******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Ngµy so¹n: 20/02/2010 Tn d¹y: 25 Chuyªn ®Ị i: BiÕn ®ỉi biĨu thøc ®¹i sè A Mơc tiªu: - HS n¾m ®ỵc c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí, ®Ỉc biƯt lµ c¸c h»ng ®¼ng thøc më réng, tam gi¸c Pascal - BiÕn ®ỉi thµnh th¹o c¸c biĨu thøc nguyªn - RÌn tÝnh cÈn thËn, tÝnh s¸ng t¹o, chđ ®éng häc tËp B Ph¬ng tiƯn: - GV: gi¸o ¸n, tµi liƯu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: a – biĨn ®ỉi biĨu thøc nguyªn I Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a2 + + an )2 = = a12 + a22 + + a2n + 2(a1a2 + a1a3 + + a1an + a2a3 + + a2an + + an−1an); (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – + bn – 1) ; a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + + b2k + = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – – ab2k –1 + b2k) ; II B¶ng c¸c hƯ sè khai triĨn (a + b)n Tam gi¸c Pascal §Ønh Dßng (n = 1 1) Dßng (n = 2) Dßng (n = 3 3) Dßng (n = 4) Dßng (n = 10 10 5) Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè ; dßng k + ®ỵc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng ta cã = + 1, ë dßng ta cã = + 1, = + 2, ë dßng ta cã = + 3, = + 3, = + 1, Khai triĨn (x + y) n thµnh tỉng th× c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư lµ c¸c sè dßng thø n cđa b¶ng trªn Ngêi ta gäi Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã thêng ®ỵc sư dơng n kh«ng qu¸ lín Ch¼ng h¹n, víi n = th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II C¸c vÝ dơ VÝ dơ 1: §¬n gi¶n biĨu thøc sau: A = (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (y + z - x)3 - (z + x - y)3 Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 - [(x + y) - z]3 - [z - (x - y)]3 - [z + (x - y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] - [(x + y)3 - 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 - z3] - [z3 - 3z2(x - y) + 3z(x - y)2 - (x - y)3] - [z3 + 3z2(x - y) + 3z(x - y)2 + (x - y)3] = 6(x + y)2z - 6z(x - y)2 = 24xyz VÝ dơ 2: Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) b) c) d) x2 + y2 = (x + y)2- 2xy = a2- 2b x3 + y3 = (x + y)3- 3xy(x + y) = a3- 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2- 2x2y2 = (a2 - 2b)2- 2b2 = a4- 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay: (a2- 2b)(a3- 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5- 5a3b + 5ab2 Chó ý: a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4)- a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5)- a2b2(a3 + b3) VÝ dơ 3: Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc: a) a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab- bc- ca); b) (a + b + c)3- a3- b3- c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3- 3abc = (a + b)3 + c3- 3abc- 3a2b- 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2- (a + b)c + c2]- 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2- (a + b)c + c2- 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2- ab- bc- ca) b) (a + b + c)3- a3- b3- c3 = [(a + b + c)3- a3]- (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2]- (b + c)(b2- bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dơ 4: Ph©n tÝch biĨu thøc sau thµnh nh©n tư: A = x3- 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** §Ỉt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S2 - 2P ; a3 + b3 = S3 - 3SP V× vËy: A = x3- 3( S2 - 2P )x + 2( S3 - 3SP ) = (x3 - S3) - (3S2x - 3S3) + (6Px - 6SP) = (x - S)(x2 + Sx + S2) - 3S2(x - S) + 6P(x - S) = (x - S)(x2 + Sx - 2S2 + 6P) = (x- a- b)[x2 + (a + b)x- 2(a + b)2 + 6ab] = (x- a- b)[x2 + (a + b)x- 2(a2 VÝ dơ 5: Cho x + y + z = Chøng minh r»ng: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = nªn x + y = -z ⇒ (x + y)3 = -z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = -z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã: 