Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB I.II Cự ỏ ị hàm số giá trị lớn nhất, giá trị ấ hàm số A Lý thuyết cực trị hàm số ph n I.I ta v a h c cách s d ng đ o hàm đ tìm kho ng đ n u c a hàm s , kho ng đ ng bi n, kho ng ngh ch bi n c a hàm s ph n ta s xác m c c đ i đ nh m n m gi a kho ng đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s ng c l i Nh ng m đ c g i m c c tr c a đ th hàm s Đi m c c tr bao g m c m c c đ i m c c ti u c a đ th hàm s Đ th hàm s hình có m c c đ i m phía bên trái m c c ti u phía bên ph i m c c ti u m đ c đánh d u) O x Hình 1.7 Đ nh nghĩa y Cho hàm s y  f  x  xác đ nh liên t c kho ng  a; b ( có th a  ; b  ) m xo   a; b a, N u t n t i s h  cho f  x   f  x0  v i m i x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm s f  x  đ t c c đ i t i x0 b, N u t n t i s h  cho f  x   f  x0  v i m i x   x0  h; x0  h  x  x0 ta nói hàm s f  x  đ t c c ti u t i x0 V i hàm liên t c hàm s s đ t c c tr t i m làm cho y '  ho c y ' không xác đ nh đ y c th hi n hình 1.8 m c c đ i O m c c đ i y c x không xác đ nh c O x Hình 1.8 N u hàm s đ t c c đ i ho c c c ti u t i x  c x  c m làm cho y ' b ng ho c y ' không xác đ nh Chú ý STUDY TIP: m c c tr c a hàm s x  c ; m c c tr c a đ th hàm s m có t a đ  M c;f  c   N u hàm s f  x  đ t c c đ i (c c ti u) t i x x đ m c c ti u) c a hàm s ; f  x0  đ c g i m c c đ i c g i giá tr c c đ i (giá tr c c ti u)   c a hàm s , kí hi u fCD  fCT  cịn m M x0 ; f  x0  đ c g i m c c đ i (đi m c c ti u) c a đ th hàm s Trong tr c nghi m th ng có câu h i đ a đ đánh l a thí sinh ph i phân bi t gi a m c c tr c a hàm s m c c tr c a m c c tr c a đ th hàm s Đi u ki n đ đ hàm s có c c tr   Khi f ' x đ i d u t d ng sang âm qua x  c x  c đ đ i c a hàm s Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® c g i m c c Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing   Khi f ' x đ i d u t âm sang d ng qua x  c x  c đ c g i m c c ti u c a hàm s Hình 1.9 mơ t u ki n đ đ hàm s có c c tr : m c cđ i y y m c c ti u O y x c O y Không ph i m c c tr O c Không ph i m c c tr O x x c c x Hình 1.9 Ví d 1: Hàm s y  x  x có m c c tr A x  0; x  B x  C x  D x  L i gi i: Ta có y '  4x3  3x2  x2  4x  3 y x  y'    x   x Ta th y y ' không đ i d u qua x  , v y x  không m c c tr c a O m c c ti u Hình 1.10 hàm s Và y ' đ i d u t âm sang d ng quan x  3 v y x  m c c 4 ti u c a hàm s Hình 1.10 th hi n đ th hàm s , ta th y rõ m O  0;  không m c c tr c a đ th hàm s ) N u x  c m c c tr c a hàm y  f  x  f '  c   ho c f '  c  không xác đ nh nh ng n u f '  c   ch a ch c x  c m c c tr c a hàm s Quy t c đ tìm c c tr Quy t c Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Tìm t p xác đ nh Tính f '  x  Tìm m t i f '  x  b ng ho c không xác đ nh L p b ng bi n thiên T b ng bi n thiên suy c c tr Quy t c Tìm t p xác đ nh Tính f '  x  Gi i ph ng trình f '  x   kí hi u xi  i  1, 2, 3, , n nghi m c a Tính f ''  x  f ''  xi  D a vào d u c a f ''  xi  suy tính ch t c c tr c a m xi Ví d 2: Cho hàm s y  x Tìm m nh đ m nh đ sau: A Hàm s B Hàm s C Hàm s t i x  D Hàm s x0 có m t m c c đ i cho c c tr cho có đ o hàm không xác đ nh t i x  nên khơng đ t c c tr cho có đ o hàm không xác đ nh t i x  nh ng đ t c c tr t i Đáp án D x L i gi i: Ta có y '  x2 y ' khơng xác đ nh t i x  đ o hàm c a hàm s đ i d u qua x  Nên y hàm s đ t c c tr t i x  Ph n đ c gi i thi u sau ph n đ nh nghĩa V i hàm liên t c hàm x s s đ t c c tr t i m làm cho y '  ho c y ' khơng xác đ nh Hình 1.11 bi u th đ th hàm s y  x đ t có m c c ti u O  0;  O m c c ti u Ví d 3: Tìm t t c m c c tr c a hàm s y  x  3 x2 Hình 1.11 y m c c đ i x  L i gi i: Ta có y '  x  x O  2   '   x  3x  '      x     x 1 x y' không xác đ nh t i x  ; y '   x  Và đ o hàm đ i d u qua m c c ti u Hình 1.12 x  0; x  Do v y hàm s có hai m c c tr x  0; x  Ví d 4: Cho hàm s y  x  mx  x  v i m tham s Kh ng đ nh sau A V i m i tham s B V i m i tham s C V i m i tham s c c ti u D V i m i tham s m, hàm s cho ln ch có nh t m t c c đ i m, hàm s cho ln ch có nh t m t c c ti u m, hàm s cho có m t m c c đ i m t m m, hàm s cho c c tr L i gi i Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing Xét hàm s y  x  mx  x  có y '  x  mx  Xét ph ng trình y '   x  mx   có  '   m    2   m2   Do v y ph ng trình ln có hai nghi m phân bi t x1  x2 M t khác ta có m o xét d u tam th c b c hai khác v y đ o hàm c a hàm s cho đ i d u nh sau x y' + + V y hàm s cho ln có m t m c c đ i m t m c c ti u v i m i tham s m B Các dạng toán liên quan ến cực trị D ng Xác đ nh m c c tr c a hàm s hàm s , tìm giá tr c c tr c a hàm s m c c tr c a đ th Đây d ng toán c b n nh t v c c tr , nhiên xu t hi n r t nhi u đ thi th d ng toán ta ch áp d ng tính ch t đ c nêu ph n A Tuy nhiên ta xét ví d đ rút k t qu quan tr ng Ví d : Hàm s sau khơng có c c tr ? 2x x3 A y  x  x  B y  C y  x  x  x  D y  x n  2017 x n   * Trích đ thi th THPT chuyên Lê H ng Phong  Nam Đ nh) Đáp án B STUDY TIP: Hàm phân th c b c nh t b c nh t khơng có c c tr L i gi i V i A: Ta th y hàm b c ba có y  3x  ph ng trình y   ln có hai nghi m phân bi t nên hàm s có hai m c c tr (lo i) V i B: Đây hàm phân th c b c nh t b c nh t nên khơng có c c tr Do ta ch n B Ví d 2: Hàm s sau có ba m c c tr ? A y  x  x  10 C y  x3  3x2  5x  B y   x  x  D y  x  Trích đ thi th THPT Cơng Nghi p Hịa Bình) Đáp án B L i gi i Ta có th lo i ln C b i hàm s b c ba ch có nhi u nh t hai c c tr Ti p theo ta đ n v i hàm b c b n Ta có hàm b c b n trùng ph tr ng h p, ho c có m t m c c tr , ho c có ba m c c tr Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ ng có hai Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đ i v i hàm b c b n trùng ph STUDY TIP: Đ i v i hàm b c b n trùng ph ng có d ng y  ax  bx  c,  a   n u: ab  hàm s có m t m c c tr x  ab  hàm s có ba m c c tr x  0; x    b 2a ng d ng y  ax  bx  c a  x  Ta có y '  4ax  2bx     2ax  b   x   b  2a S m c c tr ph thu c vào nghi m c a ph ng trình ax  b  b a N u  t c a, b d u ho c b  ph ng trình vơ nghi m ho c 2a có nghi m x  Khi hàm s ch có m t m c c tr x  b b.N u  t c a, b trái d u ph ng trình có hai nghi m phân bi t 2a b b x    Nghĩa hàm s có ba m c c tr x  0; x    2a 2a Đ n ta có th suy ra, n u h s c a a, b khác d u hàm s b c b n trùng ph ng có ba c c tr , v y ta ch n đ c B Ti p t c m t toán áp d ng k t qu v a thu đ c Ví d 3: Cho hàm s y   x  x  M nh đ d A Hàm s B Hàm s C Hàm s D Hàm s STUDY TIP: Đ i v i hàm b c b n trùng ph ng có d ng y  ax  bx  c,  a   có ab  n u: a a  x  m c c ti u; x    b 2a hai m c c đ i c a hàm s b a  ng c l i x  m c c đ i; x  b hai m c c 2a ti u c a hàm s i có m t c c đ i hai c c ti u có hai c c đ i m t c c ti u có m t c c đ i khơng có c c ti u có m t c c đ i m t c c ti u Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng Hà N i) Đáp án B L i gi i c ta có k t lu n hàm s ln có ba m c c tr Áp d ng k t qu v a thu đ hai h s a, b trái d u M t khác h s a  1  nên đ th hàm s có d ng ch M (m o nh ), v y hàm s có hai m c c đ i m t c c ti u Đ n ta ti p t c thu đ c k t lu n ph n STUDY TIP \2 có b ng bi n Ví d 4: Cho hàm s y  f ( x) xác đ nh, liên t c thiên phía d i: Kh ng đ nh sau kh ng đ nh ? A Hàm s đ t c c đ i t i m x  đ t c c ti u t i m x  B Hàm s có m t c c tr C Hàm s có giá tr c c ti u b ng D Hàm s có giá tr l n nh t b ng giá tr nh nh t b ng -15 Trích đ thi th THPT chuyên Lê H ng Phong x   y y 0  +   + Nam Đ nh)  15   Đáp án C L i gi i Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y có hai giá tr c a x mà qua y  đ i d u x  x  , v y hai m c c tr c a hàm s Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing Ta th y y đ i d u t âm sang d ti u c a hàm s ng c l i x  l T ta lo i đ c A, B V i D: D sai giá tr c nh t c a hàm s Ta ch n C b i t i x  hàm s ng qua x  , v y x  m c c i m c c đ i c a hàm s c tr , không gi i giá tr l n nh t, giá tr nh có giá tr c c ti u y  Ti p t c m t toán nhìn b ng bi n thiên đ xác đinh tính sai c a m nh đ : Ví d 5: Hàm s y  f  x  liên t c bên M nh đ A Hàm s B Hàm s C Hàm s D Hàm s sau cho có hai m c c tr cho khơng có giá tr c c đ i cho có m t m c c tr cho khơng có giá tr c c ti u  x y + y STUDY TIP: quy t c ta có hàm s đ t c c tr t i m n cho đ o hàm b ng ho c khơng xác đ nh có b ng bi n thiên nh hình v   +   Đáp án A L i gi i Nhìn vào b ng bi n thiên ta th y có hai giá tr c a x mà qua y  đ i d u Do v y hàm s cho có hai m c c tr x  1; x  Chú ý: Nhi u đ c gi nghĩ r ng t i x  không t n t i y  x  khơng ph i m c c tr c a hàm s m t sai l m r t l n B i hàm s v n đ t c c tr t i m n cho đ o hàm khơng xác đ nh Ví d : Hàm s y  x có đ o hàm khơng t n t i x  nh ng đ t c c ti u t i x0 Ví d Hàm s y  f  x  có đ o hàm f '  x    x  1  x   Phát bi u sau A Hàm s B Hàm s C Hàm s D Hàm s có m t m c c đ i có hai m c c tr có m c c tr khơng có m c c tr Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP HN Đáp án C L i gi i x  Ta th y f   x     x  Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ l n I) Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đ n có nhi u đ c gi k t lu n ln hàm s có hai m c c tr , nhiên k t lu n sai l m, b i qua x  f   x  không đ i d u, b i STUDY TIP: Trong đa th c, d u c a đa th c ch đ i qua nghi m đ n nghi m b i l , cịn nghi m b i ch n khơng n đa th c đ i d u  x  1  , x Do v y hàm s ch có m t m c c tr x  D ng Tìm u ki n đ hàm s có c c tr Chú ý: y  f  x  xác đ nh D có c c tr  x0  D th a mãn hai u ki n Hàm s sau: i Đ o hàm c a hàm s t i x0 ph i b ng ho c hàm s khơng có đ o hàm t i x0 ii f '  x  ph i đ i d u qua x0 ho c f   x0   Đ i v i hàm s b c 3: y  ax  bx  cx  d  a   STUDY TIP: Qua ta rút k t qu , đ th hàm s b c ba ho c có hai m c c tr , ho c khơng có m c c tr Ta có y   3ax  2bx  c Đ hàm s b c ba có c c tr ph ng trình y '  có hai nghi m phân bi t     b2  3ac  Ng c l i đ hàm s khơng có c c tr ph ng trình y '  vơ nghi m ho c có nghi m nh t  b2  3ac  Đ i v i hàm b c b n trùng ph ng d ng y  ax4  bx2  c  a   x  Ta có y '  4ax3  2bx    2ax  b  Đ n ta có nh n xét hàm s b c b n trùng ph S m c c tr ph thu c vào nghi m c a ph ng có m c c tr ng trình 2ax2  b  b  t c a, b d u ho c b  ph ng trình vơ nghi m 2a ho c có nghi m x  Khi hàm s ch có m t m c c tr x  a N u b.N u b  t c a, b trái d u ph 2a x    y  ax4  bx2  c ,  a   C Ta v a ch ng minh A O b b Nghĩa hàm s có ba m c c tr x  0; x    2a 2a D ng 3: Tìm u ki n đ hàm s cho có m c c tr th a mãn u ki n cho tr c 3.1 Xét hàm s b c b n trùng ph ng có d ng y B ng trình có hai nghi m phân bi t x x  0; x    d ng 2, n u ab  hàm s có ba m c c tr b 2a Khi đ th hàm s cho s có ba m c c tr là:     b b A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   v i   b2  4ac (Hình minh h a)  2a 4a   2a 4a   Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing    b  b  b  ab2 b2 c (Ch ng minh: ta có f     a     b     c      2a 2a  2a  2a  4a    ab2  2ab2  4a c ab2  2ab2  4a c ab  4ac b  4ac     đpcm 4a 4a2 4a2 4a2 y A B b4 b b  ; BC   2a 2a 16a  AB  AC  C x O Bài tốn 1: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác vuông STUDY TIP: Qua ta rút k t qu , đ đ th hàm s L i gi i t ng quát V i ab  hàm s có ba m c c tr y  ax  bx  c ,  a   có ba Do m A  0; c  n m Oy cách đ u hai m B, C Nên tam giác ABC m c c tr ph i vuông cân t i A Đi u t r i) t o thành tam giác vuông cân u ki n b3  8 Ta lo i đ a ng v i AB  AC (do AB  AC có s n   b b2  b b2  M t khác ta có AB     ;   ; AC    ;     2a 4a  2a 4a    c u ki n a, b trái d u t công th c cu i thu đ c ta ln có a, b trái d u ng đ Do AB  AC nên AB.AC   b3 b b4   8   2a 16a a Ví d 1: Tìm t p h p t t c giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  x  m2 x  có m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông cân 1 B   8  A 0 Đáp án D Cách 1: L i gi i thông th  1 D  ;   8  1 C     8 Cách 2: Áp d ng công th c TXĐ D  Đ m c c tr 2 c a đ th hàm s Ta có: y  x x  m ba đ nh c a m t tam Hàm s có ba m c c tr ch ph ng giác vng cân trình y  có nghi m phân bi t  m  b3  8 Lúc ba m c c tr là: A 2m; 16m2  , a 8m2 B  0;  , C 2m; 16 m    8 Nên BA  BC Do tam giác ABC cân t i B m Khi tam giác ABC vng cân ch khi:  ng       BA.BC   4m2  256m4    64m2   m    m   m    Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/  Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Nh n xét: Rõ ràng vi c nh công th c làm nhanh h n r t nhi u so v i vi c suy t ng tr ng h p m t Bài t p rèn luy n l i công th c: STUDY TIP: Đ c gi nên làm t p rèn luy n mà khơng nhìn l i cơng th c đ có th ghi nh cơng th c lâu h n y  x4  2mx2  m2  Tìm m đ hàm s có ba m c c tr m Cho hàm s c c tr c a đ th hàm s ba đ nh c a m t tam giác vuông? A m  D m  2 C m  B m  1 Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Cho hàm s Nam Đ nh) y  f  x   x   m   x  m  5m  (Cm ) Giá tr c a m đ đ th c a hàm s cho có m c c đ i, c c ti u t o thành m t tam giác vuông cân thu c kho ng sau 4 3 A  ;  7 2  21  B  ;   10   1 C  0;   2 D  1;0  Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y   x   m  2015  x  2017 có A m  2017 m c c tr t o thành tam giác vuông cân B m  2014 D m  2015 C m  2016 Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  x   m  2016  x  2017m  2016 có ba m c c tr t o thành tam giác vuông cân A m  2017 B m  2017 D m  2015 C m  2018 Tìm m đ đ th hàm s f  x   x   m  1 x  m có m c c đ i, c c ti u t o thành m t tam giác vuông A m  B m  1 D m  C m  Bài toán 2: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác đ u L i gi i t ng quát STUDY TIP: Qua ta rút k t qu , đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba b3  24 a Do AB  AC , nên ta ch c n tìm u ki n đ AB  BC M t khác ta có m c c tr t o thành tam giác đ u V i ab  hàm s có ba m c c tr  AB  AC  b4 b b  ; BC   2a 16a 2a Do v y AB  BC   b3 2b b b4     24 2a 16a a a Ví d 2: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m cho đ th c a hàm s y  x  2mx  m  có ba m c c tr t o thành m t tam giác đ u Ta có k t qu : A m  B m  C m  D m  3 Trích đ thi th THPT chuyên Lam S n Thanh Hóa Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing Đáp án D L i gi i Áp d ng công th c v a ch ng minh ta có STUDY TIP: Qua ta rút k t qu , đ đ th hàm s y  ax4  bx2  c ,  2m   24  m  3 b3  24  a  a   có ba Bài t p rèn luy n l i công th c: m c c tr t o thành tam giác đ u Cho hàm s b3  24 a đ th C  m y  x   m   x  m  5m   C m  V i nh ng giá tr c a m có m c c đ i m c c ti u đ ng th i m c c đ i m c c ti u l p thành m t tam giác đ u? Mà tam giác vng b  8 a B m   3 A m   Vuông - đ u -24 D m   3 C m   3 x   m  2017  x  2016 có đ th (Cm ) Tìm t t c giá tr c a m cho đ th (Cm ) có ba m c c tr t o thành tam giác đ u? Cho hàm s y A m  2015 Cho hàm s B m  2016 D m  2017 C m  2017 y  x4  2mx2  Tìm t t c giá tr c a m cho đ th hàm s có ba m c c tr t o thành tam giác đ u? B m   3 A m  3 Cho hàm s C m  D m   y  mx4  2mx2  m Tìm t t c giá tr c a tham s m cho đ th hàm s có ba m c c tr t o thành tam giác đ u A m  3; m   3; m  B m   3; m  C m  D m  Bài tốn 3: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr y H B th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c C tr t o thành tam giác có di n tích b ng S L i gi i t ng quát A G i H trung m c a BC lúc H n m đ th ng BC (hình v ) x O ng th ng ch a đo n  b2    Lúc H  0;    AH   0;   Di n tích tam giác ABC đ 4a  4a    STUDY TIP: Qua ta rút k t qu , đ đ th hàm s công th c: SABC  S0  y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có di n tích S0 có u ki n S    b2   AH.BC  So      4a  2  b      2a   c tính b ng b 2b b   S 16a2 a 32 a Ví d 3: Cho hàm s y  x  mx  m  m4 V i giá tr c a m đ th C  có m m c c tr đ ng th i m c c tr t o thành m t tam giác có b5 di n tích b ng 32a A m  16 B m  16 C m  16 D m   16 Trích đ thi th S GD ĐT H ng Yên đ thi th THPT chuyên Lam S n Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Đáp án A Áp d ng công th c L i gi i ta có, hàm s có ba m c c tr t o thành m t tam giác có di n tích b ng  32.a3 S0  b5   32.13   2m    m  16 Bài t p rèn luy n l i công th c: Cho hàm s y  x4  2m2x2  V i giá tr c a m đ th hàm s cho có m c c tr đ ng th i m c c tr t o thành m t tam giác có di n tích b ng 32 B m  0; m  A m  2; m  2 D m  2; m  2; m  C m  0; m  2 Cho