ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM HỒNG DANH SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN Ngành: Mã số chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 Công trình hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC Trường Đại học Khánh Hòa Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: TS Nguyễn Minh Quân Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: PGS TS Nguyễn Đình Huy Phản biện độc lập 2: PGS TS Mai Đức Thành Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc tháng năm 2017 Có thể tìm luận án thư viện: Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Mở đầu Phương trình tích phân phi tuyến nói chung phương trình tích phân hàm phi tuyến nói riêng chủ đề quan tâm lĩnh vực giải tích phi tuyến Kể từ công trình Volterra đến nay, phương trình tích phân thu hút quan tâm nhà khoa học không toán học tuý mà nhiều ứng dụng chúng lĩnh vực khác khoa học công nghệ Lý thuyết phương trình tích phân phát triển nhanh nhờ công cụ giải tích phi tuyến, đặc biệt, lý thuyết topo lý thuyết điểm bất động công cụ mạnh để chứng minh tồn nghiệm phương trình Trong công trình thuộc loại này, định lý định lý điểm bất động Banach (1922), định lý điểm bất động Schauder (1930), định lý điểm bất động Krasnoselskii (1955) định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii, nguyên lý loại tuyến Leray-Schauder (1932), thường áp dụng để xem xét tính giải phương trình tích phân, sở đó, khảo sát số tính chất có nghiệm Các phương trình có liên quan đến phương trình tích phân phương trình vi tích phân thu hút quan tâm nhà khoa học không vai trò quan trọng chúng lãnh vực giải tích hàm mà vai trò quan trọng chúng nhiều ứng dụng, chẳng hạn, học, vật lý, dân số, kinh tế lĩnh vực khoa học khác, xem sách viết Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York, 1991], Deimling [Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, 1985] Nhìn chung, kết tồn nghiệm phương trình vi tích phân theo biến hai biến, ba biến, , thu nhờ vào phương pháp bản, định lý điểm bất động thường áp dụng Nghiên cứu sâu phương trình tích phân hàm phi tuyến phương trình có liên quan phương trình vi tích phân, thấy rằng, chúng có nhiều dạng, giải chưa giải được, hiển nhiên ứng với dạng phải tìm kiếm phương pháp giải thích hợp Sau bốn dạng phương trình mà quan tâm nghiên cứu thời gian gần đạt số kết tồn nghiệm tính chất nghiệm - Dạng Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến, có dạng cụ thể sau n f i ( x ) = ∑m k =1 ∑ j=1 εaijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )), Z X (x) ijk f j (t)dt + bijk f j (Sijk ( x )) + gi ( x ), (1) với i = 1, , n, x Ω = [ b, b], aijk , bijk số thực cho trước; Rijk , Sijk , Xijk : Ω ! Ω, gi : Ω ! R, Ψ : Ω R2 ! R hàm liên tục cho trước f i : Ω ! R ẩn hàm, ε tham số bé Hệ có nguồn gốc từ dạng phương trình hàm f ( x ) = a ( x, f (S( x ))) , không gian hàm liên tục có biến phân bị chặn đoạn bị chặn, nghiên cứu [T Kostrzewski, Demonstratio Math 26 (1993) 61 - 74; Demonstratio Math 26 (1993) 275 - 285], [M Lupa, Demonstratio Math 26 (1993) 137 - 147] Trong [N T Long, N H Nghia, N K Khoi, D V Ruy, Demonstratio Math 31 (1998) 313 - 324], Long cộng nghiên cứu trường hợp đặc biệt (1), ứng với Ψ Trong [C Q Wu, Q W Xuan, D Y Zhu, South-East Asian Bull Math 15 (1991) 109 - 115], Wu cộng nghiên cứu hệ (1) ứng với m = n = 2, Ψ Sijk nhị thức bậc nhất, tức nghiên cứu hệ sau f ( x ) = a11 f (b11 x + c11 ) + a12 f (b12 x + c12 ) + a13 f (b13 x + c13 ) + g1 ( x ), (2) f ( x ) = a21 f (b21 x + c21 ) + a22 f (b22 x + c22 ) + a23 f (b23 x + c23 ) + g2 ( x ), x Ω = [ b, b], aij , bij , cij , b số cho trước thỏa điều kiện jc j bij < 1, max ij b, max ∑3j=1 aij < 1, (3) i,j jbij j i hàm số g1 , g2 liên tục cho trước, f , f ẩn hàm Nghiệm hệ (2) xấp xỉ dãy qui nạp hội tụ ổn định hàm g1 , g2 Trong [N T Long, Demonstratio Math 37 (1) (2004) 123 - 132; Demonstratio Math 37 (2) (2004) 349 - 362], trường hợp đặc biệt (1) với Ω khoảng bị chặn không bị chặn R nghiên cứu Áp dụng định lý điểm bất động Banach, tồn tính ổn định nghiệm hệ (1) hàm gi chứng minh Trường hợp Ψ( x, y, z) = y Rijk , Sijk nhị thức bậc nhất, g Cr (Ω; Rn ), hệ (1) có khai triển Maclaurin nghiệm đến cấp r Hơn nữa, gi đa thức bậc r nghiệm hệ (1) đa thức bậc r; gi hàm liên tục nghiệm hệ xấp xỉ dãy đa thức hội tụ Trường hợp Ψ( x, y, z) = z có aijk 6= 0, Sijk ( x ), Xijk ( x ) nhị thức bậc gi ( x ) đa thức bậc r, nghiệm hệ (1) không thiết đa thức Trường hợp này, nghiệm hệ (1) xấp xỉ dãy đa thức hội tụ Với Ω miền nhiều chiều, [N T Long, N H Nghia, Z Anal Anw 19 (2000) 1017 - 1034], hệ (1) xem xét với dạng đặc biệt sau n f i ( x ) = ∑m k =1 ∑ j=1 aijk x, f j ( Sijk ( x )) + gi ( x ), i = 1, , n, x Ω Rp (4) Cũng sử dụng nguyên lý ánh xạ co, tác giả thiết lập tồn tại, tính ổn định nghiệm (4) hàm gi Hơn nữa, hội tụ bậc hai khai triển tiệm cận nghiệm khảo sát Từ công trình nêu trên, tiếp tục khảo sát phương trình tích phân hàm phi tuyến (1) với ba nội dung Một là, tiếp tục sử dụng định lý điểm bất động Banach để tìm điều kiện đủ cho tồn ổn định nghiệm (1) Hai là, trường hợp Ψ C2 (Ω R2 ; R), khảo sát hội tụ bậc hai (1) Ba là, trường hợp Ψ C N (Ω R2 ; R) ε đủ nhỏ, thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm cho (1) đến cấp N + theo ε Một số ví dụ minh họa trình bày Cuối chương luận án trình bày ý phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị không gian Banach với ví dụ minh họa - Dạng Phương trình tích phân hàm phi tuyến chiều có biến trễ nhận giá trị không gian Banach tổng quát, có dạng cụ thể sau x (t) = V t, x (t), Z µ (t) V1 t, s, x (σ1 (s)), + Z ∞ Z µ (s) V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds (5) F (t, s, x (χ1 (s)), , x (χq (s)))ds, t R+ , E không gian Banach, hàm số µi , σi , χ1 , , χq C (R+ ; R+ ) có tính chất µi (t) t; σi (t) t; χ j (t) t, i = 1, 2, j = 1, , q, hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆µ1 E2 ! E; V2 : ∆µ2 E ! E; F : R2+ Eq ! E liên tục, ∆µi = f(t, s) R2+ : s µi (t)g Dạng phương trình nhiều tác giả nghiên cứu phương pháp điểm bất động Áp dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii với giả thiết thích hợp, Dhage Ntouyas [B C Dhage, S K Ntouyas, Nonlinear Studies (2002) 307 – 317], Purnaras [I K Purnaras, E J Qualitative Theory of Diff Equ., No 17 (2006), pp 1-24] thu số kết tồn nghiệm cho phương trình tích phân hàm phi tuyến x (t) = Q(t) + Z µ(t) k (t, s) f (s, x (θ (s)))ds + Z σ(t) v(t, s) g(s, x (η (s)))ds, (6) t 1, E = R, µ(t) t; σ(t) t; θ (t) t; η (t) t, với t [0, 1] Một số phương trình tổng quát (6) nghiên cứu [I K Purnaras, E J Qualitative Theory of Diff Equ., No 17 (2006), pp 1-24] Với kỹ thuật này, Purnaras thu kết tồn cho phương trình sau Z µ(t) x (t) = q(t) + + Z λ(t) β(t) α(t) k (t, s) f (s, x (θ (s)))ds b k (t, s) F s, x (ν(s)), Z σ(s) (7) k0 (s, v, x (η (v)))dv ds, t [0, 1] Gần