Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai 10 Bài Toán bồi dưỡng HSG Luyện thi lên lớp 10 Chuyên Chuyên đề: Số học Câu 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x  4x  y 19  Câu 2: Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a  b  2019 chia hết cho Chứng minh 4a + a + b chia hết cho Câu 3: Có số nguyên dương có chữ số abcde cho abc  (10d  e) chia hết cho 101? Câu 4: (PHNK- ĐHQG Tp Hồ Chí Minh 2013-2014) Cho M  a2  3a  với a số nguyên dương a) Chứng minh ước số M số lẻ b) Giả sử M chia hết cho 5, tìm a Với giá trị a M lũy thừa 5? Câu 5: Cho x, y, z số tự nhiên thỏa x2  y  z Chứng minh xyz chia hết cho 60 Câu 6: (KHTN- ĐHQG Hà Nội 2013-2014) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 5x  y  20412 Câu 7: Cho Sn  1.2  2.3  3.4   n(n  1);(n  * ) Chứng minh 3.Sn (n  3)  số phương Câu 8: Giải hệ phương trình nghiệm nguyên sau: x  y  z  3 x  y  z Câu 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2  y  2xy  2x 10 y   Câu 10: Chứng minh tổng S    22   22018  22019 chia hết cho 31 Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Theo đề x, y  nên: 2x  4x  y 19   2x  4x+2  y  21  2( x  1)2  y  21 Vì x, y  nên y  21  y  | y |   y  2  2( x  1)  9(l )   y   2( x  1)  21(l )  x    y  1  2( x  1)  18   x  4   Vậy cặp nghiệm ( x; y) {(2;1),(2; 1),( 4;1),( 4; 1)} Câu 2: Vì (a  1) 6,a   a  Từ giả thiết a  6; b  2019  a  b  2020  (a  b   336.6) Vậy ta cần chứng minh (4a  4)  4a  51  1 (4  1)  255   Mặc khác: 4a   4(4a1  1)   Vậy 4a + a + b chia hết cho Câu 3: Ta có: abc  (10d  e) 101  101.abc  [abc  (10d  e)] 101  100abc  10d  e 101  abcde 101 Vậy số cần phải tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 101 10000  100  101x100  10100 số tự nhiên có chữ số nhỏ chia hết cho 101 99999   101x990  99990 số tự nhiên có chữ số lớn chia hết cho 101 Vậy số số có chữ số chia hết cho 101 Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 99990  10100   891 số 101 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 4: M  a  3a   (a  2a  1)  5a  (a  1)2  5a Ta có: M 5;(5a) Do (a  1)2 Nên a  Nên : a chia dư 1, tức a  5k  1(k  ) Đặt a2  3a   5n (n  * )(n  * a  nên a2  3a   5) Ta có: 5n theo ta có : a  5k  1(k  ) Ta có : (5k  1)2  3(5k  1)   5n  25k  10k   15k    5n  25k (k  1)   5n (*) Nếu n  ta có 5n 52 , mà 25k ( K  1) 52 ; không chia hết cho 52  vô lý Vậy với n  , ta có 25k (k  1)  0; k  Do k  nên a  Câu 5: Ta chứng minh số bổ đề sau Một số phương chia dư 1, chia dư 0; 3, chia dư 0, Thật vậy, trước tiên ta chia số nguyên thành dạng: 3k ,3k  1,3k  Mà (3k )2  9k  0(mod3) (3k  1)2  9k  6k   1(mod3) (3k  2)2  9k  12k   1(mod3) Do đó, số phương chia dư 0, Tương tự, ta có điều nói Ta chứng minh xyz chia hết cho thông qua việc sử dụng bổ đề Trước tiên, ta chứng minh Giả sử không chia hết cho Do đó, x2 , y , z chia dư Mà x2  y  z (mod3) hay nói cách khác: 1   3(mod3) 1   1(mod3)  (vô lý) 1   1(mod3)  1   3(mod3) Vậy, xyz Tương tự, ta chứng minh xyz 4, xyz Mà 3, 4, đôi nguyên tố nên ta suy xyz 60  dpcm Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 6: Trước hết ta nhận thấy tổng viết dạng hai số phương Ta cần chứng minh số phương chia cho dư 0.