hàm s y  f(x)  x4  2(m  2)x2  m2  5m  Tìm t t c giá tr c a m đ đ th hàm s cho có m c c tr t o thành m t tam giác có di n tích b ng A m  B m  3 C m  D m  2 Cho hàm s y  3x4  2mx2  2m  m4 Tìm t t c giá tr c a m đ đ th hàm s cho có ba m c c tr t o thành tam giác có di n tích b ng A m  B m  3 C m  D m  4 Cho hàm s y  x4  2mx2  m  (1) , v i m tham s th c Xác đ nh m đ hàm s có ba m c c tr đ ng th i m c c tr c a đ th t o thành m t tam giác có di n tích b ng A m  B m  2 C m  D m  4 Bài tốn 4: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có di n tích l n nh t L i gi i t ng quát toán ta có S0   b5 32 a  b  Do v y ta ch tìm Max    32a  Bài tốn 5: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có góc STUDY TIP: Qua ta rút k t qu , đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có góc đ nh  có u ki n cos   b  8a b  8a  Ho c 8a  b tan 0 đ nh cân b ng L i gi i t ng quát Cách 1: Ta có cos   AB AC AB AC  AB AC  AB2 cos     b b b4 b4        cos   a 16a  a 16 a   a   cos    b   cos     cos   b3  8a b3  8a Cách 2: G i H trung m c a BC, tam giác AHC vuông t i H có: tan  BC  HC     BC  4.AH tan   8a  b3 tan  2 AH AH Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing Bài tốn 6: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có ba góc nh n L i gi i t ng quát Do tam giác ABC tam giác cân nên hai góc đáy b ng M t tam giác khơng th có hai góc tù, v y hai góc đáy c a tam giác ABC ln góc nh n Vì th đ tam giác ABC tam giác có ba góc nh n góc đ nh ph i góc nh n T c tìm u ki n đ STUDY TIP: Qua ta rút k t qu , đ đ th hàm s y  ax4  bx2  c ,  a   có ba  Đ góc BAC nh n m c c tr t o thành tam giác có ba góc nh n  tốn ta v a tìm đ b b3  8a  BAC   góc nh n c cos BAC  cos   b3  a b3  a b3  8a 0 b3  8a Cách khác đ rút g n công th c: Do cos   AB AC AB AC nên đ  góc nh n Mà AB AC  AB.AC   AB AC AB AC 0 b b4    b b3  8a  2a 16a   Bài tốn 7: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có bán kính đ ng trịn n i ti p r L i gi i t ng qt Ta có S0  p.r (cơng th c tính di n tích tam giác theo bán kính đ ng trịn n i ti p) r  2S0  AB  AC  BC   b5 32 a r b b4 b  2  a 16 a 2a b2  b3  a 1     8a    Bài tốn 8: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có bán kính đ ng tròn ngo i ti p R L i gi i t ng quát Tr c tiên ta có công th c sau: SABC  AB.BC.CA 4R G i H trung m c a BC AH đ ng cao c a tam giác ABC, nên AB.BC.CA AH.BC   2.R AH  AB4 4R  b b3  8a b4 b4   R 2.R       16a2  2a 16a2  a b Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tốn 9: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác có a Có đ dài BC  m0 b Có AB AC n0 L i gi i t ng quát đ u D ng ta có cơng th c  b b    A  0; c  ; B    ;   ; C   ;   v i   b2  ac    2a 4a   2a 4a    AB  AC  b4 16a  b b ; BC   2a 2a Do v y v i ý a, b ta ch c n s d ng hai công th c Đây hai công th c quan tr ng, vi c nh công th c đ áp d ng u c n thi t! Bài tốn 10: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c tr t o thành tam giác a nh n g c t a đ O tr ng tâm b nh n g c t a đ O làm tr c tâm c nh n g c t a đ O làm tâm đ ng tròn ngo i ti p L i gi i t ng quát a Nh n g c t a đ O làm tr ng tâm công th c v a nh c l i tốn 9, ta có t a đ m A, B, C ch c n x  xB  xC y  yB  yC áp d ng công th c xG  A (v i G tr ng tâm tam ; yG  A 3 giác ABC)   b  b  3.0 0          2a  2a b2  Lúc ta có      3c  2a  b2    b2  c c c 3.0              4a    4a  a STUDY TIP: V i nh ng d ng tốn ta l u ta ln có tam giác ABC cân t i A, nên ta ch c n tìm m t u ki n có đáp án c a tốn  b2  6ac  b Nh n g c t a đ O làm tr c tâm Do tam giác ABC cân t i A, mà A n m tr c Oy nên AO ln vng góc v i BC Do v y đ O tr c tâm c a tam giác ABC ta ch c n tìm u ki n đ OB  AC ho c OC  AB b b4 b2c     b4  8ab  4b2 c  OB  AC  OB.AC   2a 16a2 4a  b3  8a  4ac  c Nh n O làm tâm đ ng tròn ngo i ti p Đ tam giác ABC nh n tâm O làm tâm đ ng trịn ngo i ti p OA  OB  OC Mà ta ln có OB  OC , v y ta ch c n tìm uk i n cho 2b c b b4   c  b4  8ab2 c  8ab  OA  OB  c    2a 16a 4a  b3  8a  8abc  Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing Bài tốn 11: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ đ th hàm s giá tr y th c c a tham s m đ đ th hàm s y  ax  bx  c ,  a   có ba m c c A tr t o thành tam giác cho tr c hoành chia tam giác ABC thành hai ph n có di n tích b ng L i gi i t ng quát G i M, N giao m c a AB, AC v i tr c hồnh, kí hi u nh hình v M O N x B C H SAMN  OA     (Do tr c hoành chia tam giác ABC SABC  AH  thành hai ph n có di n tích b ng nhau) Ta có ANM ACB   AH  2OA  b2  ac 3.2 Xét hàm s b c ba có d ng y  ax3  bx2  cx  d,  a   Có y   3ax  2bx  c , hàm s có hai m c c tr ch ph ng trình y   có hai nghi m phân bi t    b2  3ac  Bài toán 1: Vi t ph ng trình qua hai m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s y  ax  bx  cx  d,  a   L i gi i t ng quát Gi s hàm b c ba y  f  x   ax3  bx2  cx  d,  a   có hai m c c tr x1 ; x2 Khi th c hi n phép chia f  x  cho f '  x  ta đ c f  x   Q  x  f   x   Ax  B  f  x1   Ax1  B Khi ta có  (Do f   x1   f   x2   )  f  x2   Ax2  B V y ph ng trình qua hai m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s y  f  x  có d ng y  Ax  B Đ n ta quay tr v v i toán toán 1, v y nhi m v c a tìm s d m t cách t ng quát STUDY TIP: Ph ng trình đ ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s b c ba bi u di n theo y y y  g  x  y  y.y 18a Ta có y  3ax2  2bx  c ; y  6ax  2b Xét phép chia y cho y ta đ b  1 y  y. x    g  x   *  , 9a  3 c a đ th hàm s b c ba c: g  x  ph ng trình qua hai m c c tr 3ax  b 6ax  2b  g  x  g  x   y  y ' 9a 18a y .y   g  x  y  18a Ti p t c ta có  *   y  y  y  y ' y  g  x 18a Sau xin gi i thi u m t cách b m máy tính đ tìm nhanh ph ng trình đ ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s b c ba nh sau Tr c tiên ta xét ví d đ n gi n: Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Ví d 1: Ph ng trình đ y  x  x  x  là: Sử dụng máy tính S d ng tính tốn v i s ph c đ gi i quy t toán ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s A 26x  9y  15  B 25x  9y  15  C 26x  9y  15  D 25x  y  15  Đáp án A L i gi i Ph ng trình đ ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s xác đ nh 6x  b i: g  x   x3  2x2  3x   3x2  4x  18 Chuy n máy tính sang ch đ tính toán v i s ph c b ng cách nh p: MODE  2:CMPLX Nh p vào máy tính bi u th c g  x  nh sau    6X18  X  2X  3X   3X  4X  n CALC, gán X b ng i ( máy tính i nút ENG) máy hi n: 26  i V y ph ng trình qua hai m c c tr c a đ th hàm s cho 26 y  x  26x  y  15  Ti p theo ta có m t tham s Ví d 2: Cho hàm s y  x3  3x2  1  m x   3m , tìm m cho đ th hàm s có m c c đ i, c c ti u đ ng th i tìm đ ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s cho A m  0;  : 2mx  y  2m   B m  0;  : 2mx  y  2m   D m  0;  : y  202  200x C m  0;  : y  202  200 x Đáp án B L i gi i Ta có y  3x  6x  1  m , y  6x  Đ đ th hàm s có m c c đ i, c c ti u   32  1  m   m  STUDY TIP: V i nh ng d ng toán ta l u r ng tr c tiên, tâ c n tìm u ki n đ hàm s có hai c c tr V i m  ta th c hi n: Chuy n máy tính sang ch đ MODE 2:CMPLX y  Nh p vào máy tính bi u th c y  y  ta có 18a  X  3X  1  M  X   3M  3X  6X  1  M   6X18 n CALC Máy hi n X? nh p i = Máy hi n M? nh p 100 = Khi máy hi n k t qu 202  200i Ta th y 202  200i  2.100   2.100.i  y  2m   2mx V y ph ng trình đ ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s cho có d ng 2mx  y  2m   Ta rút k t lu n v cách làm d ng tốn vi t ph ng trình đ hai m c c tr c a đ th hàm b c ba nh sau Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® ng th ng qua Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing c 1: Xác đ nh y; y B STUDY TIP: V i b c cu i cùng, ta c n có kĩ khai tri n đa th c s d ng máy tính c m tay, khn kh c a sách nên không th gi i thi u vào sách, v y mong qu đ c gi đ c thêm v ph n B c 2: Chuy n máy tính sang ch đ tính tốn v i s ph c: MODE  2:CMPLX y  Nh p bi u th c y  y  18 a Chú ý: N u tốn khơng ch a tham s ta ch s d ng bi n X máy, nhiên n u tốn có thêm tham s , ta có th s d ng bi n b t kì máy đ bi u th cho tham s cho sách ta quy c bi n M đ d đ nh hình B c 3: Gán giá tr n CALC , gán X v i i, gán M v i 100 Lúc máy hi n k t qu , t tách h s i đ đ a k t qu cu i cùng, gi ng nh hai ví d Bài tốn 2: Vi t ph ng trình qua hai m c c đ i, c c ti u c a đ th hàm s y  ax  bx  cx  d,  a   3.3 Xét hàm phân th c Tr c tiên ta xét toán liên quan đ n c c tr hàm phân th c nói chung Ta có m t k t qu quan tr ng nh sau Xét hàm s d ng f  x   ta có f   x   u  x v  x xác đ nh D u  x  v  x   u  x  v   x  v2  x  Đi m c c tr c a hàm s nghi m c a ph u  x  v  x   u  x  v   x  0 f   x   v2  x  L u ux v x STUDY TIP: công th c  u  x  đ gi i v  x  quy t toán m t cách nhanh g n h n  u '  x  v  x   u  x  v  x    u  x v  x  ng trình u  x  v  x  Nh n xét: Bi u th c đ c th a mãn b i giá tr c c tr c a hàm s cho Do thay tính tr c ti p tung đ c a m c c tr , ta ch c n thay vào bi u th c đ n gi n h n sau l y đ o hàm c t l n m u V n d ng tính ch t này, ta gi i quy t đ c nhi u toán liên quan đ n m c c tr c a hàm phân th c Ví d : Vi t ph s y ng trình đ ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm ax  bx  c , a  0, a  ax  b Theo công th c v a nêu m u s Suy y  2ax  b ph a có) c a đ th hàm s y  Đ ta l n l ng trình đ t tìm bi u th c đ o hàm c a t s ng th ng qua hai m c c tr (n u ax2  bx  c , a  0, a  ax  b c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB Bài tập rèn luyện kỹ I Các dạng tính tốn thơng thường liên quan ến cực trị Câu 1: S m c c đ i c a đ th hàm s y  x4  100 y là: A B C D (Trích đ thi th THPT chuyên Tr n Phú- H i Phịng) y  x4  2x2  2017 có m Câu 2: Hàm s c c tr ? A B C D (Trích đ thi th THPT Tri u S n Câu 3: Cho hàm s y  x3  4x2  8x  có hai m c c tr x1 , x2 H i t ng x1  x2 bao nhiêu? A x1  x2  B x1  x2  8 C x1  x2  D x1  x2  5 Câu 4: Hàm (Trích đ thi th THPT Tri u S n s có đ o hàm y  f  x f '  x    x  1  x   Phát bi n sau A Hàm s B Hàm s C Hàm s D Hàm s có m t m c c đ i có hai m c c tr có m c c tr khơng có m c c tr (Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP HN Câu 5: Đ th hàm s là: y  x3  3x2  có m c c đ i A I  2; 3  B I  0;1 C I  0;  D Đáp án khác (Trích đ thi th THPT Kim Thành H iD ng Câu 6: Hàm s y  x  2x  2017 có m c c tr ? A B -1 x O -1 A Hàm s đ t giá tr nh nh t b ng 1 đ t giá tr l n nh t b ng B Đ th hàm s có m c c ti u A  1; 1 m c c đ i B  1;  C Hàm s có giá tr c c đ i b ng D Hàm s đ t c c ti u t i A  1;  1 c c đ i t i B  1;  (Trích đ thi th THPT chuyên Lam S n Thanh Hóa) Câu 9: Cho hàm s y  f  x  xác đ nh \1;1 , liên t c m i kho ng xác đ nh có b ng bi n thiên sau: x 1   y' + + + y  -3    sau A Hàm s đ t c c ti u t i m x  H i kh ng đ nh d i kh ng đ nh sai? A Hàm s đ o hàm t i x  nh ng v n đ t c c tr t i x  B Hàm s đ t c c ti u t i m