đây, sử dụng kỹ thuật độ đo phi compact định lý điểm bất động Darbo, Z Liu cộng [Zeqing Liu, Shin Min Kang, Jeong Sheok Ume, Applied Mathematics Letters, 24 (6) (2011) 911-917] chứng minh tồn nghiệm nghiệm ổn định tiệm cận phương trình x (t) = f t, x (t), Z t u(t, s, x ( a(s)), x (b(s))) ds , t R+ Trong [C Avramescu, C Vladimirescu, Electronic J Qualitative Theory of Diff Equat 25 (2005) - 6], sử dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, Avramescu Vladimirescu chứng minh tồn nghiệm ổn định tiệm cận cho phương trình Z t x (t) = q(t) + K (t, s, x (s))ds + Z ∞ G (t, s, x (s))ds, t R+ , hàm q, K, G hàm cho trước, nhận giá trị E = R p , liên tục thỏa điều kiện phù hợp Trong trường hợp E không gian Banach tùy ý, tồn nghiệm ổn định tiệm cận phương trình x (t) = q(t) + f (t, x (t)) + + Z ∞ G t, s, x (s), Z t V t, s, x (s), Z s Z s V1 (t, s, r, x (r )) dr ds G1 (t, s, r, x (r )) dr ds, t R+ , chứng minh [L T P Ngoc, N T Long, Nonlinear Anal TMA 74 (18) (2011) 7111 - 7125], cách xây dựng không gian Fréchet dựa khái niệm nửa chuẩn sử dụng định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii không gian Fréchet Tiếp nối kế thừa kỹ thuật công trình vừa đề cập, sử dụng công cụ thích hợp giải tích hàm, điều kiện đủ để thu tồn nghiệm tồn nghiệm ổn định tiệm cận (5) Hơn nữa, tính compact tập nghiệm chứng minh Chúng tìm số ví dụ minh hoạ cho kết đạt - Dạng Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều chiều nhận giá trị không gian Banach tổng quát, với dạng sau u( x ) = V + Z x, u( x ), N R+ Z Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), , u(σ p (y)) dy N, F x, y, u(χ1 (y)), , u(χq (y)) dy, x R+ (8) N = f( x , , x ) R N : x R+ 0, , x N 0g, Bx = [0, x1 ] [0, x N ], hàm N 1 N ! R N liên tục với tính chất σ ( x ), , σ ( x ) B , x R N ; σ1 , , σ p , χ1 , , χq : R+ p x + + N hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆ E p ! E; F : R2N Eq ! E giả sử liên tục, + N N : y B g E không gian Banach ∆ = f( x, y) R+ R+ x Dạng phương trình tích phân quan tâm nghiên cứu tầm quan trọng toán học ứng dụng lĩnh vực khác khoa học công nghệ, kỹ thuật, khí, vật lý, kinh tế, Xem Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York, 1991], Deimling [Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, 1985] Sau ví dụ, Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge University Press, New York, 1991], phương trình tích phân mô tả mô hình toán học trình đông máu f (t, x ) = f ( x ) + Z tZ x 0 φ( x y, y) f (s, x y) f (s, y)dyds Z tZ ∞ 0 f (s, x )φ( x, y) f (s, y)dyds Trong [M M El-Borai, M A Abdou, M M El-Kojok, J Korea Soc Math Educ., Ser B, Pure Appl Math 15 (1) (2008) - 17], El-Borai cộng xét phương trình tích phân phi tuyến Volterra-Hammerstein miền n chiều có dạng µφ( x, t) = f ( x, t) + λ Z tZ Ω F (t, τ )K ( x, y)γ (τ, y, φ(y, τ )) dydτ, x = ( x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ); µ, λ số Sau đó, [M A Abdou, A A Badr, M M El-Kojok, Applied Mathematics and Computation, 217 (12) (2011) 5466 - 5475], M.A Abdou cộng khảo sát phương trình tích phân phi tuyến miền n chiều Z Z Z t µφ( x, t) = λ k ( x, y)γ (t, y, φ(y, t)) dy + λ ΩZ +λ t 0 Ω G (t, τ )k ( x, y)γ (τ, y, φ(y, τ )) dydτ F (t, τ )φ( x, τ )dτ + f ( x, t), x = ( x1 , , xn ), y = (y1 , , yn ) Sử dụng định lý điểm bất động Banach, tồn nghiệm phương trình chứng minh Gần [L T P Ngoc, N T Long, Acta Mathematica Scientia, 33B (2) (2013) 484 - 494], phương trình tích phân Z Z y x u( x, y) = q( x, y) + f ( x, y, u( x, y)) + + Z ∞Z ∞ 0 0 V ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt F ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt, ( x, y) R2+ , khảo sát, tồn nghiệm ổn định tiệm cận phương trình chứng minh Vận dụng kỹ thuật này, với việc lựa chọn công cụ thích hợp giải tích hàm, thu kết tương tự cho phương trình (8) là: Sự tồn nghiệm, tồn nghiệm ổn định tiệm cận, tính compact tập nghiệm Các ví dụ minh họa kết - Dạng Phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có dạng sau Z Z u( x, y) = g( x, y) + K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt, (9) có dạng tổng quát u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 0 K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t), D2n u(s, t))dsdt, (10) với nọi ( x, y) Ω = [0, 1] [0, 1], g : Ω ! R, K : Ω Ω ! R hay K : m n Ω Ω R3 ! R hàm số cho trước Các ký hiệu D1m u = ∂∂xmu , D2n u = ∂∂yun , để R2 đạo hàm riêng cấp m 1, n hàm u( x, y) xác định Ω, biến thứ biến thứ hai Trong [N Lungu, I A Rus, Journal of Mathematical Inequalities, (4) (2009) 519 - 527], áp dụng lý thuyết toán tử Picard kết hợp vận dụng định lý điểm bất động Banach, Lungu Rus chứng minh tồn tại, tính nghiệm, bất đẳng thức tích phân liên quan đến nghiệm phụ thuộc liên tục nghiệm vào liệu phương trình tích phân hàm Volterra-Fredholm, theo hai Zbiến Z không gian Banach, có dạng x u( x, y) = g( x, y, h(u)( x, y)) + y K ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt, ( x, y) R2+ Trong [B G Pachpatte, J Inequal Pure and Appl Math 10 (4) (2009), Art 108, 10 pp], dựa ứng dụng định lý điểm bất động Banach bất đẳng thức tích phân với đánh giá tường minh, BG Pachpatte nghiên cứu số tính chất nghiệm phương trình tích phân Fredholm theo hai biến sau u( x, y) = f ( x, y) + Z aZ b 0 g ( x, y, s, t, u(s, t), D1 u(s, t), D2 u(s, t)) dtds M A Abdou cộng xét tồn nghiệm khả tích phương trình tích phân phi tuyến, kiểu Hammerstein - Volterra loại hai, cách sử dụng kỹ thuật độ đo phi compact yếu định lý điểm bất động Schauder, xem [M A Abdou, A A Badr, M M El-Kojok, Applied Mathematics and Computation, 217 (12) (2011) 5466 - 5475] Trong [Monica Lauran, Miskolc Mathematical Notes, 13 (1) (2012) 67-74], M Lauran thiết lập điều kiện đủ cho tồn nghiệm phương trình tích phân kiểu Volterra cách sử dụng khái niệm toán tử không giãn (nonexpansive operator), nguyên lý ánh xạ co định lý điểm bất động Schaefer Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Perov, [A Aghajani, E Pourhadi, M Rivero, J Trujillo, Mathematica Slovaca (2014), Apr (In Press)], A Aghajani cộng chứng minh số kết tồn tại, đánh giá nghiệm phương trình vi tích phân kiểu Fredholm theo hai biến Gần đây, [L T P Ngoc, N T Long, Nonlinear Anal TMA 74 (11) (2011) 3769 3774; Acta Mathematica Scientia, 33B (2) (2013) 484 - 494; Mathematische Nachrichten, 288 (5-6) (2015) 633-647], sử dụng công cụ giải tích hàm định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, tác giả khảo sát tính giải tồn nghiệm ổn định tiệm cận phương trình tích phân hàm phi tuyến theo biến hai biến, N biến Từ công trình đề cập gợi ý từ kết [B G Pachpatte, Differential Equations & Applications, (1) (2009) 27 - 39; J Inequal Pure and Appl Math 10 (4) (2009), Art 108, 10 pp; Tamkang J of Math 39 (1) (2008) 85 - 94], thấy định lý điểm bất động Banach, định lý điểm bất động Schauder kết hợp với công cụ giải tích hàm áp dụng