TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* Nguyễn Diệu Thảo PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: SP Toán Hà Nội - 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* Nguyễn Diệu Thảo PHÂN LOẠI VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TUYẾN TÍNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Kiên Cường Hà Nội - 2017 Lời cảm ơn Sau thời gian cố gắng làm việc, hướng dẫn tận tình, tỉ mỉ TS Bùi Kiên Cường, khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường, người giúp đỡ hướng dẫn em suốt trình học tập, nghiên cứu làm khóa luận Bằng nỗ lực thân khóa luận hoàn thành Song khuôn khổ thời gian có hạn lực thân nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô để thân tiếp tục hoàn thiện trình học tập Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Diệu Thảo Lời cam đoan Quá trình nghiên cứu khóa luận với đề tài "Phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính" giúp em hiểu sâu sắc môn giải tích đại, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng Qua bước đầu giúp em làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Bên cạnh em nhận quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện, đặc biệt hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình TS Bùi Kiên Cường Em xin cam đoan kết đề tài "Phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính" trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Diệu Thảo Mục lục Mở đầu Khái niệm mở đầu kiến thức sở 1.1 Khái niệm đạo hàm riêng 1.2 Không gian hàm 1.3 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.4 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Sự phân loại đặc trưng 11 2.1 Biểu trưng biểu thức vi phân 12 2.2 Phân loại đặc trưng phương trình bậc hai 14 2.3 Phân loại đặc trưng phương trình bậc cao hệ phương trình 19 2.4 Phân loại đặc trưng phương trình phi tuyến 22 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 24 3.1 Hàm giải tích thực 25 3.2 Sự làm trội định lý Cauchy-Kovalevskaya 30 3.3 3.2.1 Sự làm trội 30 3.2.2 Định lý Cauchy-Kovalevskaya 30 Phương trình đạo hàm riêng vô nghiệm 33 MỤC LỤC Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Nguyễn Diệu Thảo Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp nhiều toán có liên quan đến phương trình đạo hàm riêng Tuy đời muộn so với ngành toán học khác phương trình đạo hàm riêng nhanh chóng khẳng định vị trí tầm quan trọng khoa học nói chung toán học nói riêng Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng khởi đầu việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp lĩnh vực vật lý học Chẳng hạn phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt Đó phương trình đại diện cho lớp phương trình thuộc loại Elliptic, Hyperpolic, Parabolic Để nghiên cứu sâu phân