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2- 2xy = z2- 2xy (v× x + y = -z) T¬ng tù: y2 + z2 = x2- 2yz; z2 + x2 = y2- 2zx V× vËy: 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2- 2yz) + y3(y2- 2zx) + z3(z3- 2xy) = 2(x5 + y5 + z5)- 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) Bµi tËp Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: a) x3 + 4x2- 29x + 24; b) x4 + 6x3 + 7x2- 6x + 1; c) (x2- x + 2)2 + (x- 2)2; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + 1; c) x12 + Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: a) (x + y + z)3- x3- y3- z3; b) (x + y + z)5- x5- y5- z5 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = a4 + b4 + c4 Cho x + y + z = vµ xy + yz + zx = TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: B = (x- 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009 Cho a2- b2 = 4c2 Chøng minh r»ng: (5a- 3b + 8c)(5a- 3b- 8c) = (3a- 5b)2 Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Chøng minh r»ng nÕu (x- y)2+(y- z)2+(z- x)2 =(x+ y- 2z)2+(y + z2x)2+(z + x- 2y)2 th× x = y = z a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y a b kh¸c th× = x y b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + a b c cz)2 vµ x, y, z kh¸c th× = = x y z Cho x + y + z = Chøng minh r»ng: a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5); b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2); c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5) 10 Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 11 Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2 Chøng minh r»ng: a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: C = a2 + b9 + c1945 13 14 Hai sè a, b lÇn lỵt tháa m·n c¸c hƯ thøc sau: a - 3a2 + 5a- 17 = vµ b3- 3b2 + 5b + 11 = H·y tÝnh: D = a + b Cho a3- 3ab2 = 19 vµ b3- 3a2b = 98 H·y tÝnh: E = a2 + b2 15 Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau: a) x3 + y3; b) x4 + y4; c) x5 + y5; d) x6 + y6; e) x7 + y7; f) x8 + y8; g) x2008 + y2008 Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Ngµy so¹n: 27/02/2010 Tn d¹y: 26 Chuyªn ®Ị i: BiÕn ®ỉi biĨu thøc ®¹i sè A Mơc tiªu: - HS tiÕp tơc ®ỵc cđng cè c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí - BiÕn ®ỉi thµnh th¹o c¸c biĨu thøc h÷u tØ - RÌn tÝnh cÈn thËn, tÝnh s¸ng t¹o, chđ ®éng häc tËp B Ph¬ng tiƯn: - GV: gi¸o ¸n, tµi liƯu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: biĨn ®ỉi ph©n thøc h÷u tØ VÝ dơ 5: 3n + a) Chøng minh r»ng ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ; 5n + b) n2 + Cho ph©n sè A = (n∈N) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá n+ h¬n 2009 cho ph©n sè A cha tèi gi¶n TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã Lêi gi¶i a) §Ỉt d = ¦CLN(5n + ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2)- 5(3n + 1)  d hay  d ⇒ d = 3n + VËy ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n 5n + 29 29 b) Ta cã A = n- 5+ §Ĩ A cha tèi gi¶n th× ph©n sè ph¶i cha n+ n+ tèi gi¶n Suy n + ph¶i chia hÕt cho mét c¸c íc d¬ng lín h¬n cđa 29 V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n +  29 ⇒ n + = 29k (k ∈ N) hay n = 29k - Theo ®iỊu kiƯn ®Ị bµi th× ≤ n = 29k - < 2009 ⇒ ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;…; 69} VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m·n ®iỊu kiƯn ®Ị bµi Tỉng cđa c¸c sè nµy lµ: 29(1 + + … + 69) - 5.69 = 69690 VÝ dơ 6: Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1 + + = a b c a+ b + c Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã hai sè ®èi Tõ ®ã suy r»ng: 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 2009 2009 a b c a + b + c2009 Lêi gi¶i Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** 1 1 1 1 + + = =0 ⇔ + + a b c a+ b + c a b c a+ b + c a+ b a+ b c(a+ b + c) + ab + = ⇔ (a+ b) =0 ⇔ ab c(a+ b + c) abc(a+ b + c) éa+ b = éa =- b ê ê b + c = ⇔ êb =- c ⇒ ®pcm ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = ⇔ ê ê ê êc + a = êc =- a ë ë Ta cã: 1 1 1 + + = + + = a2009 b2009 c2009 a2009 (- c)2009 c2009 a2009 1 = 2009 = 2009 2009 2009 2009 2009 2009 a +b +c a + (- c) + c a 1 1 ⇒ 2009 + 2009 + 2009 = 2009 a b c a + b2009 + c2009 VÝ dơ 7: §¬n gi¶n biĨu thøc: ỉ 1ư ỉ 1ư ỉ 1ư ÷ ÷ ç ç ç A= + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ 3ç 3÷ 4ç 2÷ 5ç ÷ ç ç ç (a+ b) èa b ø (a+ b) èa b ø (a+ b) èa bø Lêi gi¶i §Ỉt S = a + b vµ P = ab Suy : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2 - 2P a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3 - 3SP 1 a+ b S 1 a2 + b2 S2 - 2P + = = ; Do ®ã : + = 2 = ; a b ab P a2 b2 ab P2 1 a3 + b3 S3 - 3SP + = 3 = a3 b3 ab P3 S3 - 3SP S2 - 2P S Ta cã : A = + + S P3 S P2 S P = 2 S - 3P 3(S - 2P) (S4 - 3S2P) + (3S2P - 6P2) + 6P2 S4 + + = = S2P3 S4P2 S4P S4P3 S4P3 1 Hay A = = 3 P ab VÝ dơ 8: Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biƯt Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau kh«ng phơ thc vµo gi¸ trÞ cđa x: (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) Lêi gi¶i C¸ch 1: x2 - (a+ b)x + ab x2 - (b + c)x + bc x2 - (c + a)x + ca S(x) = + + = Ax2- Bx + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) C Tõ ®ã suy : Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** 1 + + ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) a+ b b+ c c+ a B= + + ; (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) ab bc ca C= + + (c- a)(c- b) (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) b- a+ c- b + a- c = 0; Ta cã: A = (a- b)(b- c)(c- a) víi: B= A= (a+ b)(b- a) + (b + c)(c- b) + (c + a)(a- c) b2 - a2 + c2 - a2 + a2 - c2 = = 0; (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) ab(b- a) + bc(c- b) + ca(a- c) ab(b- a) + bc[(c- a) + (a- b)] + ca(a- c) = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(bc- ab) + (c- a)(bc- ca) (a- b)(b- c)(c- a) = = = (a- b)(b- c)(c- a) (a- b)(b- c)(c- a) VËy S(x) = 1∀x (®pcm) C¸ch 2: §Ỉt P(x) = S(x)- th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng vỵt qu¸ Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiƯm NhËn xÐt: P(a) = P(b) = P(c) = ⇒ a, b, c lµ ba nghiƯm ph©n biƯt cđa P(x) §iỊu nµy chØ x¶y vµ chØ P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = ∀x Suy S(x) = ∀x ⇒ ®pcm VÝ dơ 9: Cho x + = TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau: x 1 1 a) A = x2 + ; b) B = x3 + ; c) C = x4 + ; d) D = x5 + x x x x Lêi gi¶i ỉ a) A = x + = ç x+ ÷ ÷ ç ÷ - = 9- = ; ç è x xø ỉ 1ư ỉ ÷ ç b) B = x + = ç x+ ÷ x+ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷= 27- = 18 ; ç ç è xø x è xø C= ỉ2 c) C = x + = ç x + 2÷ ÷ ç ÷- = 49- = 47 ; ç è x x ø ỉ2 ỉ3 1 ÷ ç x + 2÷ x + = x + + x + = D + ⇒ D = 7.18 – = 123 d) A.B = ç ÷ ÷ ç ç ÷ç ÷ ç è è x ø x3 ø x x5 VÝ dơ 10: X¸c ®Þnh c¸c sè a, b, c cho: ax + b c = + (x +1)(x - 1) x + x - Lêi gi¶i Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x2 +1) (a+ c)x2 + (b- a)x + (c- b) + = = Ta cã: x +1 x - (x2 +1)(x - 1) (x2 +1)(x - 1) §ång nhÊt ph©n thøc trªn víi ph©n thøc , ta ®ỵc: (x +1)(x - 1) ìï a+ c = ìï a =- ï ï - x- 1 ïí b- a = Û ïí b =- VËy = + ïï ïï (x2 +1)(x - 1) x2 + x - ïỵï c- b = ïỵï c = Bµi tËp Cho ph©n thøc P = 16 n3 + 2n2 - n3 + 2n2 + 2n +1 a) Rót gän P ; b) Chøng minh r»ng nÕu n lµ sè nguyªn th× gi¸ trÞ cđa ph©n thøc t×m ®ỵc c©u a) t¹i n lu«n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n 17 a) Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n: 12n +1 ; 30n + n3 + 2n ; n4 + 3n2 +1 b) Chøng minh r»ng ph©n sè n7 + n2 + n8 + n + 2n + 2n2 - kh«ng tèi gi¶n víi mäi sè nguyªn d¬ng n c) TÝnh tỉng c¸c sè tù nhiªn n nhá h¬n 100 cho ph©n sè cha tèi gi¶n 18 a) b) c) d) e) f) TÝnh c¸c tỉng sau : 2n +1 A= + + + ; (1.2)2 (2.3)2 [n(n +1)]2 1 1 B = 1+ + + + + 2n ; 2+1 +1 +1 +1 1 1 C= + + + ; 1.4 4.7 7.10 (3n +1)(3n + 4) 1 D= + + + ; 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 1 E= + + + + ; 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n- 1)n(n +1) 1.2! 2.3! n.(n + 1)! F= + + + (k! = 1.2.3…k) 2 2n 19 (a2 + b2 + c2)(a+ b + c)2 + (bc + ca+ ab)2 Rót gän : A = (a+ b + c)2 - (ab + bc + ca) 20 (a+ 2b)3 - (a- 2b)3 3a4 + 7a2b2 + 3b4 : Rót gän : B = (2a+ b)3 - (2a- b)3 4a4 + 7a2b2 + 3b4 Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung n2 + n +1 lµ ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** 21 Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh: x2 - yz y2 - zx z2 - xy + + y+z z+ x x+y ; a) 1+ 1+ 1+ x y z a(a+ b) a(a+ c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a- b a- c + b- c b- a + c - a c- b b) ; 2 (b- c) (c- a) (a- b)2 1+ 1+ 1+ (a- b)(a- c) (b- c)(b- a) (c- a)(c- b) c) a+ b- 2c b + c- 2a c + a- 2b + + 3 (a- b) (c- a)(c- b) (b- c) (a- b)(a- c) (c- a) (b- c)(b- a) + + + 3 3 3 a- b a + ab + b b- c b + bc + c c - a c + ca+ a2 22 a) BiÕt a – 2b = 5, h·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : 3a- 2b 3b- a P= + ; 2a+ b- b) BiÕt 2a – b = 7, h·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : 5a- b 3b- 3a Q= ; 3a+ 2b- c) BiÕt 10a2- 3b2 + 5ab = vµ 9a2- b2 ≠ 0, h·y tÝnh: R= 23 2a- b 5b- a + 3a- b 3a+ b Cho a + b + c = TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : 1 + + a) A = ; 2 2 a +b - c b +c - a c + a2 - b2 a2 b2 c2 b) B = ; + + a - b2 - c2 b2 - c2 - a2 c2 - a2 - b2 1 1 + + + + A 1(2n- 1) 3(2n- 3) (2n- 3).3 (2n- 1).1 24 Rót gän biĨu thøc : = 1 B 1+ + + + 2n- a b c + + = Chøng minh r»ng b + c c + a a+ b a2 b2 c2 + + = b + c c + a a+ b 25 Cho 26 Cho a + b + c = 0, x + y + z = vµ a b c + + = Chøng minh x y z r»ng ax2 + by2 + cz2 = 27 Cho x2 - 4x + = TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc A = x + 1 vµ B = x7 + x x Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** x x2 x2 = 2008 TÝnh M = 28 Cho vµ N = x - x +1 x + x2 + x - x2 +1 a1 - a2 - 29 Cho d·y sè a1, a2, a3, … cho : a2 = ; a3 = ;…; a1 +1 a2 +1 a - an = n- an- +1 a) Chøng minh r»ng a1 = a5 b) X¸c ®Þnh n¨m sè ®Çu cđa d·y, biÕt r»ng a101 = 108 Ngµy so¹n: 06/03/2010 Tn d¹y: 27 Chuyªn ®Ị Ii: ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư A Mơc tiªu: - HS n¾m ®ỵc c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ n©ng cao ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư - Thùc hiƯn thµnh th¹o d¹ng to¸n ph©n tÝch nµy - BiÕt ®ỵc mèi liªn hƯ gi÷a c¸c ph¬ng ph¸p vµ sư dơng hỵp lý vµo bµi to¸n - RÌn tÝnh cÈn thËn, tÝnh s¸ng t¹o, chđ ®éng häc tËp B Ph¬ng tiƯn: - GV: gi¸o ¸n, tµi liƯu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: I- Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tư thµnh nhiỊu h¹ng tư kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: a) x2- 5x + 6; b) 3x 2- 8x + 4; c) x + 8x + 7; d) x 2- 13x + 36; e) x2 + 3x- 18 f) x2- 5x- 24; g) 3x2- 16x + 5; h) 8x 2+ 30x+ 7; i) 2x2- 5x- 12; k) 6x2- 7x- 20 Gi¶i: a) x2- 5x + = x2- 2x- 3x + = (x2- 2x)- (3x- 6) = x(x- 2)- 3(x- 2) = (x- 2)(x- 3) b) 3x2- 8x + = 3x2- 6x- 2x + = (3x2- 6x)- (2x- 4) = 3x(x- 2)- 2(x2) = (x- 2)(3x- 2) c) x2 + 8x + = x2 + x + 7x + = (x 2+ x) + (7x+ 7) = x(x+ 1) + 7(x+ 1) = (x+1)(x+ 7) d) x2- 13x + 36 = x2- x- 12x + 36 = (x2- 4x)- (9x- 36) = x(x- 4)- 9(x4) = (x- 4)(x- 9) e) x2 + 3x- 18 = x2- 3x + 6x- 18 = (x2- 3x) + (6x- 18) = x(x- 3)+ 6(x3) = (x- 3)(x+ 6) f) x2- 5x- 24 = x2 + 3x- 8x- 24 = (x2 + 3x)- (8x + 24) = x(x+ 3)8(x+3) = (x + 3)(x- 8) g) 3x2- 16x + = 3x2- 15x- x + = (3x 2- 15x)- (x- 5) = 3x(x- 5)- (x5) = (x- 5)(3x- 1) h) 8x2+ 30x+ = 8x2 + 28x + 2x + = (8x2 + 28x) + (2x + 7) Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Ngµy so¹n: 27/03/2010 Tn d¹y: 30 Chuyªn ®Ị V: Tính chia hết với số ngun A Mơc tiªu: Sau học xong chuyªn đề học sinh cã khả năng: 1.Biết vận dụng tÝnh chất chia hÕt cđa sè nguyªn dể chứng minh quan hƯ chia hÕt, t×m sè d vµ t×m ®iỊu kiƯn chia hÕt Hiểu bước ph©n tÝch bµi to¸n, t×m hướng chứng minh Có kĩ vận dụng c¸c kiến thức trang bị để giải to¸n B Ph¬ng tiƯn: - GV: gi¸o ¸n, tµi liƯu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio C Néi dung bµi gi¶ng: Kiến thức cần nhớ Chøng minh quan hƯ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (n ∈ N hc n ∈ Z) a/ §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho m ta ph©n tÝch A(n) thµnh tÝch ®ã cã mét thõa sè lµ m + NÕu m lµ hỵp sè ta ph©n tÝch m thµnh tÝch c¸c thõa sè ®«I mét nguyªn tè cïng råi chøng minh A(n) chia hÕt cho tÊt c¶ c¸c sè ®ã + Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cđa k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n * VÝ dơ1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n (n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp mµ sè nguyªn liªn tiÕp: - Tån t¹i mét béi sè cđa (nªn A M5 ) - Tån t¹i mét béi cđa (nªn A M7 ) - Tån t¹i hai béi cđa (nªn A M9 ) - Tån t¹i béi cđa ®ã cã béi cđa (nªn A M16) VËy A chia hÕt cho 5, 7,9,16 ®«i mét nguyªn tè cïng ⇒ AM 5.7.9.16= 5040 VÝ dơ 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 –a chia hÕt cho Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** b/ a5-a chia hÕt cho Gi¶i: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cđa c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) • C¸ch 1: Ta xÕt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia a cho - NÕu a= k (k ∈ Z) th× A M (1) - NÕu a= 5k ± th× a -1 = (5k2 ± 1) -1 = 25k2 ± 10k M ⇒A (2) M - NÕu a= 5k ± th× a2+1 = (5k ± 2)2 + = 25 k2 ± 20k +5 ⇒ AM (3) Tõ (1),(2),(3) ⇒ A M 5, ∀ n ∈ Z C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tỉng cđa hai sè h¹ng chia hÕt cho 5: + Mét sè h¹ng lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a24) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) M 5 Do ®ã a -a M * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiƯu a 5-a vµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M 5 ⇒ a -a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M ⇒ a5-a M Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M 5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét hiƯu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cđa c¸c l thõa ta cßn sư dơng c¸c h»ng ®¼ng thøc: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (H§T 9) - Sư dơng tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 3 1 … Mçi dßng ®Ịu b¾t ®Çu b»ng vµ kÕt thóc b»ng Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Mçi sè trªn mét dßng (kĨ tõ dßng thø 2) ®Ịu b»ng sè liỊn trªn céng víi sè bªn tr¸i cđa sè liỊn trªn Do ®ã: Víi ∀ a, b ∈ Z, n ∈ N: an – bn chia hÕt cho a – b( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a ≠ -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cđa a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16 n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, k ∈ N th×: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 16 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – = 255 M 17 VËy A M 17 n - NÕu n lỴ th× : A = 16 – = 16n + – mµ n lỴ th× 16 n + 16+1=17 (H§T 9) M ⇒ A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1) n – = BS17 +(-1)n – (theo c«ng thøc Niu T¬n) - NÕu n ch½n th× A = BS17 + – = BS17 chia hÕt cho 17 - NÕu n lỴ th× A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biĨu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n, ∀ n ∈ N d/ Ngoµi cßn dïng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng, nguyªn lý Dirichlª ®Ĩ chøng minh quan hƯ chia hÕt • VD 4: CMR tån t¹i mét béi cđa 2003 cã d¹ng: 2004 2004….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d chia cho 2003 Gäi hai sè ®ã lµ am vµ an ( ≤ n nªn 3n – > Ta l¹i cã: 3n – < 4n +5(v× n ≥ 0) nªn ®Ĩ 12n2 – 5n – 25 lµ sè ngyªn tè th× thõa sè nhá ph¶i b»ng hay 3n – = ⇒ n = Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyªn tè VËy víi n = th× gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 12n – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) BiÕn ®ỉi t¬ng tù ta ®ỵc n = Khi ®ã, 8n + 10n +3 lµ sè nguyªn tè n3 + 3n c/ A = Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) M 4 Hai sè n vµ n + kh«ng thĨ cïng ch½n VËy hc n , hc n + chia hÕt cho - NÕu n = th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n = th× A = 7, lµ sè nguyªn tè -NÕu n = 4k víi k ∈ Z, k > th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hỵp sè - NÕu n + = th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + = 4k víi k ∈ Z, k > th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lín h¬n nªn A lµ hỵp sè VËy víi n = th× n3 + 3n lµ sè nguyªn tè Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cđa hai b¹n Mét ngµy cđa thËp kû ci cïng cđa thÕ kû XX, mét nhê kh¸ch ®Õn th¨m trêng gỈp hai häc sinh Ngêi kh¸ch hái: - Cã lÏ hai em b»ng ti nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: - Kh«ng, em h¬n b¹n em mét ti Nhng tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh mçi chóng em ®Ịu lµ sè ch½n - VËy th× c¸c em sinh n¨m 1979 vµ 1980, ®óng kh«ng? Ngêi kh¸ch ®· suy ln thÕ nµo? Gi¶i: Ch÷ sè tËn cïng cđa n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ vµ v× trêng hỵp ngùoc l¹i th× tỉng c¸c ch÷ sè cđa n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm lµ 1, kh«ng thĨ cïng lµ sè ch½n Gäi n¨m sinh cđa Mai lµ 19a9 th× +9+a+9 = 19 + a Mn tỉng nµy lµ sè ch½n th× a ∈ {1; 3; 5; 7; 9} HiĨn nhiªn Mai kh«ng thĨ sinh n¨m 1959 hc 1999 VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cđa Mai sinh n¨m 1980 Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Ngµy so¹n: 10/04/2010 Tn d¹y: 32 Chuyªn ®Ị VI: Tam gi¸c – ph©n gi¸c A Mơc tiªu: - HS n¾m ®ỵc c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ n©ng cao t×m hiĨu c¸c bµi to¸n chøng minh vỊ ph©n gi¸c tam gi¸c - RÌn kü n¨ng suy ln l«gic, kü n¨ng chøng minh h×nh häc - BiÕt ®ỵc mèi liªn hƯ gi÷a c¸c ph¬ng ph¸p vµ sư dơng hỵp lý vµo bµi to¸n - RÌn tÝnh cÈn thËn, tÝnh s¸ng t¹o, chđ ®éng häc tËp B Ph¬ng tiƯn: - GV: gi¸o ¸n, tµi liƯu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio, dơng vÏ h×nh C Néi dung bµi gi¶ng: C¸c bµi to¸n tỉng qu¸t vỊ ®êng ph©n gi¸c 1/ Cho ∆ ABC với AB > AC Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác N ( khác A ) thuộc đường phân giác góc A Chứng minh : a/ AB – AC > MB – MC b/ AB + AC < NB + NC 2/ Ba đường phân giác AD , BE , CF ∆ ABC gặp O Từ O dựng OG vuông góc với BC a/Chứng minh góc BOD = góc COG b/Tính góc BOC theo A c/Tính góc GOD theo góc B góc C 3/ Cho ∆ ABC , đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L giao điểm AA’ B’C’ , K giao điểm CC’ A’B’ Chứng minh : BB’ phân giác góc KBL 4/ Cho ∆ ABC có dộ dài cạnh a,b,c l a , lb , lc độ dài đường phân giác ứng với cạnh BC , CA , AB 1 1 1 Chứng minh : a + b + c < l + l + l a b c HƯỚNG DẪN E Chú ý nhận xét : + Ta tạo đoạn thẳng A b+c cách = + (1) la 2bc 2c 2b ( la với trường hợp lại ) a cách tính BE ( liên quan đến b , c , la ) Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA E ∆ ABE cân E Xét ∆ ABE ta có : BE < AB + AE = 2AB = 2c BE CE = AD AC b+c 1 AD.CE l a (b + c) > = + (1) = < 2c ⇔ BE = ⇒ la 2bc 2c 2b AC b 1 1 1 > + (3) Chứng minh tương tự ta có : l > 2a + 2c (2) l c 2b 2a b Xét ∆ CBE ta có : AD // BE ⇒ Lấy (1) + (2) +(3) suy điều phải chứng minh 5/ Cho tam giác ABC có phân giác AY , BZ , CX Chứng minh : AX BY CZ + + ≥ XB YC ZA A giác nên HƯỚNG DẪN Nhận xét ý : + Bài toán cho đường phân ý đến tính chất đường phân giác tam giác Z X + Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức nên ý đến BĐT C B Y ý đến BĐT Côsi p dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương AX BY CZ ; ; XB YC ZA ta có : Theo tính chất đường phân giác : AX BY CZ AX + + ≥33 XB YC ZA XB AX BY CZ b c = XB YC ZA a b BY CZ YC ZA a Do c AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA Dấu “=” xảy a = b = c tức ∆ ABC 6/ Cho ∆ ABC , ba đường phân giác AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC S DEF = ¼ SABC 8/ Cho ∆ ABC có độ dài ba cạnh a , b , c Vẽ phân giác AD , BE , CF Chứng minh SDEF ≤ ¼ SABC , dấu “=” xảy ⇔ ∆ ABC Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** 2.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC 1/ Cho ∆ ABC , đường phân giác BD , CE Tính số đo góc tam giác BDE = 240 , CED = 180 2/ Cho ∆ ABC , góc B C cóùù tỉ lệ : , phân giác góc A chia diện tích tam giác theo tỉ số 2: Tính góc tam giác 3.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1/ Cho ∆ ABC có hai đường phân giác BD , CE cắt I Biết ID = IE Chứng minh ∆ ABC cân A BAC = 600 HƯỚNG DẪN A E’ D E I C B AI đường phân giác góc A Khi hai ∆ IEA ∆ IDA xảy hai trường hợp : a/ ∆ IEA = ∆ IDA Khi : BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA ⇒ ∆ ABD = ∆ ACE ( g – c – g ) ⇒ AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A b/ ∆ IEA ∆ IDA không ⇒ ∆ ABC không cân A Không tính tổng quát ta giả sử : C > B Lấy điểm E’ AB cho IE’ = IE = ID ⇒ ∆ IE’E cân ⇒ IE’E = IEE’ ⇒ BEI = IE’A = IDA Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800 ⇒ A + DIE = 1800 ⇒ A + BIE = ICB + IBC ⇒ 2A = 2ICB + 2IBC = C + B Mà BIE + DIE = 180 A + B + C = 1800 ⇒ A + 2A = 1800 ⇒ A = 600 4.CỰC TRỊ 1/ Cho ∆ ABC với AB ≤ AC AD đường phân giác Lấy điểm M cạnh AB điểm N cạnh AC cho BM.CN = k không đổi ( k < AB2 ) Xác đònh vò trí M , N cho diện tích tứ giác AMDN lớn HƯỚNG DẪN Nhận xét : 1/ BM + CN ≥ BM CN A 2/ SAMDN = SAMD + SADN 3/ M M K B kB H N H D đv C Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung E ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Hạ DH , DK vuông góc với AB AC Ta có : DH = DK = số ( AD phân giác góc A ) 2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN ) = DH [AB+AC – (BM+CN)] (1) p dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN : BM + CN ≥ BM CN = k , dấu “ = “ xảy ⇔ BM = CN Thay vào (1) ta : 2SAMDN ≤ DH(AB+AC- k ) Diện tích tứ giác AMDN lớn BM = CN = k < AB ≤ AC Lúc SAMDN = ½ (AB+AC - k ) Dễ dàng dựng đoạn thẳng BM , CN theo hệ thức BM2 = CN2 = k.1 ( đơn vò dài ) Cách dựng : Trên BC lấy E cho BE = BF lấy H cho BH = k Dựng đường tròn đường kính BE , dựng tia Hx vuông góc với BE cắt đường tròn M BM có độ dài cần dựng Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** Ngµy so¹n: 18/04/2010 Tn d¹y: 33 Chuyªn ®Ị VIi: Tam gi¸c - ®êng cao – trung tun A Mơc tiªu: - HS n¾m ®ỵc c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n vµ n©ng cao t×m hiĨu c¸c bµi to¸n chøng minh vỊ ®êng cao, ®êng trung tun tam gi¸c - RÌn kü n¨ng suy ln l«gic, kü n¨ng chøng minh h×nh häc - RÌn tÝnh cÈn thËn, tÝnh s¸ng t¹o, chđ ®éng häc tËp B Ph¬ng tiƯn: - GV: gi¸o ¸n, tµi liƯu Casio - HS: M¸y tÝnh Casio, dơng vÏ h×nh C Néi dung bµi gi¶ng: I.C¸c bµi to¸n vỊ ®êng cao 1/ Cho ∆ ABC có a > b > c Chứng minh : a/ < hb < hc b/ a + ≥ b + hb 2/ Cho ∆ ABC có ba cạnh a , b , c ba đường cao h a , hb , hc Chứng minh 1 + + = hb hc p( p − a) + p ( p − b) + p ( p − c) tam giác ABC tam giác ( p nửa chu vi ∆ ABC 3/ Chứng minh tam giác cóùù cạnh không tổng cạnh lớn đường cao tương ứng lớn tổng cạnh nhỏ đường cao tương ứng 4/ Cho ∆ ABC có đường cao AA’ , BB’ , CC’ Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ CC’ I , J , K , L Chứng minh điểm I , J , K , L thẳng hàng 5/ Cho ∆ ABC , đường cao AH Gọi C’ điểm đối xứng H qua AB Gọi B’ điểm đối xứng H qua AC Gọi giao điểm B’C’ với AC AB I K Chứng minh BI CK đường cao ∆ ABC ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC 1/ Chứng minh ∆ ABC ta có : p2 ≥ ha2 + hb2 + hc2 ( p nửa chu vi tam giác ABC ) 2/ Cho ∆ ABC Xác đònh điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc cạnh BC , CA , AB cho chu vi ∆ MNP nhỏ ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ 1/ Cho điểm A , B cóùá đònh điểm M di động cho ∆ MAB cóùù góc nhọn Gọi H trực tâm ∆ AMB , K chân đường cao vẽ từ M Tìm giá trò lớn KH.KM TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC 1/ Đường cao đường phân giác vẽ từ đỉnh A ∆ABC tạo thành góc Tính góc đo theo góc B C Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** tam giác ABC ( chứng minh góc nửa hiệu hai góc B C ) HƯỚNG DẪN A Chú ý vànhận xét : + D nằm H trung điểm M ( chứng minh B H D E C phần sau ) + Tìm cách tạo góc B – C tính B-C Cách : Từ A vẽ tia AE cho CAE = BAH Suy : HAD = DAE , HAE = HAD B = 900 – BAH C = 900 – HAE - CAE B – C = HAE = HAD Cách : B = 900 – BAH C = 900 – CAH B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = HAD 1.1/ Cho ∆ ABC đường phân giác CE Từø C kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt cạnh AB kéo dài D Chứng minh góc EDC nửa hiệu góc A B 1.2/ Đøng phân giác kẻ từ đỉnh A ∆ ABC tạo với cạnh BC góc 30 Tìm hiệu góc C B ( Cho AB > AC ) 1.3/ Chứng minh tam giác hiệu góc đáy 900 đường phân giác đường phân giác góc đỉnh II TAM GIÁC - TRUNG TUYẾN 1/ Chứng minh tam giác ta có : 20 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma ) HƯỚNG DẪN A P Q N G B M C + Trong tam giác ta có : ma + mb + mc < a + b + c ⇒ ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) ( ) Do : ma2 + mb2 + mc2 = 3a + 3b + 3c Nên ( ) ⇔ 2(mamb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ******Gi¸o ¸n Båi dìng HSG To¸n 8****** < ⇔ ab + bc + ca + ( ab + bc + ca ) (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * ) + Kẻ PQ // AM ; AM , BN , CP trung tuyến ∆ ABC ∆ PQG có cạnh : 1 ma ; mb ; mc 3 trung tuyến a ; b c ; 4 p dụng bất đẳng thức ( * ) vào ∆ PQG ta có : a b b c c a 1 1 1 ( + + ) < ma mb + mb mc + mc ma 4 4 4 3 3 3 20 ⇔ ab + bc + ca < (mamb + mbmc + mcma ) 2/ Cho ∆ ABC , trung tuyến AM Một cát tuyến ∆ quay quanh trọng tâm G cắt AB , AC P Q Chứng minh : AB AC + AP AQ không phụ thuộc vò trí ∆ 3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC Một đường thẳng qua trọng tâm G ∆ ABC , cắt cạnh AB , AC E , F Hãy xác đònh vò trí điểm E cho AE + AF đạt giá trò nhỏ ( Mở rộng ) 4/ Cho ∆ ABC , trung tuyến AD Từø điểm M BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB E , cắt AC F Chứng minh : 2AD = ME + MF HƯỚNG DẪN Chú ý nhận xét : ME +MF =2 + 2AD = ME + MF ⇔ AD + Tạo đoạn thẳng ME + MF Gi¸o viªn: D¬ng V¨n Chinh - Trêng THCS Nga Trung ... c¸c h»ng ®¼ng thøc: an – bn = (a – b)( an- 1 + an- 2b+ an- 3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an- 1 - an- 2b+ an- 3b2 - …- abn-2+ bn-1) (H§T 9) - Sư dơng tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 3 1 … Mçi... 5)(y- 1)(y + 1)(y + 5) + 1 28 = (y2- 1)(y2- 25) = y4- 26y2 + 25 + 1 28 = y 4- 34y2 + 289 + 8y2- 136 = (y4- 34y2 + 289 ) + (8y2- 136) = (y2- 17)2 + 8( y2- 17) = (y2- 17)(y2- 17 + 8) = (y2- 17)(y2- 9) =... 9) e) x2 + 3x- 18 = x2- 3x + 6x- 18 = (x2- 3x) + (6x- 18) = x(x- 3)+ 6(x3) = (x- 3)(x+ 6) f) x2- 5x- 24 = x2 + 3x- 8x- 24 = (x2 + 3x)- (8x + 24) = x(x+ 3 )8( x+3) = (x + 3)(x- 8) g) 3x2- 16x +