x  C Đ th hàm s có hai ti m c n đ ng đ ng th ng x  1 x    ;1 đ Câu 7: Cho hàm s C D Trích đ thi th THPT Tri u S n y  x3  3x2  3x  Kh ng đ nh B Hàm s đ ng bi n  1;   ngh ch bi n C Hàm s đ t c c đ i t i m x  D Hàm s đ ng bi n (Trích đ thi th THPT Kim Thành H iD ng Câu 8: Cho hàm s y  f  x  có đ th nh hình v bên, kh ng đ nh sau kh ng đinh D Đ th hàm s có hai ti m c n ngang ng th ng y  3 y  (Trích đ thi th THPT chuyên H Long l n I) Câu 10: Kh ng đ nh sau kh ng đ nh A Hàm s y  x  có hai m c c tr x1 B Hàm s y  3x3  2016x  2017 có hai m c c tr C Hàm s Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® y 2x  có m t m c c tr x 1 Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing D x0  đ y  x4  3x2  có m t m c c tr D Hàm s (Trích đ thi th THPT Kim Liên) Câu 11: S m c c tr c a hàm s b ng: A B A x  1 C x  2 C D (Trích đ thi th THPT Kim Liên) B x  D x  (Trích đ thi th THPT Kim Liên) y  f  x  xác đ nh, liên t c Câu 13: Cho hàm s có b ng bi n thiên: x -1   Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3) y  x3  x2  x  C  Đ ng th ng qua m A  1; 1 vng góc v i đ ng Câu 17: Cho hàm s th ng qua hai m c c tr c a  C  là:  Câu 18: Tính kho ng cách gi a m c c ti u c a đ th hàm s  y  x4  2x2  -3 Kh ng đ nh sau kh ng đ nh A Hàm s có hai c c tr B Hàm s có giá tr c c ti u b ng -1 ho c C Hàm s có giá tr l n nh t b ng giá tr nh nh t b ng -3 D Hàm s đ t c c đ i t i x  (Trích đ thi th THPT chuyên V Thanh H u Giang) B yCT  3yCÐ C yCT  yCÐ D yCT  yCÐ Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3) y  f  x  xác đ nh, liên t c Câu 16: Cho hàm s có b ng bi n thiên: 1  +  - +  B f  1 đ có b ng bi n thiên nh hình v bên M nh đ sau  x y + y   +  c g i m c c đ i c a hàm s c g i giá tr c c ti u c a hàm s C Hàm s đ ng bi n kho ng  1;  1;    A Hàm s B Hàm s C Hàm s D Hàm s cho có hai m c c tr cho khơng có giá tr c c đ i cho có m t m c c tr cho khơng có giá tr c c ti u sau A Hàm s có giá tr c c ti u  48 C Hàm s ch có m t giá tr c c ti u B Hàm s có hai giá tr c c ti u  D Hàm s có giá tr c c ti u  đ i  giá tr c c 48 Trích đ thi th THPT chuyên ĐH Vinh l n 1) Kh ng đ nh sau sai A M  0;  đ y  f  x  liên t c Trích đ thi th THPT chuyên ĐH Vinh l n 1) Câu 21: Cho hàm s y  x  x  x M nh đ y  x3  2x là: A yCT  yCÐ  - Câu 20: Hàm s tr c c ti u yCT c a hàm s y y B x  1 C x  D x  Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2) y  x  3x  đ t c c tr đ i t i m sau A x  2 B x  1 C x  0; x  D x  0; x  Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Trãi H i D ng Câu 15: H th c liên h gi a giá tr c c đ i yCÐ giá  y  x  3x   A x  1 -3 x B y  B C D Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2) Câu 19: Tìm t t c m c c đ i c a hàm s + Câu 14: Hàm s x 2 D x  y   A y   x  2 C y  x  A +  y y  x  4x  y  x4  x2  đ t c c ti u t i: Câu 12: Hàm s y c g i m c c ti u c a hàm s Câu 22: Cho hàm s y   x  1 x   Trung m c a đo n th ng n i hai m c c tr c a đ th hàm s n m đ ng th ng d i A 2x  y   B 2x  y   C 2x  y   D 2x  y   Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Quang Diêu) Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Câu 23: Cho hàm Ngọc Huyền LB f s có f   x   x  x  1  x   v i m i x  đ o hàm S m c c tr f c a hàm s B A Trích đ thi th T p chí Tốn h c Tu i tr l n & THPT chuyên KHTN l n Câu 24: Cho hàm s y  f ( x) liên t c có b ng bi n thiên nh sau  x + y   0 +   -4 Kh ng đ nh sau kh ng đ nh SAI ? A Hàm s đ ng bi n kho ng (0; ) B Hàm s đ t c c ti u t i x  C Hàm s đ t c c ti u t i x  2 D Hàm s ngh ch bi n kho ng ( 2; 0) Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn Câu 25: Cho hàm s y  f ( x) có f '( x)  ( x  1)2 ( x  2) xác đ nh sau m nh đ A Hàm s y  f ( x) đ ng bi n đ o hàm M nh đ kho ng ( 2; ) B Hàm s y  f ( x) đ t c c đ i t i x  2 C Hàm s y  f ( x) đ t c c ti u t i x  D Hàm s y  f ( x) ngh ch bi n kho ng ( 2;1) Trích đ thi th THPT chun Lê Qu Đơn Câu 26: K t lu n sau v c c tr c a hàm s y  x5 x B Hàm s khơng có c c tr C Hàm s có m c c ti u x  ln D Hàm s có m c c đ i x  ln Vĩnh Phúc II Tìm u ki n đ hàm s có c c tr th a mãn u ki n cho tr c Câu 27: V i giá tr c a m hàm s y  x  m2 x   4m   x  đ t c c đ i t i x  ? A m  m  3 B m  C m  3 D m  1 Trích đ thi th S GD ĐT Hà Tĩnh Câu 28: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m cho hàm s A 3 B 3 D (Trích đ thi th S GD ĐT Nam Đ nh) Câu 30: Tìm m đ hàm s : y   x  mx2  m2  m  x  đ t c c tr t i m x1 , x2 th a mãn x1  x2  A m  2 B m  2 C Không t n t i m D m  Trích đ thi th THPT chuyên Vĩnh Phúc l n 3) Câu 31: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m cho hàm s y  x   m  1 x  3mx  đ t c c tr t i m x0  A m  1 B m  m  C D m  2 Câu 32: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m y  x4  2mx2  m2  m có m t m cho hàm s c c tr A m  B m  C m  D m  Câu 33: Tìm t t c giá tr th c c a tham s a 1 cho hàm s y  x3  x2  ax  đ t c c tr t i x1 , x2    th a mãn: x12  x2  2a x22  x1  2a  A a  B a  4 C a  3 D a  1 Trích đ thi th THPT chun Thái Bình l n 3) Câu 34: Tìm t t c giá tr th c c a m đ hàm s A Hàm s có m c c đ i x  ln Trích đ thi th THPT Yên L c y  x3  3x2  mx  có hai m c c tr x1 , x2 th a mãn x12  x2  C  -2 y B m  D m  (Trích đ thi th S GD ĐT Nam Đ nh) Câu 29: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m cho hàm s D C A m  C m  y  x3  3mx2  3m  có m c c tr y  4x3  mx2  12x đ t c c ti u t i m x  2 A m  9 B m  C Không t n t i