loại phương trình đạo hàm riêng khái niệm đặc trưng với số vấn đề tính đặt đắn, tồn nghiệm toán Cauchy, nên em chọn đề tài "Phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính" Mục đích nghiên cứu Để nghiên cứu sâu phân loại phương trình đạo hàm riêng khái niệm đặc trưng với số vấn đề tính đặt đắn, MỤC LỤC tồn nghiệm toán Cauchy Đối tượng nghiên cứu Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phạm vi nghiên cứu Phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận liên qua đến phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính • Nghiên cứu định nghĩa liên quan đến phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính • Nghiên cứu định lý, bổ đề liên quan đến phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính • Nghiên cứu ví dụ liên quan đến phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu • Căn vào mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu đề tài, em thu thập, sưu tầm số tài liệu, sách, báo, tạp chí, công trình nghiên cứu khoa học, thông tin mạng Internet để phục vụ cho việc nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có • Phần 1: Mở đầu • Phần 2: Nội dung +Chương 1:Khái niệm mở đầu kiến thức sở Nguyễn Diệu Thảo MỤC LỤC +Chương 2: Sự phân loại đặc trưng +Chương 3: Định lý Kovalevskaya • Phần 3: Kết luận • Phần 4: Tài liệu tham khảo Nguyễn Diệu Thảo Chương Khái niệm mở đầu kiến thức sở 1.1 Khái niệm đạo hàm riêng Giả sử e1 , e2 , , en sở tắc trng không gian Rn , U tập mở Rn , f : U −→ R hàm số n biến số, x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ U Giới hạn f (x + tei ) − f (x) t→0 t lim (1.1) tồn gọi đạo hàm riêng thứ i hàm f x hay đạo ∂f hàm riêng theo biến xi hàm f x kí hiệu Di f (x) hay (x) ∂xi fxi (x) Nếu hàm f có tất đạo hàm riêng Di f (x) (i = 1, 2, , n) điểm x ∈ U đạo hàm riêng hàm liên tục U ta nói f thuộc lớp C U kí hiệu f ∈ C (U ) 1.2 Không gian hàm • Phần tử α = (α1 , α2 , , αn ) gọi đa số Cấp α là: |α| = α1 + α2 + · · · + αn (1.2) ∂ |α| u ∂xα1 ∂xα2 ∂xαnn (1.3) • Kí hiệu: Dα u = Chương Định lý Cauchy-Kovalevskaya Định lý Cauchy Kovalevskaya khẳng định tổng quát tồn nghiệm địa phương hệ phương trình đạo hàm riêng với điều kiện ban đầu mặt không đặc trưng Các hệ số phương trình, liệu ban đầu mặt mà chúng bắt buộc phải giải tích Đây hạn chế ngặt mà nói chung bỏ qua Hơn thấy định lý không phân biệt toán đặt chỉnh không đặt chỉnh; bao gồm tình mà thay đổi nhỏ liệu dẫn đến thay đổi lớn nghiệm Với lý này, định lý quan trọng thực tiễn Trong lịch sử, định lý tồn cho lớp tổng quát phương trình đạo hàm riêng số định lý mà phép chứng minh công cụ giải tích hàm Chúng ta trình bày phát biểu chứng minh định lý cho hệ bậc tựa tuyến tính có dạng ∂ui = ∂xn n−1 N akij (p) k=1 j=1 ∂uj + bi (p) i = 1, , N ∂xk (3.1) với p viết