Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Dấu nhò thức bậc nhất: • Dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0) Nghiệm nhò thức nghiệm phương trình ax + b = • Bảng xét dấu nhò thức bậc f(x) = ax + b (a ≠ 0): b -∞ x a +∞ ax + b trái dấu với a dấu với a Dấu tam thức bậc hai: • Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Nghiệm tam thức nghiệm phương trình ax2 + bx + c = • Tính ∆ = b2 - 4ac • Nếu ∆ < thì: phương trình f(x) = vô nghiệm -∞ x +∞ f(x) dấu với a b • Nếu ∆ = thì: phương trình f(x) = có nghiệm kép x = 2a b -∞ x 2a +∞ f(x) dấu với a dấu với a • Nếu ∆ > thì: phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2 (x1 < x2) -∞ x1 x2 x +∞ f(x) dấu với a trái dấu với a dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆ ' hệ số b chẵn Dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (*) (∆ = b2 - 4ac) Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu (x1 nghiệm âm phân nghiệm dương phân < < x2) biệt (x1 < x2 < 0) biệt (0 < x1 < x2 ) c  a≠0  a≠0 khi: P = <   ∆>0 a  ∆ >c  c khi:  P = > khi:  P = > a a   b S = − < S = − b >   a a Điều kiện không đổi dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) a > a < a) f(x) ≥ ∀x ∈ R ⇔  ; b) f(x) ≤ ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ ∆ ≤ Các khái niệm liên quan đến hàm số: - Tài liệu lưu hành nội Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 Hàm số cho biểu thức kí hiệu y = f(x) với f(x) biểu thức chứa biến x • Tập xác đònh hàm số: D = {x ∈ R  f(x) có nghóa} • Giá trò hàm số y = f(x) x0 y0 = f(x0) Giới hạn vô cực: a) Một vài giới hạn đặc biệt: x k = +∞ với k nguyên dương • xlim →+∞ xk = −∞ k số lẻ • xlim →−∞ x k = +∞ k số chẵn • xlim →−∞ b) Một vài quy tắc giới hạn vô cực: • Quy tắc tìm giới hạn thương f ( x) : g ( x) x→ x0 x→ x0 x→ x0 Dấu f ( x) lim f ( x) lim g ( x) x→ x0 x→ x0 lim +∞ +∞ x→ x0 g ( x ) L>0 g(x) -∞ -∞ ±∞ L Tùy +∞ -∞ L0 + − - x → x0 -∞ * Chú ý: Các quy tắc cho trường hợp , x → x0 , + -∞ x → +∞ x → -∞ Đạo hàm: a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) hàm số có đạo hàm, đó: (u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ; u u ' v − v' u v' ( )' = ( )' = − v v v2 v b) Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản: Đạo hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = (xα)' = αxα-1(α ∈ R, x > 0) (uα)' = αuα-1.u'(α ∈ R, u > 0) u' ( x )' = ( u )' = (x > 0) (u > 0) x u 1 u' ( )' = − (x ≠ 0) ( )' = − (u ≠ 0) x u x u (sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u' (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u' π u' π + kπ , k ∈ Z) + kπ , k ∈ Z) (tanx)' = (x ≠ (tanu)' = (u ≠ 2 cos x 2 cos u u' (cotx)' = - (x ≠ kπ, k ∈ Z) (cotu)' = - (u ≠ kπ, k ∈ Z) sin x sin u c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt: ad − bc ax + bx + c adx + 2aex + be − dc ax + b ( )' = •( )' = • (cx + d ) dx + e (dx + e) cx + d • Quy tắc tìm giới hạn tích f(x).g(x): lim f ( x) lim g ( x) lim f ( x) g ( x) ax + bx + c (ae − bd ) x + 2(af − dc) x + bf − ec )' = dx + ex + f (dx + ex + f ) d) Ý nghóa hình học đạo hàm: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x0; y0) thuộc đồ thò hàm số y = f(x) f'(x0) phương trình tiếp tuyến M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0) •( - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12  Ghi chú: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh K (K = (a; b) K = [a; b) K = (a; b] K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến Hàm số y = f(x) nghòch biến (tăng) K với cặp x1, (giảm) K với cặp x1, x2 thuộc K cho: x2 thuộc K cho: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: x a Bảng biến thiên: b x a lim b lim+ x →b − x→ a y y lim lim x →a + x→b − Đồ thò hàm số đồng biến đường lên từ trái sang phải Đồ thò hàm số nghòch biến đường xuống từ trái sang phải 2) Tính đơn điệu dấu đạo hàm:  Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thò hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên rút nhận xét: a) y = x2 y TXĐ: D = R y' = 2x y' = ⇔ 2x = ⇔ x = ⇒ y = Bảng biến thiên: Đồ thò: x -∞ +∞ y' + +∞ x +∞ y O b) y = x TXĐ: D = y y' = Bảng biến thiên: x -∞ Đồ thò: +∞ x y' O y Nhận xét: Nếu y' < K hàm số Nếu y' > K hàm số - Tài liệu lưu hành nội - K K Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 Đònh lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K a) Nếu f'(x) > ∀ x ∈ K hàm số f(x) đồng biến K b) Nếu f'(x) < ∀ x ∈ K hàm số f(x) nghòch biến K * Hàm số y = f(x) đồng biến (nghòch biến) K gọi chung đơn điệu K, K gọi chung khoảng đơn điệu hàm số y = f(x) Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx khoảng (0; 2π) Giải: * Chú ý: Quan sát đồ thò hàm số y = x3 trả lời câu hỏi: Khẳng đònh sau hay sai? sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng R f'(x) > với x ∈ R" Trả lời: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 Đònh lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f'(x) ≥ (f'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K f'(x) = số hữu hạn điểm x hàm số đồng biến (nghòch biến) K • Nếu f'(x) = ∀x ∈ K f(x) không đổi K (hay hàm số y = f(x) hàm y = c K) II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f(x):  Trình bày giải: • Tìm tập xác đònh D hàm số (D = {x ∈ R | f(x) có nghóa}) • Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm điểm x i (i = 1, 2, , n) mà đạo hàm không xác đònh • Lập bảng biến thiên (lưu ý xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần bảng biến thiên) i) y' > 0, ∀x ∈ (a; b) x a y' + b lim y y lim y x→b − x →a + Hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) ii) y' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) y' = số hữu hạn điểm x0, x1, , xn x a x0 x1 xn b y' + + + + lim y x→b − y lim y x →a + iii) Hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) y' < 0, ∀x ∈ (a; b) x a b y' lim y y x →a + lim y x→b − Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) iv) y' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) y' = số hữu hạn điểm x0, x1, , xn x a x0 x1 xn b y' - - - - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 lim y y x →a + lim y x →b − Hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) • Kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số Ví dụ 1: Xét đồng biến, nghòch biến hàm số y = f(x) = x − x − 2x + Giải: Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 - 3; c) y = - x −1 x +1 Giải: x4 - x2 + ; 2 d) y = - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: π Ví dụ: Chứng minh x > sinx khoảng (0; ) Giải:  Ghi chú: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Xét đồng biến, nghòch biến hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; 3x3 - 8x2; d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; 2x3 - 6x + 10 - Tài liệu lưu hành nội - c) y = f) y = Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 ª Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆': * Bước 1: Viết phương trình mp(α) chứa ∆' song song đường thẳng ∆ * Bước 2: Tìm điểm A ∆ * Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến (α)  x = 1+ t' x −1 y − z  = = ∆':  y = − 2t ' Tính khoảng Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆: −1  z =1  cách hai đường thẳng ∆ ∆' - Tài liệu lưu hành nội - 207 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 Giải: ª Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: 208 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng x −3 z+2 = y −1 = Ví dụ: Cho mp(α): 3x - 2y - z + = đường thẳng ∆: a) Hãy chứng tỏ ∆ song song mp(α) b) Tính khoảng cách ∆ (α) Giải: ª Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ví dụ: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α): x + 2y + 2z + 11 = (β) cho phương trình: x + 2y + 2z + = Giải: ª Phương trình đường cao tam giác không gian: Đường cao AH ∆ABC qua A vuông góc với giá hai vectơ  n = [ AB, AC ] CB - Tài liệu lưu hành nội - 209 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 Ví dụ: Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC biết A(1; 0; 6), B(0; 2; -1), C(1; 4; 0) Giải:  Ghi chú: 210 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 - Tài liệu lưu hành nội - 211 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau:  a) d qua điểm M(5; 4; 1) có vectơ phương a = (2;−3;1) b) d qua điểm A(2; -1; 3) vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình x + y - z + =  x = + 2t  c) d qua điểm B(2; 0; -3) song song với đường thẳng ∆:  y = −3 + 3t  z = 4t  d) d qua hai điểm P(1; 2; 3) Q(5; 4; 4) e) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3; 2; -1) song song x −1 y +1 z = = đường thẳng −3 Bài 2: Xét vò trí tương đối cặp đường thẳng d d' cho phương trình sau:  x = −3 + 2t  x = + t'  x = 1+ t  x = + 2t '     a) d:  y = −2 + 3t d':  y = −1 − 4t ' b) d:  y = + t d':  y = −1 + 2t '  z = + 4t  z = 20 + t ' z = 3−t  z = − 2t '      x = 1− t  x = 1+ t'   c) d:  y = + 2t d':  y = − 2t '  z = 3t  z =1    x = 7t   y = − 4t  z = + 5t  d) d: x + y +1 z − = = d': Bài 3: Tìm số giao điểm đường thẳng d với mp(α) trường hợp sau: 212 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12  x = 12 + 4t  a) d:  y = + 3t (α): 3x + 5y - z - = 0;  z = 1+ t   x = 1+ t  b) d:  y = − t (α): x + 3y  z = + 2t  + z + = 0;  x = 1+ t  b) d:  y = + 2t (α): x + y + z - =  z = − 3t   x = −3 + 2t  Bài 4: Tính khoảng cách đường thẳng ∆:  y = −1 + 3t mp(α): 2x - 2y + z  z = −1 + 2t  + =  x = + at  x = 1− t'   Bài 5: Tìm a để hai đường thẳng sau cắt d:  y = t d':  y = + 2t '  z = −1 + 2t  z = − t'    x = 2+t  Bài 6: Cho đường thẳng d:  y = −3 + 2t Viết phương trình tham số  z = + 3t  đường thẳng hình chiếu vuông góc d mặt phẳng tọa độ  x = 2+t  Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng ∆:  y = + 2t  z=t  a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc điểm A đường thẳng ∆ b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Bài 8: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (α): x + y + z - = a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc điểm M mp(α) b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(α) c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(α) Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải toán sau phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(A'BD) mp(B'D'C) Bài 2: Cho hai mp(P): 2x - y - 11 = mp(Q): x - y - z + = a) Chứng minh mp(P) cắt mp(Q); b) Tìm phương trình đường thẳng giao tuyến hai mp(P) mp(Q) x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − = = , d2 : = = Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 : −5 −2 −1 a) Chứng tỏ hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng c) Tính khoảng cách hai đường thẳng CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 213 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 214 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 - Tài liệu lưu hành nội - 215 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 BỔ SUNG KIẾN THỨC 216 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 - Tài liệu lưu hành nội - 217 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 * ÔÂN TẬP CHƯƠNG III * BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) 218 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm góc hai đường thẳng AB CD c) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD Bài 2: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) a) Tìm tọa độ tâm I tính bán kính r mặt cầu (S) b) Lập phương trình mặt cầu (S) c) Lập phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Bài 3: Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD c) Viết phương trình mp(α) chứa AB song song với CD Bài 4: Lập phương trình tham số đường thẳng: a) Đi qua hai điểm A(1; 0; -3), B(3; -1; 0)  x = −2 + 2t  b) Đi qua điểm M(2; 3; -5) song song với đường thẳng ∆:  y = − 4t  z = −5t  Bài 5: Cho mặt phẳng (α) có phương trình 3x + 5y - z - = đường thẳng  x = 12 + 4t  d:  y = + 3t  z = 1+ t  a) Tìm giao điểm M đường thẳng d mp(α) b) Viết phương trình mp(β) chứa điểm M vuông góc với đường thẳng d  Bài 6: Cho điểm A(-1; 2; -3), vectơ a = (6;−2;−3) đường thẳng d có phương  x = + 3t  trình  y = −1 + 2t  z = − 5t  a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A vuông góc với giá  a b) Tìm giao điểm d (α) c) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vuông góc với giá  a cắt đường thẳng d Bài tập nâng cao: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 +  x = −5 + 2t  z2 - 10x + 2y + 26z + 170 = song song với hai đường thẳng d:  y = − 3t ; d':  z = −13 + 2t   x = −7 + 3t '   y = −1 − 2t '  z =8   x=t  x = − 2t '   Bài 2: Cho hai đường thẳng d:  y = −4 + t d':  y = −3 + t ' Viết phương trình  z = 3−t  z = − 5t '   đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) cắt hai đường thẳng d, d' - Tài liệu lưu hành nội - 219 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 220 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 MỤC LỤC PHẦN I: GIẢI TÍCH §1 §2 §3 §4 §5 §1 §2 §3 §4 §5 §6 §1 §2 §3 §1 §2 §3 §4 Bài Sự đồng biến, nghòch biến hàm số Cực trò hàm số Giá trò lớn giá trò nhỏ hàm số Đường tiệm cận Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số Ôn tập chương I Lũy thừa Hàm số lũy thừa Lôgarit Hàm số mũ Hàm số lôgarit Phương trình mũ phương trình lôgarit Bất phương trình mũ bất phương trình lôgarit Ôn tập chương II Nguyên hàm Tích phân Ứng dụng tích phân hình học Ôn tập chương III Số phức Cộng, trừ nhân số phức Phép chia số phức Phương trình bậc hai với hệ số thực Ôn tập chương IV Trang 42 46 49 53 56 63 68 74 79 81 84 86 88 90 PHẦN II: HÌNH HỌC §1 §2 §3 §1 §2 §1 §2 §3 Bài Khái niệm khối đa diện Khối đa diện lồi khối đa diện Khái niệm thể tích khối đa diện Ôn tập chương I Khái niệm mặt tròn xoay Mặt cầu Ôn tập chương II Hệ tọa độ không gian Phương trình mặt phẳng Phương trình đường thẳng không gian Ôn tập chương III - Tài liệu lưu hành nội - Trang 97 100 102 107 111 116 122 126 131 139 152 221 ... (dx + ex + f ) d) Ý nghóa hình học đạo hàm: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x0; y0) thuộc đồ thò hàm số y = f(x) f'(x0) phương trình tiếp tuyến M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0) •( - Tài... ∈ (x0 - h; x0 + h) x ≠ x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 12 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Toán lớp 12 b) Nếu tồn số h > cho f(x) > f(x 0) với x ∈ (x0 - h; x0 +... tích lớn (HD: Gọi x cạnh thứ hình chữ nhật, tìm cạnh thứ hai chu vi hình chữ nhật theo x.) Bài 5: Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48cm 2, xác đònh hình chữ nhật có chu vi nhỏ (HD: Gọi x