ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THANH TÌNH VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHIẾM HÀM Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu Mã số chuyên ngành: 62 46 2001 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tp Hồ Chí Minh, 2016 Công trình hoàn thành tại: Bộ môn tối ưu hệ thống, Khoa Toán–Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Hữu Anh Ngọc Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn Phản biện 2: GS TSKH Đỗ Công Khanh Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Đình Phư Phản biện độc lập 1: TS Nguyễn Anh Tú Phản biện độc lập 2: TS Đỗ Đức Thuận Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, vào lúc giờ, ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh - Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh i Mở đầu MỞ ĐẦU Lý thuyết Tối ưu lý thuyết Điều khiển có mối quan hệ mật thiết chúng bổ sung cho Nhiều phương pháp, lý thuyết Tối ưu dùng lý thuyết Điều khiển, đặc biệt việc giải toán điều khiển xuất phát từ thực tế Ngược lại, toán điều khiển thường khởi nguồn cho lý thuyết mới, kĩ thuật mới, phương pháp Tối ưu Do giao thoa ngành Tối ưu Điều khiển ngày lớn, mối quan hệ, kết hợp toán tối ưu toán điều khiển ngày trở nên rõ ràng hơn, tinh tế hơn, xem Một số toán ổn định, ổn định vững, điều khiển hệ động lực thực chất toán tối ưu toàn cục: chẳng hạn toán tính bán kính ổn định bán kính điều khiển hệ tuyến tính dừng chịu nhiễu cộng tính, xem 10 11 Một vài lớp toán ổn định hóa, toán điều khiển hệ động lực quy việc giải toán tối ưu, toán quy hoạch tuyến tính, xem 12 13 14 15 Đặc biệt, vấn đề ổn định nghiệm hệ động lực phần tất yếu số toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn “bài toán Burke, J.V and Lewis, A S., Overton, M L (2001), Optimal stability and eigenvalue multiplicity, Foundations of Computational Mathematics, (2), 205-225 Burke, J., Lewis, A and Overton, M (2001), Optimizing matrix stability, Proceedings of the American Mathematical Society, 129 (6), 1635-1642 Lewis, A.S (2003), The mathematics of eigenvalue optimization, Mathematical Programming, 97 (1-2), 155-176 Lewis, A.S (2007), Nonsmooth optimization and robust control, Annual Reviews in Control, 31, 167-177 Rami, M.A and Ghaoui, L.E (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671 Shaikhet, L (2015), Optimal Control of Stochastic Difference Volterra Equations, Springer Sinha, A , (2007), Linear systems: optimal and robust control, CRC Press, 2007 Xia, Y., Leung, H and Wang, J (2002), A projection neural network and its application to constrained optimization problems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 49 (4), 447-458 Hinrichsen, D and Pritchard, A J (1996), Stability radii of systems with stochastic uncertainty and their optimization by output feedback, SIAM journal on control and optimization, 34 (6), 1972-1998 10 Ngoc, P.H.A., Naito, T and Shin, J.S (2006), Global optimization problems in stability analysis of linear dynamical systems, Proceeding of the second multidisciplinary international symposium on positive systems: Theory and applications (POSTA 06), Grenoble, France, Springer 11 Eising, R (1984), Between controllable and uncontrollable, Syst Control Lett., 4, 263-264 12 Liu, X., Wang, L., Yu, W and Zhong, S (2008), Constrained control of positive discrete-time systems with delays, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, 55 (2), 193-197 13 Rami, M.A and Ghaoui, L.E (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671 14 Rami, M.A., Helmke, U and Tadeo, F (2007), Positive observation problem for linear time-delay positive systems, Mediterranean Conference on Control & Automation, MED07, IEEE 15 Vanbiervliet, J., Verheyden, K., Michiels, W and Vandewalle, S (2008), A nonsmooth optimisation approach for the stabilisation of time-delay systems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 14 (03), 478-493 Mở đầu điều khiển tối ưu loại H2 /H∞ 16 ” hệ động lực (xem 17 18 19 20 21 ) Chính vậy, việc giải toán ổn định nghiệm hệ động lực bước bắt buộc số toán điều khiển tối ưu Như tác động ngược, số kết phương pháp từ lý thuyết tối ưu ngày dùng thường xuyên để giải nhiều lớp toán ổn định, toán điều khiển hệ động lực, xem 22 23 24 25 26 27 Ranh giới ngành Tối ưu Điều khiển ngày bị xóa nhòa Lý thuyết ổn định hệ động lực có lịch sử 100 năm bắt đầu kể từ nhà toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov (1857-1918) xuất công trình tiên phong mình, xem 28 29 Đến lý thuyết ổn định hệ động lực có bước phát triển đạt nhiều thành tựu vượt bậc Đồng hành với thành tựu, phát triển lý thuyết Tối ưu lý thuyết Điều khiển, lý thuyết ổn định hệ động lực nói chung hệ phương trình vi phân phiếm hàm nói riêng phát triển không ngừng Các phương trình vi phân phiếm hàm xuất nhiều lĩnh vực khoa học khác như: Sinh học, Khoa học máy tính, Lý thuyết điều khiển, Vật lý, Kinh tế học (xem 30 31 32 33 34 ) Trong 16 H2 /H∞ control problem Chang, W.J and Chung, H.Y (1993), A study of H∞ norm and variance-constrained design using dynamic output feedback for linear discrete systems, International Journal of Control, 57 (2), 473- 483 18 Haddad, W.M and Bernstein, D.S., (1990), Generalized Riccati equations for the full- and reducedorder mixed-norm H2 /H∞ standard problem, System & Control Letters, 14, 185-197 19 Haddad, W.M., Bernstein, D.S and Mustafa, D (1991), Mixed norm H2 /H∞ regulation and estimation: The discrete-time case, Systems & Control Letters, 16, 235-247 20 