tắt vecto (x1 , , xn−1 , u1 , , uN ), hàm akij bi giả thiết giải tích Các điều kiện ban đầu ui = , xn = 0, 24 i = 1, , N (3.2) 3.1 HÀM GIẢI TÍCH THỰC Một toán giá trị ban đầu không đặc trưng tổng quát hệ phương trình đạo hàm riêng luôn thu gọn dạng (3.1), (3.2); ta thảo luận chi tiết thuật toán Ta bắt đầu phần cách xem xét vài thông tin hàm giải tích thực 3.1 Hàm giải tích thực Các hàm giải tích hàm mà biểu diễn địa phương chuỗi lũy thừa Ta nên sử dụng kí hiệu đa số viết chuỗi lũy thừa hàm n biến công thức cα xα f (x) = (3.3) α với α = (α1 , , αn ) đa số xα có nghĩa giới thiệu phương trình (2.6) Ta ý theo dõi chuỗi lũy thừa: Giả sử (3.3) Hội tụ tuyệt đối x = y mà tất thành phần y khác không Khi hội tụ tuyệt đối miền D = {x ∈ Rn | |xi | < |yi | , i = 1, , n} hội tụ tuyệt đối tập compact D Trong D, chuỗi lũy thừa (3.3) bị lấy vi phân qua số hạng Ta nhận ước lượng với đạo hàm Cho |xi | < q |yi |, với i = 1, , n, ≤ q < Ta tính Dβ f (x) = cα Dβ xα = α≥β cα α≥β α! xα−β , (α − β)! (3.4) Dβ f (x) ≤ ≤ Nguyễn Diệu Thảo α! |cα | q |α−β| yα−β (α − β)! α≥β α! α sup (|c | | y |) q |α−β| α β |y | α (α − β)! α≥β 25 3.1 HÀM GIẢI TÍCH THỰC Ta có β! α! q |α−β| = , n+|β| (α − β)! (1 − q) α≥β (3.5) với M = (1 − q)−n sup(|cα | |yα |), r = (1 − q)min |yi | α i (3.6) cuối ta thu Dβ f (x) ≤ M |β|!r−|β| (3.7) Ta có cα = α D f (0) α! (3.8) Với sơ ta sẵn sàng định nghĩa hàm giải tích thực Định nghĩa 3.1 Cho f hàm giá trị thực xác định tập mở Ω ⊆ Rn Ta gọi f giải tích thực y có lân cận không y mà f miêu tả chuỗi Taylor cα (x − y)α f (x) = (3.9) α Ta nói f giải tích thực Ω giải tích thực điểm Ω Hàm vecto hàm có giá trị ma trận gọi giải tích phần tử chúng giải tích Biểu trưng C ω (Ω) dùng để lớp hàm giải tích Ω, với C ∞ (Ω) hàm số có đạo hàm tất bậc Rõ ràng C ω (Ω) ⊂ C ∞ (Ω) Như hàm chỉnh hình biến phức, hàm giải tích có tính chất liên tục Định lý 3.2 Cho Ω miền (nghĩa tập mở liên thông) cho f g giải tích Ω Nếu cho vài điểm x0 ∈ Ω, ta có Dα f (x0 ) = Dα g(x0 ) với α f = g Ω Nguyễn Diệu Thảo 26 3.1 HÀM GIẢI TÍCH THỰC Chứng minh Cho S = {x ∈ Ω | Dα f (x) = Dα g(x)∀α} (3.10) Khi S giao tập đóng tương đối Ω; S tự đóng tương đối Mặt khác S mở, y ∈ S , hệ số Taylor f g phù hợp điểm y f = g lân cận y Vì Ω liên thông, theo giả thiết, S = ∅, ta cần có S = Ω Nếu f giải tích điểm y, đạo hàm f thỏa mãn công thức (3.7) vài lân cận y Nó tạo từ tính chất đặc trưng hàm giải tích thực Định nghĩa 3.3 Cho f xác định lân cận điểm y Với số dương M r ra, ta nói f ∈ CM,r (y) f lớp C ∞ lân cận y Dβ f (y) ≤ M |β|!r−|β| ∀β (3.11) Định lý 3.4 Cho Ω tập mở cho f ∈ C ∞ (Ω) Khi f ∈ C ω (Ω) khi: Với tập compac S ⊂ Ω tồn số dương M r với f ∈ CM,r (y) với y ∈ S Chứng minh Nếu f ∈ C ω (Ω), với y ∈ Ω ta tìm môt lân cận N (y) số M (y) r(y) cho (3.11) giữ N (y) Một