úng ca R (nh lý 1.6) n gin, ta gi MinY + l ng cong hu hiu ca Y + Chng ny l xut hai thut toỏn trờn khụng gian nh gii bi toỏn h(x) = ( f (x)) v..k x XE , (QP) ú : R2 R l hm ta lừm v bi toỏn max h(x) = ( f (x)) v..k x XE , (DP) vi : R2 R l hm n iu tng trờn nh Y 4.1 Thut toỏn gii bi toỏn (QP) vi l hm ta lừm Theo nh ngha, vic gii bi toỏn (QP) cú th a v vic gii bi toỏn (y) v..k y MinY + , (QPY + ) ú : R2 R l hm ta lừm Vộc t v R2 c gi l mt vộc t phỏp tuyn ca siờu phng ta vi Y + ti y MinY + nu v, y y vi mi y Y + thun tin, ta gi v l vộc t phỏp tuyn tng ng vi im y D thy, v1 = (1, 0) v v2 = (0, 1) l cỏc vộc t phỏp tuyn tng ng vi hai im u mỳt y1 v y2 ca MinY + Hn na, nu im y MinY + \ {y1 , y2 } thỡ vộc t phỏp tuyn v tng ng vi y l hng phỏp tuyn dng ca Y + ti y 4.1.1 Phõn hoch v bi toỏn Cho hai im yL , yR MinY + Ký hiu l (yL , yR ) MinY + l on cong hu hiu ni yL v yR Cỏc vộc t phỏp tuyn tng ng vi yL v yR c ký hiu l vL v vR Cho hai im yL , yR MinY + tha yL1 < yR1 v yR2 < yL2 Khi ú, ch cú mt hai trng hp sau xy Trng hp (vL = tvR vi t > 0): Khi ú, (yL , yR ) = [yL , yR ] 18 (4.3) Trng hp (vL v vR c lp tuyn tớnh): Tớnh toỏn trc tip, ta cú vnew = 1 , >0 yR1 yL1 yL2 yR2 (4.4) l vộc t phỏp tuyn ca ng thng i qua yL v yR Gii bi toỏn vnew , y v..k y Y + , (BP0 ) ta c nghim ynew Vỡ vnew > nờn ynew MinY + Khi ú, {(yL , ynew ), (ynew , yR )} l mt phõn hoch ca (yL , yR ) Do ú, ynew c xem nh im chia ụi (yL , yR ) Gi s rng D := { MinY + } l mt phõn hoch ca ng cong hu hiu MinY + := D \ {(yL , yR )} {(yL , ynew ), (ynew , yR )} Khi ú D v (yL , yR ) D t D + l mt phõn hoch ca MinY v mn hn phõn hoch D Tp D = (y , y ) c dựng nh l mt phõn hoch to Cho hai im yL , yR MinY + tha (4.3) v vL , vR l cỏc vộc t phỏp tuyn tng ng vi yL , yR Xột bi toỏn (SP(yL , yR )) ca bi toỏn (QPY + ) (y) v..k y (yL , yR ) (SP(yL , yR )) Ch cú mt hai trng hp sau xy Trng hp 1(vL = tvR vi t > 0): Khi ú (yL , yR ) = [yL , yR ] MinY + Vỡ (y) l hm ta lừm nờn Argmin(SP(yL , yR )) {yL , yR } Trng hp (vL v vR c lp tuyn tớnh): Ký hiu HL l siờu phng ta ca Y + ti yL v HR l siờu phng ta ca Y + ti yR Giao im yO ca hai ng thng ny l nghim nht yO ca h vL , y = vL , yL vR , y = vR , yR (4.5) Ký hiu S(yL , yR ) = conv{yL , yO , yR } Ta cú (yL , yR ) S(yL , yR ) Vỡ vy, giỏ tr ti u ca bi toỏn ni lng (y) v..k y S(yL , yR ) (RP(yL , yR )) l mt cn di ca bi toỏn (SP(yL , yR )) Vỡ hm mc tiờu (y) l hm ta lừm nờn Argmin(RP(yL , yR )) {yL , yO , yR } Ký hiu yopt l nghim ca bi toỏn (RP(yL , yR )) Th tc gii bi toỏn ny nh sau Th tc Solve(RP(yL , yR )) Bc If vL = tvR vi t > Then Vopt := min{(yL ), (yR )} Else Chuyn Bc 2; If (yL ) = Vopt Then yopt = yL Else yopt = yR Bc Gii h ((4.5)) tỡm im yO ; t Vopt := min{(yL ), (yR ), (yO )} Bc If (yL ) = Vopt Then yopt = yL Else If (yR ) = Vopt Then yopt = yR Else yopt = yO 19 4.1.2 Thut toỏn nhỏnh cn trờn khụng gian nh Ký hiu opt l giỏ tr ti u ca bi toỏn (QPY + ) Cho > nh Nu y MinY + thỡ (y ) l mt cn trờn ca bi toỏn (QPY + ) im y MinY + c gi l mt nghim ti u -xp x ca bi toỏn (QPY + ) nu cú mt cn di ca bi toỏn (QPY + ) tha |(y ) | (|(y )| + 1) Khi ú y l mt nghim ti u -xp x ca bi toỏn (QPY + ) v bt k im x XE tng ng vi y l mt nghim ti u xp x ca bi toỏn (QP) Sau õy l thut toỏn chi tit gii bi toỏn (QPY + ) Thut toỏn Solve(QPY + ) Bc (Khi to) Chn sai s > 0; Vi mi i = 1, 2, tỡm nghim yi