Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) DẠNGIV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT A- TĨM TẮT LÍ THUYẾT: I-Cách giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac -b - ∆ -b + ∆ * Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = 2a 2a -b * Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a * Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm II-Chú ý : Trong trường hợp hệ số b số chẵn giải phương trình cơng thức nghiêm thu gọn ∆ ' = b'2 - ac -b' - ∆ ' -b' + ∆ ' * Nếu ∆ ' > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = ; x2 = a a -b' * Nếu ∆ ' = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a * Nếu ∆ ' < phương trình vơ nghiệm III- Hệ thức Vi - Et ứng dụng : b   x1 + x = − a Nếu x1; x2 hai nghiệm phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) :  x x = c  a Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình : x − Sx + P = (Điều kiện để có u v S2 − 4P ≥ ) c Nếu a + b + c = phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm : x1 = 1; x = a c Nếu a - b + c = phương trình ax + bx + c = 0(a ≠ 0) có hai nghiệm : x1 = −1; x = − a IV: Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước: Tìm điều kiện tổng qt để phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ Vơ nghiệm ⇔ ∆ < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) ⇔ ∆ = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > Hai nghiệm dấu ⇔ ∆≥ P > Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > P < ⇔ a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) ⇔ ∆≥ 0; S < P > Hai nghiệm đối ⇔ ∆≥ S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ ∆≥ P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S > Tính giá trị biểu thức nghiệm Đối tốn dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức • x12 + x22 = ( x12 + x1 x2 + x22 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 • • x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2    x14 + x24 = ( x12 ) + ( x22 ) = ( x12 + x22 ) − x12 x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2  − x12 x22 2 Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 • 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2 • x1 − x2 = ± Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) • ( x1 + x2 ) − x1 x2 x12 − x22 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….) x13 − x23 ( = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  • x14 − x24 • x16 + x26 • =…… ) 2 2 ( = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… ) 3 2 2 ( = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… ) Dạng 5: Tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung Tổng qt: Giả sử x0 nghiệm chung hai phương trình Thay x = x0 vào phương trình ta hệ với ẩn tham số Giải hệ tìm tham số m Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay khơng? Bài Cho hai phương trình: x + x + m = x + mx + = Xác định m để hai phương trình có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung x = ) Giải: Giả sử x0 nghiệm chung phương trình ta có Bài Xác định m để phương trình sau có nghiệm chung x + mx + = x + x + m = ( Đáp số: m = - nghiệm chung x = 1) B- BÀI TẬP I-CÁC BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI Bài Giải phương trình sau : a / 2x − = e / x + 3x − 2x − = b / 3x − 5x = d / x + 3x − = c / −2x + 3x + = f/ x+2 +3= x −5 2−x Giải a / 2x − = ⇔ 2x = ⇔ x = ⇔ x = ±2 Vậy phương trình có nghiệm x = ±2 2 x = x = b / 3x − 5x = ⇔ x(3x − 5) ⇔  ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = x = 3x − =  c / −2x + 3x + = ⇔ 2x − 3x − = 5 = −2 a+b+c=1+3-4=0 Nhẩm nghiệm:Ta có : a - b + c = + - = => phương trình có nghiệm : x1 = −1; x = − d / x + 3x − = Đặt t = x (t ≥ 0) Ta có phương trình : t + 3t − = => phương trình có nghiệm : t1 = > (thỏa mãn); t = − = −4 < (loại) Với: t = ⇔ x = ⇔ x = ±1 Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 e / x + 3x − 2x − = ⇔ (x + 3x ) − (2x + 6) = ⇔ x (x + 3) − 2(x + 3) = ⇔ (x + 3)(x − 2) = x = −3 x + = x = −3 ⇔ ⇔ ⇔ x − = x = x = ± Vậy phương trình có nghiệm x = −3; x = ± Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) x+2 x+2 f/ +3= +3= (ĐKXĐ : x ≠ 2; x ≠ ) Phương trình : x −5 2−x x −5 2−x (x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x) 6(x − 5) ⇔ + = ⇒ (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) ⇔ − x + 6x − 3x − 30 + 15x = 6x − 30 ⇔ −4x + 15x + = ∆ = 152 − 4.(−4).4 = 225 + 64 = 289 > 0; ∆ = 17 −15 + 17 −15 − 17 = − (thỏa mãn ĐKXĐ), x = = (thỏa mãn ĐKXĐ) => phương trình có hai nghiệm : x1 = 2.( −4) 2.(−4) Bài 2: Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x − x + 15 = Khơng giải phương trình, tính 2 x1 + x2 1 + x1 x2 x1 x2 + x2 x1 ( x1 + x2 ) b) Cho phương trình : x − 72 x + 64 = Khơng giải phương trình, tính: c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2 1 + x1 x2 , 2 x1 + x2 2 x1 + x2 d) Cho phương trình : x − x + = Khơng giải phương trình, tính: 1 + x1 x2 − x1 − x2 + x1 x2 e) Cho phương trình Q= 2 x1 + x2 x1 x + x2 + x1 + x − x + = có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 Bài 3: Cho phương trình x − 2mx + m − = (x ẩn số) a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình −24 Tìm m để biểu thức M = đạt giá trị nhỏ x1 + x22 − x1 x2 HD a/ Phương trình (1) có ∆’ = m2 - 4m +8 = (m - 2)2 +4 > với m nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt với m b c b/ Do đó, theo Viet, với m, ta có: S = − = 2m ; P = = m − a a −24 −24 −6 = M= = ( x1 + x2 ) − x1 x2 4m − 8m + 16 m − 2m + −6 = Khi m = ta có (m − 1) + nhỏ ( m − 1) + −6 ⇒ −M = lớn m = ⇒ M = nhỏ m = ( m − 1) + (m − 1) + Vậy M đạt giá trị nhỏ - m = x Bài 2: (2,0 điểm) 2 Cho phương trình x – 2x – 3m = 0, với m tham số Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) 1) Giải phương trình m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác thỏa điều kiện x1 x2 − = x2 x1 HDBài 2: 1) Khi m = 1, phương trình thành : x2 – 2x – = ⇔ x = -1 hay x = (có dạng a–b + c = 0) x1 x2 − = ⇔ 3( x12 − x22 ) = x1 x2 ⇔ 3(x1 + x2)(x1 – x2) = 8x1x2 2) Với x1, x2 ≠ 0, ta có : x2 x1 Ta có : a.c = -3m ≤ nên ∆ ≥ 0, ∀m b c Khi ∆ ≥ ta có : x1 + x2 = − = x1.x2 = = −3m ≤ a a Điều kiện để phương trình có nghiệm ≠ mà m ≠ ⇒ ∆ > x1.x2 < ⇒ x1 < x2 Với a = ⇒ x1 = −b '− ∆ ' x2 = −b '+ ∆ ' ⇒ x1 – x2 = ∆ ' = + 3m Do đó, ycbt ⇔ 3(2)(−2 + 3m ) = 8(−3m ) m ≠ ⇔ + 3m = 2m (hiển nhiên m = khơng nghiệm) ⇔ 4m4 – 3m2 – = ⇔ m2 = hay m2 = -1/4 (loại) ⇔ m = ± Bài (1,5 đ) Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m 2) Tìm giá trị m để biểu thức A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ HDbài (1,5 đ) Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 1) Chứng minh : Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Ta có ∆′ =  −(m+ 2) − m2 − 4m− = 1> với m Vậy phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m 2) phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Theo hệ thức Vi-ét ta có :  x1 + x2 = 2(m+ 2)   x1.x2 = m + 4m + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10 = 2(m2 + 4m) + 10 = 2(m + 2)2 + ≥ với m Suy minA = ⇔ m + = ⇔ m = - Vậy với m = - A đạt = Bài 4) Cho phương trình: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, 2 x2 thỏa mãn điều kiện : x1 + x = Giải Bài 4: + Phương trình cho có ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, ∀m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt ∀m  x1 + x2 = 4m− + Theo ĐL Vi –ét, ta có:   x1x2 = 3m − 2m 2 Khi đó: x1 + x2 = ⇔ (x1 + x2 ) − 2x1x2 = ⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = ⇔ 10m2 – 4m – = ⇔ 5m2 – 2m – = −3 Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = => m = hay m = Trả lời: Vậy Câu (2.0 điểm) : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + = Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) Giải phơng trình m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải Khi m = 4, ta có phương trình x2 + 8x + 12 = có ∆’ = 16 – 12 = > Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = - + = - x2 = - - = - Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 + 2mx + m2 – 2m + = Có D’ = m2 – (m2 – 2m + 4) = 2m – Để phương trình có hai nghiệm phân biệt D’ > => 2m – > => 2(m – 2) > => m – > => m > Vậy với m > phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu 6: (1,5 điểm) 2 Cho phương trình (ẩn số x): x − x − m + = ( *) Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 = −5 x1 Giải câu 6: (1,5 điểm) Cho phương trình (ẩn số x): x − x − m + = ( *) ∆ = 16 + 4m − 12 = 4m + ≥ > 0; ∀m Vậy (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tìm giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2 = −5 x1 Theo hệ thức VI-ET có :x1.x2 = - m2 + ;x1+ x2 = 4; mà x2 = −5 x1 => x1 = - ; x2 = Thay x1 = - ; x2 = vào x1.x2 = - m2 + => m = ± 2 C©u 7: ®iĨm:Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – =0 ( m lµ tham sè) a) Gi¶I ph¬ng tr×nh m = 2 b) T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1, x2 tháa m·n x1 + x2 = 16 Giải Câu 7: (2,0 điểm) a, Thay x = vào phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = giải phương trình: x2 - 4x + = nhiều cách tìm nghiệm x1 = 1, x2 = b, Theo hệ thức Viét, gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2 - 2(m - 1)x + m2 - = , ta có:  x1 + x2 = 2(m − 1)   x1.x2 = m − x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 = 16 Thay vào giải tìm m = 0, m = -4 Câu 8:(1,5 điểm) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x − x − = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) a, x1 + x2 b, x1 + x c, x12 + x 22 Câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x1 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Giải câu (2đ) Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – = c) Giải phương trình m = d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Đáp án a) x1 = − − ; x2 = − + e) Thấy hệ số pt : a = ; c = A – ⇒ pt ln có nghiệm Theo vi- ét ta có x1 + x2 =2(m – 3) ; x1x2 = –1 Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + ≥ ⇒ GTNN A = ⇔ m = Câu I0: (1,5 điểm) Giải phương trình x – 7x – = Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x 1; 3 x2 thỏa mãn điều kiện x1 x + x 1x = −6 Giải