số hữu hạn lân cận S thỏa mãn để đưa giới hạn cực đại M giới hạn cực tiểu r Ngược lại chọn x ∈ Ω cho S hình cầu đóng bán kính s tâm x, với s chọn đủ nhỏ cho S ⊂ Ω Cho M, r giá trị mà f ∈ CM,r (y) với y ∈ S Ta chứng minh f (y) = α Nguyễn Diệu Thảo α D f (x)(y − x)α , α! (3.12) 27 3.1 HÀM GIẢI TÍCH THỰC n i=1 |yi với d := − xi | < min(r, s) Sao cho y, ta giới thiệu hàm vô hướng φ(t) := f (x + t(y − x)) (3.13) Ta tính toán, với số nguyên j ≥ ≤ t ≤ 1, dj = j! dtj |α|=j ≤ f (x + t(y − x))(y − x)α α! M |α|=j |α|! −|α| r |(y − x)α | α! = M r−j dj Từ định lý Taylor, ta tìm j−1 f (y) = φ(1) = k=0 (k) φ (0) + φ(j) (rj ) k! j! (3.14) với ≤ τj ≤ Số hạng lại (3.14) bị chặn Mr−j dj dần đến với d < r Do có (3.12) Các hàm giải tích thực đặc trưng hạn chế hàm giải tích phức Một cách rõ ràng Nếu chuỗi Taylor (3.9) hội tụ tuyệt đối, nói |x − y| < r, hội tụ phần tử x cho phức Theo tất hàm giải tích thực mở rộng đến tập phẳng phức, chuỗi lũy thừa lấy vi phân số hạng số hạng, hàm mở rộng khác Mặt khác, xét hàm lấy vi phân f (z) n biến phức, xác định lân cận điểm x, nói miền bao gồm tập S = {z ∈ C n | |zi − xi | ≤ r, i = 1, · · · , n} Chọn y phần ảo S Ứng dụng công thức Cauchy lặp lặp lại với hàm Nguyễn Diệu Thảo 28 3.1 HÀM GIẢI TÍCH THỰC biến phức đơn, ta tìm f (y) = (2πi)−n Γ1 z1 − y1 Γ2 ··· z2 − y2 Γn f (z)dzn dzn−1 · · · dz1 zn − yn (3.15) với Γi hình tròn định hướng dương zi − xi = r Bây ta viết 1 = zi − yi (zi − xi )(1 − yi −xi zi −xi ) khai triển chuỗi hình học theo lũy thừa (3.16) yi − xi Đưa chuỗi zi − xi vào (3.15) ta cα (y − x)α , f (y) = (3.17) α với cα = (2πi)−n 1 ··· 1+α 1+α2 Γ2 (z2 − x2 ) Γ1 (z1 − x1 ) f (z)dzn dzn−1 · · · dz1 1+αn Γn (zn − xn ) (3.18) Đặc trưng hàm giải tích thực hạn chế hàm lấy vi phân cho phép chứng minh đơn giản định lý hàm ẩn hàm giải tích thực Định lý 3.5 Cho hàm F (xi , , xn , y1 , , ym ), i = 1, , m, giải tích thực điểm (x0 , y0 ) ∈ Rn × Rm , giả sử F = (x0 , y0 ), det( ∂Fi 0 )(x , y ) = ∂yj (3.19) Khi đó, lân cận điểm (x0 , y0 ), hệ F = (x, y) có nghiệm ˆ (x) giải tích thực x0 y x y mở rộng đến Cn , định lý quy định lý hàm ẩn hàm lấy vi phân Đặc trưng hàm giải tích hàm lấy vi phân biến phức ẩn mà hợp hai hàm giải tích giải tích Nguyễn Diệu Thảo 29 3.2 SỰ LÀM TRỘI VÀ ĐỊNH LÝ CAUCHY-KOVALEVSKAYA 3.2 Sự làm trội định lý Cauchy-Kovalevskaya 3.2.1 Sự làm trội Chứng minh định lý Cauchy-Kovalevskaya sử dụng phương pháp tính làm trội, bao gồm so sánh hàm giải tích với hàm khác mà có hệ số Taylor lớn hơn, đưa rõ ràng Ta đưa định nghĩa sau Định nghĩa 3.6 Cho f, F hàm giải tích thực xác định lân cận gốc Rn Khi ta nói f làm trội F , f F |Dα f (0)| ≤ Dα F (0) với α Ví dụ 3.7 Nếu f ∈ CM,r (0), f làm trội hàm φ(x) = Mr r − x1 − x2 − · · · − xn (3.20) Điều rõ ràng, từ Dα φ(0) = M |α|!r−|α| Ta