MinY + ca bi toỏn (SPi ) v xi XE tng ng vi yi ; If y1 y2 Then Thut toỏn dng (y1 Argmin(QPY + ) v x1 Argmin(QP)) best If (y1 ) < (y2 ) Then = (y1 ), ybest = y , x0 = x best best Else = (y ) v y0 = y , x0 = x (0 - cn trờn tt nht hin ti, best tng ng vi ybest ); ybest - nghim chp nhn c tt nht hin ti, x0 L R L R Gii bi toỏn (RP(y , y )) vi y = y v y = y tỡm nghim ti u yopt ; t = (y1 , y2 ); If (yO ) = (yopt ) Then t G = {0 }, (0 ) = (yopt ) v k := best Else Thut toỏn dng (ybest Argmin(QPY + ) v x0 Argmin(QP)) Bc (iu kin dng) If G = 0/ Then Thut toỏn dng (ybest l nghim ti u k best -xp x ca (QPY + ) v xk l nghim ti u xp x ca (QP)) Bc (Cp nht cn di) Tỡm k G , ú k = (yL , yR ), tha (k ) = min{ () | G }; t k := (k ) (cn di tt nht hin ti) Bc (R nhỏnh v cp nht cn trờn) Gii bi toỏn (BP0 ) xỏc nh MinY + v xknew XE tng ng; ynew k new If yk {yL , yR } Then G := G \ {k } v chuyn sang Bc 1; new If k > (ynew k ) Then k+1 = (yk ) (cn trờn tt nht hin ti) best new yk = yk (nghim chp nhn c tt nht hin ti) xkbest = xknew (xkbest XE tng ng vi ybest k ) Else t k+1 := k ; If (k+1 k ) (|k+1 | + 1) Then t G = 0, / chuyn sang Bc k2 new R Else t G := G \ {k } {k1 , k2 }, k1 = (yL , ynew k ) v = (yk , y ) Bc (Loi b) Xỏc nh nghim yopt ca bi toỏn (SP(yL , yR )) vi yR = ynew k ; If (yO ) = (yopt ) Then t (k1 ) = (yopt ) Else G := G \ {k1 }; Xỏc nh nghim ti u yopt ca bi toỏn (SP(yL , yR )) vi yL = ynew k ; If (yO ) = (yopt ) Then t (k2 ) = (yopt ) Else G := G \ {k2 }; best G = 0/ Then Thut toỏn dng (ybest k Argmin(QPY + ) v xk Argmin(QP)) Else t G = { G | (k+1 ()) > (|k+1 | + 1)}; t k := k + v quay li Bc 20 Nu thut toỏn khụng dng thỡ nú hi t nh khng nh kt qu sau nh lý 4.1 Nu thut toỏn khụng dng thỡ dóy {(ybest k )} hi t ti giỏ tr ti u + cú mt im t l nghim ton cc ca ca bi toỏn (QPY + ) v dóy {ybest } MinY k bi toỏn (QPY + ) Nhn xột 4.1 Thut toỏn Solve(QPY + ) cú th c dựng gii bi toỏn f1 (x) f2 (x) v..k x X, (CBMP) ú cỏc hm f j , j = 1, v X c cho nh (CBOP) 4.1.3 Tớnh toỏn th nghim Tt c cỏc vớ d mc ny c th nghim vi thut toỏn ci t bng ngụn ng Matlab trờn mỏy laptop Pavilon 1.8Ghz, RAM 2GB Kt qu tớnh toỏn ch rng thut toỏn lm vic hiu qu vi nhiu dng khỏc ca hm mc tiờu v i vi cỏc bi toỏn cú s chiu ca khụng gian quyt nh cng nh s rng buc tng i ln 4.2 Thut toỏn gii bi toỏn (DP) vi l hm n iu tng Theo nh ngha, vic gii bi toỏn (QP) cú th a v vic gii bi toỏn max (y) v..k y MinY + , (DPY + ) ú : Y R l hm n iu tng trờn Y Mc ny xut thut toỏn gii bi toỏn (DPY + ) theo lc nhỏnh cn kt hp k thut xp x ngoi 4.2.1 n hỡnh xp x ngoi v lc r nhỏnh O Xột hai im bt k yL , yR MinY + tha (4.3) t yO = (yO , y2 ) ú O R L yO = y1 > 0, y2 = y2 > (4.6) Hin nhiờn l yL , yO , yR khụng thng hng nờn conv{yL , yO , yR } l mt n hỡnh hai chiu Ký hiu S(yL , yR ) := conv{yL , yO , yR } D thy, (yL , yR ) S(yL , yR ) (yO + R2+ ) thun tin, ta gi n hỡnh S(yL , yR ) l n hỡnh sinh bi yL v yR ng thi, im yO c gi l gc ca n hỡnh ny Kt qu sau úng vai trũ then cht thut toỏn gii bi toỏn (DPY + ) Mnh 4.1 Cho hai im yL , yR MinY + tha (4.3) v n hỡnh S(yL , yR ) = conv{yL , yO , yR }, ú yO tha ((4.6)) Khi ú tia ni gc O R2 v gc yO ca n hỡnh S(yL , yR ) ct Y + ti mt im nht y MinY + Hn na, R R L yL1 < y < y1 v y2 < y2 < y2 (4.7) Gi (x , ) l nghim ti u ca bi toỏn v..k f (x) yO 0, x X (T (yO )) Khi ú x l nghim hu hiu tng ng vi