(có thể tham khảo chứng minh câu 5) Vậy tổng hai số phương chia hết cho hai số chia hết cho  x  3a ;(a, b  )  y  3b Đặt  pt cho  6x  y  20412  x2  y  3(2x  y  6804)  x2  y (1) Thay vào (1), ta có 3(2.9a  3.9b2  6804)  9a  9b2  3(2a  3b2  756)  a  b2 (2) a  9c a a  3c   a  b2     2 b b  3d  b  9d Thay vào (2), ta có 3(2.9c2  3.9d  756)  9c2  9d  3(2c2  3d  84)  c2  d (3) 2  c c  3e c  9e  c  d 3    2  d d  3f d  9f 2 Thay vào (3), ta có 3(2.9e2  3.9f  84)  6e2  9f  28  6e2  9f  28  e2  f (3)  5e2  8f  28(4)  8f  28  f  3,5 | f |  f {  1;0;1} Dễ thấy f=0 không thỏa toán Thay f= vào toán ta suy e  2 Thay f=-1 vào toán ta suy e  2 Với giá trị e, f ta dễ dàng suy c, d a, b suy nghiệm x ;y Vậy phương trình nhận nghiệm ( x; y)  {(54;27),(54; 27),(54;27),(54; 27)} Câu 7: Ta có: Sn  1.2  2.3   n(n  1)  3Sn  1.2.3  2.3.3   n(n  1).3  3Sn  1.2.(3  0)  2.3.(4  1)   n(n  1).[(n  2)  (n 1)]  3Sn  1.2.3  2.3.4  1.2.3   n(n  1)(n  2)  (n  1) n(n  2)  3Sn  n(n  1)(n  2)  3.Sn (n  3)   n(n  1)(n  2)(n  3)   3.Sn (n  3)   (n2  3n)(n2  3n  2)   3.Sn (n  3)   (n2  3n  1)2  dpcm Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán Câu 8: x  y  z  3 x  y  z x  y  z  2 ( x  y )( x  xy  y )  z x  y  z  ( x  y )[( x  y )  3xy]  z Thế x  y  z vào pt dưới, ta : z ( z  3xy )  z  z ( z  3xy  z )  z   x   y   z  3xy  z   xy  z  z  Áp dụng định lý Vi-èt đảo ta có : X  zX   ( z )  z2  z 0 4( z  z ) 0   z  4z    z  z   x  y    z   x   ; y   (l )  3   z    x  2; y   x  1; y      z   x  y  Vậy hệ phương trình nhận nghiệm ( x; y; z) {(0;0;0),(2;1;3),(1;2;3),(2;2;4)} Câu 9: x2  y  2xy  2x 10 y    x2  xy  3x  3xy  y  y  x  y    x(x  y  3)  y( x  y  3)  ( x  y  3)  7  ( x  y  3)(x  3y 1)  7 Theo đề x, y  nên: Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán  x  y    x      x  y   7   y  3   x  y   1  x     x  y    y    (thỏa) x  y   x        x  y   1   y  3     x  y   7   x  3   x  3y 1   y    Vậy phương trình nhận nghiệm ( x; y)  {(1;-3),(3;1),(7;-3),(-3;1)} Câu 10: Ta có : S    22   22018  22019  S  (1   22  23  24 )   (22015  22016  22017  22018  22019 )  S  (1   22  23  24 )   22015 (1   22  23  24 )  S  (1   22  23  24 )(1  25   22015 )  S  31.(1  25   22015 ) Vậy S 31  dpcm Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, em yêu thích toán muốn thi vào lớp 10 trường chuyên - Nội dung xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 trường chuyên nước năm qua - Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm thầy tiếng có nhiều năm kinh nghiệm việc ôn luyện học sinh giỏi - Hệ thống giảng biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết tốt - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 em để hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao - Đặc biệt, em hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên HỌC247  https://www.facebook.com/ OnThiLop10ChuyenToan Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 Trang | ... cho 101 99 999   101 x 990  99 990 số tự nhiên có chữ số lớn chia hết cho 101 Vậy số số có chữ số chia hết cho 101 Website: www.hoc247.vn - Hotline: 098 1821 807 99 990  101 00   891 số 101 Trang... 098 1821 807 Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bồi dưỡng HSG lớp Luyện thi vào lớp 10 Chuyên Toán CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247 - Chương trình luyện thi. ..  e) 101  101 .abc  [abc  (10d  e)] 101  100 abc  10d  e 101  abcde 101 Vậy số cần phải tìm số tự nhiên có chữ số chia hết cho 101 100 00  100  101 x100  101 00 số tự nhiên có chữ số nhỏ