cần theo dõi kết liên quan đến hàm phức Định lý 3.8 Cho f F hàm giá trị vecto giải tích thực từ lân cận gốc Rn vào Rm cho f(0) = F(0) = Cho g G hàm giải tích thực từ lân cận gốc Rn vào R Giả sử fi Fi với i = 1, , m g G Khi g ◦ f G ◦ F Rõ ràng thấy tất đạo hàm g ◦ f trình bày đa thức chứa đạo hàm g f Tất đa thức có hệ số dương Do chúng ước lượng đa thức tương đương chứa đạo hàm G F 3.2.2 Định lý Cauchy-Kovalevskaya Xét hệ phương trình đạo hàm riêng ∂ui = ∂xn Nguyễn Diệu Thảo n−1 N akij (p) k=1 j=1 ∂uj + bi (p), ∂xk i = 1, , N, (3.21) 30 3.2 SỰ LÀM TRỘI VÀ ĐỊNH LÝ CAUCHY-KOVALEVSKAYA Với (p) đại diện cho vecto (x1 , , xn−1 , u1 , , uN ), với điều kiện ban đầu ui = xn = 0, i = 1, , N (3.22) Ta theo dõi thiết lập địa phương nghiệm Định lý 3.9 Cho hàm akij bi giải tích thực gốc RN +n−1 Khi hệ (3.21) với điều kiện ban đầu (3.22) có hệ (trong số hàm giải tích thực) nghiệm ui mà giải tích thực gốc Chứng minh Ta bắt đầu việc tính toán đạo hàm ui gốc Theo dõi (3.22) tiếp tuyến có đạo hàm bậc không Do có đạo hàm khác không xn chiều (3.21) ∂ui (0) = bi(0) Tiếp theo ta vi phân (3.22) để thu đạo hàm ∂xn bậc hai ui Ta tìm thấy ∂ ui (0) = ∂xn ∂xl n−1 N akij (0) k−1 j=1 ∂ uj (0) + ∂xk ∂xl N +n−1 j=1 ∂bi ∂pj (0) (0), ∂pj ∂xl (3.23) với l = 1, , n − 1, ∂ ui ∂bi = , ∂xn ∂xl ∂pl (3.24) với l = n, i = 1, , N , ∂ ui = ∂x2n n−1 N akij (0) k=1 j=1 ∂ uj (0) + ∂xk ∂xn n−1 N = ∂bj (0) akij (0) ∂p k k=1 j=1 N + j=1 N j=1 ∂bi ∂uj (0) (0) ∂pn−1+j ∂xn ∂bi (0)bj (0) ∂pn−1+j (3.25) Tiến hành mẫu thử tương tự, ta tính toán đạo hàm tất bậc Các biểu thức kết với đạo hàm ui đa thức với hệ số dương chứa đạo hàm akij bi gốc Nguyễn Diệu Thảo 31 3.2 SỰ LÀM TRỘI VÀ ĐỊNH LÝ CAUCHY-KOVALEVSKAYA Do ta xây dựng chuỗi dạng Taylor ui Ta chuỗi Taylor hội tụ, ta sử dụng phương pháp làm trội Cho akij (p) Akij (p), bkij (p) Bijk (p) (3.26) cho Ui nghiệm toán n−1 N Akij (p) k=1 j=1 ∂Uj + Bi (p), ∂xk i = 1, , N, (3.27) với điều kiện ban đầu Ui = 0, xn = 0, i = 1, , N (3.28) Khi rõ ràng |Dα ui (0)| ≤ Dα Ui (0) với α công thức chuỗi lũy thừa ui hội tụ ui giải tích Nó xây dựng hàm thích hợp Akij Bi Giả sử akij bi CM,r (0) ta tìm làm trội dạng (3.20), nghĩa Akij = Bi = Mr r − x1 − · · · − xn−1 − U1 − · · · − UN (3.29) Đó là, ta xét toán giá trị ban đầu n−1 N ∂Ui Mr = (1 + ∂xn r − x1 − · · · − xn−1 − U1 − · · · − UN k=1 j=1 ∂Uj ), (3.30) ∂xk với điều kiện ban đầu (3.28) Một nghiệm toán tìm công thức Ui (x) = V (x1 + · · · + xn−1 , xn ); phương trình kết V (s, t) Vt = Mr (1 + N (n − 1)Vs ), r − s − NV V (s, 0) = (3.31) Phương trình giải cách rõ ràng Đầu tiên ta ý đường đặc tuyến s = s(t) cho phương trình ds (n − 1)N M r =− dt r − s − N V (s(t), t) Nguyễn Diệu Thảo (3.32) 32 3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÔ NGHIỆM Cùng với đặc trưng ta có d Mr ds V (s(t), t) = =− dt r − s(t) − N V (s(t), t) (n − 1)N dt (3.33) Phép lấy tích phân theo t cho ta V (s(t), t) = − 1 s(t) + s(0) (n − 1)N (n − 1)N (3.34) Ta đưa biểu thức vào (3.32), ta tìm thấy ds (n − 1)M N r =− , dt r − s + s − s(0) n−1 (3.35) n−1 Có thể lấy tích phân để thu s(0) = n−1 s− r+ n n−1 (r − s)2 − 2nN M rt (3.36) ta thay điều vào (3.34), cuối ta tìm thấy V (s, t) = (r − s − Nn (r − s)2 − 2nN M rt) (3.37) Biểu thức giải tích s = t = Điều kết thúc việc chứng minh 3.3 Phương trình đạo hàm riêng vô nghiệm Định lý 3.10 Với hàm giá trị phức u(x, y, z), đặt Lu = −ux − iuy + 2i(x + iy)uz (3.38) Khi có hàm giá trị phứcf (x, y, z), lớp C ∞ (R3 ), cho phương trình Lu = f (x, y, z) (3.39) nghiệm lớp C (Ω) tập mở Ω ⊂ R3 Ta ý f giải tích , áp dụng định lý Cauchy-Kovalevskaya toán giá trị ban đầu không đặc trưng (3.39) có Nguyễn Diệu Thảo 33 3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÔ NGHIỆM nghiệm địa phương Ngược lại f không giải tích vô nghiệm, chí điều kiện ban đầu không quy định Chúng ta không đưa chứng minh đầy đủ định lý, ta số ý tưởng Đầu tiên ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.11 Cho Ψ ∈ C ∞ (R) đạt giá trị thực cho ψ không giải tích thực z0 Khi phương trình Lu = ψ(z ) (3.40) nghiệm lớp C lân cận điểm (0, 0, z0 ) Chứng minh Giả sử trái với giả thiết cho u nghiệm lân cận (0, 0, z0 ), nói với x2 + y < , |z − z0 | < Ta lập √ √ √ v(r, θ, z) = eiθ ru( r cos θ, r sin θ, z) (3.41) Sau số bước đại số, ta tìm v thỏa mãn phương trình i −2vr − vθ + 2ivz = ψ (z) r (3.42) Ta lập 2π V (z, r) = v(r, θ, z)dθ (3.43) tích phân (3.42) theo θ Ta Vz + iVr = −πiψ (z) (3.44) Rõ ràng V lớp C với < r < , |z − z0 | < Hơn nữa, V (z, 0) = Bây xét W = V (z, r) + πiψ(z) Khi (3.44) trở thành Wz + iWr = 0, hàm W hàm chỉnh hình biến phức z + ir miền |z − z0 | < , < r < Hơn nữa, W liên tục đến giới hạn r = hoàn toàn không tồn tại Bằng nguyên lý Schwarz phản ánh ta mở rộng W đến hàm holomorphic |r| < |z − z0 | < xác định W (z, −r) = −W (z, r) Nhưng ẩn πψ(z), mà có phần ảo W (z, 0), giải tích thực Nguyễn Diệu Thảo 34 3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÔ NGHIỆM Phương trình Lu = ψ (z − 2y0 x + 2x0 y) (3.45) chuyển thành (3.40) thay đơn giản U (x, y, z) = u(x + x0 , y + y0 , z + 2y0 x − 2x0 y) (3.46) Do đưa điểm (x0 , y0 , z0 ), ta tìm thấy hàm f (x, y, z) cho (3.39) nghiệm lân cận (x0 , y0 , z0 ) Tiếp theo xét số hữu hạn điểm (xi , yi , zi ), i = 1, , k Ta xây dựng hàm f cho (3.39) nghiệm lân cận điểm Để làm ta chon ψ hàm giá trị thực C ∞ (R) không giải tích khắp nơi tạo thành k ci ψ (z − 2yi x + 2xi y), f (x, y, z) = (3.47) i=1 với hệ số thực ci Khi đó, với lựa chọn (c2 , c3 , , ck ) có giá trị c1 = c1 (c2 , , ck ) với (3.39) có nghiệm lân cận (x1 , y1 , z1 ) Giả sử