m D m  Trích đ thi th THPT chun Thái Bình l n 3) Câu 35: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m cho hàm s y  mx4   m2   x2  có hai c c ti u m t c c đ i A m   ho c  m  B   m  C m  D  m  Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng Hà N i) Câu 36: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m cho đ th hàm s y  x4  2mx2  2m có ba m c c tr t o thành tam giác có di n tích b ng Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 A m  cho di n tích tam giác IAB đ t giá tr l n nh t m có giá tr là: B m  C m  1 The best or nothing D m  Trích đ thi th S GD ĐT Nam Đ nh) y  x  3mx   1 Cho A  2;  , Câu 37: Cho hàm s  1 tìm m đ đ th hàm s có hai m c c tr B C cho tam giác ABC cân t i A 1 3 A m  B m  C m  D m  2 2 Trích đ thi th THPT chuyên Nguy n Trãi H i D ng Câu 38 Tìm t t c giá tr th c c a tham s m y  x4  2mx2  2m  m4 có ba m cho đ th hàm s c c tr t o thành m t tam giác đ u A m  3 B m   3 C m   3 D m   3 (Trích đ thi th THPT chuyên V Thanh Câu 39: Tìm đ đ th m H u Giang) hàm s y  x4  2(m  1)x2  2m  có ba m c c tr l p thành tam giác đ u? A m  B m   3 C m   3 D m   Trích đ thi th THPT Cơng Nghi p Câu 40: Cho hàm s hàm s ba đ nh c a m t tam giác vuông cân? D m  2 C m  Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Câu 41: Cho hàm s C  m Ninh Bình) y  x4  mx2  2m  có đ C  Tìm t t c giá tr c a m đ m có th m c c tr v i g c t a đ t o thành b n đ nh c a m t hình thoi 1 2 2 D m  Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Ninh Bình) Câu 44: Cho hàm s C m    y  2 x3   2m  1 x  m2  x  H i có t t c giá tr nguyên c a tham s m đ hàm s cho có hai m c c tr A B C D Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng Câu 45: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ hàm s y  x  x   m  1 x  có hai c c tr C m   D m   3 Trích đ thi th THPT Phan Đình Phùng Câu 46: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm 1 s y  x3   m   x  mx có c c đ i, c c ti u A m  B m   B m  6 C m  6; 0 D m  0; 6 Trích đ thi th THPT chuyên ĐHSP l n 2) Câu 47: Bi t đ th hàm s y  ax3  bx2  cx  d có m c c tr  1;18   3; 16  Tính a  b  c  d B A C D Trích đ thi th THPT chuyên KHTN l n 3) Câu 48: V i giá tr c a c a tham s th c m x1 m c c ti u c a hàm s y  x3  mx  m2  m  x ?   A m   ho c m  1  A m  2; 1 B m  2 B Không có giá tr m C m  1 D khơng có m C m   ho c m   D m   ho c m   Trích đ thi th THPT chuyên Phan B i Châu) Câu 42: Cho hàm s y  x4  2mx2  2m  m4 V i giá tr c a m đ th C  m có m c c tr đ ng th i m c c tr t o thành m t tam giác có di n tích b ng B m  16 A m  C m  16 D m   16 Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Ninh Bình) Câu 43: Đ ng th ng qua m c c đ i, c c ti u c a đ B m  A m  Hịa Bình) y  x4  2mx2  m2  Tìm m đ B m  1 2 xCĐ  xCT  hàm s có m c c tr m c c tr c a đ th A m  A m  th hàm s y  x3  3mx  c t đ I  1;1 , bán kính b ng t i ng tròn tâm m phân bi t A, B Đ Trích đ thi th THPT chuyên KHTN l n 3) Câu 49: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ   hàm s : y   m2  5m x3  6mx2  x  đ t c c ti u t i x1 A Khơng có giá tr th c c a m th a mãn yêu c u đ B m  C m  2;1 D m  2 Trích đ thi th THPT Tr n H ng Đ o Câu 50: Cho hàm s Ninh Bình) f ( x)  x2  ln( x  m) Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ hàm s cho có hai m c c tr A m  B m  c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 Ngọc Huyền LB C m   D m  Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn Câu 51: Cho hàm s f ( x)  3mx4  8mx3  12(m  1)x2 Trích đ thi th THPT chuyên S n La l n 1) mx2  x  m  Đ ng 2x  th ng n i hai m c c tr c a đ th hàm s y Câu 58: Cho hàm s T p h p t t c giá tr th c c a tham s m đ hàm s cho có c c ti u 2 A ( ; 1)  ( 1;  )  (0; ) B ( ;  )  (0; ) 3 2 C ( ; 1)  ( 1;  ]  (0; ) D (  ; 0) 3 Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn Câu 59: Đ ng th ng n i m c c đ i v i m c c Câu 52: Cho đ th hàm s ti u c a đ th hàm s y  f ( x)  ax  bx  c có hai m c c tr A(0; 1) B( 1; 2) Tính giá tr c a vng góc v i đ nh t m b ng Trích đ thi th t p chí Tốn h c & Tu i tr l n 7) A y    m  x  x  x  có c c tr ? Trích đ thi th THPT Yên L c Vĩnh Phúc Câu 54: Cho hàm s y  x  mx   2m  1 x  Tìm C m  hàm s có c c đ i c c ti u D m  hàm s có c c tr Trích đ thi th THPT chuyên Phan B i Châu)  y  mx4  m2  x2  có hai m c c đ i m t m c c ti u A 3  m  B  m  C m  3 D  m Câu 56: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ x bi t x1 ; x2 cho x1  x2   27 C m  3 D m  Trích đ thi th THPT Ngô Gia T - Vĩnh Phúc B m  Câu 57: Bi t A  1;  , B  3; 4  m c c tr c a đ th hàm s y  ax  bx  cx  d  a   Tính giá tr c a hàm s t i x  A y  1  B y  1  2 C y  1  D y  1  f  x  x  m  n (v i m, n x 1 tham s th c) Tìm m, n đ hàm s đ t c c đ i t i x  2 f  2   2 A Không t n t i giá tr c a m, n B m  1; n  C m  n  đ ng th ng qua hai m c c tr có ph A y  2x  m2  6m   ng trình  B y  m2  m  x  m2  6m  C y  2x  m  6m  ng trình  2m.3  m  có hai nghi m phân A m   D m t giá tr khác Trích đ thi th THPT chuyên Phan B i Châu) ph C Trích đ thi th THPT chuyên H ng Yên l n Câu 61: Gi s đ th hàm s y  x  3mx   m   x  có hai c c tr Khi B Hàm s ln có c c đ i c c ti u x B 1 D m  n  2 A m  hàm s có hai m c c tr  y  x3  x  m qua m Trích đ thi th t p chí Toán h c & Tu i tr l n 7) m nh đ sai Câu 55: Tìm m đ hàm s D A Câu 60: Cho hàm s B m  1 D m  A m  C  m  C 1 B M  3; 1 m b ng abc A B C D Trích đ thi th THPT chuyên Lê Qu Đôn Câu 53: Tìm t t c giá tr c a m đ hàm s ng phân giác c a góc ph n t th D T t c đ u sai Trích đ thi th THPT Ph m Văn Đ ng) Câu 62: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ ba m c c tr c a đ th hàm s y  x   6m   x   m ba đ nh c a m t tam giác vuông: A m  C m  1 D m  3 Trích đ thi th THPT Nguy n Đình Chi u) Câu 63: V i giá tr c a m đ th hàm s B m  y  x4  2m2 x2  có ba c c tr t o thành tam giác vuông cân A m  B m  C m  1 D m  2 (Trích đ thi th THPT Ph m Văn Đ ng Phú Yên) Câu 64: Tìm m đ C  : y  x m  2mx  có c c tr đ nh c a m t tam giác vuông cân: A m  4 B m  1 C m  D m  (Trích đ thi th THPT Qu ng X Cơng Phá Tốn by Ngọc Huyền LB ® m ng I Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing Đ c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT I Các dạng tính tốn thơng thường liên quan ến cực trị Câu Đáp án A L i gi i: T p xác đ nh: D  y  4x y'   x  Tuy nhiên h s c a x hàm s Suy hàm s khơng có m c c đ i Phân tích sai l m: Nhi u đ c gi ch n ln B, có m t m không xét kĩ xem x  m c c đ i hay m c c ti u c a hàm s y  x  x   y '   4x x2    x  m c c tr Xem l i STUDY TIP đ i v i hàm b c b n trùng ng có d ng y  ax  bx  c  a   N u ab  hàm s có m c c tr x  Nh n th y   Vì hàm s có hai m c c tr x1 , x2  x1 , x2 nghi m c a ph ng trình x  x   Theo đ nh lí Vi ét ta có: x1  x2  8 c x  suy m c c đ i c a đ y   3x  x  y    x  1   x  Ta có b ng bi n thiên: x   + +  f x c a hàm s y   x  D Nên hàm s đ ng bi n Câu m c c tr nhiên k t lu n sai l m, b i  Tuy r ng y   t i x  nh ng x  không c c tr Đ n có nhi u đ c gi k t lu n ln hàm s có hai khơng đ i d u, b i Đáp án B Chú ý: Phân bi t giá tr l n nh t (nh nh t) c c đ i (c c ti u) ph n lý thuy t v GTLN GTNN đ c tơi trình bày chun đ sau Ph ng án A Sai: 1 giá tr c c ti u giá tr c c đ i  0, x Do v y hàm s ch có m t m c c tr x  Câu d ng N (m o Lúc ta suy đ T nhanh Nh n th y y   x  1  , x  x  Ta th y f   x     x   x  1 nhanh Nh n th y hàm s cho có h s a   có hai m c c tr nên đ th hàm s có V y hàm s đ ng bi n Đáp án B T y  x  x  x1 V y m c c đ i c a đ th hàm s I  0;1 y T p xác đ nh: D  qua 3 y m c c tr Đáp án B Câu  T p xác đ nh: D  Cách 2: Câu + Câu Đáp án A Nh n th y hàm b c b n trùng ph ng có h s a, b d u nên có nh t m t m c c tr Câu Đáp án D T p xác đ nh: D  V y hàm s có  th hàm s I  0; 1 Cách 1: ph   m c c đ i c a hàm s Đáp án A V y hàm s có 0 + y  x4  100  hàm s có nh t m t m c c ti u Câu  x y y Đáp án B T p xác đ nh: D  Ph ng án B Đúng Ph ng án C Sai: Giá tr c c đ i Ph ng án D Sai: N u nói hàm s đ t c c ti u ph i nói t i x  1 A  1; 1 m c c ti u c a đ y   3x  x th hàm s x  y   3x  x      x  Câu Ta có b ng bi n thiên: Ta có: D  Đ t t ng t v i B  1;  ) Đáp án B \1; 1 c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ Cơng Phá Tốn tập – Lớp 12 The best or nothing Ph ng án A Đúng Do qua x  y đ i d u t d ng sang âm nên hàm s v n đ t c c tr t i x  Ph ng án B Nh n th y hàm s không đ t c c ti u t i x  t i x  hàm s khơng xác đinh Ph y  x  x  B ng bi n thiên  x ng án C Đúng Do lim y    x  1 ti m c n đ ng c a đ th x 1  y   x x    x   y     y lim y    x  ti m c n đ ng c a đ th x 1 Ph ng án D Đúng Do lim y  3  y  3 ti m c n ngang c a đ th x  lim y   y  ti m c n ngang c a đ th x  Câu Ph Đáp án D ng án A Sai: T p xác đ nh: D  y   Ph  x  1 \1  nên hàm s khơng có c c tr Do đ th hàm s có d ng parabol có đ nh ng xu ng d Câu ng án C Sai: Hàm phân th c b c nh t b c Đáp án D T p xác đ nh: D  Đáp án A Sai Do hàm s có c c tr Đáp án B Sai Hàm s đ t c c ti u t i x1  1 x2  hàm s có giá tr c c ti u t nh t) c c đ i (c c ti u) Đáp án D Đúng  y   2x 2x2    x  Câu Đáp án V y hàm s có m t m c c tr T p xác đ nh: D  (Ho c dùng STUDY TIP cho hàm b c b n trùng y   3x  x ng ta th y 1  0;    1  3    Hàm s có m t m c c tr x  ) x  y   3x  x      x  Câu B ng bi n thiên: Đáp án C T p xác đ nh: D  Đ t x t ng ng 3 Đáp án C Sai: Chú ý phân bi t giá tr l n nh t (nh ng án D Đúng T p xác đ nh D  y  4x3  6x ph i) D a vào b ng bi n thiên ta có: ng án B Sai: T p xác đ nh D   nhanh: Khơng dùng b ng bi n thiên, ta có a   nên hàm s có nh t m t m c c ti u h nh t ln khơng có c c tr Ph T x0 y  9x2  2016  nên hàm s khơng có c c tr Ph V y hàm s đ t c c ti u t i x  x y y t   Khi y  t  4t   + 0 -1   +  y   3t  8t 5  V y hàm s đ t c c tr t i x  0; x   t  ( t / m)  x    t  ( t / m)  x    3 T nhanh K t lu n hàm s đ t c c tr t i y    t  3t    x  0; x  hàm b c ba ho c khơng có c c tr , ho c có hai c c tr (STUDY TIP nói B ng bi n thiên: x  y y   +   +   175  27 Do v y hàm s có m c c tr Continue (M i em quý th y cô đ c tr n v n Công phá Toán đ c m nh n đ y đ tâm huy t c a Ng c Huy n LB su t tháng làm vi c) Đ t tr c t i: http://cpt.gr8.com/ Lovebook xin chân thành c 175  27 Câu 12: Đáp án B T p xác đ nh: D  Đ t c ch nh t t i: http://cpt.gr8.com/ ... y đ o hàm c a hàm s cho đ i d u nh sau x y'' + + V y hàm s cho ln có m t m c c đ i m t m c c ti u v i m i tham s m B Các dạng toán liên quan ến cực trị D ng Xác đ nh m c c tr c a hàm s hàm s ,... nh Ví d : Hàm s y  x có đ o hàm khơng t n t i x  nh ng đ t c c ti u t i x0 Ví d Hàm s y  f  x  có đ o hàm f ''  x    x  1  x   Phát bi u sau A Hàm s B Hàm s C Hàm s D Hàm s có m... ti u c a đ th hàm s y  ax  bx  cx  d,  a   3.3 Xét hàm phân th c Tr c tiên ta xét toán liên quan đ n c c tr hàm phân th c nói chung Ta có m t k t qu quan tr ng nh sau Xét hàm s d ng f