Tích Phân_Quách Duy Tuấn Tích Phân I. Tích phân hàm đa thức 1.[ĐH Thuỷ Sản_95] I = + 1 0 )1( dxx n (2 n+1 - 1)/(n + 1) 2.[ĐHBKHN_98] I = 1 0 2 )1( dxxx n Đặt t = 1 x 2 , I = 1/(2n + 1) 3.[ĐHKT_97] I = 1 0 635 )1( dxxx Đặt t = x 3 1, I = 1/168 4.[ĐHQGHN_G97] Tính giá trị của hằng số a để có đẳng thức =++ 2 1 32 12]4)44([ dxxxaa a = 3 5.[ĐH Tây Nguyên_D00] Cho f(x) = x 2 và g(x) = 3x 2, tính I = 2 0 )](),(max[ dxxgxf xét f(x) g(x), I = 17/6 II. Tích phân hàm phân thức 6.[ĐHKT TPHCM_94] I = + 1 0 3 )12( x xdx 1/18 7.[ĐH Mỏ_95] I = ++ 1 0 24 34xx dx (9 - 2 3 )/72 8.[ĐHQGHN_D95] Xác định các hằng số A, B, C để 21 )1(23 333 23 2 + + + = + ++ x C x B x A xx xx . Tính I = + ++ 23 )333( 3 2 xx dxxx -3/(x - 1) + ln )2()1( 2 + xx + D 9.[ĐHTM_95] I = + 1 0 2 5 1x dxx (1/2)ln2 1/4 10.[ĐH Thái Nguyên_D97] I = dx x x + 2 1 4 2 1 1 Chia cho x 2 và đặt t = x + 1/x, I = )22)(225( )22)(522( ln 22 1 + + 11.[ĐHYHN_97] Gọi F(x) = + 53 xx dx . Bằng phơng pháp thêm bớt vào tử số hãy tính nguyên hàm F(x) trên Cxx x +++ 2 2 1ln 2 1 ln 2 1 12.[CĐSP Nghệ An_98] I = + 1 1 2 )2(x xdx ln3 4/3 13.[ĐHXD_98] Cho f(x) = 4cosx + 3sinx, g(x) = cosx + 2sinx a. Tìm các số A, B thoả mãn g(x) = A.f(x) + B.f(x) b. Tính I = 4/ 0 )( )( xf dxxg 8 27 ln 5 1 10 14.[ĐHQGHN_D98] I = + 2 )1( xx dx C xx x + + + + 1 1 1 ln -1- Tích Phân_Quách Duy Tuấn 15.[ĐHNTHN_99] I = ++ 1 0 22 )23( xx dx 16 9 ln 3 2 + 16.[ĐHTM_99] I = + 4 1 2 )1(xx dx 8 5 ln 4 3 + 17.[ĐHTCKT_00] I = ++ 1 0 24 1xx xdx 3 /18 18.[ĐHNNI_A00] I = + 2 1 3 )1(xx dx Đặt t = x 3 , I = (4ln2 2ln3)/3 19.[ĐH Thái Nguyên_01] I = ++ + 2 1 24 2 1 )1( xx dxx Chia cho x 2 và đặt t = x 1/x, I = /4 20.[ĐHQG_A01] I = +++ )13)(15( )1( 22 2 xxxx dxx I = C xx xx + ++ + 15 13 ln 8 1 2 2 21.[ĐHNN_B01] I = + 1 1 22 )1( x dx Đặt x = tgt, I = 1/2 + /4 III. Tích phân hàm mũ, lôgarit 22.[ĐHNT TPHCM_94] I = + 13 sin 2 x xdx Đặt t = -x, I = /2 Chú ý: Nếu f(x) là hàm số chẵn thì đặt t = -x để tính I = + b b x a dxxf 1 )( và có kết quả I = b dxxf 0 )( 23.[ĐHNT TPHCM_95] I = e xdxx 1 2 ln. (e 2 - 1)/4 24.[HVQHQT_A96] I = + xx dxex ln.3 )ln( Đặt t = 3 + x.lnx, I = Cxx ++ ln.3ln 25.[ĐH Đà Nẵng_97] I = + 3ln 0 2 x e dx Đặt t = e x , I = 5 9 ln 2 1 26.[ĐHNNgữ_97] I = + e e x xdx /1 2 )1( ln Từng phần, I = 0 27.[ĐHQG_A98] I = + 1 0 1 x e dx I = 2 1 ln1 + e 28.[ĐH Huế_D98] I = 2 1 2 ln x xdx I = (1 ln2)/2 29.[ĐHBKHN_99] Cho hàm số g(x) = sinx.sin2x.cos5x a. Tìm họ nguyên hàm của g(x) b. Tính I = + 2/ 2/ 1 )( x e dxxg g(x) chẵn, I = 0 30.[CĐSPHN_01] I = + 2/1 2/1 2 )1)(1( xe dx x Đặt t = -x, I = (ln3)/2 31.[ĐHTL_01] I = + 4/ 0 )1ln( dxtgx 1 + tgx = x x cos )4/cos(2 I = I 1 + I 2 + I 3 = I 1 = ln2/8 -2- TÝch Ph©n_Qu¸ch Duy TuÊn 32.[§HSP Vinh_01] I = dx x x x ∫ + + + 2/ 0 cos1 cos1 )sin1( ln π → I = 2.ln2 – 1 IV. TÝch ph©n hµm lîng gi¸c 33.[§HBK TPHCM_94] I = ∫ + 2/ 0 2 3cos sin π x xdx → I = π 3 /18 34.[§HSP TPHCM_94] I = ∫ + 2/ 0 3 cos1 sin4 π x xdx → I = 2 35.[§HTM_95] I = ∫ 4/ 0 4 cos π x dx → §Æt t = tgx, I = 4/3 36.[§HGT_97] CMR I = ∫ = + 2/ 0 4sincos cos π π xx xdx nn n víi mäi sè tù nhiªn n → §Æt t = π/2 - x 37.[§HNTHN_97] T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè f(x) = xgtgx xx 2cot 4sin.3sin + → MS = 1/sin2x 38.[§HQG TPHCM_B97] I = ∫ + 2/ 0 3cos 3sin π x xdx → sin3x = sinx(4cos 2 x - 1), I = 3ln2 – 2 39.[C§SP TPHCM_97] I = ∫ +− 6/ 0 2 sinsin56 cos π xx xdx → ln(10/9) 40.[§HAN_A98] I = ∫ + 2/ 0 33 )sin(cos π dxxx → I = 4/3 41.[§HNNI_B98] I = ∫ + 2/ 0 cos1 cos π x xdx → T¸ch ph©n sè, I = π/2 – 1 42.[§HNNI_A98] I = ∫ + ++ 2/ 6/ cossin )2cos2sin1( π π xx dxxx → 1 + sin2x = ?, cos2x = ?, I = 1 43.[HVKTMM_99] I = ∫ 3/ 6/ 4 cos.sin π π xx dx → §Æt t = sinx, I = 3 323 ln 27 326 3 14 + +− 44.[§H KiÕn Tróc HN_99] I = ∫ 2/ 0 3sin cos.sin. 2 π xdxxe x → §Æt t = sin 2 x, I = e/2 – 1 45.[§H HuÕ_00] I = ∫ + 2/ 0 66 6 cossin sin π xx xdx → §Æt x = π/2 – t, I = π/4 46.[PVBC_00] I = ∫ + 4/ 0 2 cos )2sin1( π x dxx → §Æt t = tgx, I = 1 + ln2 47.[§HTM_00] I = ∫ + 2/ 0 3 )cos(sin sin4 π xx xdx → §Æt t = π/2 – x, I = 2 48.[§HGT_01] I = ∫ + − 2/ 0 3 )sin(cos )sin4cos5( π xx dxxx → §Æt t = π/2 – x, I = 1/2 49.[§HBK_97] I = ∫ 4/ 0 2 . π xdxtgx → tg 2 x = 1/cos 2 x – 1, I = 32 2ln 2 1 4 2 ππ −− 50.[HVNH_98] I = ∫ π 0 2 cos.sin. xdxxx → §Æt t = π - x, I = π/3 -3- Tích Phân_Quách Duy Tuấn 51.[ĐHGT_00] I = + 2/ 2/ 2 sin4 )cos( x dxxx Tách đợc 1 hàm lẻ và 1 hàm chẵn, I = (ln3)/2 V. Tích phân hàm số chứa dấu gttđ 52.[ĐH Dợc HN] I = + 2/ 2/ 2 21 sin x dxxx f(x) = xx sin 2 chẵn, đặt t = -x, I = 2 + /2 53.[ĐHDL Phơng Đông_A96] I = 1 0 2 1 dxxx I = 1/8 54.[ĐHXD_01] I = 1 1 24 12xx dxx Nhận xét hàm chẵn, I = 4 3 ln 7 2 VI. Tích phân của hàm chứa căn 55.[ĐHBKHN_95] I = 2 3/2 2 1xx dx I = /12 56.[ĐHGT_95] Cho I = + 2/ 0 cossin sin xx dxx . CMR I = + 2/ 0 cossin cos xx dxx và I = /4 Đặt t = /2 x 57.[ĐH Đà Nẵng_96] I = ++ 3 1 11 xx dx I = (8 - 4 2 )/3 58.[ĐHDL Đông Đô_A96] I = dxxx 1 0 22 1 Đặt x = sint, I = /16 59.[ĐHGT_96] I = dxxx + 3 0 25 1 I = 848/105 60.[ĐHNT TPHCM_96] I = dxxx 1 0 23 1 Đặt x = cost hoặc t = 2 1 x , I = 2/15 61.[ĐH Đà Nẵng_97] I = ++ 7 2 21 x dx I = 2 + ln 16 9 62.[HVKTQS_97] I = 2/ 3/ 3 3 3 sin .cot.sinsin x dxgxxx Đặt t = cotgx, I = - 3 9 /24 63.[ĐHTCKT_97] I = 2/2 0 2 2 1 x dxx Đặt x = sint, I = ( -2)/8 64.[ĐHTL_97] I = + 0 2cos1 dxx I = 2 2 65.[ĐHTM_97] I = + 7 0 3 2 3 1 x dxx I = 141/20 66.[ĐHQG TPHCM_A98] I = + 1 0 12x xdx I = 1/3 67.[HVKTMM_99] I = ++ 2/ 2/ 2 )1ln(.cos dxxxx c/m f(x) lẻ, I = 0 68.[ĐHAN_A99] I = + 4 7 2 9xx dx I = 4 7 ln 6 1 -4- TÝch Ph©n_Qu¸ch Duy TuÊn 69.[§HBKHN_A00] I = ∫ + 2ln 0 2 1 x x e dxe → I = 2 2 /3 70.[§H Hång §øc_A01] I = ∫ − 2/ 0 )sincos( π dxxx → §Æt t = π/2 – x, I = 0 -5- . Tích Phân_ Quách Duy Tuấn Tích Phân I. Tích phân hàm đa thức 1.[ĐH Thuỷ Sản_95] I = + 1 0 )1( dxx. = π/3 -3- Tích Phân_ Quách Duy Tuấn 51.[ĐHGT_00] I = + 2/ 2/ 2 sin4 )cos( x dxxx Tách đợc 1 hàm lẻ và 1 hàm chẵn, I = (ln3)/2 V. Tích phân hàm số