Câu I0: (1,5 điểm) Giải phương trình x – 7x – = có a – b + c = + – = suy x1= -1 x2= Cho phương trình x2 – 2x + m – = với m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x 1; 3 x2 thỏa mãn điều kiện x1 x + x 1x = −6 Để phương trình có hai nghiệm x1; x2 ∆ ’ ≥  – m + ≥  m ≤ Theo viet ta có: x1+ x2 =2 (1) x1 x2 = m – (2) Theo đầu bài: x13 x + x1x 32 = −6 ⇔ x1x ( x1 + x ) − 2x1x = (3) Thế (1) (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2) – 2(m-3)=6  2m =12  m = Khơng thỏa mãn điều kiện m ≤ 3 khơng có giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 x + x1x = −6 Câu 11 (1,5 điểm) Cho phương trình x2 − 2(m+ 1)x + m− = 0, với x ẩn số, m∈ R a Giải phương trình cho m = – b Giả sử phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 mà khơng phụ thuộc vào m Giải Câu 11 Cho pt x2 − 2(m+ 1)x + m− = 0, với x ẩn số, m∈ R a Giải phương trình cho m = – Ta có phương trình x + 2x − = x + 2x − = ⇔ x + 2x + = ⇔ ( x + 1) = = ( 5) x +1 = −  x = −1 − ⇔ ⇔ x +1 = ⇔   x + =  x = −1 + Vậy phương trinh có hai nghiệm x = −1 − x = −1 + b Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4)  x + x = ( x1x + ) +  x1 + x = 2m + (1)  x + x = 2m + ⇔ ⇔ Theo Vi-et, ta có  (2) m = x1x +  x1x = m −  m = x1 x + Suy x1 + x = ( x1x + ) + ⇔ x1 + x − 2x1x − = II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI ( MỨC ĐỘ -U CẦU- ĐÁP ÁN) Câu I2 (2,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – = (*) Giải phương trình (*) với a = Chứng minh phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với giá trị a Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (*) Tìm giá trị a để biểu thức: 2 N= x1 + ( x1 + 2)( x2 + 2) + x2 có giá trị nhỏ ( Tự Giải) Câu 13 (4,0 điểm) Cho phương trình x2 – 3x + m – = (m tham số) (1) a) Giải phương trính (1) m = b) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép c) Tìm giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) Giải Câu 13 a) Khi m = 1, pt(1) trở thành: x2 – 3x = x = ⇔ x(x – 3) = ⇔  x = Vậy m = 1, phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 0; x2 = b) Phương trình (1) có nghiệm kép có ∆ = ⇔ (-3)2 – 1.(m – 1) = 13 – 4m = 13 13 Vậy m = phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ m= c) • ĐK để pt(1) có hai nghiệm x1, x2 ∆ ≥ ⇔ 13 – 4m ≥ ⇔ m ≤ 13 c =m–1 a • Theo đề bài, ta có: x1x2 = ⇔ m – = ⇔ m = 3( thỏa ĐK) • Khi pt(1) có: x1x2 = • Vậy m = phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 độ dài cạnh hình chữ nhật có diện tích (đơn vị diện tích) Câu14 (2,0 điểm) Cho phương trình: x − 2( m + 1) x + 2m = (1) (với ẩn x ) 1) Giải phương trình (1) m =1 2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) 3) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 12 Giai cau 14 Khi m = ta có phương trình x2 – 4x + = Giải phương trình x1 = + ; x = − Tính ∆ ' = m + Khẳng định phương trình ln có hai nghiệm phân biệt  2m + > ⇔m>0 Biện luận để phương trình có hai nghiệm dương   2m > Theo giả thiết có x12 + x22 = 12 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12 ⇔ 4(m + 1) − 4m = 12 ⇔ m2 + m – = Giải phương trình m = ( thoả mãn), m = -2 (loại) Câu 15 (3,0 điểm): Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = (1), m tham số a) Chứng minh với m phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt: 2 b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để x1 + x = 20 Cho hàm số: y = mx + (1), m tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến R? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + = Gair câu 15 a) ∆' = (−1) − − ( m + 4) = m + Vì m ≥ 0, ∀m ⇒ ∆' > 0, ∀m Vậy pt (1) ln có nghiệm phân biệt với m  x1 + x = b) Áp dụng định lý Vi –ét   x1 x = −(m + 4) x12 + x 22 = 20 ⇔ ( x1 + x ) − x1 x = 20 [ ] ⇒ 2 + 2m + = 20 ⇔ 2m = ⇔ m = ±2 m= ± 2 a) Vì đồ thị hàm số (1) qua A(1;4) ⇒ 4= m.1+1 ⇔ m = Với m = hàm số (1) có dạng y = 3x +1; 3>0 nên hàm số (1) đồng biến R b) (d) : y = - x –  m = −1 Vì đồ thị hàm số (1) song song với (d) ⇒  1 ≠ −3 Vậy m = -1 đồ thị hàm số (1) song song với (d) Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình x2 + 2( m+ 1) x + m− = (vớ i m làtham số) a) Giải phương trình cho m = −5 b) Chứng tỏ phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với giá trò tham số m c) Tìm m để phương trình cho có nghiệm x 1, x2 thõa mãn hệ thức : x1 + x22 + 3x1x2 = Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) ∙ Bài 2: a) * Khi m = − 5, phương trình cho trở thành: x2 − 8x − = (vớ i a =1 ; b =− ; c =− 9) (*) * Ta thấy phương trình (*) có hệ số thõa mãn a − b + c = ; nên nghiệm phương trình (*) là: −c x1 = −1 vàx2 = = (nhẩ m nghiệ m theo Viet) a y m =− 5, phương trình đãcho cóhai nghiệ m phâ n biệ t x1 = −1 vàx2 = * Vậ b) Phương trình cho (bậc hai ẩn x) có hệ số: a = ; b / = m + c = m − ; nên:  19 19  ∆ = ( m+ 1) − ( m− 4) = m + m+ =  m+ ÷ + ≥ >0 2 4     1 t biể u thứ c khô ng â m÷   m + ÷ ≥ ;bình phương mộ   ÷ 2   / ⇒ ∆ > ; vậ y phương trình đãcho luô n cóhai nghiệ m phâ n biệ t x1, x2 vớ i giátròcủ a tham sốm c) Theo câu b, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt với giá trò tham số m Theo hệ thức Viet, ta có:  x1 + x2 = −2( m+ 1) ( I)   x1 ×x2 = m− / Căn (I), ta có: x12 + x22 + 3x1x2 = ⇔ ( x1 + x2 )  m= + x1.x2 = ⇔ 4m + 9m = ⇔   m = −9   −9 y m∈ 0 ;  phương trình đãcho cónghiệ m x1, x2 thõ a hệthứ c x12 + x22 + 3x1x2 = * Vậ 4  2) a) +Khi m = phương trình (1) trở thành x − 4x + = 1,75đ + Tìm hai nghiệm x1 = ; x2 = b)Cách 1: + Chứng tỏ ∆ ≥ nên P/t (1) có nghiệm với m  x1 + x = m + Áp dụng hệ thức Viét :   x1.x = m − + Biến đổi hệ thức 1 x1 + x m m + = = thành (*) x1 x 2011 m − 2011 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 + Điều kiện (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm m = 0, m = 2012(tmđk) Cách 2: + Chứng tỏ a + b + c = nên P/t (1) có nghiệm với m + Viết x1 = 1; x2 = m – 0,25 + Biến đổi hệ thức 0,25 1 x1 + x m m + = = thành (*) x1 x 2011 m −1 2011 + Điều kiện (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm m = 0, m = 2012(tmđk) Tốn 9- Hải Ninh@Gmail.com-2013 0,25 0,25 0,25 ... thức Vi-ét ta có :  x1 + x2 = 2( m+ 2)   x1.x2 = m + 4m + A = x 12 + x 22 = (x1 + x2 )2 – x1x2 = 4(m + 2) 2 – 2( m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10 = 2( m2 + 4m) + 10 = 2( m + 2) 2 + ≥ với m Suy minA = ⇔ m... + x1 x2 + x 22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  • x14 − x24 • x16 + x26 • =…… ) 2 2 ( = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… ) 3 2 2 ( = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = …… )... x2 + = x1 x2 x1 x2 • x1 − x2 = ± Các tập phương trình bậc 2- Vi-et (phục vụ chun đề 4) • ( x1 + x2 ) − x1 x2 x 12 − x 22 ( = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =…….) x13 − x23 ( = ( x1 − x2 ) ( x 12 + x1 x2