ngược lại, nghĩa có hai giá trị c1 c1 Khi ta kết luận Lu(c1 − c1 )ψ (z − 2y1 x + 2x1 y) (3.48) có nghiệm lân cận (x1 , y1 , z1 ) mâu thuẫn với kết chứng minh Tương tự đưa (c1 , c3 , , ck ) có nhiều nghiệm c2 = c2 (c1 , c3 , , ck ) với (3.39) có nghiệm lân cận (x2 , y2 , z2 ) Bây ta giới hạn c1 đến tập l phần tử , l > k Có lk lựa chọn có (c1 , , ck ) Tuy nhiên, có nhiều klk−1 quan hệ c1 = c1 (c2 , , ck ), c2 = c2 (c1 , c3 , , ck ), Do có lựa chọn với (3.39) nghiệm lân cận điểm (xi , yi , zi ) Ngoài l lớn k , trường hợp với hầu hết lựa chọn ci Nguyễn Diệu Thảo 35 3.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÔ NGHIỆM Để hoàn thành chứng minh định lý, cần gán đối số cho số đếm điểm Cho (xi , yi , zi ) ∈ N chuỗi dày đặc điểm R3 Khi ta tạo ∞ ci ψ (z − 2yi x + 2xi y) f (x, y, z) = (3.49) i=1 Nếu ci hội tụ đến đủ nhanh i −→ ∞ Khi f lớp C ∞ Nó chứng minh với hầu hết lựa chọn ci , (3.59) ngiệm lân cận điểm (xi , yi , zi ) nghiệm khắp nơi Thực lập luận không dễ dàng đỏi hỏi dùng phương pháp hàm giải tích Chúng ta không cố theo đuổi điều thay vào tham khảo tài liệu xem xét ví dụ Nguyễn Diệu Thảo 36 Kết luận Trên toàn nội dung khóa luận em Trong khóa luận tốt nghiệp này, em trình bày hiểu biết kiến thức phương trình đạo hàm riêng, phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng định lý Cauchy-Kovalevskaya Qua việc thực nghiên cứu đề tài này, em mở rộng tầm hiểu biết phương trình đạo hàm riêng làm quen với việc nghiên cứu khoa học Mặc dù có nhiều cố gắng song thời gian có hạn vấn đề thân em, nên trình viết trình in ấn, khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô giáo đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành khóa luận Một lần nữa, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường hết lòng giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này, thầy cô giáo Khoa Toán trường ĐH Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện giúp em hoàn thành khóa luận 37 Tài liệu tham khảo Nguyễn Thừa Hợp (2006), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Michael Renardy, Robert C Rogers (2004), An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York 38 ... trình đạo hàm riêng • Phương trình đạo hàm riêng gọi tuyến tính tuyến tính với ẩn hàm tất đạo hàm riêng • Phương trình đạo hàm riêng gọi phi tuyến tính không tuyến tính Nguyễn Diệu Thảo 1.4 PHÂN... PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • Phương trình đạo hàm riêng gọi tựa tuyến tính (hay nửa tuyến tính) tuyến tính tất hàm cao hàm phải tìm Nguyễn Diệu Thảo 10 Chương Sự phân loại đặc trưng. .. trình đạo hàm riêng tuyến tính • Nghiên cứu định lý, bổ đề liên quan đến phân loại đặc trưng phương trình đạo hàm riêng tuyến tính • Nghiên cứu ví dụ liên quan đến phân loại đặc trưng phương trình