để thu kết tồn số tính chất nghiệm (9) (10) Trong trình chứng minh, việc xây dựng không gian Banach ( Xm , k k Xm ), ( Xm,n , k k Xm,n ) sau với việc tìm tiêu chuẩn nhận biết tập chúng tập compact tương đối hữu ích Xm = fu X = C (Ω; R) : D1k u X, k = 1, 2, , mg, D1k u( x, y) , u Xm , ứng với (9); kuk Xm = sup ju( x, y)j + ∑m k =1 sup ( x,y)2Ω ( x,y)2Ω j Xm,n = fu X = C (Ω; R) : D1i u, D2 u X, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , ng, kuk Xm,n = sup ju( x, y)j + ∑im=1 sup D1i u( x, y) ( x,y)2Ω + ∑nj=1 sup ( x,y)2Ω ( x,y)2Ω j D2 u( x, y) , u Xm,n , ứng với (10) Theo hiểu biết chúng tôi, kỹ thuật chưa sử dụng trước Toàn kết đạt ứng với dạng phương trình nêu trình bày bốn chương 1, 2, luận án, với cấu trúc tên gọi chương sau Chương Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến Chương xét hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến (1) Chương gồm bốn mục Trong mục 1, cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, tìm điều kiện đủ cho tồn ổn định nghiệm (1) Trong trường hợp Ψ C2 (Ω R2 ; R), mục khảo sát hội tụ bậc hai (1) Trong trường hợp Ψ C N (Ω R2 ; R) ε đủ nhỏ, mục thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm (1) đến cấp N + theo ε Mục trình bày ví dụ minh họa Kết thu tổng quát hoá tương đối kết trước công bố [D1] Ngoài ra, luận án đưa ý phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị không gian Banach E, từ với E = R N , ta thu tồn nghiệm tương ứng không gian Fréchet C (R+ ; R N ) Kết thu công bố [D4] Chương Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị không gian Banach Chương xét phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ (5) Chương gồm bốn mục Trong mục 1, trình bày tồn nghiệm Mục trình bày tồn nghiệm ổn định tiệm cận Mục trình bày tính compact tập nghiệm Mục trình bày ví dụ minh họa Kết thu công bố [D2] Chương Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị không gian Banach Chương xét phương trình tích phân hàm phi tuyến (8) Chương gồm bốn mục, với nội dung mục chương 2, với cải tiến phương pháp kỹ thuật sử dụng chương cho miền nhiều chiều Kết thu được công bố [D3] Chương Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến hai biến nhận giá trị thực Chương xét phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có dạng (9) (10) Chương gồm bốn mục Sự tồn nghiệm cho (9) trường hợp m = 1, m trình bày mục 1, Sự tồn nghiệm cho (10) trường hợp m n trình bày mục Sự nghiệm hay tính compact tập nghiệm nêu mục Mục trình bày hai ví dụ minh họa Kết thu công bố [D5] Tóm lại, nội dung luận án nới rộng kế thừa kết trước công bố [D1] - [D5] Nội dung luận án báo cáo phần hội nghị cấp Để nhận kết luận án này, công cụ giải tích hàm phi tuyến áp dụng Ngoài khái niệm tính chất cần thiết đặc thù cho dạng toán nêu rõ chương, để tiện theo dõi, sau nhắc lại không gian Fréchet N ; E ) sử dụng hai chương luận án định lý quan trọng C (R+ sử dụng toàn luận án N ; E ) Không gian Fréchet C (R+ Ta biết không gian hàm liên tục tập không compact có cấu trúc không gian Banach, xây dựng để thành không gian Fréchet sử dụng họ đếm nửa chuẩn phù hợp xác định mêtric tương ứng [xem [C Avramescu, E J Qualitative Theory of Diff Equ., No (2003) 15]; [C Avramescu, EJDE 126 (2005) - 10]); K Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, New York Berlin, G¨ ottingen Heidelberg, Vol 123, 1965, p.32, p.52] N ; E ) không gian tất Cho ( E, j j) không gian Banach Cho X = C (R+ N hàm liên tục từ R+ vào E họ đếm nửa chuẩn jujn = sup ju( x )j , n N, u X Khi X không gian đầy đủ theo mêtric d(u, v) = ∑ x 2[0,n] N ∞ ju vjn n 1+ju vj , u, v n =1 n X, X không gian Fréchet Điều có nghĩa dãy Cauchy fuk g X hội tụ điểm X Chi tiết chứng minh tìm thấy Phụ lục [L T P Ngoc, N T Long, Differential Equations & Applications, (2) (2012) 233 - 255] Các định lý điểm bất động quan trọng thường sử dụng Định lý 0.1 (Định lý điểm bất động Banach [K Goebel, W A Kirk, Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, New York, 1990], Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho ( M, d) không gian metric đầy đủ T : M ! M ánh xạ co, nghĩa là, tồn k [0, 1) cho d( Tx, Ty) kd( x, y), x, y M Khi T có điểm bất động x M Hơn với x0 M cho trước, dãy lặp f T n x0 g hội tụ x Định lý 0.2 (Định lý Schauder [M A Krasnosel’skii, P P Zabreiko, Geometrical Methods of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1984]) Cho K tập khác rỗng, lồi, đóng không gian Banach E T : K ! K ánh xạ liên tục cho bao đóng T (K ) tập compact Khi T có điểm bất động Định lý 0.3 (Định lý điểm bất động Krasnosel’skii không gian Banach [E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Part I, Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo, 1986]) Cho M tập khác rỗng, lồi, đóng bị chặn không gian Banach X Giả sử U : M ! X ánh xạ co C : M ! X toán tử hoàn toàn liên tục, nghĩa là, C liên tục C ( M ) chứa tập compact, cho U ( x ) + C (y) M, x, y M Khi U + C có điểm bất động Định lý 0.4 (Định lý điểm bất động Banach không gian Fréchet, Banach, xem [C Avramescu, E J Qualitative Theory of Diff Equ., No (2003) - 15]) Cho ( X, j jn ) không gian Fréchet cho Φ : X ! X toán tử Ln co X họ nửa chuẩn j jn , tức jΦ( x ) Φ(y)jn Ln j x yjn , x, y X Khi Φ có điểm bất động X Chi tiết chứng minh Định lý 0.4 tìm thấy Phụ lục [L T P Ngoc, N T Long, Differential Equations & Applications, (2) (2012) 233 - 255] Định lý 0.5 (Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii không gian Fréchet [L T P Ngoc, N T Long, Fixed Point Theory and Applications, Vol 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages]) Cho ( X, j jn ) không gian Fréchet hai toán tử U, C : X ! X Giả sử U toán tử k n co, k n [0, 1) (phụ thuộc vào n), họ nửa chuẩn k kn tương đương với họ nửa jCx jn j x jn !∞ j x jn chuẩn j jn C toán tử hoàn toàn liên tục cho lim bất động = 0, 8n N Khi đó, U + C có điểm Chương Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến Chương khảo sát hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến sau fi (x) = m n ∑ k =1 ∑ j =1 εaijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )), Z X (x) ijk f j (t)dt + bijk f j (Sijk ( x )) + gi ( x ), (1.1) i = 1, , n, x Ω = [ b, b], aijk , bijk số thực cho trước; Rijk , Sijk , Xijk : Ω ! Ω, gi : Ω ! R, Ψ : Ω R2 ! R hàm liên tục cho trước f i : Ω ! R ẩn hàm, ε tham số bé Kết thu tổng quát hoá tương đối kết trước công bố [D1], [D4] 1.1 Định lý tồn ổn định nghiệm Với Ω = [ b, b], ký hiệu X = C (Ω; Rn ) không gian Banach hàm f : Ω ! Rn liên tục Ω chuẩn k f k X = sup ∑in=1 j f i ( x )j , f = ( f , , f n ) X x 2Ω Với số nguyên n không âm r bất kỳ, ta đặt (k) Cr (Ω; Rn ) = f C (Ω; Rn ) : f i C (Ω; R), k r, i o n Rõ ràng Cr (Ω; Rn ) không gian Banach chuẩn k f kr = max k r f (k) X Ta viết hệ (1.1) dạng phương trình toán tử X sau f = εA f + B f + g, f = ( f , , f n ), A f = (( A f )1 , , ( A f )n ), B f = (( B f )1 , , ( B f )n ), với n ( A f )i ( x ) = ∑ m k =1 ∑ j=1 aijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )), ( B f )i ( x ) = ∑m k =1 ∑nj=1 bijk f j (Sijk ( x )), x [αijk ] = ∑in=1 ∑m k =1 max j n Ta ký hiệu k = 1, , mg, Z X (x) ijk (1.2) f j (t)dt , Ω, i = 1, 2, , n αijk , với tập [αijk ] = fαijk R : i, j = 1, , n; [ Fijk ] = ∑in=1 ∑m k =1 max Fijk j n ∞ , với tập [ Fijk ] = f Fijk C (Ω; R) : i, j = 1, , n; k = 1, , mg, k k∞ để chuẩn sup C (Ω; R); thành lập giả thiết sau ( H1 ) Tất hàm Rijk , Sijk , Xijk : Ω ! Ω liên tục, ( H2 ) g X, ( H3 ) [bijk ] < 1, ( H4 ) Ψ : Ω R2 ! R thỏa điều kiện sau: M > 0, 9C1 ( M) > : jΨ( x, y1 , z1 ) Ψ( x, y2 , z2 )j C1 ( M) (jy1 y2 j + jz1 z2 j) với ( x, y1 , z1 ), ( x, y2 , z2 ) Ω [ M, M ] [ bM, bM ], M (1 k[b ]k) 2k g k ( H5 ) M > [b X ] < ε0 < 2[(1+b MC ( M)+ijknM ] [a ] , ) k ijk k k ijk k M0 = sup fjΨ( x, 0, 0)j : x Ωg Cho trước M > 0, ta đặt K M = f f X : k f k X M g Bổ đề 1.1.1 Giả sử ( H1 ) ( H3 ) Khi đó, toán tử tuyến tính I B : X ! X khả đảo ( I B) k[bijk ]k Ta viết lại hệ phương trình hàm (1.2) sau (1.3) f = ( I B) (εA f + g) T f Bổ đề 1.1.2 Giả sử ( H1 ), ( H3 ), ( H4 ) Khi đó, với M > 0, ta có (i) k A f k X [ aijk ] [(1 + b) C1 ( M) k f k X + nM0 ] , f K M ; (ii) A f A f¯ X (1 + b) C1 ( M) [ aijk ] f f¯ X , f , f¯ K M Định lý 1.1.3 Giả sử ( H1 ) ( H5 ) Khi đó, với ε, với jεj ε0 , hệ (1.3) có nghiệm f K M Nhận xét 1.1.1: Định lý 1.1.3 cho thuật giải xấp xỉ liên tiếp f (ν) = T f (ν 1) , ν = 1, 2, , f (0) X cho trước Khi đó, dãy f f (ν) g hội tụ X nghiệm f (1.3) ta có ε0 (1+b)C1 ( M )k[ aijk ]k σν (0) f (0) với ν N, σ = < đánh giá f (ν) f σ Tf k[bijk ]k X X 1.2 Thuật giải lặp cấp hai Xét thuật giải sau cho hệ (1.1) (ν) (ν) (ν) n f i ( x ) = ( B f (ν) )i ( x ) + ε ∑ m k =1 ∑ j=1 αijk ( x ) f j ( Rijk ( x )) Z X (x) (1.4) ijk (ν) (ν) (ν) n + ε ∑m f j (t)dt + gi ( x ), k =1 ∑ j=1 βijk ( x ) với x Ω, (ν) Wijk ( x ) = i n, ν = 1, 2, ( ν 1) x, f j ( Rijk ( x )), Z X (x) ijk ( ν 1) fj (t)dt , (1.5) 1.5 Chú ý phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị không gian Banach Cùng chủ đề này, xét phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị không gian Banach có dạng x (t) = V t, x (t), V¯2 [ x ](s) = Z µ (s) Z µ (t) V1 t, s, x (θ (s)), , x (θ p (s)), V¯2 [ x ](s) ds , (1.12) V2 s, r, x (θ˜ (r )), , x (θ˜ q (r )) dr, t R+ , E không gian Banach, V : R+ E2 ! E; V1 : ∆µ1 E p+1 ! E; V2 : ∆µ2 Eq ! E giả sử hàm liên tục, ∆µi = f(t, s) R2+ : s µi (t)g, hàm µ1 , µ2 , θ i , θ˜ j C (R+ ; R+ ) liên tục cho µ1 (t), µ2 (t), θ i (t), θ˜ j (t) [0, t], i = 1, , p; j = 1, , q Trong [D4], sử dụng công cụ giải tích hàm định lý điểm bất động Banach không gian Fréchet C (R+ ; E), để chứng minh tồn nghiệm cho phương trình Các ví dụ minh họa đưa để làm sáng tỏ kết Trong trường hợp E = R N , xét phương trình tích phân hàm phi tuyến sau xi (t) = Ui t, x1 (t), , x N (t), , Z µ (t) W1 (t, s, x1 (θ (s)), , x N (θ (s)) ) ds, Z µ (t) (1.13) WN (t, s, x1 (θ (s)), , x N (θ (s)) ) ds , i = 1, , N, t R+ , hàm liên tục Ui , Wi xác định Ui : R+ R2N ! R, i = 1, , N; Wi : ∆1 R N ! R, i = 1, , N; ∆1 = f(t, s) R2+ : s µ1 (t)g Giả sử ( A˜ ) Các hàm µ1 , θ C (R+ ; R+ ) cho µ1 (t) t, θ (t) t, với t R+ ; Ta viết lại (1.13) theo dạng xi (t) = Ui t, x (t), Z µ (t) W1 (t, s, x (θ (s)) ) ds, , Z µ (t) WN (t, s, x (θ (s)) ) ds , (1.14) ; R N ) i = 1, , N, t R+ , x = ( x1 , , x N ) X = C (R+ Ta định nghĩa hai hàm vecto V : R+ R2N ! R N , V1 : ∆1 R N ! R N sau: V (t, x, y) = (U1 (t, x, y), , UN (t, x, y)) , (t, x, y) R+ R2N , V1 (t, s, x ) = (W1 (t, s, x ), , WN (t, s, x )) , (t, s, x ) ∆1 R N Khi hệ (1.14) trở thành x (t) = V t, x (t), Z µ (t) V1 (t, s, x (θ (s)) ) ds Φx (t), t (1.15) Giả sử ( A˜ ) Tồn số L [0, 1) hàm liên tục ω : R+ ! R+ cho ¯ y¯ )j L j x x¯ j∞ + ω (t) jy y¯ j∞ , (t; x, y) , (t; x, ¯ y¯ ) R+ R2N , jUi (t; x, y) Ui (t; x, N với i = 1, , N; j j∞ chuẩn R xác định j x j∞ = max j xi j , i N x = ( x1 , , x N ) R N ( A˜ ) Tồn hàm liên tục ω : ∆1 ! R+ cho jWi (t, s, x ) Wi (t, s, x¯ )j ω (t, s) j x x¯ j∞ , với (t, s, x ), (t, s, x¯ ) ∆1 R N Chú ý C (R+ ; R N ) không gian Fréchet trang bị họ đếm nửa chuẩn j x jn = supfj x (t)j∞ : t [0, n]g, n Trên C (R+ ; R N ) xét họ nửa chuẩn khác xác định k x kn = supfe hn t j x (t)j∞ : t n g, n 1, hn > số thực tùy ý, mà k kn tương đương với j jn , e nhn j x jn k x kn j x jn , x C (R+ ; R N ), 8n Với việc chọn tham số phù hợp hn > Ln [0, 1) cho, toán tử Φ Ln co C (R+ ; R N ) 12 Khi ta có kết sau Định lý 1.5.1 Giả sử ( A˜ ) ( A˜ ) Khi (1.13) có nghiệm y C (R+ ; R N ) Hơn nữa, cho trước y(0) C (R+ ; R N ), xét dãy fy(k) g xác định y(k) (t) = V t, y(k 1) ( t ), Z µ (t) f y(k) g V1 t, s, y(k 1) ( θ ( s )) t R+ , k = 1, 2, Khi đó, dãy hội tụ y C (R+ k y (1) y (0) k n k (k) y y Ln , 8k, n N, Ln Φy(k ds ; RN ) 1) ( t ), (1.16) với đánh giá sai số (1.17) n Ln Ln , < < số phụ thuộc vào n Kết luận chương Chương thu kết tồn tại, nghiệm ổn định nghiệm hệ (1.1) Trường hợp Ψ C2 (Ω R2 ; R), thuật giải lặp cấp thiết lập sinh dãy hội tụ cấp hai nghiệm hệ (1.1) với đánh giá sai số cấp hai Trường hợp Ψ C N (Ω R2 ; R) ε đủ nhỏ, chương thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm (1.1) đến cấp N + theo ε Cuối ví dụ minh họa trình bày Ngoài ra, cuối chương nêu ý phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị không gian Banach E, từ với E = R N , dẫn đến tồn nghiệm tương ứng không gian Fréchet C (R+ ; R N ) Kết chương công bố [D1], [D4] Chương Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị không gian Banach Chương khảo sát phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ x (t) = V t, x (t), + Z µ (t) Z ∞0 V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds F (t, s, x (χ1 (s)), , x (χq (s)))ds, t R+ , (2.1) E không gian Banach, hàm số µi , σi , χ1 , , χq C (R+ ; R+ ) có tính chất µi (t) t; σi (t) t; χ j (t) t, i = 1, 2, j = 1, , q, hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆µ1 E2 ! E; V2 : ∆µ2 E ! E; F : R2+ Eq ! E liên tục, ∆µi = f(t, s) R2+ : s µi (t)g Kết thu tổng quát hoá tương đối kết trước công bố [D2] 2.1 Sự tồn nghiệm Cho X = C (R+ ; E) không gian tất hàm liên tục từ R+ vào E Trên X trang bị họ đếm nửa chuẩn j x jn = supfj x (t)j : t n g, n Khi ( X, j jn ) đầy đủ theo metric d( x, y) = ∑∞ n =1 n j x yjn , 1+j x yjn X không gian Fréchet Trên X, xét họ nửa chuẩn khác k kn xác định k x kn = j x jγ + j x jhn , n n hn (t γn ) 1, j x jγ = supfj x (t)j : t γn g, j x jhn = supfe j x (t)j : γn t ng, γn (0, n) n hn > số thực tùy ý Họ tương đương với j jn , e hn (n γn ) j x jn k x kn j x jn , x X, 8n Dựa vào cấu trúc ( X, j jn ), bổ đề sau hữu ích để chứng minh tồn nghiệm cho phương trình (2.1) Bổ đề 2.1.1 Cho X = C (R+ ; E) không gian Fréchet xác định A X Với n N, ký hiệu Xn = C ([0, n]; E) không gian Banach tất hàm liên tục x : [0, n] ! E chuẩn j x jn = supfj x (t)j : t ng An = f x j[0,n] : x