Muradore, R and Picci, G (2005), Mixed H2 /H∞ control: the discrete-time case, Systems & Control Letters, 54 (1), 1-13 21 Zhou, K., Doyle, J.C and Glover, K (1996), Robust and optimal control, Vol 40, New Jersey: Prentice hall 22 Burke, J.V., Henrion, D., Lewis, A.S and Overton, M.L (2006), Stabilization via nonsmooth, nonconvex optimization, IEEE Transactions on Automatic Control, 51 (11), 1760-1769 23 Burke, J.V., Lewis, A.S and Overton, M.L (2002), Two numerical methods for optimizing matrix stability, Linear Algebra and its Applications, 351, 117-145 24 Burke, J.V., Lewis, A.S and Overton, M.L (2003), Optimization and pseudospectra, with applications to robust stability, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 25 (1), 80-104 25 Lewis, A.S (2007), Nonsmooth optimization and robust control, Annual Reviews in Control, 31, 167-177 26 Rami, M.A and Ghaoui, L.E (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671 27 Vanbiervliet, J., Verheyden, K., Michiels, W and Vandewalle, S (2008), A nonsmooth optimisation approach for the stabilisation of time-delay systems, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, 14 (03), 478-493 28 Lyapunov, A.M (1884), On the stability of ellipsoidal figures of equilibrium of a rotating fluid (in Russian), Bulletin Astronomique 29 Lyapunov, A.M (1892), General problem of the stability of motion (in Russian) 30 Hale, J and Lunel, S M V (1993), Introduction to Functional Differential Equations New York: Springer-Verlag 31 Haddad, W.M., Chellaboina, V.S and Hui, Q (2010) Nonnegative and Compartmental Dynamic equations, Princeton University Press 32 Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2005), Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness, Vol 1, Springer 33 Luenberger, D.G (1979), Introduction to dynamic equations: Theory, Models and Aplications, John Wiley & Son, New York 34 Smith, H (2011), An Introduction to Delay Differential Equations with Sciences Applications to the 17 Mở đầu thập niên gần đây, lý thuyết phương trình vi phân phiếm hàm có phát triển vượt bậc đối tượng nghiên cứu nhiều nhà khoa học nhiều lĩnh vực khác Nói riêng, thúc đẩy nhiều ứng dụng khoa học kĩ thuật, toán ổn định ổn định vững phương trình vi phân phiếm hàm thu hút nhiều quan tâm nhà nghiên cứu giới Lý thuyết tổng quan ổn định phương trình vi phân phiếm hàm (với chậm hữu hạn vô hạn) trình bày tương đối đầy đủ số sách chuyên khảo 35 36 37 38 39 40 Tuy nhiên, nhiều toán ổn định hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian, đặc biệt lớp hệ phi tuyến phụ thuộc thời gian toán mở cần nghiên cứu sâu hệ thống Thực tế, toán loại khó, gai góc, đầy thách thức mang tính thời Cách tiếp cận truyền thống toán ổn định hệ phương trình vi phân phiếm hàm phương pháp hàm Lyapunov biến dạng hàm Lyapunov-Krasovskii, hàm Lyapunov-Razumikhin, xem 41 42 43 44 45 46 47 48 Suốt 100 năm qua, hàm Lyapunov sử dụng rộng rãi xem công cụ việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Tuy nhiên, lớp hệ phụ thuộc thời gian, đặc biệt hệ phi tuyến, khó để xây dựng hàm Lyapunov Hơn nữa, kết thu từ phương pháp hàm Lyapunov thường cho dạng bất đẳng thức ma trận bất đẳng Life, Texts in Applied Mathematics 57, Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London 35 Haddad, W.M., Chellaboina, V.S and Hui, Q (2010) Nonnegative and Compartmental Dynamic equations, Princeton University Press 36 Hinrichsen, D and Pritchard, A.J (2005), Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness, Vol 1, Springer 37 Hino, Y., Murakami, S., Naito, T (1991), Functional-differential equations with infinite delay, Lecture Notes in Mathematics, 1473 Springer-Verlag, Berlin 38 Luenberger, D.G (1979), Introduction to dynamic equations: Theory, Models and Aplications, John Wiley & Son, New York 39 Shaikhet, L (2011), Lyapunov functionals and stability of stochastic difference equations, London, Springer 40 Smith, H (2011), An Introduction to Delay Differential Equations with Sciences Applications to the Life, Texts in Applied Mathematics 57, Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London 41 Dashkovskiy, S and Naujok, L (2010) Lyapunov-Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii theorems for interconnected ISS time-delay systems, Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) 5-9 July, 2010, Budapest, Hungary, 1180-1184 42 Fridman, E (2001), New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems, Systems & Control Letters 43, 309-319 43 Fridman, E (2006), Stability of systems with uncertain delays: A new complete LyapunovKrasovskii functional, IEEE Transactions on Automatic Control 51, 885-890 44 Hale, J and Lunel, S M V (1993), Introduction to Functional Differential Equations New York: Springer-Verlag 45 Kolmanovskii, V.B and Nosov, V R (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press 46 Wang, F (2007), Exponential asymptotic stability for nonlinear neutral systems with multiple delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 8, 312-322 47 Yang, M (2011), Exponential convergence for a class of Nicholsons blowflies model with multiple time-varying delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 12, 2245-2251 48 Zhang, B., Lam, J., Xu, S and Shu, Z (2010), Absolute exponential stability criteria for a class of nonlinear time-delay systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11, 1963-1976 Mở đầu thức vi phân phức tạp khó sử dụng, xem 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Ngoài