y = yO (Xem Mnh 1.9) 21 Nhn xột 4.2 Gi s hai im yL , yR MinY + tha (4.3) v (yL , yR ) MinY + l ng cong hu hiu ni yL v yR Xột 2n hỡnh S(yL , yR ) sinh bi yL v yR Ký hiu y l im xỏc nh nh mụ t Mnh 4.1 Theo (4.7), ký hiu S(yL , y ) l n hỡnh sinh bi yL v y , v S(y , yR ) l n hỡnh sinh bi y v yR Khi ú, ta cú (yL , yR ) S(yL , y ) S(y , yR ) S(yL , yR ) im y c xem nh mt im chia ụi n hỡnh S(yL , yR ) Vic chia n hỡnh S(yL , yR ) nh vy c gi l lc r nhỏnh ỏp dng cho n hỡnh S(yL , yR ) Tớnh cht ny s c s dng xõy dng thut toỏn gii bi toỏn (DPY + ) Hin nhiờn l (4.3) tha vi yL = y1 , yR = y2 t S(y1 , y2 ) l n hỡnh sinh bi hai im y1 v y2 Ta cú MinY + S(y1 , y2 ), v S(y1 , y2 ) c chn lm n hỡnh xut phỏt 4.2.2 Thut toỏn nhỏnh cn - xp x ngoi t T = {S0,1 }, ú S0,1 = S(y1 , y2 ) v U = ST S = S0,1 MinY + Xut phỏt t hai T v U , thut toỏn l mt quỏ trỡnh lp sinh hai dóy T k = {Sk,1 , Sk,2 , , Sk,k } gm cỏc 2n hỡnh, ú k l s phn t ca T k , v U k = ST k S tha U U U k U k+1 MinY + Cho s thc > nh im chp nhn c y MinY + c gi l nghim ti u xp x ca bi toỏn (DPY + ) nu tn ti mt cn trờn ca bi toỏn ny tha (y ) < (|(y )| + 1) Khi ú, nghim hu hiu x tng ng vi y l mt nghim ti u xp x ca bi toỏn (DP) bc lp k in hỡnh, k 0, ta cú nghim chp nhn c tt nht hin ti ybest , nghim hu hiu xbest tng ng vi ybest , cn di k = (ybest ), cỏc n hỡnh T k , v U k tha MinY + U k Vi mi {1, 2, , k }, n hỡnh Sk, c sinh bi hai im ó bit Ti õy thut toỏn thc hin nhng vic sau: i) Tỡm giỏ tr ti u k ca bi toỏn max{(y)|y U k } Vỡ MinY + U k nờn giỏ tr ti u k l mt cn trờn ca bi toỏn (DPY + ) ii) Nu k (ybest ) ( (ybest ) + 1) thỡ thut toỏn dng Khi ú, ta thu c ybest l nghim ti u xp x ca bi toỏn (DPY + ) v xbest l nghim xp x ca bi toỏn (DP) Ngc li, thut toỏn sinh mt mi T k+1 m U k+1 = k k+1 MinY + ST k+1 S tha U U Vi mi S T k , ký hiu (S) l giỏ tr ti u ca bi toỏn max{(y)|y S} Vỡ U k = ST k S nờn ta cú k = max{(S)|S T k } Ti Bc lp k, nu thut toỏn cha dng, ta chn n hỡnh S(yL , yR ) = Sk, T k cho k = (Sk, ) Gi y v im x tng ng vi nú l cỏc im xỏc nh nh mụ t Mnh 4.1 Khi ú, ỏp dng lc nhỏnh cn cho S(yL , yR ) vi im chia ụi y ta c hai n hỡnh S(yL , y ) v S(y , yR ) nh Nhn xột 4.2 t T k+1 = T k \ {S(yL , yR )} {S(yL , y ), S(y , yR )} v U k+1 = ST k+1 S T Nhn xột 4.2, ta cú MinY + U k+1 U k 22 Bõy gi, ta xột bi toỏn max{(y)|y S(yL , yR )}, (DP(S(yL , yR ))) ú l hm n iu tng trờn R2+ v S(yL , yR ) l 2n hỡnh c sinh bi hai im yL , yR no ú Vỡ l hm n iu tng trờn S(yL , yR ) R2+ nờn nghim ti u ca bi toỏn (DP(S(yL , yR ))) t ti cnh yL , yR ca n hỡnh S(yL , yR ) Do ú, bi toỏn (DP(S(yL , yR ))) cú th a v mt bi toỏn max{ (t)|0 t 1}, ú (t) = tyL + (1 t)yR Thut toỏn Solve(DPY + ) Bc to Chn sai s > 0; Gii bi toỏn (SPi ) vi i = 1, xỏc nh y1 , y2 MinY + v x1 , x2 XE tng ng vi y1 , y2 ; If y1 y2 Then Thut toỏn dng, y1 Argmax(DPY + ) v x1 Argmax(DP); If (y1 ) > (y2 ) Then = (y1 ) v ybest = y1 , xbest = x1 Else = (y2 ) v ybest = y2 , xbest = x2 ; t S0,1 = S(y1 , y2 ) t T := {S0,1 } v U := S0,1 ; Tỡm giỏ tr ti u (S) ca bi toỏn (DP(S(yL , yR ))) vi S = S(y1 , y2 ); t k := 0; Chuyn sang Bc lp k Bc lp k, (k = 0, 1, 2, ) Thc hin t Bc n Bc nh di õy Bc Tỡm Sk, T k , ú Sk, = S(yL , yR ), tha (Sk, ) := max{(S ) | S T k }; k := (Sk, ) (cn trờn tt nht hin ti); If k k (|k | + 1) Then Thut toỏn dng (ybest l nghim ti u xp x ca (DPY + ), xbest l nghim ti u xp x ca (DP)) Else t Sk = Sk, Bc Xỏc nh gc yO ca n hỡnh Sk bi ((4.6)), ú Sk = S(yL , yR ); Gii bi toỏn (T (yO )) tỡm nghim ti u ( , x ); t yk = yO MinY + v x XE tng ng vi yk ; If (yk ) > k Then k+1 = (yk ) (cn di tt nht hin ti) best y = y k (nghim chp nhn c tt nht hin ti) xbest = x ; (nghim hu hiu tng ng vi ybest ) Bc t S1k = S(yL , yk ) v S2k = S(yk , yR ); Vi mi i = 1, 2, tỡm giỏ tr ti u (Sik ) ca (DP(S(yL , yR ))) vi S = Sik ; t T k+1 = T k \ {Sk } {S1k , S2k }; t k := k + v Chuyn Bc lp k nh lý 4.2 Nu thut toỏn Solve(DPY + ) lp vụ hn thỡ dóy {yk } cú mt im t l nghim ti u ton cc ca bi toỏn (DPY + ) 4.2.3 Tớnh toỏn th nghim Cỏc vớ d c th nghim vi thut toỏn ci t bng ngụn ng Matlab trờn mỏy laptop Pavilon 1.8Ghz, RAM 2GB Kt qu tớnh toỏn Vớ d 4.6 vi d liu u vo c sinh ngu nhiờn, cho thy chi phớ tớnh toỏn l tng i nh 23 KT LUN CHUNG Cỏc úng gúp chớnh ca lun ỏn l: Nghiờn cu bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng (GMOP) v xut thut toỏn hng phỏp tuyn Solve(GMOP) da trờn k thut xp x ngoi theo tip cn trờn khụng gian nh gii bi toỏn ny xut khỏi nim hm vộc t gi li vụ hng, khai thỏc tớnh cht hu dng ca lp hm ny (nh lý 1.4) cng nh mi liờn h gia nh Y v tng ng hu hiu Y + (Mnh 1.7) thit lp siờu phng ct ti mi bc lp k ca thut toỏn (nh lý 2.1 v Mnh 1.9) Vi mt sai s cho trc, thut toỏn cho phộp xỏc nh tt c cỏc im giỏ tr hu hiu yu - xp x v nghim hu hiu yu - xp x ca bi toỏn (GMOP), ú = e vi e R p l vộc t cú tt c cỏc thnh phn u bng c bit, s dng thut toỏn ny gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu tuyn tớnh, ta nhn c giỏ tr hu hiu yu YW E v nghim hu hiu yu XW E sau hu hn bc lp vi sai s = Cỏc tớnh toỏn th nghim ó chng t tớnh hu hiu v u vit ca thut toỏn Thut toỏn c chng minh l hi t (nh lý 2.2, nh lý 2.3 v H qu 2.1) õy cú th coi l mt úng gúp ca lun ỏn v mt lý thuyt Xõy dng thut toỏn xp x ngoi Solve(GMPY ) trờn khụng gian nh gii bi toỏn quy hoch tớch li suy rng (GMP) da trờn mi quan h ca bi toỏn ny vi bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng tng ng õy l mt ng dng trc tip ca thut toỏn hng phỏp tuyn gii bi toỏn quy hoch a mc tiờu li suy rng (GMOP) Tớnh hi t ca thut toỏn c ch nh lý 3.1 Nghiờn cu bi toỏn (GIMP) cc i mt hm mc tiờu l tng ca mt hm lừm vi tớch p hm lừm trờn chp nhn c l li compact khỏc rng, a vic gii bi toỏn ny v gii bi toỏn (EPY ) cc i mt hm liờn tc, n iu tng trờn im hu hiu yu ca mt li cú th nguyờn y R2 Thut toỏn nhỏnh cn Solve(EPY ) gii bi toỏn (EPY ) c xõy dng da trờn cu trỳc c bit ca im hu hiu v c chng minh l hi t (nh lý 3.2) Cỏc kt qu tớnh toỏn th nghim cho thy thut toỏn cú th gii cỏc bi toỏn cú s bin ln xut hai thut toỏn trờn khụng gian nh gii hai bi toỏn ti u hm mc tiờu cú dng h(x) = ( f (x)) trờn nghim hu hiu XE ca bi toỏn quy hoch hai mc tiờu li (CBOP), ú hm vộc t li f (x) = ( f1 (x), f2 (x)) l hm mc tiờu ca bi toỏn (CBOP), da trờn cu trỳc c bit ca giỏ tr hu hiu YE = f (XE ) v tớnh c thự ca hm : Thut toỏn nhỏnh cn gii bi toỏn cc tiu hm h(x) = ( f (x)) trờn XE , ú : R2 R l hm ta lừm (Thut toỏn Solve(QPY + )); Thut toỏn nhỏnh cn kt hp xp x ngoi gii bi toỏn cc i hm h(x) = ( f (x)) trờn XE , ú : R2 R l n iu tng (Thut toỏn Solve(DPY + )) C hai thut toỏn ny u c chng minh l hi t (nh lý 4.1 v nh lý 4.2) 24 Danh mc ti liu tham kho Ting Vit Lờ Dng Mu, Nguyn Vn Hin (2009), Nhp mụn gii tớch li ng dng, NXB Khoa hc t nhiờn v Cụng ngh, H Ni Nguyn Th Bch Kim (2014), Giỏo trỡnh cỏc phng phỏp ti u: Lý thuyt v thut toỏn, NXB Bỏch Khoa, H Ni Trn V Thiu, Nguyn Th Thu Thy (2011), Giỏo trỡnh ti u phi tuyn, NXB i hc Quc gia, H Ni Ting Anh An L.T.H., Tao P.D., Muu L.D (1996), Numerical solution for optimization over the efficient set by d.c optimization algorithm, Oper Res Lett., 19, 117128 An L.T.H., Tao P.D., Nam N.C., Muu L.D (2010), Method for optimizing over efficient and weakly efficient the sets of an affine fractional vector optimization program, Optimization, 59(1), 77-93 Ashtiani A.M.M., Ferreira P.A.V (2011), On the solution of generalized multiplicative extremum problems, J Optim Theory Appl., 149, 411-419 Armand P., Malivert C (1991), Determination of the efficient set in multiobjective linear programming, J Optim Theory Appl., 70, 467 - 489 Avriel M., Diewert W.E., Schaible S., Zang I (1988), Generalized concavity, Plenum Press, New York Benoist J (2001), Contractibility of the efficient set in strictly quasiconcave vector maximization, J Optim Theory Appl., 110, 325-336 10 Benson H.P (1991), An all-linear programming relaxation algorithm for optimization over the efficient set, J Global Optim., 1, 83 - 104 11 Benson H.P (1998), An outer approximation algorithm for generating all efficient extreme points in the outcome set of a multiple objective linear programming problem, J Global Optim., 13, 1-24 12 Benson H.P (1999), An outcome space branch and bound-outer approximation algorithm for convex multiplicative programming, J Global Optim., 15, 315342 25 13 Benson H.P (2004), On the global optimization of sums of linear fractional functions over a convex set, J Optim Theory Appl., 121(1), 1939 14 Benson H.P (2008), Global maximization of a generalized concave multiplicative function, J Optim Theory Appl., 137, 105-120 15 Benson H.P (2010), Simplicial branch-and-reduce algorithm for convex programs with a multiplicative constraint, J Optim Theory Appl., 145, 213-233 16 Benson H.P (2012), An outcome space algorithm for optimization over the weakly efficient set of a multiple objective nonlinear programming problem, J Global Optim., 52, 553-574 17 Benson H.P., Boger G.M (1997), Multiplicative programming problems: Analysis and efficient point search heuristic, J Optim Theory Appl., 94, 487-510 18 Benson H.P., Boger G.M (2000), Outcome-space cutting-plane algorithm for linear multiplicative programming, J Optim Theory Appl., 104, 301-322 19 Benson H.P., Sayin S (1994), Optimization over the efficient set: four special case, J Optim Theory Appl., 80, 3-18 20 Ben-Tal A (1980), Characterization of Pareto and lexicographic optimal solutions, Lecture Notes in Eco and Math Sys., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 177, 1-11 21 Cantor G (1897), Contributions to the foundation of transfinite set theory, Math Ann., 49, 207246 22 Chen P.C., Hansen P., Jaumard B (1991), On-line and off-line vertex enumeration by adjacency lists, Oper Res Lett., 10, 403-409 23 Cohon J.L (1978), Multiobjective programming and planning, New York, Academic Press 24 Dan N.D., Muu L.D (1996), Parametric simplex method for optimizing a linear function over the efficient set of a bicriteria linear problem, Acta Math Vietnam., 21, 59-67 25 Das I., Dennis J.E (1998), Normal-boundary intersection: A new method for generating the Pareto surface in nonlinear multicriteria optimization problems, SIAM J Optim., 8, 631-657 26 Dauer J.P., Fosnaugh T.A (1995), Optimization over the eficient set, J Global Optim., 7, 261-277 26 27 Dauer J.P., Liu Y.H (1990), Solving multiple objective linear programs in objective space, Eur J Oper Res., 46, 350357 28 Dauer J.P., Gallagher R.J (1996), A combined constraint-space, objectivespace approach for determining high-dimensional maximal efficient faces of multiple objective linear programs, Eur J Oper Res., 88, 368-381 29 Ehrgott M., Lăohne A., Shao L (2012), A dual variant of Bensons outer approximation algorithm for multiple objective linear programming, J Global Optim., 52(4), 757778 30 Ehrgott M., Shao L., Schobel A (2011), An approximation algorithm for convex multi-objective programming problems, J Global Optim., 50, 397-416 31 Fulop J., Muu L.D (2000), Branch-and-bound variant of an outcome-based algorithm for optimizing over the efficient set of a bicriteria linear programming problem, J Optim Theory Appl., 105, 37-54 32 Gao Y., Wu G., Ma W (2010), A new global optimization approach for convex multiplicative programming, Appl Math Comput., 216, 1206-1218 33 Gourion D., Luc D.T (2008), Generating the weakly efficient set of nonconvex multiobjective problems, J Global Optim., 41, 517-538 34 Gourion D., Luc D.T (2010), Finding efficient solutions by free disposal outer approximation, SIAM J Optim., 20, 2939-2958 35 Greenberg H.J., Pierskalla W.P (1971), A review of quasi-convex functions, Oper Res., 19, 15531570 36 Haimes Y.Y., Lasdon L.S., Wismer D.A (1971), On a bicriterion formulation of the problems of integrated system identification and system optimization, IEEE Trans Syst Man Cyber., ,296-297 37 Hausdorff F (1906), Investigations concerning order types, Math Physic Class., 58, 106-169 38 Horst R., Thoai N.V (1997), Utility function programs and optimization over the efficient set in multiple-objective decision making, J Optim Theory Appl., 92 , 605-631 39 Horst R., Thoai N.V., Yamamoto Y., Zenke D (2007), On optimization over the efficient set in linear multicriteria programming, J Optim Theory Appl., 134, 433-443 27 40 Huy N.Q (2003), Topology of the efficient sets of convex sets in R2 , Vietnam J Math., 31(1), 45-55 41 Jaumard B., Meyer C., Tuy H (1997), Generalized convex multiplicative programming via quasiconcave minimization, J Global Optim., 10, 229-256 42 Kim N.T.B (2000), An algorithm for optimizing over the efficient set, Vietnam J Math., 28, 329-340 43 Kim N.T.B (2007), Finite algorithm for minimizing the product of two linear functions over a polyhedron, J Ind Manag Optim., 3(3), 481-487 44 Kim N.T.B., Luc D.T (2000), Normal cone to a polyhedral convex set and generating efficient faces in linear multi-objective programming, Acta Math Vietnam., 25(1), 101-124 45 Kim N.T.B., Luc D.T (2002), Normal cone method in solving linear multiobjective problem, J Stat Manag Sys., 5, 341 - 358 46 Kim N.T.B., Nam N.C., Thuy L.Q (2013), An outcome space algorithm for minimizing the product of two convex functions over a convex set, J Ind Manag Optim., 9(1), 243-253 47 Kim N.T.B., Muu L.D (2002), On the projection of the efficient set and potential application, Optimization, 51, 401-421 48 Kim N.T.B., Trang N.T.L., Yen T.T.H (2007), Outcome-space outer approximation algorithm for linear multiplicative programming, East West J Math., 9, 81-98 49 Kim N.T.B., Thuy L.Q (2010), An algorithm for generating efficient outcome points for convex multiobjective programming problem, Lecture Notes in Comp Sci., 5991, 390-399 50 Klamroth K., Tind J., Wiecek M.M (2002), Unbiased approximation in multicriteria optimization, Math Meth Oper Res., 56, 413-457 51 Konno H and Kuno T (1990), Generalized linear multiplicative and fractional programming, Ann Oper Res., 25, 147-162 52 Konno H., Kuno T (1992), Linear multiplicative programming, Math Program., 56, 51-64 53 Kuno T (2001), A finite branch-and-bound algorithm for linear multiplicative programming, Comput Optim Appl., 20, 119-135 28 54 Kuno T., Yajima Y., Konno H (1993), An outer approximation method for minimizing the product of several convex functions on a convex set, J Global Optim., 3, 325-335 55 Lohne A., Rudloff B., Ulus F (2014), Primal and dual approximation algorithms for convex vector optimization problems, J Global Optim., 60, 713736 56 Luc D.T (1987), Connectedness of the efficient point sets in quasiconcave vector maximization, J Optim Theory Appl., 122, 346-354 57 Luc D.T (1989), Theory of vector optimization, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 319, Springer-Verlag, Germany 58 Luc D.T (2005), Generalized convexity in vector optimization, Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer, New York, 195236 59 Luc D.T (2016), Multiobjective Linear Programming, Springer, Switzerland 60 Luc L.T., Muu L.D (1997), Global optimization approach to optimization over the efficient set, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 452, SpringerVerlag, Berlin, Germany, 213-221 61 Luc D.T., Phong T.Q., Volle M (2005), Scalarizing functions for generating the weakly efficient solution set in convex multiobjective problems, SIAM J Optim., 15, 987-1001 62 Luc D.T., Phong T.Q., Volle M (2006), A new duality approach to solving concave vector maximization problems, J Global Optim., 36, 401-423 63 Matsui T (1996), NP-hardness of linear multiplicative programming and related problems, J Global Optim., 9, 113-119 64 Marler R., Arora J (2004), Survey of multi-objective optimization methods for engineering, Struct Multi Optim., 26(6), 369395 65 Miettinen K (1999), Nonlinear Multiobjective Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston 66 Mangasarian O.L (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill, New York 67 Muu L.D (2000), A convex-concave programming method for optimizing over the efficient set, Acta Math Vietnam., 25, 67-85 68 Muu L.D., Tam B.T (1992), Minimizing the sum of a convex function and the product of two affine functions over a convex set, Optimization, 24, 57-62 29 69 Muu L.D., Thuy L.Q (2011), Smooth optimization algorithms for optimizing over the Pareto efficient set and their application to minmax flow problems, Vietnam J Math., 39(1), 31-48 70 Muu L.D., Tuyen H.Q (2002), Bilinear programming approach to optimization over the efficient set of a vector affine fractional problem, Acta Math Vietnam., 27, 119 - 139 71 Oliveira R.M., Ferreira P.A.V (2008), A convex analysis approach for convex multiplicative programming, J Global Optim., 41, 579-592 72 Payne A.N., Polak E., Collins D.C., Meisel W.S (1975), An algorithm for bicriteria optimization based on the sensitivity function, IEEE Trans Autom Control, 20, 546 - 548 73 Philip J (1972), Algorithms for the vector maximization problem, Math Program., 2, 207-229 74 Phu H.X (2005), On Efficient Sets in R2 , Vietnam J Math., 33(4), 463468 75 Polak E (1976), On the approximation of solutions to multiple-criteria decision making problems, Lecture Notes in Econom and Math Systems, 123, Springer, 271- 282 76 Rockafellar R.T (1970), Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 77 Rockafellar R.T., Wets R.B (2010), Variational Analysis, Springer-Verlag, Berlin, Germany 78 Ruzika S., Wiecek M.M (2005), Approximation methods in multiobjective programming, J Optim Theory Appl., 126, 473-501 79 Sach P.H (1999), Characterization of scalar quasiconvexity and convexity of locally lipschitz vector-valued maps, Optimization, 46, 283-310 80 Schaible S., Sodini C (1995), Finite algorithm for generalized linear multiplicative programming, J Optim Theory Appl., 87, 441-455 81 Shao L., Ehrgott M (2014), An objective space cut and bound algorithm for convex multiplicative programmes, J Global Optim., 58, 711-728 82 Shao L., Ehrgott M (2016), Primal and dual multi-objective linear programming algorithms for linear multiplicative programmes, Optimization, 65(2), 415-431 30 83 Steuer R.E (1986) Multiple criteria optimization: Theory, computation and application, Wiley, New York 84 Thang T.N., Kim N.T.B., Hung D.X (2017), An outcome-space normal cone method for generalized concave multiplicative problems, Pac J Optim., (ó nhn ng) 85 Thieu T.V., Tam B.T., Ban V.T (1983), An outer approximation method for globally minimizing a concave function over a compact convex set, Acta Math Vietnam., 8, 21-40 86 Thoai N.V (1991), A global optimization approach for solving the convex multiplicative programming problem, J Optim Theory Appl., 1, 341-357 87 Thoai N.V (2000) , A class of optimization problems over the efficient set of a multiple criteria nonlinear programming problem, Eur J Oper Res., 122, 58-68 88 Thoai N.V (2010), Reverse convex programming approach in the space of extreme criteria for optimization over efficient sets, J Optim Theory and Appl., 147, 263-277 89 Tuy H (1998), Convex analysis and global optimization, Kluwer Academic Publishers 90 Tuy H., Nghia N.D (2003), Reverse polyblock approximation for generalized multiplicative/fractional programming, Vietnam J Math., 31(4), 391-402 91 Yamamoto Y (2002), Optimization over the efficient set: overview, J Global Optim., 22, 285-317 92 Wiecek M.M., Ehrgott M., Engau A (2016), Continuous multiobjective programming, Multiple criteria decision analysis: State of the art surveys, Oper Res Manag Sci., Springer, New York, 233, 739-815 93 Yu P.L (1985), Multiple-criteria decision making: Concepts, techniques and extensions, Plenum Press, New York 94 Zeleny M (1982), Multiple criteria decision making, New York, McGraw Hill 31

Ngày đăng: 11/07/2017, 09:09

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Danh mục tài liệu tham khảo

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan