TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— NGUYỄN THỊ THANH NGÂN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích HÀ NỘI, 04/2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN VĂN BẰNG Sinh viên thực : NGUYỄN THỊ THANH NGÂN Lớp : K39C HÀ NỘI, 04/2017 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng, giảng viên Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Ngân Lời cam đoan Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Ngân Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán điều khiển 1.2 Bài toán điều khiển tối ưu 11 1.3 Hệ thời gian ngược 12 1.4 Tính điều khiển hệ ô-tô-nôm 12 1.5 Phụ lục Chương ??: Chứng minh Nguyên lý Bang−Bang 15 Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính 2.1 17 Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính 17 2.2 Sự tồn điều khiển tối ưu thời gian 21 2.3 Ứng dụng 40 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực, là: Toán học lý thuyết toán học ứng dụng Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán liên quan đến việc giải toán cách tìm quy luật điều khiển hệ cho trước Một toán điều khiển bao gồm hàm chi phí hàm trạng thái biến điều khiển Một điều khiển tối ưu tập hợp phương trình vi phân mô tả đường biến điều khiển cực tiểu hóa hàm chi phí Xuất phát từ nhận thức lòng ham mê môn học với hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Trần Văn Bằng, em mạnh dạn chọn đề tài "Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính" để thực khóa luận tốt nghiệp Nội dung khóa luận trình bày số kết toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính Khóa luận trình bày hai chương là: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức cần thiết cho nội dung Chương 2, bao gồm toán điều khiển được, toán điều khiển tối ưu, hệ thời gian ngược tính điều khiển hệ ô-tô-nôm Chương 2: Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính MỤC LỤC Trong chương trình bày số kiến thức toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính, tồn điều khiển tối ưu thời gian ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu tính điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính - Nghiên cứu tính điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính; - Ứng dụng xét tính điều khiển tối ưu thời gian số hệ ô-tô-nôm tuyến tính cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Bài toán hệ ô-tô-nôm tuyến tính Phạm vi nghiên cứu: Tính điều khiển tối ưu thời gian Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp kiến thức thu thập qua tài liệu liên quan đến đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu đóng vai trò quan trọng phát triển khoa học kỹ thuật Lĩnh vực hữu hiệu khắp nơi thực tiễn việc điều khiển động xe lửa, mô hình kinh tế, mô hình bể chứa nước, Đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan tốt cho sinh viên đề tài "Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính" MỤC LỤC Bảng kí hiệu B(x; α) Hình cầu mở tâm x bán kính α, {y|y − x| < α} C , C [u(·)] Hàm chi phí C (t) Tập điều khiển thời điểm t CBB (t) Tập điều khiển thời điểm t sử dụng điều khiển Bang−Bang ∂S Biên tập S IntS Phần tập S K(t; x0 ) Tập khả đạt thời điểm t KBB (t; x0 ) Tập khả đạt thời điểm t sử dụng điều khiển Bang−Bang RC Nón khả đạt T (t) Trạng thái mục tiêu Ω Hình lập phương đơn vị Rm Um (t0 ; t1 ) Lớp hàm đo từ [t0 ; t1 ] đến Ω Um t1 >t0 Um (t0 ; t1 ) UP C Lớp hàm khúc Um UBB Lớp hàm Um theo |ui (t)| = x(t; t0 ; x0 ; u(·)) Nghiệm phương trình vi phân qua x0 thời điểm t0 ứng với điều khiển u(·) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài toán điều khiển Chúng ta thảo luận tính điều khiển toán điều khiển: x˙ = f (t; x; u), u(·) ∈ Um , T (t) cho (1.1) tức là, mô tả trạng thái ban đầu x(0) = x0 cho tồn điều khiển thành công u(·) Ta định nghĩa tập hợp điều khiển C = C (t1 ), t1 >0 C (t1 ) = {x0 ∈ Rn |∃u(·) ∈ Um cho x(t1 ; x0 ; u(·)) ∈ T (t1 )} hay đơn giản tập trạng thái mà hướng đến mục tiêu thời điểm t1 Hai vấn đề lớn tính điều khiển là: (a) Miêu tả tập C (b) Miêu tả cách C thay đổi thay đổi tập điều khiển Um Liên quan đến lớp điều khiển đặc biệt, có ba tập Um mà xét: (a) UP C [0; t1 ]={u(·) ∈ Um [0; t1 ]|u(·) khúc [0; t1 ]} u(·) khúc, tức tồn phân hoạch (phụ thuộc vào u(·)) = s0 < s1 < < sl = t1 cho u(t) số khoảng UP C [0; t1 ] bao gồm điều [sk−1 ; sk ) Từ quan điểm thực tế, UP C = t1 >0 khiển dễ sử dụng so với điều khiển thuộc Um nói chung CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 34 Khi đó: t t e−As Bw(s)ds = e−As Bu0 (s)ds, 0 ≤ t ≤ t∗ , nên B[w(t) − u0 (t)] = hầu khắp nơi [0, t∗ ] Nhưng w(t) − u0 (t) có thành phần thứ j khác 0, bj [φ(t) − ui0 (t)] = hầu khắp nơi Nhưng |φ(t)| = ∀t; |ui0 (t)| < tập độ đo dương Do bj = (mâu thuẫn với giả thiết B cột không nào) Suy giả sử sai nên x(t; x0 ; w(·)) = x(t; x0 ; u0 (·)), ≤ t ≤ t∗ Định lí 2.5 Giả sử y ∈ K(t∗ ; x0 ) Khi điều khiển x0 đến y thời điểm t∗ y điểm cực biên K(t∗ ; x0 ) Chứng minh Giả sử có hai điều khiển u1 (·); u2 (·) điều khiển x0 đến y thời gian t∗ với hai phản hồi khác nhau, tức có tc , < tc < t∗ , z1 ≡ x(tc ; x0 ; u1 (·)) = x(tc ; x0 ; u2 (·)) ≡ z2 , tc eA(tc −s) Bui (s)ds, zi ≡ eAtc x0 + i = 1, Chúng ta "cắt, đổi chỗ, nối" u1 (·) u2 (·) để lập điều khiển     u2 (t), ≤ t ≤ tc u1 (t), ≤ t ≤ tc v(t) = ; w(t) =   u2 (t), tc < t ≤ t∗ u1 (t), tc < t ≤ t∗ * Chứng minh phần đảo: Chúng ta chứng minh trạng thái p = x(t∗ ; x0 ; v(·)) q = x(t∗ ; x0 ; w(·)) khác với giả thiết y = (p + q) không điểm cực biên K(t∗ ; x0 ) Thật vậy: Bây t∗ eA(t∗ −s) Bui (s)ds, y = eAt∗ x0 + i = 1, có t∗ y = eA(t∗ −tc ) zi − eA(t∗ −s) Bui (s)ds, tc i = 1, CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 35 Do đó: t∗ eA(t∗ −s) Bv(s)ds p = eAt∗ x0 + t∗ t∗ eA(t∗ −s) Bu1 (s)ds + =y− tc eA(t∗ −s) Bu2 (s)ds tc t∗ = eA(t∗ −tc ) z1 + eA(t∗ −s) Bu2 (s)ds tc = eA(t∗ −tc ) z1 + y − eA(t∗ −tc ) z2 = y + eA(t∗ −tc ) (z1 − z2 ) Tương tự q = y + eA(t∗ −tc ) (z2 − z1 ), nên p = q, với y = (p + q) * Chứng minh phần thuận: Giả sử y điểm cực biên K(t∗ ; x0 ), y = (y1 + y2 ) với y1 ; y2 ∈ K(t∗ ; x0 ) Theo Nguyên lý Bang−Bang có điều khiển Bang−Bang u1 (·); u2 (·) điều khiển x0 đến y1 ; y2 Khi u(t) = [u1 (t) + u2 (t)] điều khiển x0 đến y không bang−bang Nhưng Nguyên lý Bang−Bang nhấn mạnh có điều khiển bang−bang điều khiển x0 đến y Do có nhiều điều khiển x0 đến y Từ Bổ đề 2.2, phản hồi điều khiển x0 đến y không Nhắc lại tập hợp lồi ngặt biên gồm điểm cực biên; tương đương, hai điểm thuộc tập đó, đoạn mở chúng thuộc phần tập hợp Định lí 2.6 (Đặc trưng hình học tính chuẩn tắc) (LA) chuẩn tắc [0, t∗ ] K(t∗ ; x0 ) lồi ngặt x0 (do toàn bộ) Chứng minh Chứng minh phần thuận: (LA) chuẩn tắc y ∈ ∂K(t∗ ; x0 ) (t∗ thời gian tối ưu cho y) Để chứng minh K(t∗ ; x0 ) lồi ngặt x0 (do toàn bộ) phải chứng tỏ y điểm cực biên ∂K(t∗ ; x0 ) Theo phần thứ hai chứng minh Định lý 2.2 cho thấy CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 36 tất phản hồi điều khiển x0 đến y thời điểm t∗ phải cực biên (nằm ∂K(t, x0 ) với ≤ t ≤ t∗ ) Định lý 2.3 khẳng định tất điều khiển liên kết phải điều khiển bang-bang (ở ta cần tính chuẩn tắc) Nhưng có hai điều khiển bang-bang điều khiển x0 đến y thời điểm t∗ trung bình chúng điều khiển bang-bang điều khiển x0 đến y thời điểm t∗ Do có điều khiển x0 đến y (và bang−bang) Theo Định lý 2.2, y điểm cực biên Chứng minh phần đảo: Cho K(t∗ ; x0 ) lồi ngặt Giả sử (LA) không chuẩn tắc Khi có vectơ h = với thành phần, chẳng hạn thứ j, vectơ hT e−At B đồng [0, t∗ ] Khi hT e−At bj = bj cột thứ j B Ta có định nghĩa sau: Vectơ cột n nT = hT e−At chọn q ∈ ∂K(t∗ ; x0 ) cho n trực giao với siêu phẳng giá qua q (việc thu việc bắt đầu với mặt phẳng (P ) cắt K(t∗ ; x0 ) trực giao với n, tịnh tiến (P ) theo hướng n tiếp xúc tập lồi ngặt K(t∗ ; x0 ) q Cho u(·) ∈ Um cho x(t∗ ; x0 ; u(·)) = q Theo chứng minh Định lý 2.3 ta có: ui (t) = sgn(hT e−At bi ), i = 1, 2, , m Lấy v(·) ∈ Um xác định v i (t) ≡ ui (t) với i = j v j (t) = uj (t) toàn [0, t∗ ] Vì q điểm cực biên K(t0 ; x0 ), theo Định lý 2.5 suy phản hồi điều khiển x0 đến q Theo Bổ đề 2.2, kết luận điều khiển x0 đến q Do u(t) = v(t), q = x(t∗ ; x0 ; u(·)) = x(t∗ ; x0 ; v(·)) Nhưng nT q = nT x(t∗ ; x0 ; u(·)) = nT x(t∗ ; x0 ; v(·)), nên từ công thức phản hồi (2.4), định nghĩa n, hT e−At bj ≡ Ta có: nT q = nT x(t∗ ; x0 ; u(·)) t∗ = nT e−At∗ x0 + nT eA(t∗ −s) Bu(s)ds CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 37 t∗ hT e−As Bu(s)ds = hT x0 + t∗ m hT e−As bi ui (s)ds = hT x0 + i=1 t∗ m hT e−As bi v i (s)ds = hT x + i=1 = nT x(t∗ ; x0 ; v(·)) Vậy nT [q − x(t∗ ; x0 ; v(·))] = 0, đoạn thẳng điều khiển q đến x(t∗ ; x0 ; v(·)) nằm siêu phẳng (P ) Nhưng K(t∗ ; x0 ) lồi, nên điểm đoạn thuộc K(t∗ ; x0 ) Do K(t∗ ; x0 ) lồi ngặt (mâu thuẫn giả thiết K(t∗ ; x0 ) lồi ngặt) Suy giả sử sai nên (LA) chuẩn tắc * Bây đưa đặc trưng giải tích tính chuẩn tắc Định lí 2.7 (LA) chuẩn tắc [0, t∗ ] {bj , Abj , , An−1 bj } vectơ độc lập tuyến tính Rn với cột vectơ bj B, j = 1, 2, , m Chứng minh * Chứng minh phần đảo: Giả sử j, {bj , Abj , , An−1 bj } phụ thuộc tuyến tính Khi có vectơ d = 0, cho dT bj = dT Abj = = dT An−1 bj = Do ma trận A cấp n × n thỏa mãn phương trình đặc trưng riêng nên An bj = α0 bj + α1 Abj + + αn−1 An−1 bj (2.9) dT An bj = Nhân (2.9) với A, A2 , kết luận dT Ak bj = với số nguyên k ≥ Từ suy dT e−At bj = [0, t∗ ] Do (LA) không chuẩn tắc * Chứng minh phần thuận: Giả sử có d = Rn cột bj B cho dT e−At bj = [0, t∗ ] Đặt t = ta có dT bj = Lấy đạo hàm CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 38 đặt t = 0, ta có dT Abj = Tiếp tục vậy, ta kết luận dT Ah bj = với h = 0, 1, , n − Do d trực giao với tất vectơ {bj , Abj , , An−1 bj } tập phụ thuộc tuyến tính Các chứng minh tương tự chứng minh Định lý 1.3 Chương 1, ta chứng minh: "rank M = n ∈ Int C ," M = {B, AB, , An−1 B} ma trận điều khiển thành công Thực tế có mối quan hệ rõ ràng ma trận điều khiển thành công tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc Định lý 2.7: (LA) chuẩn tắc hạng M n Khi đó, theo Định lý 1.5 Chương (LA) chuẩn tắc Re(λ) ≤ với giá trị riêng λ A C = Rn Ví dụ 2.6 (Rank M = n không suy tính chuẩn tắc) Cho m = n = 2, x˙ = u Khi rank M = rank {B, AB} = Nhưng {bj , Abj }                  ;  ; (j = 1); (j = 2)    0  hệ không chuẩn tắc Trong trường hợp tổng quát đặc trưng hình học K(t, x0 ) không tập điểm: rank M = n ⇐⇒ K(t; x0 )có phần khác rỗng ⇑ ⇑ (LA) chuẩn tắc ⇐⇒ K(t; x0 )là lồi ngặt Hệ 2.3 Cho (LA) chuẩn tắc Khi có lân cận N gốc cho điểm N điều khiển đến điều khiển tối ưu−thời gian mà bang−bang khúc Nếu Re(λ) ≤ với giá trị riêng λ A N = Rn Chứng minh suy trực tiếp từ Định lý 2.7 Định lý 1.5 Chương CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 39 Định lý sau cung cấp cho Mệnh đề đảo phần Nguyên lý cực đại (Hệ Định lý 2.3) Nếu (LA) chuẩn tắc, giả thiết Định lý 2.8 sau (rằng (LA) riêng) Định lí 2.8 Giả sử (LA) riêng, tức rank M = n M ma trận điều khiển {B, AB, , An−1 B} Khi điều khiển thành công u(·) thỏa mãn Nguyên lý cực đại: với h = : hT e−At Bu(t) = sup hT e−At Bv, ≤ t ≤ t∗ , tối ưu−thời gian [0, t∗ ] v∈Ω Chứng minh Giả sử u∗ (·) thỏa mãn Nguyên lý cực đại với h ∈ Rn [0, t∗ ] x∗ [t] ≡ x(t; x0 ; u∗ (·)) thỏa mãn x∗ [t∗ ] = Giả thiết có điều khiển u# (·) mà điều khiển x0 đến thời điểm t# < t∗ qua phản hồi x# [·] Khi theo công thức phản hồi t# = hT e−At# x# [t# ] = hT x0 + hT e−As Bu# (s)ds (2.10) t# =⇒ hT e−As Bu# (s)ds hT x0 = − Dùng công thức phản hồi với u∗ (·), ta nhận t# hT e−At# x∗ [t# ] = hT x0 + hT e−As Bu∗ (s)ds t# [hT e−As Bu∗ (s) − hT e−As Bu# (s)]ds ≥ 0, = bất đẳng thức có nhờ u∗ (t) cực đại hóa hT e−As Bv v ∈ Ω Bây lấy đạo hàm ta có: d T −At [h e x∗ [t]] = hT e−As Bu∗ (t) dt T −At∗ Vì h e x∗ [t∗ ] = (u(·) thành công thời điểm t∗ ), có ≤ hT e−At# x∗ [t# ] = hT e−At# x∗ [t# ] − hT e−At∗ x∗ [t∗ ] t# T −As = h e t∗ (2.11) Bu∗ (s)ds CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 40 Nhưng u∗ (s) cực đại hóa hT e−As Bv theo v ∈ Ω, v ≡ thuộc Ω, nên cực đại không âm, nghĩa hT e−As Bu∗ (s) ≥ [t# , t∗ ] Vì t# < t∗ , nên tích phân cuối (2.11) không dương, chứng tỏ (2.11) phải đẳng thức, hay t∗ hT e−As Bu∗ (s)ds = t# Nhưng hàm dấu tích phân không âm nên hT e−As Bu∗ (s) = hầu khắp nơi [t# , t∗ ] Vậy hT e−As Bv ≤ với ∀v ∈ Ω [t# , t∗ ] thực tế ˜ ∈ Ω, có hT e−As B(−˜ hT e−As B˜ v < với v v) > Vì (−˜ v) ∈ Ω, nên điều vô lý Do hT e−As Bv = với ∀v ∈ Ω, t# ≤ t ≤ t∗ Với t v biểu thức φ(t) = hT e−As v hàm giải tích t, phải đồng không triệt tiêu [t# , t∗ ] Do φ(0) = φ (0) = = φ(n−1) (0) = Từ suy hT Bv = hT ABv = = hT An−1 Bv = ∀v ∈ Ω hT B = hT AB = = hT An−1 B = hay h trực giao với vectơ cột M, mâu thuẫn với giả thiết rank M = n 2.3 Ứng dụng Ví dụ 2.7 (Động xe lửa (tiếp tục ví dụ 2.1)) Bây áp dụng phản hồi vào xe lửa (n = 2; m = 1) :         0  x +   u; B =   ; AB =   x˙ =  (R) 0 1 Dễ thấy hệ chuẩn tắc có giá trị riêng A λ = Nên áp dụng hệ Từ phân tích ví dụ 2.1 chương này, biết điều khiển tối ưu−thời gian phải thỏa mãn: CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 41 sgn(u(t)) = sgn(α − βt), điều khiển tối ưu−thời gian có lần chuyển giá trị không chuyển lần (hình 2.7); phân tích trực giác Chương Hình 2.7: Ví dụ 2.8 (Con lắc tuyến tính hóa (tiếp tục ví dụ 2.2)) ˙ Chúng ta có (ω(t) = θ(t))       0 θ(t)  x +   u; (m = 1; n = 2)  ; x˙ =  x= −1 ω(t) Tập {b1 , Ab1 } độc lập tuyến tính nên toán chuẩn tắc giá trị riêng A i −i, nên áp dụng hệ Với trạng thái ban đầu x0 ∈ R2 , tồn điều khiển tối ưu−thời gian nhất, mà điều khiển bang−bang điều khiển x0 đến (0; 0) Chúng ta chứng tỏ ví dụ 2.2 điều khiển tối ưu−thời gian thỏa mãn u(t) = sgn(sin(t + δ)), nên u(t) đổi dấu với chu kỳ π Để xây dựng chế điều khiển đầy đủ cho toán này, phải tìm phản hồi ứng với u(t) ≡ u(t) ≡ −1 Trong trường hợp u(t) ≡ hệ trở thành θ˙ = ω; ω˙ = −θ + Đặt v(t) = θ(t) − 1; có v˙ = ω; ω˙ = −v mô tả chuyển động theo chiều kim đồng hồ xung quanh vòng tròn có tâm ω = v = Trong CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 42 không gian trạng thái gốc, chuyển động theo chiều kim đồng hồ xung quanh đường tròn có tâm θ = 1, ω = 0, phản hồi theo vòng tròn 2π đơn vị thời gian (Hình 2.8a) Nếu u(t) ≡ −1, lập luận tương tự ta thấy phản hồi chuyển động theo chiều kim đồng hồ xung quanh vòng tròn có tâm θ = −1, ω = (Hình 2.8b), 2π đơn vị thời gian Hình 2.8: Trong trường hợp có quỹ đạo đạt đến mục tiêu (hình 2.9a, 2.9b) Hình 2.9: CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 43 Rõ ràng, phải có hai phản hồi để đến mục tiêu với điều khiển bang−bang Bây u(t) phải đổi dấu với π đơn vị thời gian để hết nửa đường tròn Do đó, sử dụng phản hồi (hình 2.9a); chẳng hạn, phải theo nửa đường tròn để đến gốc (theo nửa đường tròn lâu tới 0) Để đến nửa đường tròn phải di chuyển theo nửa đường tròn có tâm θ = −1, w = (hình 2.10a) Hình 2.10: Cách dễ để có nửa đường tròn xác, kết thúc trạng thái chuyển ∆, vẽ nửa đường tròn nét đứt bắt đầu quỹ đạo (−) điểm chuyển Thời gian từ trạng thái đến trạng thái ∆ π, nên phải chuyển từ phản hồi ứng với u(t) ≡ +1 (hình 2.10b), tức là, từ đường tròn có tâm θ = 1, w = Để nhận nửa đường tròn xác, thêm vào "các nửa đường tròn chuyển" chiều dương trục hoành Tiếp tục phân tích này, ta đạt chế điều khiển đầy đủ cho lắc tuyến tính hóa (hình 2.11) Ta chuyển giá trị điều khiển phản hồi gặp đường cong tạo thành nửa đường tròn vẽ thêm Nếu phía đường cong dùng u(t) ≡ 1, phía đường cong dùng u(t) ≡ −1 Một phản hồi vẽ (hình 2.11) Chú ý ba phần quỹ đạo (hình 2.11) (đoạn đậm hơn) điều khiển không đối lập với chuyển động lắc (u θ˙ = ω có dấu) Trái CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 44 Hình 2.11: với toán điều khiển xe lửa số lần chuyển điều khiển lắc phụ thuộc vào mức độ gần trạng thái ban đầu so với mục tiêu 0−điểm xuất phát xa mục tiêu, ta phải chuyển nhiều lần Định lý sau cho vài thông tin chung số lần chuyển điều khiển số trường hợp đặc biệt Định lí 2.9 Giả sử (LA) chuẩn tắc giá trị riêng A thực Khi thành phần điều khiển tối ưu−thời gian có nhiều (n − 1) lần chuyển giá trị Chứng minh Vì sgn(ui (t)) = sgn(hT e−At bi ), i = 1, 2, , m nên ta cần chứng tỏ hT e−At bi có nhiều (n − 1) lần đổi dấu Giả sử giá trị riêng λ1 , , λn A phân biệt Điều hạn chế, không, làm nhiễu phần tử A lượng nhỏ ˜ với tùy ý (bài toán số lần đổi dấu hT e−At bi ) để nhận ma trận A giá trị riêng phân biệt Bây e−At bi nghiệm x˙ = −Ax, nên ta có: e−At bi = n ck e−λk t k=1 hT e−At bt = α1 e−λ1 t + α2 e−λ2 t + + αn e−λn t ≡ fn (t) Vì (LA) chuẩn tắc nên fn (t) không tầm thường tức có αj = Ta chứng minh phép quy nạp theo n hàm CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 45 triệt tiêu nhiều (n − 1)−lần chuyển giá trị R Với n = điều Giả sử với hàm fn−1 (t) Nếu có hàm fn (t) với n không điểm (hoặc nhiều hơn) R, gn (t) ≡ eλn t fn (t) = α1 e(λn −λ1 )t + + αn có n không điểm Do fn−1 (t) ≡ gn (t) có (n − 1) không điểm, mâu thuẫn * Sau phần mở rộng cho toán tổng quát Trước hết, xét hệ: x˙ = Ax + Bu + c(t) (2.12) c(t) hàm liên tục cho từ [0, ∞] vào Rn Nguyên lý Bang−Bang cho hệ này, thực tế (như đề cập đến Chương 1), A B hàm liên tục t Công thức phản hồi (2.12) t t e−As c(s)ds) + eAt x[t] = eAt (x0 + e−As Bu(s)ds Với t cố định, việc đưa c(t) việc dịch chuyển phản hồi, rõ ràng tính chất hình học tính liên tục K(t; x0 ) không đổi Hơn nữa, tổ hợp lồi hai phản hồi phản hồi tương tự, tổ hợp lồi hai điều khiển điều khiển Dùng quan sát này, ta chứng minh giống mục trước để có, ngoại trừ hệ Định lý 2.7, phản hồi chương (2.12) Với hệ tuyến tính tổng quát x˙ = A(t)x + B(t)u + c(t) (L) với hệ số liên tục, công thức phản hồi t X(t)X−1 (s)[B(s)u(s) + c(s)]ds x[t] = X(t)x0 + X(t) ma trận hệ x˙ = A(t)x với X(0) = I Với điều khiển tối ưu u(·), Nguyên lý cực đại phát biểu theo cách sau: CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ Ô-TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 46 Tồn vectơ h0 , cho hT0 X−1 (t)Bu(t) = max hT0 X−1 (t)Bv v∈Ω (2.13) tồn h(t) cho hT (t)Bu(t) = max hT (t)Bv v∈Ω (2.14) h(t) nghiệm hệ liên hợp h˙ = −AT (t)h (2.15) Hai phát biểu tương đương, [XT (t)]−1 ma trận (2.15) h(t) = [XT (t)]−1 h0 với vectơ h0 Hệ (L) định nghĩa chuẩn tắc ∀t > 0, hai điều khiển u1 (·) u2 (·) phân biệt (bỏ qua tập có độ đo 0) điều khiển trạng thái ban đầu x0 đến mục tiêu ∂K(t, x0 ) Tính chuẩn tắc tương đương với tính hàm u(·) thỏa mãn (2.13) (hoặc (2.14) với nghiệm (2.15)) Với điều chỉnh này, tất Định lý đúng, nhiên Mệnh đề (a) − (e) phát biểu đầu chương (L) Kết luận Trên toàn nội dung đề tài "Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ ô-tô-nôm tuyến tính" Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng kết việc nghiên cứu điều khiển tối ưu−thời gian điều khiển thành công cho giá trị hàm chi phí nhỏ điều khiển thành công phản hồi tối ưu−thời gian Và để tồn điều khiển tối ưu thời gian cần tồn điều khiển thành công điều khiển x0 đến qua (LA), Ngoài cung cấp tính chuẩn tắc (LA), tồn điều khiển, đặc trưng hình học tính chuẩn tắc, Tất nội dung nhằm mục đích ứng dụng vào thực tiễn thông qua toán điều khiển tối ưu thời gian ô-tô-nôm tuyến tính điều khiển động xe lửa, tác động ngược với chuyển động lắc tuyến tính (không phải lúc tác động ngược), Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo TS Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 47 Tài liệu tham khảo [1 ] Aaron Strauss, Jack Macki (1982), "Introduction to Optimal Control Theory", Springer New York [2 ] Adam, Schwartz (1996), "Theory and Implementation of Methods based on Runge–Kutta Integration for Solving Optimal Control Problems", University of California at Berkeley, PhD Dissertation [3 ] Bernelli-Zazzera F., Fornasari N., Masarati P., Vasile M., (September 2002) "Design of Interplanetary and Lunar Missions Combining Low-Thrust and Gravity Assists", Final Report of the ESA/ESOC Study Contract No 14126/00/D/CS [4 ] Helmut Maurer, Nikolai P and Osmolovskii (Published: 2012), "Applications to Regular and Bang-Bang Control: Second-Order Necessary and Sufficient Optimality Conditions in Calculus of Variations and Optimal Control" 48 ... Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU THỜI GIAN ĐỐI VỚI HỆ - TÔ-NÔM TUYẾN TÍNH 2.1 Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ - t - nôm tuyến tính Sau tóm tắt kết việc nghiên cứu toán điều khiển tối ưu tuyến. .. thức toán điều khiển tối ưu thời gian hệ - t - nôm tuyến tính, tồn điều khiển tối ưu thời gian ứng dụng Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu tính điều khiển tối ưu thời gian hệ - t - nôm tuyến tính. .. 15 Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ - t - nôm tuyến tính 2.1 17 Bài toán điều khiển tối ưu thời gian hệ - t - nôm tuyến tính 17 2.2 Sự tồn điều khiển tối ưu