Ag Khi đó, tập A compact tương đối X với n N, An đẳng liên tục Xn với t [0, n], tập 13 An (t) = f x (t) : x An g compact tương đối E Để thiết lập kết cho phương trình (2.1), ta lập giả thiết sau ( A1 ) Các hàm µ1 , µ2 , σ1 , σ2 , χ1 , , χq C (R+ ; R+ ) cho µi (t), σi (t), χ j (t) [0, t], với t R+ , i = 1, 2, j = 1, q ( A2 ) Tồn số L [0, 1) hàm liên tục ω : R+ ! R+ cho ¯ y¯ )j L j x x¯ j + ω (t) jy y¯ j , (t; x, y) , (t; x, ¯ y¯ ) R+ E2 ; jV (t; x, y) V (t; x, ( A3 ) Tồn hàm liên tục ω : ∆µ1 ! R+ cho ¯ y¯ )j ω (t, s) (j x x¯ j + jy y¯ j) , 8(t, s, x, y), (t, s, x, ¯ y¯ ) ∆µ1 E2 ; jV1 (t, s, x, y) V1 (t, s, x, ( A4 ) Tồn hàm liên tục ω : ∆µ2 ! R+ cho jV2 (s, r, x ) V2 (s, r, x¯ )j ω (s, r ) j x x¯ j , với (s, r, x ), (s, r, x¯ ) ∆µ2 E; ( A5 ) F : R2+ Eq ! E hoàn toàn liên tục cho với tập bị chận I1 , I2 R+ tập bị chận J Eq , với ε > 0, tồn δ > 0, cho 8t1 , t2 I1 , jt1 t2 j < δ =) F (t1 , s, u1 , , uq ) F (t2 , s, u1 , , uq ) < ε, với (u1 , , uq ) J s I2 ; (RA6 ) Tồn hàm liên tục ω : R2+ ! R+ cho với tập bị chận I R+ , ∞ ω (t, s), 8(t, s, u1 , , uq ) I R+ Eq sup ω ( t, s ) ds < ∞, F ( t, s, u1 , , uq ) t2 I Khi đó, ta có định lý sau Định lý 2.1.2 Giả sử ( A1 ) ( A6 ) Khi (2.1) có nghiệm X 2.2 Nghiệm ổn định tiệm cận Định nghĩa Một hàm x gọi nghiệm ổn định tiệm cận (2.1) với nghiệm x˜ (2.1), ta có lim j x (t) x˜ (t)j = t!+∞ Khi đó, ta có định lý Định lý 2.2.1 Giả sử ( A1 ) lim t!∞ a¯ (t) + b(t) Z t ( A6 ) Nếu a¯ (s) exp Z t s (2.2) b(r )dr ds = 0, > > a¯ (t) = a(t) + a(σ1 (t)) + a(σ2 (t)), a(t) = > > > Z t > > > > ¯ 20 (t) ω (t, r )dr, < b ( t ) = 2ω 1 L Z ∞ ω (t, s)ds, 8t R+ , ¯ (t) = 1 L [ω (t) + ω (σ1 (t)) + ω (σ2 (t))] , ω > > Z t > > > > ¯ (t, r ) + ω ¯ (t, s)ω (s, r )ds, r t, ω (t, r ) = ω > > > r : ¯ (t, s) = ω (t, s) + ω (σ1 (t), s) + ω (σ2 (t), s), ω nghiệm x (2.1) nghiệm ổn định tiệm cận Hơn nữa, lim j x (t) ξ (t)j = 0, ξ X nghiệm phương trình t!∞ x (t) = V t, x (t), 2.3 Z µ (t) V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds , t (2.3) Tính compact tập nghiệm Định lý 2.3.1 Giả sử ( A1 ) ( A6 ) Khi tập nghiệm phương trình (2.1) khác rỗng compact 2.4 Ví dụ minh họa Ở mục minh họa kết thu ví dụ Gọi E = C ([0, 1]; R) không gian Banach hàm liên tục u : [0, 1] ! R chuẩn 1g, u E Khi đó, với x X = C (R+ ; E), với t R+ , kuk = supfju(η )j : η x (t) phần tử E ký hiệu x (t)(η ) = x (t, η ), η 14 Xét phương trình (2.1) có dạng x (t) = V t, x (t), + Z ∞ Z µ (t) V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds (2.4) F (t, s, x (χ1 (s)), , x (χq (s)))ds, t R+ , σi (t) = σ¯ i t, < σ¯ i 1, µi (t) = µ¯ i t, < µ¯ i 1, i = 1, 2; χ j (t) = χ¯ j t, < χ¯ j 1, j = 1, , q Cho trước hàm liên tục V, V1 , V2 , F sau (i) Hàm V : R+ E2 ! E, V (t, x, y)(η ) = 8(1 k1 ) x (t, η ) + k1 j x (η )j + e t jy(η )j , η 1, (t, x, y) R+ E2 , với x (t, η ) = η +1 et k1 số cho trước cho < k1 < (ii) Hàm V1 : ∆1 E2 ! E, ∆h1 = f(t, s) R2+ : s µ¯ tg, i V1 (t, s, x, y)(η ) = e 2s x (t, η ) sin x (σ π(s),η ) x (η ) + e t jy(η )j , η 1, (t, s, x, y) ∆1 E2 (iii) Hàm V2 : ∆2 E ! E, ∆2 = f(s, r ) R2+ : r V2 (s, r, x )(η ) = e 2r x (s, η ) sin η 1, (s, r, x ) ∆2 E (iv) Hàm F : R2+ Eq ! E, F (t, s; u1 , , uq )(η ) = 14 q 2π x (η ) x (σ2 (r ),η ) (k1 1) e R2+ Eq 2s x , µ¯ sg, q (t, η ) ∑ j=1 sin π Z 1r u j (ζ ) dζ x (χ j (s),ζ ) , η 1, (t, s; u1 , , uq ) Khi đó, giả thiết ( A1 ) ( A6 ) thỏa Khi đó, định lý 2.2.1 cho (2.4) Hơn nữa, dễ thấy phương trình ξ (t) = V t, ξ (t), Z µ (t) V1 t, s, ξ (σ1 (s)), Z µ (s) V2 (s, r, ξ (σ2 (r )))dr ds , t có nghiệm ξ xác định ξ : R+ ! E, ξ (t)(η ) = ξ (t, η ) = x : R+ ! E, x (t)(η ) = x (t, η ) = k x (t) ξ (t)k = lim e t t!∞ , et +η 0, , et +η 8η [0, 1], 8η [0, 1], nghiệm (2.4) Hơn lim = Do đó, ξ x nghiệm ổn định tiệm cận (2.4) t!∞ Kết luận chương Chương kế thừa ý tưởng phương pháp nghiên cứu công trình trước [L T P Ngoc, N T Long: Fixed Point Theory and Applications, Vol 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages; Nonlinear Anal TMA 74 (18) (2011) 7111 - 7125; Diff Equ.Appl (2) (2012) 233 - 255] Tuy nhiên, với xuất số hạng phi tuyến V t, x (t), Z ∞ Z µ (t) V1 t, s, x (σ1 (s)), Z µ (s) V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr ds tích phân F (t, s, x (χ1 (s)), , x (χq (s)))ds gây không khó khăn Các kết chương công bố [D2] Chương Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị không gian Banach Chương xét phương trình tích phân hàm phi tuyến u( x ) = V x, u( x ), Z Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), , u(σ p (y)) dy + Z (3.1) N R+ F x, y, u(χ1 (y)), , u(χq (y)) dy, 15 N = f( x , , x ) R N : x R+ 0, , x N 0g, Bx = [0, x1 ] [0, x N ], hàm N 1 N ! R N liên tục với tính chất σ ( x ), , σ ( x ) B , x R N ; σ1 , , σ p , χ1 , , χq : R+ p x + + N q ! E giả sử liên tục, hàm V : R+ E2 ! E; V1 : ∆ E p ! E; F : R2N E + N N : y B g E không gian Banach Kết thu được công ∆ = f( x, y) R+ R+ x bố [D3] 3.1 Không gian hàm N ; E ) không gian tất hàm liên tục từ R N vào E Trên X trang Cho X = C (R+ + bị họ đếm nửa chuẩn jujn = supfju( x )j : x [0, n] N g, n Khi ( X, j jn ) đầy đủ theo metric d(u, v) = ∑∞ n =1 n ju vjn 1+ju vjn X không gian Fréchet Trên X, xét họ nửa chuẩn khác k kn xác định kukn = 1, jujγ = supfju( x )j : x [0, n] N , j x j1 γ n g, j u j h n = j u jγn + j u j hn , n n supfe hn (j xj1 γn ) ju( x )j : x [0, n] N , j x j1 γn g, j x j1 = x1 + + x N , γn (0, n) hn > số thực tùy ý k kn j jn tương đương, e hn (nN γn ) jujn kukn jujn , 8u X, 8n N ; E ) không gian Fréchet định nghĩa A Bổ đề 3.1.1 Cho X = C (R+ X Với N n N, gọi Xn = C ([0, n] ; E) không gian Banach tất hàm liên tục u : [0, n] N ! E chuẩn jujn = supfju( x )j : x [0, n] N g An = fuj[0,n] N : u Ag Khi đó, tập A compact tương đối với n N, An đẳng liên tục Xn với x [0, n] N , tập An ( x ) = fu( x ) : u An g compact tương đối E Định nghĩa 3.1.1 Một hàm u˜ gọi nghiệm ổn định tiệm cận (3.1) lim j x j1 !+∞ ju( x ) u˜ ( x )j = 0, với nghiệm u (3.1) 3.2 Sự tồn nghiệm nghiệm ổn định tiệm cận Chúng ta thành lập giả thiết sau N ! R cho ( A1 ) Tồn số L [0, 1) hàm liên tục ω : R+ + N ¯ v¯ )j L ju u¯ j + ω ( x ) jv v¯ j , x R+ , 8u, v, u, ¯ v¯ E; jV ( x; u, v) V ( x; u, ( A2 ) Tồn hàm liên tục ω : ∆ ! R+ cho x, y; u1 , , u p , x, y; u¯ , , u¯ p ∆ Ep, p V1 x, y; u1 , , u p V1 x, y; u¯ , , u¯ p ω ( x, y) ∑i=1 jui u¯ i j , N với tập ( A3 ) F hoàn toàn liên tục cho với tập bị chận I1 , I2 R+ q bị chận J E , với ε > 0, tồn δ > 0, cho x, x¯ I1 , ¯ y; u1 , , uq ) < ε, 8(y; u1 , , uq ) I2 J; j x x¯ j1 < δ =) F ( x, y; u1 , , uq ) F ( x, 2N ! R cho với tập bị chận I R N , ( A ) Tồn hàm liên tục ω : R + + + Z sup ω ( x, y)dy < ∞, F x, y; u1 , , uq N R+ x2 I ( A5 ) lim Z η !0+ Bx , jσi (y)j1 η ω ( x, y), x, y; u1 , , uq I j x j1 !+∞ Bx a¯ ( x ) = a( x ) + ∑i=1 a(σi ( x )), a( x ) = R¯ ( x ) = p R ( x ) + ∑ i =1 Eq ; dy = 0, 8i = 1, , p Định lý 3.2.1 Giả sử ( A1 ) ( A5 ) Khi (3.1) có nghiệm X Hơn nữa, Z a¯ (y)dy = 0, lim a¯ ( x ) + R¯ ( x ) exp ( R¯ (0) x1 x2 x N ) p N R+ 1 L R(σi ( x )), R( x ) = Z N R+ ω ( x, y)dy; L ω ( x ) ω ( x, 0), 16 (3.2) N, ω ( x )ω ( x, y) ω ( x )ω ( x, 0) ω (0)ω (0, 0), 8y Bx , x R+ nghiệm u (3.1) nghiệm ổn định tiệm cận Nhận xét 3.1 Giả thiết ( A5 ) hợp lý, nhờ hai ví dụ sau Z Ví dụ Xét σi ( x ) = x, σi thỏa mãn ( A5 ), y2[0,n] N , jyj1 η η ! 0+ Ví dụ Xét σi (y) = by, < b < 1, ( A5 ) đúng, Z ηN N! dy y2[0,n] N , jbyj1 η dy ! 0, ηN N!b N !0 η ! 0+ Tiếp theo, đưa ví dụ mà ω , ω , ω , σi thỏa mãn (3.2) Ví dụ p p (1 L ) α1 (1 L ) α1 q ω ( x, y) = q , , ω ( x ) = λ1 N 1+ β1 exp(γ1 j x j1N ) 1+ β1 exp(γ1 j x j1 )+ β2 jyj1 q ω ( x, y) = exp( γ2 j x j1 ) λ 1+jyj2 , j y j2 = y21 + + y2N ; σi ( x ) = σ¯ i x, α1 , β1 , β2 , γ1 , γ2 , λ1 , λ2 , σ¯ i (1 < σ¯ i 1, σmin = σ¯ i , γ1 > i p i i p, p) số dương với λ1 > N, λ2 > N, ( p +1) α1 N N (1+ β1 )σmin Ta nghiệm lại (3.2) Nhận xét 3.2 Trong trình chứng minh định lý 3.2.1, cần đánh giá bất đẳng thức tích phân sau Z sau jv( x )j p N, r ( x, y)jv(σi (y))jdy + a( x ), x R+ ∑ i =1 BxZ 1 L a( x ) = N R+ ω ( x, y)dy, r ( x, y) r ( x, 0) R( x ) N r (0, 0), 8y Bx , x R+ Khi đó, ta có đánh giá sau cho jv( x )jZ sau a¯ (y)dy, jv( x )j a¯ ( x ) + R¯ ( x ) exp ( R¯ (0) x1 x2 x N ) Bx p p a¯ ( x ) = a( x ) + ∑i=1 a(σi ( x )), R¯ ( x ) = R( x ) + ∑i=1 R(σi ( x )), R( x ) = r ( x, 0) 3.3 Tính compact tập nghiệm Định lý 3.3.1 Giả sử ( A1 ) ( A5 ) Khi tập nghiệm phương trình (3.1) khác rỗng compact 3.4 Ví dụ minh họa Cho E = C ([0, 1]; R) không gian Banach tất hàm liên tục v : [0, 1] ! R chuẩn kvk = supfjv(t)j : t 1g, v E Khi đó, với u X = C (R2+ ; E), với x R+ , u( x ) phần tử E ta ký hiệu u( x )(t) = u( x, t), t Xét phương trình (3.1) theo dạng u( x ) = V x, u( x ), + Z R2+ Z Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), , u(σ p (y)) dy (3.3) F x, y, u(χ1 (y)), , u(χq (y)) dy, x R2+ , σi ( x ) = σ¯ i x, < σ¯ i 1, i = 1, , p; χi ( x ) = χ¯ i x, < χ¯ i 1, i = 1, , q; Bx = [0, x1 ] [0, x2 ] Cho trước hàm liên tục V, V1 , F sau (i) Hàm V : R2+ E2 ! E, V ( x, u, v)(t) = 2(1 k1 )u ( x, t) + k1 ju(t)j + e γj xj1 jv(t)j , t 1, ( x, u, v) R2+ E2 , với u ( x, t) = 1jxj1 γ, k1 số cho trước cho t+e < k1 < 1, γ > (1+ p ) π 2(1 k ) θ > 0, θ = σ¯ 2i i p 17 (ii) Hàm V1 : ∆ E p ! E, V1 x, y; u1 , , u p (t) = e t 1, x, y; u1 , , u p ∆ E p , ∆ = f( x, y) R2+ (iii) Hàm F : R2+ R2+ Eq ! E, q F x, y; u1 , , uq (t) = (k1 1) e 2j y j1 u R2+ R2+ Eq t 1, x, y; u1 , , uq Ta nghiệm lại ( A1 ) nữa, dễ thấy phương trình ξ (x) = V x, ξ ( x ), Z Bx p 2j y j1 u ( x, t) ∑i=1 sin π u u : ! E, lim ku ( x ) q ( x, t) ∑i=1 sin π Z ui ( s ) ds u (χi (y),s) , ( A5 ) Do đó, Định lý 3.3.1 cho (3.3) Hơn V1 x, y, ξ (σ1 (y)), , ξ (σ p (y)) dy , x R2+ u ( x )(t) = u ( x, t) = ξ ( x )k = lim e j x j1 ! ∞ , R2+ : y Bx g có nghiệm ξ xác định ξ : R2+ ! E, ξ ( x )(t) = ξ ( x, t) = R2+ ui ( t ) (σi (y),t) j x j1 ! ∞ j x j1 t + e j x j1 t + e j x j1 , 8t [0, 1], , 8t [0, 1], nghiệm (3.3) Hơn = Do đó, ξ u nghiệm ổn định tiệm cận (3.3) Kết luận chương Chương kế thừa ý tưởng phương pháp nghiên cứu chương N ; E ) Việc xuất Tuy nhiên, Zcần phải thiết lập không gian Fréchet ZX = C (R+ tích phân Bx V1 x, y, u(σ1 (y)), , u(σ p (y)) dy N R+ F x, y, u(χ1 (y)), , u(χq (y)) dy nên việc tính toán đánh giá phức tạp, cần nhiều kỹ thuật tinh tế để giải Về kết thu cho hai chương tương tự, phương pháp thực để thu kết chương sắc sảo phức tạp Các kết chương công bố [D3] Chương Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến theo hai biến nhận giá trị thực Chương cuối cùng, xét phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có dạng sau u( x, y) = g( x, y) + u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 0 0 Z 1Z K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt, (4.1) K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t), D2n u(s, t))dsdt, 8( x, y) Ω = [0, 1] [0, 1], g : Ω ! R, K : Ω Ω m hàm số cho trước Các ký hiệu D1m u = ∂∂xmu , D2n u = R2 ∂n u ∂yn , (4.2) ! R hay K : Ω Ω !R để đạo hàm riêng cấp R3 m 1, n hàm u( x, y) xác định Ω, biến thứ biến thứ hai Kết thu khái quát kết trước công bố [D5] 4.1 Khảo sát phương trình (4.1) với m = Trong mục này, xét phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều thuộc dạng u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 0 K ( x, y, s, t, u(s, t), D1 u(s, t))dsdt, (4.3) 8( x, y) Ω = [0, 1] [0, 1], g : Ω ! R, K : Ω Ω ! R hàm số cho trước Trước hết, ký hiệu X = C (Ω; R) không gian Banach tất hàm liên tục u : Ω ! R chuẩn kuk X = supfju( x, y)j : ( x, y) Ωg, u X Đặt X1 = fu X = C (Ω; R) : D1 u X g (4.4) Rõ ràng C1 (Ω; R) X1 X chúng không trùng Thật vậy, ta có u( x, y) = x + y R2 X, u / X1 Và có v( x, y) = x2 y 18 2 X1 , v / C1 (Ω; R) Bổ đề 4.1.1 X1 không gian Banach chuẩn xác định kuk X1 = kuk X + k D1 uk X , u X1 (4.5) 4.1.1 Sự tồn nghiệm Ta lập giả thiết sau ( A ) g X1 , ( A2 ) K C (Ω Ω R2 ; R), ∂K Ω R2 ; R), tồn hàm không âm k0 , ∂x C ( Ω k1 : Ω Ω ! R có tính chất sau: (i) β = sup Z 1Z ( x,y)2Ω 0 k0 ( x, y, s, t)dsdt + sup Z 1Z ( x,y)2Ω (ii) jK ( x, y, s, t, u, v) ¯ v¯ )j K ( x, y, s, t, u, ∂K ∂x ( x, y, s, t, u, v ) k1 ( x, y, s, t)dsdt < 1, k0 ( x, y, s, t) [ju ∂K ¯ v¯ ) ∂x ( x, y, s, t, u, u¯ j + jv v¯ j] , (iii) k1 ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j] , ¯ v¯ R 8( x, y, s, t) Ω Ω, 8u, v, u, Định lý 4.1.2 Giả sử g, K (4.3) thoả mãn giả thiết ( A1 ), ( A2 ) Khi đó, phương trình (4.3) có nghiệm X1 4.1.2 Tính compact tập nghiệm Đầu tiên ta có bổ đề để nhận biết tập compact tương đối X1 Bổ đề 4.1.3 Cho F X1 Khi F compact tương đối X1 điều kiện sau thỏa (i) M > : kuk X1 M, 8u F ; ¯ y¯ ) Ω, j x x¯ j + jy y¯ j < δ (ii) 8ε > 0, 9δ > : 8( x, y), ( x, ¯ y¯ )j + j D1 u( x, y) D1 u( x, ¯ y¯ )j) < ε =) sup (ju( x, y) u( x, u2F Tiếp theo lập giả thiết sau ( A ) g X1 , Ω ( A¯ ) K C (Ω Ω R2 ; R), ∂K ∂x C ( Ω ¯k0 , k¯ : Ω Ω ! R thỏa (i) β¯ = sup Z 1Z ( x,y)2Ω 0 (ii) jK ( x, y, s, t, u, v)j (iii) k¯ ( x, y, s, t)dsdt + sup ∂K ∂x ( x, y, s, t, u, v ) R2 ; R), cho tồn hàm không âm Z 1Z ( x,y)2Ω 0 k¯ ( x, y, s, t)dsdt < 1, k¯ ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) , k¯ ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) , 8( x, y, s, t) Ω Ω, 8u, v R Định lý 4.1.4 Giả sử g, K (4.3) thoả mãn giả thiết ( A1 ), ( A¯ ) Khi đó, phương trình (4.3) có nghiệm X1 Hơn nữa, tập nghiệm phương trình compact 4.1.3 Hai ví dụ minh họa Ví dụ 4.1.1 Xét phương htrình (4.3), với hàm g, K sau i K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y) 4sσ tσ sin 2uπu + sγ tγ cos D 2πv , (s,t) u (s,t) g( x, y) = u0 ( x, y) (1+ σ )2 x γ1 j y + (1+ γ )2 γ2 k ( x, y), u0 ( x, y) = e x + αj , k ( x, y) = x γ˜ jy α˜ jγ˜ , σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ , γ˜ số dương thỏa < α < 1, < γ2 < γ1 , < α˜ < 1, < γ˜ < γ˜ , 2π (1+ σ )2 + (1+ γ )2 (1 + γ˜ ) maxfα˜ γ˜ , (1 α˜ )γ˜ g < Ta nghiệm lại ( A1 ), ( A2 ) Định lý 4.1.2 trường hợp Hơn nữa, u0 X1 nghiệm (4.3) Trong chứng minh, có sử dụng bổ đề sau 19 Bổ đề 4.1.5 Cho số dương α, γ2 , γ1 thỏa < α < 1, < γ2 < γ1 Khi x γ1 j y α j γ2 maxfαγ2 , (1 α)γ2 g, 8( x, y) Ω, γ γ x jy αj maxfαγ2 , (1 α)γ2 g, 8( x, y) Ω Ví dụ 4.1.2 Xét phương trình (4.3), với hàm K, g xác định K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y)K1 (s, t, u, v), g( x, y) = u0 ( x, y) (1+ σ )2 + juj u0 (s,t) K1 (s, t, u, v) = sσ tσ (1+ γ )2 + k ( x, y), 1/3 u u0 (s,t) + sγ tγ jvj D1 u0 (s,t) + v D1 u0 (s,t) 1/5 , u0 ( x, y) = γ˜ e x + x γ1 jy αj , k ( x, y) = x γ˜ jy α˜ j , σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ , γ˜ số dương thỏa < α < 1, < γ2 < γ1 , < α˜ < 1, < γ˜ < γ˜ , γ2 α˜ )γ˜ g < Ta nghiệm lại giả thiết ( A1 ), ( A¯ ) Định lý 4.1.4 trường hợp Hơn nữa, u0 X1 nghiệm (4.3) 4.2 Khảo sát phương trình (4.1) với m 2 (1+ σ )2 + (1+ γ )2 (1 + γ˜ ) maxfα˜ γ˜ , (1 Ở mục này, xét phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực dạng u( x, y) = g( x, y) + Z 1Z 0 K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt, (4.6) 8( x, y) Ω = [0, 1] [0, 1], g : Ω ! R, K : Ω Ω ! R hàm số cho trước Phương pháp sử dụng tương tự mục 1, với số cải tiến Đặt (4.7) Xm = fu X = C (Ω; R) : D1k u X, k = 1, 2, , mg Chú ý C1 (Ω; R)n Xm 6= φ, Xm nC1 (Ω; R) 6= φ, Xm \ C1 (Ω; R) 6= φ, với m = 2, 3, Thật vậy, ta lấy hàm u, v, w sau (i) u( x, y) = x 12 x 12 y 12 y 12 , ta có u C1 (Ω; R), u / Xm Do C1 (Ω; R)n Xm 6= φ (ii) v( x, y) = x m+1 y R2 , ta có v Xm , v / C1 (Ω; R) Vậy Xm nC1 (Ω; R) 6= φ (iii) w( x, y) = xy, ta có w Xm \ C1 (Ω; R) 6= φ Bổ đề 4.2.1 Xm không gian Banach chuẩn xác định k (4.8) k u k Xm = k u k X + ∑ m k =1 D1 u X , u Xm 4.2.1 Sự tồn nghiệm Với phương trình (4.6), ta lập giả thiết sau ( B1 ) g Xm , ∂2 K ∂m K ( B2 ) K C (Ω Ω R2 ; R), cho ∂K Ω R2 ; R), tồn ∂x , ∂x2 , , ∂x m C ( Ω hàm không âm k0 , k1 , , k m : Ω Ω ! R thỏa (i) β = ∑im=0 sup Z 1Z ( x,y)2Ω (ii) jK ( x, y, s, t, u, v) ∂i K ( x, y, s, t, u, v) ∂xi k i ( x, y, s, t)dsdt < 1, ¯ v¯ )j K ( x, y, s, t, u, k0 ( x, y, s, t) [ju ∂i K ¯ v¯ ) ( x, y, s, t, u, ∂xi u¯ j + jv v¯ j] , k i ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j] , i = 1, 2, , m, (iii) ¯ v¯ R 8( x, y, s, t) Ω Ω, 8u, v, u, Định lý 4.2.2 Giả sử g, K (4.6) thoả mãn giả thiết ( B1 ), ( B2 ) Khi đó, phương trình (4.6) có nghiệm Xm 4.2.2 Tính compact tập nghiệm Bổ đề 4.2.3 Cho F Xm Khi F compact tương đối Xm điều kiện sau thỏa (i) M > : kuk Xm M, 8u F ; 20 ¯ y¯ ) Ω, j x x¯ j + jy y¯ j < δ (ii) 8ε > 0, 9δ > : 8( x, y), ( x, ¯ y¯ )j + ∑im=1 D1i u( x, y) D1i u( x, ¯ y¯ ) =) sup ju( x, y) u( x, < ε u2F Chúng ta lập giả thiết sau ( B1 ) g Xm , ∂2 K ( B¯ ) K C (Ω Ω R2 ; R), cho ∂K ∂x , ∂x2 , , hàm không âm k¯ , k¯ , , k¯ m : Ω Ω ! R thỏa (i) β¯ = ∑im=0 sup Z 1Z ( x,y)2Ω (ii) jK ( x, y, s, t, u, v)j ∂i K ( x, y, s, t, u, v) ∂xi ∂m K ∂x m C (Ω Ω R2 ; R), tồn k¯ i ( x, y, s, t)dsdt < 1, k¯ ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) , k¯ i ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) , i = 1, , m, (iii) 8( x, y, s, t) Ω Ω, 8u, v R Định lý 4.2.4 Giả sử g, K (4.6) thoả mãn giả thiết ( B1 ), ( B¯ ) Khi đó, phương trình (4.6) có nghiệm Xm Hơn nữa, tập nghiệm phương trình compact 4.2.3 Hai ví dụ minh họa Ví dụ 4.2.1 Xét phương htrình (4.6), với hàm g, K sau i K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y) 4sσ tσ sin 2uπu + sγ tγ cos Dm2πv , (s,t) u (s,t) (1+ σ )2 e x + x γ1 j y g( x, y) = u0 ( x, y) + (1+ γ )2 γ2 k ( x, y), u0 ( x, y) = αj , k ( x, y) = x γ˜ jy α˜ jγ˜ , σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ , γ˜ số dương thỏa < α < 1, < γ2 1, γ1 > m, < α˜ < 1, < γ˜ 1, γ˜ > m, 2π (1+ σ )2 + [1 + ∑im=1 γ˜ (γ˜ 1 (1+ γ )2 1) (γ˜ i + 1)] maxfα˜ γ˜ , (1 α˜ )γ˜ g < Ta nghiệm lại ( B1 ), ( B2 ) Như vậy, Định lý 4.2.2 Hơn nữa, u0 Xm nghiệm (4.6) Ví dụ 4.2.2 Xét phương trình (4.6), với hàm g, K xác định K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y)K1 (s, t, u, v), g( x, y) = u0 ( x, y) (1+ σ )2 K1 (s, t, u, v) = sσ tσ + juj u0 (s,t) (1+ γ )2 + u u0 (s,t) k ( x, y), 1/2 + sγ tγ e x + x γ1 jy αjγ2 , k ( x, y) = x γ˜ jy α˜ jγ˜ , σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ , γ˜ số dương thỏa < α < 1, < γ2 1, γ1 > m, < α˜ < 1, < γ˜ jvj D1m u0 (s,t) + v D1m u0 (s,t) 1/3 , u0 ( x, y) = 1, γ˜ > m, + γ˜ (γ˜ 1) (γ˜ i + 1)] maxfα˜ γ˜ , (1 α˜ )γ˜ g < Ta nghiệm lại ( B1 ), ( B¯ ) Định lý 4.2.4 Hơn nữa, u0 Xm nghiệm (4.6) 4.3 Khảo sát phương trình (4.2) với m n Mục tiếp tục mở rộng kết thu hai mục 1, cho phương trình có dạng (4.2), m 1, n 1; K : Ω Ω R3 ! R Đầu tiên, xét hàm j (4.9) Xm,n = fu X = C (Ω; R) : D1i u, D2 u X, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , ng (1+ σ )2 (1+ γ )2 [1 + ∑im=1 Ở ta ý Xm,n X1,1 = C1 (Ω; R) C (Ω; R), m, n C m (Ω; R) Xm,m Xm,m Xm,2 21 1; Xm,1 X1,1 , 8m (4.10) Tương tự, C m (Ω; R) Xm,m Xm 1,m X2,m X1,m X1,1 , 8m Ta ý thêm C2 (Ω; R) X2,2 Có thể X2,2 C2 (Ω; R) 6= φ, nhiên chưa thấy tài liệu để chứng minh Tôi cho toán mở Bổ đề 4.3.1 Xm,n không gian Banach chuẩn xác định kuk Xm,n = kuk X + ∑im=1 D1i u j X + ∑nj=1 D2 u X 4.3.1 Sự tồn nghiệm Ta lập giả thiết sau (C1 ) g Xm,n , i (C2 ) K C (Ω Ω R3 ; R), với ∂∂xKi , , u Xm,n (4.11) ∂j K C (Ω Ω R3 ; R), i m, ∂y j (1) (1) (2) (2) hàm không âm k0 , k1 , , k m , k1 , , k n : Ω Ω ! R thỏa Z 1Z Z 1Z (1) k i ( x, y, s, t)dsdt k0 ( x, y, s, t)dsdt + ∑im=1 sup (i) β = sup 0 0 ( x,y)2Ω ( x,y)2Ω Z 1Z (2) n k j ( x, y, s, t)dsdt < 1, + ∑ j=1 sup ( x,y)2Ω 0 (ii) jK ( x, y, s, t, u, v, w) (iii) (iv) ¯ v, ¯ w¯ )j K ( x, y, s, t, u, k0 ( x, y, s, t) [ju i ∂i K ¯ v, ¯ w¯ ) ( x, y, s, t, u, v, w) ∂∂xKi ( x, y, s, t, u, ∂xi (1) k i ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j + jw j ∂j K ¯ v, ¯ w¯ ) ( x, y, s, t, u, v, w) ∂∂yKj ( x, y, s, t, u, ∂y j (2) k j ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j + jw u¯ j + jv j v¯ j + jw n, tồn w¯ j] , w¯ j] , i = 1, 2, , m, w¯ j] , j = 1, 2, , n, ¯ v, ¯ w¯ R 8( x, y, s, t) Ω Ω, 8u, v, w, u, Định lý 4.3.2 Giả sử g, K (4.2) thoả mãn giả thiết (C1 ), (C2 ) Khi đó, phương trình (4.2) có nghiệm Xm,n 4.3.2 Tính compact tập nghiệm Bổ đề 4.3.3 Cho F Xm,n Khi F compact tương đối Xm,n điều kiện sau thỏa (i) M > : kuk Xm,n M, 8u F ; ¯ y¯ ) Ω, j x x¯ j + jy y¯ j < δ (ii) 8ε > 0, 9δ > : 8( x, y), ( x, ¯ y¯ )j + ∑im=1 D1i u( x, y) D1i u( x, ¯ y¯ ) =) sup ju( x, y) u( x, u2F j + ∑nj=1 D2 u( x, y) j ¯ y¯ ) D2 u( x, < ε Các giả thiết lập sau cho tồn tính compact tập nghiệm (C1 ) g Xm,n , i j (C¯ ) K C (Ω Ω R3 ; R), với ∂∂xKi , ∂∂yKj C (Ω Ω R3 ; R), i m, j (1) (1) (2) (2) hàm không âm k¯ , k¯ , , k¯ m , k¯ , , k¯ n : Ω (i) β¯ = sup Z 1Z ( x,y)2Ω 0 k¯ ( x, y, s, t)dsdt + ∑im=1 + ∑nj=1 sup Z 1Z ¯ (2) ( x,y)2Ω 0 sup Ω ! R thỏa Z 1Z ¯ (1) ( x,y)2Ω 0 k i ( x, y, s, t)dsdt k j ( x, y, s, t)dsdt < 1, k¯ ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj + jwj) , (1) (iii) ∂xi ( x, y, s, t, u, v, w) k¯ i ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj + jwj) , i = 1, , m, (ii) jK ( x, y, s, t, u, v, w)j ∂i K 22 n, tồn ∂j K ( x, y, s, t, u, v, w) ∂y j (iv) (2) k¯ j ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj + jwj) , j = 1, , n, 8( x, y, s, t) Ω Ω, 8u, v, w R Định lý 4.3.4 Giả sử g, K (4.2) thoả mãn giả thiết (C1 ), (C¯ ) Khi đó, phương trình (4.2) có nghiệm Xm,n Hơn nữa, tập nghiệm phương trình compact 4.3.3 Hai ví dụ minh họa Ví dụ 4.3.1 Xét phươngh trình (4.2), với hàm g, K xác định i γ1 γ2 2πv 2πw K ( x, y, s, t, u, v, w) = k ( x, y) (st)γ0 sin 2uπu , + st + st cos cos ( ) ( ) m n (s,t) D u (s,t) D u (s,t) (1+ γ0 )2 g( x, y) = u0 ( x, y) + (1+ γ1 )2 + 1 (1+ γ2 )2 0 k ( x, y), u0 ( x, y) = e x+y + x σ1 yσ2 , k ( x, y) = x σ¯ yσ¯ , γ0 , γ2 , γ1 , σ1 , σ2 , σ¯ , σ¯ số dương thỏa σ1 , σ¯ > m; σ2 , σ¯ > n; γ0 , γ2 , γ1 > 0, 2π (1+ γ0 )2 + (1+ γ1 )2 + [1 + ∑im=1 σ¯ (σ¯ 1 (1+ γ2 )2 + ∑nj=1 σ¯ (σ¯ 1) (σ¯ 1) (σ¯ i + 1) i j + 1) < Có thể chứng minh (C1 ), (C2 ) đúng, đó, Định lý 4.3.3 Hơn nữa, u0 Xm,n nghiệm (4.2) Ví dụ 4.3.2 Xét phương trình (4.2), với hàm K, g xác định K ( x, y, s, t, u, v, w) = k ( x, y)K1 (s, t, u, v, w), g( x, y) = u0 ( x, y) (1+ γ0 )2 + (1+ γ1 )2 juj u0 (s,t) + u u0 (s,t) + (1+ γ2 )2 k ( x, y), K1 (s, t, u, v, w) = (st)γ0 + (st)γ2 e x +y jwj D2n u0 (s,t) + 1/3 jvj D1m u0 (s,t) + (st)γ1 w D2n u0 (s,t) 1/7 + v D1m u0 (s,t) 1/5 , x σ¯ yσ¯ , γ0 , γ2 , γ1 , σ1 , σ2 , σ¯ , σ¯ số dương k ( x, y) = u0 ( x, y) = + thỏa σ1 , σ¯ > m; σ2 , σ¯ > n; γ0 , γ2 , γ1 > 0, (1+ γ0 )2 + x σ1 y σ2 , (1+ γ1 )2 + m (1+ γ2 )2 + ∑ σ¯ (σ¯ i =1 n + ∑ σ¯ (σ¯ j =1 1) (σ¯ 1) (σ¯ i + 1) # j + 1) < Có thể nghiệm lại g, K thỏa (C1 ), (C¯ ) Do đó, Định lý 4.3.4 trường hợp Hơn nữa, u0 Xm,n nghiệm (4.2) Kết luận chương Có thể nói, chương mang sắc thái khác thiết lập số không gian hàm tương ứng với phương trình vi tích phân để giải phương trình Các không gian hàm mà thiết lập không trùng với không gian hàm thông thường C (Ω; R), C1 (Ω; R), C2 (Ω; R), , C m (Ω; R) Trong không gian hàm mà thiết lập, có điều kiện cần đủ để nhận tập compact tương đối không gian Các kết chương công bố [D5] Kết luận Như vậy, luận án nghiên cứu tính giải số tính chất nghiệm phương trình tích phân hàm phi tuyến, phương trình vi tích phân phi tuyến, theo biến nhiều biến thuộc bốn dạng sau Dạng 1: Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến đoạn, R+ ; Dạng 2: Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị không gian Banach; 23 Dạng 3: Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị không gian Banach; Dạng 4: Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến theo hai biến nhận giá trị thực Trong dạng trên, trước hết luận án chứng minh định lý tồn nghiệm tồn nghiệm Tiếp theo, luận án rằng: Đối với dạng thứ nhất, nghiệm hệ thiết lập từ dãy qui nạp theo nguyên lý ánh xạ co, từ dãy lặp hội tụ cấp hai với đánh giá sai số Mặt khác, nghiệm khai triển tiệm cận đến cấp cao theo tham số bé Đối với dạng thứ hai thứ ba, tồn nghiệm, tồn nghiệm ổn định tiệm cận, tính compact tập nghiệm, chứng minh định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii không gian Fréchet Đối với dạng thứ tư, việc thiết lập không gian hàm tiêu chuẩn compact tập không gian hàm cho dạng phương trình, tồn nghiệm hay tính khác rỗng compact tập nghiệm chứng minh Bằng phương pháp kỹ thuật giải tích hàm phi tuyến, kết hợp với định lý điểm bất động phù hợp, luận án đạt kết sau đây: Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến theo biến đoạn, nghiệm thu thiết lập dãy xấp xỉ liên nguyên lý ánh xạ co Thuật giải cấp hai xây dựng nhằm gia tăng tốc độ hội tụ cấp hai nghiệm xác Thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé xuất hệ phương trình Một số kết nới rộng cho hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến theo biến R+ Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm cho phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị không gian Banach, định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii không gian Fréchet kết hợp với định lý điểm bất động Banach không gian Fréchet sử dụng Sự tồn nghiệm ổn định tiệm cận tính compact tập nghiệm xét Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm cho phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị không gian Banach Sự tồn nghiệm ổn định tiệm cận tính compact tập nghiệm Ở đây, phương pháp điểm bất động sử dụng Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm, tồn nghiệm cho ba dạng phương trình vi tích phân hàm phi tuyến theo hai biến nhận giá trị thực, cách áp dụng định lý điểm bất động Banach định lý Schauder Ở đây, để áp dụng phương pháp điểm bất động nêu, không gian Banach thích hợp cho dạng phương trình thiết lập điều kiện để nhận biết tập compact tương đối không gian Từ đó, tính compact tập nghiệm khảo sát Trong dạng có ví dụ minh họa kết thu Các kết luận án nới rộng kế thừa kết công bố [D1] [D5] báo cáo hội nghị khoa học chuyên ngành Trên sở kết thu luận án, xin nêu vấn đề nghiên cứu, phát triển tiếp sau: Mở rộng kết [D5] nêu kết luận Chương cho dạng phương trình vi tích phân hàm phi tuyến theo hai biến, nhiều biến nhận giá trị thực, giá trị không gian Banach 24 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [D1] L T P Ngoc, H T H Dung, P H Danh, N T Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of nonlinear functional equations, Demonstratio Math 47 (1) (2014) 103-124 (Scopus) [D2] P H Danh, L T P Ngoc, N T Long, On a nonlinear functional integral equation with variable delay, Journal of Abstract Differential Equations and Applications, (1) (2014) 35-51 [D3] P H Danh, L T P Ngoc, N T Long, Solvability and asymptotically stable of a mixed functional integral equation in N variables, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 19 (3) (2014) 435-456 (Scopus) [D4] P H Danh, L T P Ngoc, H T H Dung, N T Long, Existence of a unique solution of a nonlinear functional integral equation, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 20 (1) (2015) 111-121 (Scopus) [D5] P H Danh, H T H Dung, N T Long, L T P Ngoc, On nonlinear integrodifferential equations in two variables, Results in Mathematics, 71 (1) (2017) 251-281 (SCI-E) ... 1: Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến đoạn, R+ ; Dạng 2: Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị không gian Banach; 23 Dạng 3: Phương trình tích phân hàm phi tuyến. .. cận nghiệm theo tham số bé xuất hệ phương trình Một số kết nới rộng cho hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến theo biến R+ Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm cho phương trình tích phân hàm. .. đối không gian Các kết chương công bố [D5] Kết luận Như vậy, luận án nghiên cứu tính giải số tính chất nghiệm phương trình tích phân hàm phi tuyến, phương trình vi tích phân phi tuyến, theo biến