việc sử dụng hàm Lyapunov, khứ xuất vài cách tiếp cận khác toán ổn định phương trình vi phân phiếm hàm như: sử dụng bất đẳng thức loại Halanay, nguyên lý so sánh nghiệm, định lý kiểu Razumikhin, (xem 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 tài liệu tham khảo đó) Mỗi phương pháp tiếp cận nói có ưu điểm hạn chế định thường phù hợp với vài lớp phương trình cụ thể Như nói trên, toán ổn định phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian nói chung thường khó phức tạp Các điều kiện ổn định tường minh, dễ sử dụng nhiều việc tìm điều kiện ổn định đòi hỏi phải có ý tưởng đột phá mặt kĩ thuật Chính vậy, việc phát 49 Boyd, S., Ghaoui, L.E., Feron, E and Balakrishnan, V (1994) Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol 15, Philadelphia: SIAM 50 Dashkovskiy, S and Naujok, L (2010) Lyapunov-Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii theorems for interconnected ISS time-delay systems, Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) 5-9 July, 2010, Budapest, Hungary, 1180-1184 51 Fridman, E (2001), New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems, Systems & Control Letters 43, 309-319 52 Fridman, E (2006), Stability of systems with uncertain delays: A new complete LyapunovKrasovskii functional, IEEE Transactions on Automatic Control 51, 885-890 53 Hale, J and Lunel, S M V (1993), Introduction to Functional Differential Equations New York: Springer-Verlag 54 Jiang, M., Shen, Y., Liao, X (2005), On the global exponential stability for functional differential equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 10, 705-713 55 Kolmanovskii, V.B and Nosov, V R (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press 56 Wang, F (2007), Exponential asymptotic stability for nonlinear neutral systems with multiple delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 8, 312-322 57 Yang, M (2011), Exponential convergence for a class of Nicholsons blowflies model with multiple time-varying delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 12, 2245-2251 58 Zhang, B., Lam, J., Xu, S and Shu, Z (2010), Absolute exponential stability criteria for a class of nonlinear time-delay systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11, 1963-1976 59 Boyd, S., Ghaoui, L.E., Feron, E and Balakrishnan, V (1994) Linear matrix inequalities in system and control theory, Vol 15, Philadelphia: SIAM 60 Dashkovskiy, S and Naujok, L (2010) Lyapunov-Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii theorems for interconnected ISS time-delay systems, Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) 5-9 July, 2010, Budapest, Hungary, 1180-1184 61 Fridman, E (2001), New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems, Systems & Control Letters 43, 309-319 62 Fridman, E (2006), Stability of systems with uncertain delays: A new complete LyapunovKrasovskii functional, IEEE Transactions on Automatic Control 51, 885-890 63 Hale, J and Lunel, S M V (1993), Introduction to Functional Differential Equations New York: Springer-Verlag 64 Jiang, M., Shen, Y., Liao, X (2005), On the global exponential stability for functional differential equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 10, 705-713 65 Kolmanovskii, V.B and Nosov, V R (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press 66 Wang, F (2007), Exponential asymptotic stability for nonlinear neutral systems with multiple delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 8, 312-322 67 Yang, M (2011), Exponential convergence for a class of Nicholsons blowflies model with multiple time-varying delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 12, 2245-2251 68 Zhang, B., Lam, J., Xu, S and Shu, Z (2010), Absolute exponential stability criteria for a class of nonlinear time-delay systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11, 1963-1976 Mở đầu triển kĩ thuật để tìm điều kiện đủ, điều kiện cần đủ tường minh cho tính ổn định, ổn định vững lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian, đặc biệt lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian nhu cầu cấp thiết có ý nghĩa khoa học cao Thực tế, đề tài khó thời sự, đòi hỏi người nghiên cứu phải làm việc nghiêm túc nỗ lực công việc suốt thời gian dài Đây lí thúc đẩy chọn đề tài “Về tính ổn định số lớp phương trình vi phân phiếm hàm” để nghiên cứu viết Luận án Tiến sĩ cho Mục tiêu Luận án là: - Trình bày tiếp cận toán ổn định hệ phương trình vi phân phiếm hàm (với thời gian chậm hữu hạn vô hạn) - Nghiên cứu điều kiện đủ cho tính ổn định mũ lớp hệ sau: + Hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn vô hạn + Hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian (với chậm hữu hạn vô hạn) - Tìm biên ổn định cho hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính chịu nhiễu có cấu trúc nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian - Ứng dụng kết đạt vào mô hình mạng nơ ron nhân tạo Cách tiếp cận Luận án dựa Định lý PerronFrobenius nguyên lý so sánh nghiệm Ý tưởng cách tiếp cận tìm cách “chặn trên” hệ xét hệ dương Sử dụng Định lý Perron-Frobenius, suy điều kiện ổn định tường minh cho hệ dương dùng nguyên lý so sánh nghiệm chứng minh điều kiện ổn định hệ dương điều kiện ổn định hệ xét Ưu điểm cách tiếp cận điều kiện ổn định thu đơn giản, tường minh, biểu diễn trực tiếp thông qua ma trận hệ thống “biên trên” chúng Hơn nữa, cách tiếp cận hữu hiệu nhiều loại hệ khác mà lớp hệ khác xét Luận án minh chứng Bố cục Luận án trình bày sau: Mục lục, danh mục chữ viết tắt kí hiệu, mở đầu, nội dung Luận án (gồm chương), kết luận, tài liệu tham khảo, danh mục công trình công bố tác giả liên quan đến Luận án Nội dung Luận án gồm chương: - Chương Kiến thức chuẩn bị - Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn - Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn Mở đầu Chương dành để trình bày số kiến thức sở sử dụng chương sau Chương nghiên cứu toán ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm với chậm hữu hạn Cụ thể, trình bày loạt điều kiện đủ mới, tường minh cho tính ổn định mũ lớp hệ sau đây: - Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính tổng quát (Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.7, Hệ 2.2.7) - Các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm (Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.2) - Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.6) Ngoài ra, thu biên ổn định cho hệ tuyến tính (dừng phụ thuộc thời gian) chịu nhiễu có cấu trúc nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9) Một số ví dụ cho để minh họa cho kết đạt (Ví dụ 2.1.1, Ví dụ 2.1.2, Ví dụ 2.2.1, Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.3, Ví dụ 2.2.5, Ví dụ 2.2.6) Hơn nữa, áp dụng kết thu (Định lý 2.2.5) vào việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân mạng nơ ron nhân tạo (Ví dụ 2.2.4) Các kết thu tổng quát cải tiến kết có 69 70 71 Chương trình bày số điều kiện ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm (tuyến tính phi tuyến) phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn Nói cách khái quát, kết chương (Định lý 3.1.1, Định lý 3.2.1) khẳng định hệ phương trình vi phân (tuyến tính phi tuyến) phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn bị “chặn trên” hệ tuyến tính dừng, dương, ổn định mũ, hệ xét ổn định mũ Xa nữa, thu kết biên ổn định hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.5) Các kết Định lý 3.1.5 mở rộng kết biên ổn định hệ phương trình vi phân thường tuyến tính dừng chịu nhiễu có cấu trúc (xem 72 ) cho hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian Cuối cùng, Định lý 3.2.1 cung cấp tiêu chuẩn tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phi tuyến tổng quát với chậm vô hạn Các kết thu áp dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân nhiều loại mạng nơ ron nhân tạo khác Luận án viết dựa báo khoa học, số báo xuất tạp chí Toán học Quốc tế có uy tín như: Mathematics of Control, Signals, and Systems; Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences; Taiwaneses Journal of Mathematics; Vietnam Journal of Mathematics Nói tóm lại, với ý tưởng tiếp cận mới, Luận án trình bày loạt điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân 69 Cao, J and Wang, L (2002), Exponential stability and periodic oscillatory solution in BAM networks with delays, IEEE Transactions on Neural Networks 13, 457-463 70 Driessche, P and Zou, X.(1998) , Global attractivity in delayed Hopfield neural network models, Siam Journal on Applied Mathematics 58, 1878-1890 71 Zhang, J (2003), Globally exponential stability of neural networks with variable delays, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 50, 288-290 72 Son, N.K and Hinrichsen, D (1996), Robust stability of positive continuous-time systems, Numer Funct Anal Optim, 17, 649-659 Mở đầu phiếm hàm với chậm hữu hạn chậm vô hạn Các kết Luận án có ý nghĩa khoa học đóng góp đầy ý nghĩa lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân Hơn nữa, kết thu áp dụng vào số toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn toán “điều khiển tối ưu loại H2 /H∞ ” hệ vi phân Chúng nghiên cứu toán điều khiển tối ưu thời gian tới Các kết Luận án báo cáo xê-mi-na nhóm Lý thuyết điều khiển (Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh); Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ (Thành phố Nha Trang, tháng năm 2013); Hội nghị Khoa học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (tháng 11 năm 2014); Hội nghị Tối ưu tính toán khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, tháng năm 2015); Hội nghị ứng dụng Toán học - Vật lý khoa học công nghệ trường Đại học Công Nghệ Thực Phẩm Tp Hồ Chí Minh (tháng 06 năm 2015); Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ (Thành phố Quy Nhơn, tháng năm 2015); Hội nghị khoa học công nghệ lần thứ XIV, Đại học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh (tháng 10 năm 2015) Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số qui ước kiến thức sở sử dụng chương sau Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn 2.2 Ổn định mũ hệ phụ thuộc thời gian 2.2.1 Điều kiện ổn định mũ hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian Trong mục này, trình bày số tiêu chuẩn tường minh tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn cho m Ak (t)x(t − hk (t)) + x(t) ˙ = A0 (t)x(t) + B(t, s)x(t + s)ds, t ≥ σ, (2.18) −h(t) k=1 Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2.18) gọi ổn định mũ tồn số thực K ≥ β > cho x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ , ∀t ≥ σ, ∀ϕ ∈ C Định lý 2.2.1 Hệ (2.18) ổn định mũ điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tồn β1 > p ∈ Rn+ , p cho m |Ak (t)|e M (A0 (t)) + β1 hk (t) |B(t, s)|e−β1 s ds p −β1 p, (2.19) |B(t, s)|e−β2 s ds ≤ B0 , ∀t ∈ R; (2.20) + −h(t) k=1 với t ∈ R; (ii) Tồn β2 > ma trận B0 ∈ Rn×n ổn định Hurwitz cho m |Ak (t)|eβ2 hk (t) + M (A0 (t)) + −h(t) k=1 (iii) Tồn A0 ∈ Rn×n B0 ∈ Rn×n cho + M (A0 (t)) ≤ A0 , m ∀t ∈ R, (2.21) |Ak (t)| + |B(t, s)|ds ≤ B0 , ∀t ∈ R, (2.22) −h(t) k=1 A0 + B0 ổn định Hurwitz (0) Hệ 2.2.2 Giả sử tồn A0 := (aij ) ∈ Rn×n Ak ∈ Rn×n + , k ∈ m hàm ma n×n trận liên tục C(·) : [−h, 0] → R+ cho (2.21) |Ak (t)| ≤ Ak , ∀t ∈ R, k ∈ m; Nếu ma trận m k=0 Ak + −h |B(t, s)| ≤ C(s), ∀t ∈ R, ∀s ∈ [−h, 0] C(s)ds, ổn định Hurwitz (2.18) ổn định mũ 11 (2.26) Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn Nhận xét 2.2.1 Trong sách kinh điển phương trình vi phân phiếm hàm , cách xây dựng phiếm hàm loại Razumikhin, người ta phương trình vi phân tuyến tính có chậm m x(t) ˙ = −a(t)x(t) − bk (t)x(t − hk (t)), k=1 ổn định mũ cho tất hàm liên tục bị chặn a(·), bk (·), hk (·) ∈ C(R, R), k ∈ m, a(t) ≥ δ > 0, m k=1 |bk (t)| ≤ θδ, < θ < 1, ≤ hk (t) ≤ h, với t ∈ R Kết suy từ Hệ 2.2.2 Một kết tương tự tìm thấy Các tác giả rằng: x(t) ˙ = −ax(t) + b(t)x(t − h), đó, a, h > b(·) ∈ C(R, R), ổn định mũ supt≥t0 |b(t)| < a Một lần nữa, khẳng định hiển nhiên Hệ 2.2.2 Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức loại Hallanay, tác giả phương trình t x(t) ˙ = −a(t)x(t) − b(t) x(s)ds, (2.27) t−τ đó, a(·), b(·) ∈ C(R, R), ổn định mũ tồn số thực dương a, η cho < a(t) ≤ a, t ∈ R a(t) − τ |b(t)| inf ≥ η > (2.28) t∈R + τ |b(t)| Chúng ta kết hệ Định lý 2.2.1 Dễ thấy, et < + 32 t, t ∈ (0, β), với β > đủ nhỏ Lấy < β1 < min{ βτ , η} Từ (2.28) suy −a(t) + |b(t)|e−β1 s ds ≤ −a(t) + τ |b(t)|eβ1 τ < −a(t) + τ |b(t)|(1 + β1 τ ) −τ (2.28) ≤ −β1 , ∀t ∈ R Vì vậy, điều kiện (i) Định lý 2.2.1 thỏa mãn (2.27) ổn định mũ Trong phần mục này, xét toán ổn định hệ (2.18) chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian Các kết mục mở rộng kết trình bày mục 2.1.2 Giả sử tất giả thiết Hệ 2.2.2 thỏa mãn, (2.18) ổn định Hale, J and Lunel, S M V (1993), Introduction to Functional Differential Equations New York: Springer-Verlag Kolmanovskii, V.B and Nosov, V R (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press Jiang, M., Shen, Y., Liao, X (2005), On the global exponential stability for functional differential equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 10, 705-713 12 Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn mũ Xét hệ chịu nhiễu có dạng m Ak (t)x(t − hk (t))+ x(t) ˙ = (A0 (t) + D0 (t)∆0 (t)E0 (t))x(t) + k=1 m Dk (t)∆k (t)Ek (t)x(t − τk (t)) + (B(t, s) + D(t, s)δ(t, s)E(t, s))x(t + s)ds, (2.29) −h(t) k=1 Bài toán đặt tìm số thực γ > cho hệ chịu nhiễu (2.29) ổn định mũ độ lớn nhiễu bé γ Định lý 2.2.3 Giả sử tất điều kiện Hệ 2.2.2 thỏa mãn Giả sử n×lk n×l , Em+1 ∈ , Ek ∈ Rq+k ×n , ∆k ∈ Rl+k ×qk với k ∈ m0 Dm+1 ∈ R+ tồn Dk ∈ R+ q×n l×q R+ , δm+1 (·) ∈ C([−h, 0], R+ ) cho |Dk (t)| ≤ Dk , |Ek (t)| ≤ Ek , |∆k (t)| ≤ ∆k , ∀t ∈ R, ∀k ∈ m0 , (2.30) |D(t, s)| ≤ Dm+1 , |E(t, s)| ≤ Em+1 , |δ(t, s)| ≤ δm+1 (s), ∀t ∈ R, ∀s ∈ [−h, 0] (2.31) Khi đó, hệ chịu nhiễu (2.29) ổn định mũ m δm+1 (s) ds ∆k + −h k=0 < maxi,j∈{0,1, ,m+1} Ei (A0 + m k=1 Ak + −h C(s)ds)−1 Dj (2.32) Cho trước ma trận A ∈ Rn×n Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn xác định m Ak (t)x(t − hk (t)) + x(t) ˙ = (A + A0 (t))x(t) + B(t, s)x(t + s)ds (2.36) −h(t) k=1 Hệ 2.2.4 Giả sử M (A) ổn định Hurwitz Khi đó, hệ (2.36) ổn định mũ n×n tồn Ak ∈ Rn×n + , k ∈ m0 C(·) ∈ C([−h, 0], R+ ) cho |Ak (t)| ≤ Ak , ∀t ∈ R, k ∈ m0 ; m Ak + k=0 |B(t, s)| ≤ C(s), ∀t ∈ R, ∀s ∈ [−h, 0], C(s) ds < −h M (A)−1 Sau hai ví dụ minh họa cho kết đạt (Ví dụ 2.2.1, Ví dụ 2.2.2) 13 Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn 2.2.2 Điều kiện ổn định mũ hệ phi tuyến Trong mục này, trình bày vài kết tính ổn định mũ cho lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian Một cách cụ thể hơn, trước tiên, phát biểu chứng minh số điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian Tiếp theo, trình bày biên ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính dương có chậm chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian Một số ví dụ cho để minh họa kết thu Xét hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian xác định x(t) ˙ = f (t, x(t)) + g(t; xt ), t ≥ σ, (2.40) đó, (i) Với t ∈ R, xt (·) ∈ C xác định xt (θ) := x(t + θ), θ ∈ [−h, 0], với h > cho trước; (ii) f (·, ·) : R × Rn → Rn , hàm liên tục cho trước Lipschitz (địa phương) theo biến thứ hai, theo t đoạn compact R f (t, 0) = 0, với t ∈ R; (iii) g(·; ·) : R × C → Rn , hàm liên tục cho trước cho g(t; 0) = 0, ∀t ∈ R g(t; ϕ) Lipschitz (địa phương) theo ϕ tập compact R × C Khi đó, với σ ∈ R cố định hàm ϕ ∈ C cho trước, hệ (2.40) có nghiệm (địa phương), kí hiệu x(·; σ, ϕ), thỏa mãn điều kiện đầu xσ (s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], (2.41) Định nghĩa 2.2.2 (i) Nghiệm không (2.40) gọi ổn định mũ (viết tắt ES) tồn số thực dương r, K, β cho với σ ∈ R ϕ ∈ Cr , nghiệm x(·; σ, ϕ) (2.40)-(2.41) xác định [σ − h, +∞) thỏa mãn x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) , ∀t ≥ σ (ii) Nghiệm không (2.40) gọi ổn định mũ toàn cục (viết tắt GES) tồn số thực dương K, β cho với σ ∈ R ϕ ∈ C, nghiệm x(·; σ, ϕ) (2.40)-(2.41) xác định [σ − h, +∞) thỏa mãn x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ , ∀t ≥ σ (0) n×n ) η(·, ·) : Định lý 2.2.5 Giả sử A0 (·) := (aij (·)) ∈ C(R, Rn×n ), A1 (·) ∈ C(R, R+ R × [−h, 0] → Rn×n cho η(t, ·) := (ηij (t, ·)) ∈ N BV0 ([−h, 0], Rn×n ), với t ∈ R L(t; ϕ) : R × C → Rn L(t; ϕ) := dθ [η(t, θ)]ϕ(θ), −h 14 ϕ ∈ C, (2.42) Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn liên tục theo t với ϕ ∈ C Giả sử rằng, với t ∈ R, f (t, ·) khả vi liên tục Rn thỏa mãn điều kiện ∂fi (0) (t, x) ≤ aij (t), ∀i, j ∈ n, i = j, ∂xj ∂fi (0) (t, x) ≤ aii (t), ∀i ∈ n; ∂xi (2.43) với t ∈ R, x ∈ Rn |g(t; ϕ)| ≤ A1 (t)|ϕ(0)| + |L(t; ϕ)|, ∀t ∈ R, ∀ϕ ∈ C (2.44) Đặt B(t) := (V ar[−h,0] ηij (t, ·)) ∈ Rn×n , t ∈ R (2.45) Khi đó, nghiệm không (2.40) ES điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tồn β1 > p ∈ Rn+ , p cho A0 (t) + A1 (t) + eβ1 h B(t) p −β1 p, ∀t ∈ R; (2.46) (ii) Tồn β2 > ma trận B0 ∈ Rn×n ổn định Hurwitz cho A0 (t) + A1 (t) + eβ2 h B(t) ≤ B0 , ∀t ∈ R; (2.47) (iii) Tồn A0 ∈ Rn×n B0 ∈ Rn×n cho + A0 (t) ≤ A0 ; A1 (t) + B(t) ≤ B0 , ∀t ∈ R, (2.48) A0 + B0 ổn định Hurwitz Hơn nữa, với t ∈ R, L(t; ·) toán tử dương nghiệm không (2.40) GES điều kiện (i), (ii), (iii) thỏa mãn Như trường hợp riêng, xét hàm L(·, ·) xác định m L(t; ϕ) := Ak (t)ϕ(−hk (t)) + B(t, s)ϕ(s)ds, t ∈ R, ϕ ∈ C (2.50) −h k=2 Hệ 2.2.6 Giả sử L(t; ϕ) xác định (2.50) Giả sử A0 (·) ∈ C(R, Rn×n ) A1 (·) ∈ C(R, Rn×n + ) cho Định lý 2.2.5 (2.43)-(2.44) thỏa mãn Khi đó, nghiệm không (2.40) GES điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tồn β1 > p ∈ Rn+ , p cho m A0 (t) + A1 (t) + e β1 h |Ak (t)| + e β1 h |B(t, s)|ds p −h k=2 15 −β1 p, ∀t ∈ R; (2.51) Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn (ii) Tồn β2 > ma trận B0 ∈ Rn×n ổn định Hurwitz cho m β2 h |Ak (t)| + e A0 (t) + A1 (t) + e β2 h |B(t, s)|ds ≤ B0 , ∀t ∈ R; (2.52) −h k=2 (iii) Tồn A0 ∈ Rn×n B0 ∈ Rn×n cho + m A0 (t) ≤ A0 ; |Ak (t)| + |B(t, s)|ds ≤ B0 , ∀t ∈ R, (2.53) −h k=1 A0 + B0 ổn định Hurwitz Hai ví dụ minh họa cho kết đạt (Ví dụ 2.2.3, Ví dụ 2.2.4) Trong phần mục này, xét toán ổn định vững hệ (2.8) chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian Giả sử (2.8) GES Xét hệ chịu nhiễu m Ak x(t − hk ) + F t; x(t − τ1 (t)), , x(t − τm (t)) , (2.76) x(t) ˙ = A0 x(t) + f (t, x(t)) + k=1 k Định lý 2.2.9 Giả sử (2.8) hệ dương GES Giả sử tồn Dk ∈ Rn×l ; Ek ∈ + qk ×n lk ×qk R+ ; ∆k ∈ R+ , k ∈ m0 cho |f (t; u)| ≤ D0 ∆0 E0 |u|, ∀t ∈ R+ , ∀u ∈ Rn ; (2.77) m Dk ∆k Ek |uk |, ∀t ∈ R+ ; ∀u1 , , um ∈ Rn |F (t; u1 , , um )| ≤ (2.78) k=1 Khi đó, hệ chịu nhiễu (2.76) GES (2.12) Sau hai ví dụ minh họa cho kết đạt (Ví dụ 2.2.5, Ví dụ 2.2.6) 2.3 Kết luận Trong chương này, trình bày tiếp cận hữu hiệu toán ổn định mũ hệ phương trình vi phân phiếm hàm với chậm hữu hạn Cách tiếp cận dựa Định lý Perron-Frobenius nguyên lý so sánh nghiệm Từ đó, thu loạt điều kiện đủ mới, tường minh cho tính ổn định mũ lớp hệ sau đây: - Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính tổng quát (Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.7, Hệ 2.2.7) - Các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm (Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.2) - Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.6) 16 Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn Ngoài ra, thu biên ổn định cho hệ tuyến tính (dừng phụ thuộc thời gian) chịu nhiễu có cấu trúc nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9) Một số ví dụ cho để minh họa cho kết đạt (Ví dụ 2.1.1, Ví dụ 2.1.2, Ví dụ 2.2.1, Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.3, Ví dụ 2.2.5, Ví dụ 2.2.6) Hơn nữa, áp dụng kết thu (Định lý 2.2.5) vào việc nghiên cứu toán ổn định điểm cân mạng nơ ron nhân tạo (Ví dụ 2.2.4) Các kết thu tổng quát cải tiến kết có Cao, J and Wang, L (2002), Exponential stability and periodic oscillatory solution in BAM networks with delays, IEEE Transactions on Neural Networks 13, 457-463 Driessche, P and Zou, X.(1998) , Global attractivity in delayed Hopfield neural network models, Siam Journal on Applied Mathematics 58, 1878-1890 Zhang, J (2003), Globally exponential stability of neural networks with variable delays, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications 50, 288-290 17 Chương ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI CHẬM VÔ HẠN Trước tiên trình bày vài điều kiện đủ cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn cho ∞ Ak (t)x(t − hk (t)) + x(t) ˙ = A0 (t)x(t) + k=1 B(t, s)x(t + s)ds, t ≥ σ, (3.1) −∞ (Định lý 3.1.1) Sau đó, trình bày vài kết biên ổn định hệ (3.1) chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian Cuối mở rộng kết phát biểu cho hệ tuyến tính cho hệ phi tuyến (Định lý 3.2.1) 3.1 3.1.1 Ổn định mũ hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn Điều kiện ổn định mũ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn (3.1) Với γ > cho trước Cγ := {ϕ ∈ C(R− , Rn ) : lim eγθ ϕ(θ) ∈ Rn } θ→−∞ Để ý rằng, Cγ không gian Banach với chuẩn ϕ := supθ∈R− eγθ ϕ(θ) Cγ bao hàm hàm liên tục bị chặn R− nhận giá trị Rn Với σ ∈ R cho trước, xét cho (3.1) điều kiện đầu: x(σ + s) = ϕ(s), s ∈ R− 18 (3.2) Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn Định nghĩa 3.1.1 Hàm liên tục x(·) : R → Rn gọi nghiệm toán giá trị đầu (3.1) (3.2) (i) x(·) khả vi liên tục [σ, ∞), thỏa mãn (3.1) với t ≥ σ; (ii) x(·) thỏa mãn điều kiện đầu (3.2) Trong suốt mục này, giả sử rằng: n×n (H1 ) Tồn ma trận Ak ∈ R+ , k ∈ N cho ∞ eγhk Ak < ∞ |Ak (t)| ≤ Ak , ∀t ∈ R, ∀k ∈ N k=1 (H2 ) Tồn hàm C(·) : R− → Rn×n liên tục cho + |B(t, s)| ≤ C(s), ∀t ∈ R, ∀s ∈ R− e−γs C(s) ds < ∞ −∞ Với ϕ ∈ Cγ cho trước, hệ (3.1)-(3.2) có nghiệm kí hiệu x(·; σ, ϕ) Định nghĩa 3.1.2 (1 ) Hệ (3.1) gọi ổn định mũ Cγ0 (0 < γ0 ≤ γ), tồn số thực dương K, β cho với σ ∈ R với ϕ ∈ Cγ0 , nghiệm x(·; σ, ϕ) toán giá trị đầu (3.1)-(3.2) thỏa mãn điều kiện x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ , ∀t ≥ σ (0) Định lý 3.1.1 Giả sử giả thiết (H1 ) (H2 ) thỏa mãn A0 (t) := (aij (t)), (0) t ∈ R Giả sử tồn A0 := (aij ) ∈ Rn×n cho (0) (0) (0) (0) ∞ aii (t) ≤ aii , ∀t ∈ R, i ∈ n |aij (t)| ≤ aij , ∀t ∈ R, ∀i = j, i, j ∈ n (3.4) Nếu ma trận M := A0 + Ak + k=1 C(s)ds, (3.5) −∞ ổn định Hurwitz (3.1) ổn định mũ Cγ0 với γ0 thuộc đoạn (0, γ] Nhận xét 3.1.3 Chúng ta thảo luận điều kiện ổn định phụ thuộc vào chậm Trên thực tế, từ chứng minh Định lý 3.1.1, (3.1) ổn định mũ Cγ0 , γ0 ∈ (0, γ], (H1 ) (H2 ) điều kiện sau thỏa mãn (i) Tồn β > p ∈ Rn+ , p cho ∞ M (A0 (t)) + e k=1 βhk (t) e−βs |B(t, s)|ds p |Ak (t)| + −βp, ∀t ∈ R; (3.12) −∞ Kato, J (1978), Stability problem in functional differential equations with infinite delay, Funkcial Ekvac 21, 63-80 19 Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn (ii) Tồn β > B ∈ Rn×n , µ(B) < cho ∞ e−βs |B(t, s)|ds ≤ B, eβhk (t) |Ak (t)| + M (A0 (t)) + k=1 ∀t ∈ R (3.13) −∞ Định lý 3.1.2 Giả sử (H1 ) (H2 ) Khi đó, hệ (3.1) ổn định mũ Cγ0 với γ0 ∈ (0, γ] điều kiện (i), (ii) Nhận xét 3.1.3 Hệ 3.1.4 Giả sử A0 ∈ Rn×n ma trận Metzler, Ak ∈ Rn×n + , k ∈ N C(·) : R− → n×n R+ hàm ma trận liên tục cho ∞ e γhk e−γs C(s) ds < ∞, Ak < ∞ ∞ Ak x(t − hk ) + với γ > Khi đó, hệ x(t) ˙ = A0 x(t) + C(s)x(t + s)ds, ổn định −∞ k=1 ∞ mũ Cγ0 với γ0 ∈ (0, γ] µ A0 + Ak + k=1 3.1.2 (3.16) −∞ k=1 C(s)ds < −∞ Ổn định hệ chịu nhiễu Trong mục này, nghiên cứu toán ổn định hệ (3.1) chịu tác động nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian Giả sử tất điều kiện Định lý 3.1.1 thỏa mãn hệ (3.1) ổn định mũ Cγ0 với γ0 ∈ (0, γ] Xét hệ chịu nhiễu dạng ∞ Ak (t)x(t − hk (t))+ x(t) ˙ = (A0 (t) + D0 (t)∆0 (t)E0 (t))x(t) + (3.17) k=1 ∞ Dk (t)∆k (t)Ek (t)x(t − τk (t)) + k=1 (B(t, s) + D(t, s)δ(t, s)E(t, s))x(t + s)ds −∞ Bài toán đặt tìm số dương r cho hệ chịu nhiễu (3.17) ổn định mũ Cγ∗ với γ∗ > 0, tổng độ lớn nhiễu bé r Định lý 3.1.5 Giả sử tất điều kiện Định lý 3.1.1 thỏa mãn Giả sử n×l k tồn Dk ∈ Rn×l , Ek ∈ Rq+k ×n , ∆k ∈ Rl+k ×qk với k ∈ N0 D ∈ R+ , E ∈ Rq×n + , + δ0 (·) : R− → Rl×q cho + (H3 ) |Dk (t)| ≤ Dk , |Ek (t)| ≤ Ek , |∆k (t)| ≤ ∆k , ∀t ∈ R, ∀k ∈ N0 ; (H4 ) |D(t, s)| ≤ D, |E(t, s)| ≤ E, |δ(t, s)| ≤ δ0 (s), (H5 ) supk∈N Dk < ∞, supk∈N Ek < ∞; 20 ∀t ∈ R, ∀s ∈ R− ; Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn ∞ e−γ1 s δ0 (s) ds < ∞ eγ1 τk ∆k < ∞ (H6 ) ∃γ1 > : −∞ k=1 Khi đó, hệ chịu nhiễu (3.17) ổn định mũ Cγ∗ với γ∗ ∈ (0, min(γ0 , γ1 )) ∞ δ0 (s) ds ∆k + −∞ k=0 < supP ∈Ξ; Q∈Θ P (A0 + ∞ k=1 Ak + −∞ C(s)ds)−1 Q , (3.18) đây, γ0 cho kết luận Định lý 3.1.1 tập hợp Ξ, Θ xác định Ξ := {E, Ek : k ∈ N0 }; Θ := {D, Dk : k ∈ N0 } (3.19) Chúng ta minh họa kết thu hai ví dụ (Ví dụ 3.1.1, Ví dụ 3.1.2) 3.2 Ổn định mũ hệ phi tuyến với chậm vô hạn Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến với chậm vô hạn xác định ∞ Ak (t)x(t − hk (t)), x(t) ˙ = f (t, x(t)) + g t, x(t), B t, s, x(t + s) ds , (3.28) −∞ k=1 với t ≥ σ, đó, hk (·), Ak (·), k ∈ N Mục 3.1, giả sử (H1 ) B(·, ·, ·) : R×R− ×Rn → Rn hàm liên tục cho B(t, s, 0) = 0, với t ∈ R, s ∈ R− thỏa mãn điều kiện n×n (H2 ) Tồn hàm liên tục C(·) : R− → R+ cho |B(t, s, u) − B(t, s, v)| ≤ C(s)|u − v|, t ∈ R; s ∈ R− ; u, v ∈ Rn , (3.29) e−γs C(s) ds < ∞, với γ > (3.30) −∞ Giả sử rằng, f (·, ·) : R × Rn → Rn , f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R, g(·, ·, ·, ·) : R × Rn × Rn × Rn → Rn , g(t, 0, 0, 0) = 0, ∀t ∈ R, hàm liên tục Hơn nữa, f liên tục Lipschitz (địa phương) theo biến thứ hai tập compact R × Rn g liên tục Lipschitz (địa phương) theo ba biến sau tập compact R × Rn × Rn × Rn Với σ ∈ R cố định ϕ ∈ Cγ cho trước, tồn nghiệm (địa phương) (3.28) thỏa mãn điều kiện đầu xσ (s) = ϕ(s), s ∈ R− 21 (3.32) Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn Định nghĩa 3.2.1 (2 ) Nghiệm không (3.28) gọi ổn định mũ toàn cục Cγ0 , với γ0 ∈ (0, γ], tồn số thực dương K, β cho với σ ∈ R với ϕ ∈ Cγ0 , nghiệm x(·; σ, ϕ) (3.28) (3.32) tồn R thỏa mãn x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ , ∀t ≥ σ (3.33) Định lý sau cho điều kiện đủ tường minh để nghiệm không hệ (3.28) ổn định mũ toàn cục Cγ0 với γ0 ∈ (0, γ] Định lý 3.2.1 Giả sử rằng, (H1 ), (H2 ) với t ∈ R, f (t, ·) hàm khả vi (0) n×n liên tục Rn Giả sử tồn M0 := (mij ) ∈ Rn×n M1 , M2 , M3 ∈ R+ , cho ∂fi (0) (t, x) ≤ mii , i ∈ n; ∂xi ∂fi (0) (t, x) ≤ mij , ∀i = j, i, j ∈ n, ∂xj (3.34) với t ∈ R, x ∈ Rn |g(t, u1 , u2 , u3 )| ≤ M1 |u1 | + M2 |u2 | + M3 |u3 |, ∀t ∈ R, ∀u1 , u2 , u3 ∈ Rn (3.35) Nếu ma trận M := M0 + M1 + M2 ∞ k=1 Ak + M3 −∞ C(s)ds ổn định Hurwitz (3.28) ổn định mũ toàn cục Cγ0 với γ0 ∈ (0, γ] Một ứng dụng vào mạng nơ ron Cohen-Grossberg (Ví dụ 3.2.1) 3.3 Kết luận Bằng tiếp cận mới, nghiên cứu thành công toán ổn định mũ toàn cục hệ phương trình vi phân phiếm hàm (tuyến tính phi tuyến) phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn Một cách khái quát, kết chương (Định lý 3.1.1, Định lý 3.2.1) nói hệ phương trình vi phân (tuyến tính phi tuyến) phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn bị “chặn trên” hệ tuyến tính dừng, dương, ổn định mũ, ổn định mũ Xa nữa, thu kết biên ổn định (3.1) chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.5) Các kết Định lý 3.1.5 mở rộng kết biên ổn định hệ phương trình vi phân thường tuyến tính dừng chịu nhiễu có cấu trúc (xem ) cho hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn (3.1) chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian Cuối cùng, Định lý 3.2.1 cung cấp điều kiện ổn định mũ tường minh cho hệ phương trình vi phân phi tuyến tổng quát với chậm vô hạn Các kết thu được dùng để nghiên cứu tính ổn định mũ điểm cân mạng nơ ron nhân tạo Kato, J (1978), Stability problem in functional differential equations with infinite delay, Funkcial