phòng giáo dục đào tạo kim bảng kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009 môn toán lớp Thời gian 150 phút Không kể thời gian giao đề Đề thức Bài (3 điểm)Tính giá trị biểu thức 1+ ữ + ữ + ữ 29 + ữ 4 A= + ữ + ữ + ữ 30 + ữ 4 Bài (4 điểm) a/Với số a, b, c không đồng thời nhau, chứng minh a2 + b2 + c2 ab ac bc b/ Cho a + b + c = 2009 chứng minh a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b + c - ab - ac - bc Bài (4 điểm) Cho a 0, b ; a b thảo mãn 2a + 3b 2a + b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = a 2a b Bài (3 điểm) Giải toán cách lập phơng trình Một ô tô từ A đến B Cùng lúc ô tô thứ hai từ B đến A vơí vận tốc vận tốc ô tô thứ Sau chúng gặp Hỏi ô tô quãng đờng AB bao lâu? Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm M, N thứ tự trung điểm BC AC Các đờng trung trực BC AC cắt O Qua A kẻ đờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đờng thẳng song song với ON, chúng cắt H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác ? b) Gọi G trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ? Phòng GD - ĐT Can lộc đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Môn: Toán lớp Thời gian làm 120 phút Bài Cho biểu thức: A = x5 + x x3 x + x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A = c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Bài 2: a) Cho a > b > 2( a2 + b2) = 5ab Tính giá trị biểu thức: P = 3a b 2a + b b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải phơng trình: a) x x x = 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm tam giác cho ãABP = ãACP , kẻ PH AB, PK AC Gọi D trung điểm cạnh BC Chứng minh a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, đờng thẳng d cắt cạnh AB, AD M K, cắt đờng chéo AC G Chứng minh rằng: AB AD AC + = AM AK AG UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + x + x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: x x + + x = 2 1 2 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 viết dới dạng nh sau: 64 = + Hỏi có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng dới dạng nh số nguyên? Hãy toàn số Tìm số d phép chia biểu thức ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 cho đa thức x + 10 x + 21 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: Hết GB HD = BC AH + HC Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán ***** đề thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bi (4 im): Cho biu thc A= 4xy y x2 : + 2 y + xy + x y x a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh b) Rỳt gn A c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x + y2 + 2x 2y = 1, hóy tỡm tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A? Bi (4 im): a) Gii phng trỡnh : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc s x, y, z bit : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bi (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n luụn cú ch s tn cựng ging Bi (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Ly mt im M bt k trờn cnh AC T C v mt ng thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E ã ã a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD = ECB ã b) Cho BMC = 1200 v S AED = 36cm Tớnh SEBC? c) Chng minh rng im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr khụng i d) K DH BC ( H BC ) Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng BH, DH Chng minh CQ PD Bi (2 im): a) Chng minh bt ng thc sau: x y + (vi x v y cựng du) y x x y x2 y b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = + + ữ+ y x y x (vi x 0, y ) Phòng giáo dục - Đào tạo huyện Vũ th Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện Môn: Toán Lớp năm học 2008 2009 đề Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) a+ b + c = 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn , tính A = a4 + b4 + c4 2 a + b + c = 2009 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + zx Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f ( x) = x + px + q với p Z,q Z Chứng minh tồn số nguyên k để f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy + x + 15y 44 = 2, Cho số tự nhiên a = ( 29 ) chữ số b, d 2009 , b tổng chữ số a, c tổng tổng chữ số c Tính d Bài 4: (3 điểm) Cho phơng trình 2x m x + = 3, tìm m để phơng trình có nghiệm x x+ dơng Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh đờng chéo AC, tia đối tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F, CE cắt O Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ãEOF Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, đoạn thẳng DB, DC lần minh rằng: lợt lấy điểm E F cho ãEAD = ãFAD Chứng BE BF AB2 = CE CF AC2 Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy hai số thay hiệu chúng, làm nh đến số bảng dừng lại Có thể làm để bảng lại số đợc không? Giải thích Hết Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp trờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n có giá trị số nguyên n2 + D=n5-n+2 số phơng (n 2) b) B= c) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a) a b c + + = biết abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c) a2 b2 c2 c b a + + + + b2 c2 a2 b a c Câu 3: (5 điểm) giảI phơng trình sau: a) x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dơng câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E ,cát BC F a) chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b) Chứng minh : 1 + = AB CD EF c) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K chia đôI diện tích tam giác DEF hết pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dơng (hoặc âm) với giá trị chử cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: x + 8x Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phơng số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC = CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x : x x + x x x +1 C= a) Tìm điều kiện x để biểu thức C đợc Xác định b) Rút gọn C c) Với giá trị x biểu thức C đợc xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB) , đờng cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đờng vuông góc với BC D cắt AC E a) chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM -hết Phòng GD-đt vũ th Hớng dẫn chấm môn toán Bà Nội dung Điể i 1 m a+ b + c = Cho ba số a, b, c thoả mãn , tính A = a4 + b4 + c4 2 a + b + c = 2009 Ta có a2 + b2 + c2 = ( a + b + c) 2( ab + bc + ca) = 2( ab + bc + ca) 2,0 0,50 a2 + b2 + c2 20092 a b + b c + c a = ( ab + bc + ca) 2abc( a + b + c) = ữ = 20092 A = a4 + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 ) 2( a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = x + y + z = Tìm giá trị lớn Cho ba số x, y, z thoả mãn B = xy + yz + zx B = xy + z( x + y) = xy + ( x + y) ( x + y) 2 2 2 0,50 1,00 2,0 = xy + 3( x + y) ( x + y) = x2 y2 xy + 3x + 3y 2 y 3y2 + 6y + y 3 = x+ + = x+ + ( y 1) + ữ ữ y 1= y = x = y = z = Dấu = xảy x + x + y + z = Vậy giá trị lớn B x = y = z = 1,25 0,50 0,25 2 Cho đa thức f ( x) = x + px + q với p Z,q Z Chứng minh tồn f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) số nguyên k để 2,0 ff ( x) + x = f ( x) + x + p( f ( x) + x) + q = f ( x) + 2.x.f ( x) + x2 + p.f ( x) + p.x + q = f ( x) f ( x) + 2x + p + ( x2 + px + q) = f ( x) x2 + px + q + 2x + p + = f ( x) ( x + 1) + p( x + 1) + q = f ( x) f ( x + 1) Với x = 2008 chọn k = f ( 2008) + 2008 Â Suy f ( k) = f ( 2008) f ( 2009) Tìm số nguyên dơng x, y thoả mãn 3xy + x + 15y 44 = 3xy + x + 15y 44 = ( x + 5) ( 3y + 1) = 49 x, y nghuyêndơng x + 5, 3y + nguyên dơng lớn Thoả mãn yêu cầu toán x + 5, 3y + ớc lớn 49 nên có: x+ 5= x = 3y + = y = Vậy phơng trình có nghiệm nguyên x = y = Cho số tự nhiên a = ( 29 ) 2009 , b tổng chữ số a, c tổng chữ số b, d tổng chữ số c Tính d a = ( 29 ) 2009 = ( 23 ) 3.2009 = ( 23 ) 6027 0,50 0,25 2,0 0,75 0,50 0,75 2,0 < 106027 b 9.6027 = 54243 c + 4.9 = 41 d + 1.9 = 13 1,25 ( 1) 23 1mod9 a 1mod9 mà a b c dmod9 d 1mod9 ( 2) Từ (1) (2) suy d = 2x m x + = 3, tìm m để phơng trình có Cho phơng trình x x+ nghiệm dơng Điều kiện: x 2;x 2x m x + = x( m) = 2m 14 x x+ m = 1phơng trình có dạng = -12 vô nghiệm 2m 14 m phơng trình trở thành x = m 1,00 0,75 0,25 3,0 0,25 0,75 0,25 0,50 2m 14 m 1,00 m 2m 14 Phơng trình có nghiệm dơng m 1< m < 2m 14 m > 0,25 m Vậy thoả mãn yêu cầu toán 1< m < Cho hình thoi ABCD có cạnh đờng chéo AC, tia đối 3,0 tia AD lấy điểm E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC F Chứng minh AEC đồng dạng CAF , tính ãEOF E AEB đồng dạng CBF (gA g) AB2 = AE.CF AC2 = AE.CF O AE AC B = D AC CF AEC đồng dạng CAF (cg-c) C AEC đồng dạng CAF ã ã mà AEC = CAF ã ã ã ã ã EOF = AEC + EAO = ACF + EAO ã = 180 DAC = 1200 F 1,00 1,00 1,00 Cho tam giác ABC, phân giác đỉnh A cắt BC D, 3,0 đoạn thẳng DB, DC lần lợt lấy điểm E F cho ãEAD = ãFAD Chứng minh rằng: BE BF = AB CE CF AC2 Kẻ EH AB H, FK AC K A ã ã ã ã BAE = CAF; BAF = CAE HAE đồng dạng KAF (g-g) AE EH K = AF FK SABE BE EH.AB AE.AB BE AE.AB C E D F B = = = = SACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC BF AF.AB Tơng tự = CE AE.AC BE BF AB2 (đpcm) = CE CF AC2 Trên bảng có số tự nhiên từ đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy H 1,00 1,25 0,50 0,25 2,0 2x2 +2y2 + 2z2 2xy 2yz 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,75 im) x y = y z = z x = x= y= z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 im) Thay vo iu kin (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vy x = y = z = (0,5 im) Bi (3 im) Cn chng minh: n5 n M10 - Chng minh : n5 - n M2 n5 n = n(n2 1)(n2 + 1) = n(n 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vỡ n(n 1) l tớch ca hai s nguyờn liờn tip) (1 im) - Chng minh: n n M5 n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 + 5) = n( n ) (n + 1)(n 2) ( n + ) + 5n( n 1)( n + ) lý lun dn n tng trờn chia ht cho (1,25 im) - Vỡ ( ; ) = nờn n5 n M2.5 tc l n5 n M10 Suy n5 v n cú ch s tn cng ging (0,75 im) Bài 4: điểm E D A M Q B P I H C Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với (1 điểm) ECA (gg) EB ED = EA.EB = ED.EC EC EA ã ã * Chứng minh EAD (1 điểm) = ECB - Từ suy 0,5 điểm 0,5 điểm - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) ã ã - Suy EAD = ECB 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm ã - Từ BMC = 120o ãAMB = 60o ãABM = 30o = 30o - Xét EDB vuông D có B ED = ED = EB EB 2 0,5 điểm 0,5 điểm S ED - Lý luận cho EAD = ữ từ S ECB EB SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD = = = DH DC DQ DC DQ DC 0,5 điểm - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) ã ã BDP = DCQ CQ PD o ã ã ma`BDP + PDC = 90 điểm Bi 5: (2 im) i) vỡ x, y cựng du nờn xy > 0, ú x y + y x (*) x2 + y2 2xy (x y)2 (**) Bt ng thc (**) luụn ỳng, suy bt (*) ỳng (pcm) (0,75) x y + =t y x x2 y2 + = t2 (0,25) y x Biu thc ó cho tr thnh P = t2 3t + P = t2 2t t + + = t(t 2) (t 2) + = (t 2)(t 1) + (0,25) - Nu x; y cựng du, theo c/m cõu a) suy t t ; t > ( t 2) ( t 1) P ng thc xy v ch t = x = y (1) (0,25) j) t - Nu x; y trỏi du thỡ x y < v < y x ( t 2) ( t 1) > P > t < t < v t < (2) (0,25) - T (1) v (2) suy ra: Vi mi x ; y thỡ luụn cú P ng thc xy v ch x = y Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P l Pm=1 x=y UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 11 x2 + x + 12 x + 2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình: 11 x 3x + + x = 12 1 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) x x x x 2 Bài 3: (2điểm) 11 Căn bậc hai 64 viết dới dạng nh sau: 64 = + Hỏi có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng dới dạng nh số nguyên? Hãy toàn số 12 Tìm số d phép chia biểu thức cho đa thức x + 10 x + 21 ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2008 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC D cắt AC E 16 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB 17 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM 18 Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD = BC AH + HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** đề thức đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 - 2009 môn: Toán (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bi (4 im): Cho biu thc A= 4xy y x2 : + 2 y + xy + x y x a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh b) Rỳt gn A c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x + y2 + 2x 2y = 1, hóy tỡm tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A? Bi (4 im): a) Gii phng trỡnh : x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc s x, y, z bit : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bi (3 im): Chng minh rng vi mi n N thỡ n5 v n luụn cú ch s tn cựng ging Bi (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Ly mt im M bt k trờn cnh AC T C v mt ng thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E ã ã a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v EAD = ECB ã b) Cho BMC = 1200 v S AED = 36cm Tớnh SEBC? c) Chng minh rng im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr khụng i d) K DH BC ( H BC ) Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng BH, DH Chng minh CQ PD Bi (2 im): a) Chng minh bt ng thc sau: x y + (vi x v y cựng du) y x b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x y x2 y + + ữ+ y x y x (vi x 0, y ) pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp trờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n có giá trị số nguyên n2 + D=n5-n+2 số phơng (n 2) b) B= c) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh : a) a b c + + = biết abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + b) Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a c) + + + + b a c b c a Câu 3: (5 điểm) giảI phơng trình sau: a) x 214 x 132 x 54 + + =6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên dơng câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E ,cát BC F p) chứng minh : diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC q) Chứng minh : 1 + = AB CD EF r) Gọi K điểm thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K chia đôI diện tích tam giác DEF hết -pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh biểu rhứ sau luôn dơng (hoặc âm) với giá trị chử cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng tứ giác hình bình hành Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: x + 8x Bài 5: (2 đ) Chứng minh số tự nhiên có dạng 2p+1 p số nguyên tố , có số lập phơng số tự nhiên khác.Tìm số Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC = CAD Tính AD chu vi hình thang 20 cm góc D 600 Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: k) a3m+2a2m+am l) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d phép chia biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 2x 2x : x x + x x x +1 C= p) Tìm điều kiện x để biểu thức C đợc Xác định q) Rút gọn C r) Với giá trị x biểu thức C đợc xác định Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB) , đờng cao AH Trên tia HC lấy HD =HA, đờng vuông góc với BC D cắt AC E k) chứng minh AE=AB l) Gọi M trung điểm BE Tính góc AHM -hết - UBND THàNH PHố Huế PHòNG Giáo dục đào tạo kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án thang điểm: Bài Câ u Nội dung Điể m 2,0 1.1 (0,75 điểm) x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) 0.5 = ( x + 1) ( x + ) 0,5 1.2 (1,25 điểm) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) 0,25 = ( x + x + 1) ( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x x + 2008 ) 2 2 2 2.1 0,25 0,25 2,0 x x + + x = (1) + Nếu x : (1) ( x 1) = x = (thỏa mãn điều kiện x ) x < 1: + Nếu (1) 2 x x + = x x ( x 1) = ( x 1) ( x ) = x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x = 2.2 2 0,5 0,5 1 x + ữ + x + ữ x + ữ x + ữ = ( x + ) (2) x x x x Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x 2 1 x + + x + x + x + (2) ữ ữ = ( x + 4) ữ ữ x x x x 0,25 1 2 x + ữ x + ữ = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = x Vậy phơng trình cho có nghiệm x = Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** 0,5 0,25 đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 môn: Toán Bi 1: (4 im) p) iu kin: x y; y (1 im) q) A = 2x(x+y) (2 im) r) Cn ch giỏ tr ln nht ca A, t ú tỡm c tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A + T (gt): 3x2 + y2 + 2x 2y = 2x2 + 2xy + x2 2xy + y2 + 2(x y) = 2x(x + y) + (x y)2 + 2(x y) + = A + (x y + 1)2 = A = (x y + 1)2 (do (x y + 1) (vi mi x ; y) A (0,5) x y + 1= x= + A = 2x( x + y) = y = x y;y 2 (x y + 1) = + A = 2x( x + y) = T ú, ch cn ch c mt cp giỏ tr ca x v y, chng x y;y 21 x = hn: y = + + Vy A ch cú th cú giỏ tr nguyờn dng l: A = 1; A = Bi 2: (4 im) x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + a) 115 104 93 82 x + 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x + 126 x + 126 x + 126 x + 126 + =0 115 104 93 82 (0,5 im) (1 im) (0,5 im) x + 126 = x = 126 2 (0,5 im) b) x + y + z = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 2xy 2yz 2zx = (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = (0,75 im) x y = y z = z x = x= y= z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 im) Thay vo iu kin (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z =3 Vy x = y = z = (0,5 im) Bi (3 im) Cn chng minh: n5 n M10 - Chng minh : n5 - n M2 n5 n = n(n2 1)(n2 + 1) = n(n 1)(n + 1)(n2 + 1) M2 (vỡ n(n 1) l tớch ca hai s nguyờn liờn tip) (1 im) - Chng minh: n5 n M5 n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 + 5) = n( n ) (n + 1)(n 2) ( n + ) + 5n( n 1)( n + ) lý lun dn n tng trờn chia ht cho (1,25 im) 5 - Vỡ ( ; ) = nờn n n M2.5 tc l n n M10 Suy n5 v n cú ch s tn cng ging (0,75 im) Bài 4: điểm E D A M Q B P I C H Câu a: điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh EBD đồng dạng với (1 điểm) ECA (gg) EB ED = EA.EB = ED.EC EC EA ã ã * Chứng minh EAD (1 điểm) = ECB - Từ suy - Chứng minh 0,5 điểm 0,5 điểm EAD đồng dạng với ECB (cgc) ã ã - Suy EAD = ECB 0,75 điểm 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm ã - Từ BMC = 120o ãAMB = 60o ãABM = 30o = 30o - Xét EDB vuông D có B ED = ED = EB EB 2 0,5 điểm 0,5 điểm S ED - Lý luận cho EAD = ữ từ S ECB EB SECB = 144 cm2 0,5 điểm Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD BP BD BP BD = = = DH DC DQ DC DQ DC 0,5 điểm - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) ã ã BDP = DCQ CQ PD o ã ã ma`BDP + PDC = 90 điểm Bi 5: (2 im) k) vỡ x, y cựng du nờn xy > 0, ú x y + y x (*) x2 + y2 2xy (x y)2 (**) Bt ng thc (**) luụn ỳng, suy bt (*) ỳng (pcm) (0,75) x y + =t y x x2 y2 + =t (0,25) y x Biu thc ó cho tr thnh P = t2 3t + P = t2 2t t + + = t(t 2) (t 2) + = (t 2)(t 1) + (0,25) - Nu x; y cựng du, theo c/m cõu a) suy t t ; t > ( t 2) ( t 1) P ng thc xy v ch t = x = y (1) (0,25) l) t - Nu x; y trỏi du thỡ x y < v < y x ( t 2) ( t 1) > P > t < t < v t < (2) (0,25) - T (1) v (2) suy ra: Vi mi x ; y thỡ luụn cú P ng thc xy v ch x = y Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P l Pm=1 x=y ... Đào tạo TRựC NINH đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán ***** đề thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bi (4 im): Cho biu... Đào tạo TRựC NINH đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán ***** đề thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bi (4 im): Cho biu... Đào tạo TRựC NINH đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 20 08 - 2009 môn: Toán ***** đề thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang Bi (4 im): Cho biu