Ekvac 21, 63-80 Son, N.K and Hinrichsen, D (1996), Robust stability of positive continuous-time systems, Numer Funct Anal Optim, 17, 649-659 22 Kết luận kiến nghị KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các đóng góp Luận án Luận án nghiên cứu vấn đề khó thời lý thuyết ổn định phương trình vi phân phiếm hàm Các đóng góp Luận án gồm: a) Về phương pháp luận: Luận án trình bày tiếp cận hữu hiệu toán ổn định hệ phương trình vi phân phiếm hàm Cách tiếp cận dùng Luận án kết hợp tinh tế Định lý Perron-Frobenius nguyên lý so sánh nghiệm Cách tiếp cận hữu hiệu phương trình vi phân phiếm hàm với chậm hữu hạn phương trình vi phân phiếm hàm với chậm vô hạn Hơn nữa, cách tiếp cận Luận án “mở rộng” để nghiên cứu toán ổn định lớp phương trình vi phân khác như: phương trình vi phân Volterra, phương trình vi phân Volterra-Stieltjes, phương trình vi phân ngẫu nhiên, b) Về lý thuyết: Luận án trình bày loạt điều kiện ổn định mũ tường minh cho phương trình vi phân phiếm hàm với chậm hữu hạn phương trình vi phân phiếm hàm với chậm vô hạn Các kết trình bày Luận án đóng góp có ý nghĩa khoa học cho lý thuyết ổn định phương trình vi phân phiếm hàm Một cách cụ thể hơn, đóng góp mặt lý thuyết Luận án là: b1 ) Đối với lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm với chậm hữu hạn: - Các điều kiện ổn định so sánh cho hệ phương trình vi phân phiếm hàm (Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.7) - Các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn (Định lý 2.2.1) - Các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phi tuyến phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn (Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.6, Hệ 2.2.7, Hệ 2.2.8) - Các biên ổn định cho hệ phương trình vi phân tuyến tính (dừng phụ thuộc thời gian) với chậm hữu hạn chịu nhiễu có cấu trúc nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9) - Áp dụng kết thu vào việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân mạng nơ ron nhân tạo (Ví dụ 2.2.4) b2 ) Đối với lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm với chậm vô hạn: - Các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn (Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.2, Nhận xét 3.1.4, Hệ 3.1.3, Hệ 3.1.4) 23 Kết luận kiến nghị - Các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ hệ phương trình vi phân phi tuyến phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn (Định lý 3.2.1, Nhận xét 3.2.2) - Biên ổn định cho hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.5) - Áp dụng kết thu vào việc nghiên cứu tính ổn định điểm cân mạng nơ ron nhân tạo (Ví dụ 3.2.1) Hướng phát triển vấn đề nghiên cứu - Kế thừa, phát triển kĩ thuật cách tiếp cận dùng Luận án để nghiên cứu toán ổn định lớp hệ sau: + Hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên + Hệ phương trình vi phân có chậm dạng trung hòa + Hệ phương trình vi phân Volterra + Hệ phương trình vi phân sai phân kết hợp (coupled difference and differential systems) + Hệ phương trình vi phân đại số (algebraic differential systems) - Áp dụng kết thu vào số toán điều khiển tối ưu 24 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN Bài báo khoa học liên quan trực tiếp đến Luận án: P H A Ngoc and C T Tinh (2014), New criteria for exponential stability of linear time-varying differential systems with delay, Taiwaneses Journal of Mathematics, Vol 18, No 6, 1759-1774 (SCI) P H A Ngoc and C T Tinh (2015), Robust stability of positive linear time delay systems under time-varying perturbations, Bulletin of the Polish Academy of Sciences, Technical Sciences, Vol 63, No 4, 947-954 (SCIE) P H A Ngoc and C T Tinh (2016), Explicit criteria for exponential stability of time-varying systems with infinite delay, Mathematics of Control, Signals, and Systems(MCSS), Vol 28:4, 1-30 (SCI) P H A Ngoc and C T Tinh (2016), Exponential stability of functional differential systems, Vietnam Journal of Mathematics, DOI 10.1007/s10013-016-0193-z P H A Ngoc and C T Tinh, Stability analysis of linear non-autonomous functional differential equations, submitted Báo cáo khoa học kết Luận án: Báo cáo Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8, Thành phố Nha Trang, ngày 12 tháng 08 năm 2013 Báo cáo Hội nghị khoa học lần thứ 9, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 11 năm 2014 Báo cáo Hội thảo ứng dụng Toán học - Vật lý khoa học công nghệ, Đại học Công Nghệ Thực Phẩm Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 06 năm 2015 Báo cáo Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất, Thành phố Quy Nhơn, ngày 12 tháng 08 năm 2015 Báo cáo Hội nghị khoa học công nghệ lần thứ XIV, Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 10 năm 2015 Báo cáo Xê-mi-na học thuật Nhóm Lý thuyết điều khiển (Trường Đại học Quốc tế - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) 25 ... cứu toán ổn định lớp phương trình vi phân khác như: phương trình vi phân Volterra, phương trình vi phân Volterra-Stieltjes, phương trình vi phân ngẫu nhiên, b) Về lý thuyết: Luận án trình bày... nghiên cứu toán ổn định lớp hệ sau: + Hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên + Hệ phương trình vi phân có chậm dạng trung hòa + Hệ phương trình vi phân Volterra + Hệ phương trình vi phân sai phân kết hợp... Chương Ổn định mũ hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn 2.2.2 Điều kiện ổn định mũ hệ phi tuyến Trong mục này, trình bày vài kết tính ổn định mũ cho lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi