Header Page of 132 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Khải Hà Nội - 2016 Footer Page of 132 Header Page of 132 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Khải Thầy tận tình nghiêm khắc hướng dẫn trình hoàn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thầy cô giáo khoa Toán phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ trình học tập Tôi xin cảm ơn gia đình bạn bè bên tôi, ủng hộ suốt trình học tập thực luận văn Một lần xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Ngọc Footer Page of 132 Header Page of 132 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Ngọc Footer Page of 132 Header Page of 132 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian tuyến tính 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.4 Không gian Banach 13 1.5 Không gian Hilbert 13 1.6 Toán tử tuyến tính 14 1.7 Không gian liên hợp tính phản xạ 16 1.8 Cấu trúc hình học không gian Banach 17 Một số vấn đề điểm bất động ánh xạ không giãn 26 2.1 Ánh xạ không giãn điểm bất động 26 2.2 Ánh xạ không giãn mở rộng 32 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 41 Footer Page of 132 Header Page of 132 Mở đầu Lý chọn đề tài Ánh xạ không giãn phần quan trọng giải tích hàm phi tuyến - lĩnh vực quan trọng giải tích - môn học vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Ánh xạ không giãn điểm bất động nội dung quan trọng toán học đại có nhiều ứng dụng chẳng hạn để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân, phương trình hệ phương trình phi tuyến, phương trình tích phân, Với lý đó, với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải lựa chọn luận văn với đề tài “Một số vấn đề điểm bất động ánh xạ không giãn.” Để hoàn thành luận văn, sử dụng số tài liệu tham khảo cụ thể sau: Kiến thức chuẩn bị mục 2.1 Chương dựa tài liệu [1] [2], phần lại luận văn dựa tài liệu [3] Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề ánh xạ không giãn điểm bất động không gian Banach ánh xạ không giãn mở rộng Footer Page of 132 Header Page of 132 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ánh xạ không giãn, điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ không giãn mở rộng số vấn đề liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ánh xạ không giãn vấn đề liên quan Ánh xạ không giãn mở rộng vấn đề liên quan Phương pháp nghiên cứu Luận văn dùng phương pháp giải tích toán học Đóng góp luận văn: Trình bày số vấn đề ánh xạ không giãn ánh xạ không giãn mở rộng Hà Nội, ngày tháng năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Ngọc Footer Page of 132 Header Page of 132 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Cho X = ∅ tập hợp tùy ý Một metric X ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = ⇔ x = y; 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X metric X gọi không gian metric, ký hiệu (X, d) Số d(x, y) gọi khoảng cách điểm x y Ví dụ 1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R ta đặt: d(x, y) = |x − y| (1.1) d metric R không gian metric với khoảng cách nêu Footer Page of 132 Header Page of 132 Ví dụ 1.2 Ta ký hiệu C[a,b] tập tất hàm số giá trị thực xác định liên tục [a, b], (−∞ < a < b < +∞) Với hai hàm số x(t), y(t) ∈ C[a,b] ta đặt d(x, y) = max |x(t) − y(t)| (1.2) a≤t≤b Vì hàm số x(t), y(t) liên tục [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)| liên tục [a, b] Hệ thức (1.2) xác định ánh xạ từ C[a,b] × C[a,b] tập số thực R Ánh xạ (1.2) thỏa mãn điều kiện metric Không gian metric tương ứng ký hiệu C[a,b] Định nghĩa 1.2 Dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim (xn , x) = 0.Khi ký hiệu lim xn = x n→∞ n→∞ hay xn → x n → ∞ Định nghĩa 1.3 Một dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim (xm , xn ) = m,n→∞ Định nghĩa 1.4 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X Ví dụ 1.3 a) Xét tập số thực R với khoảng cách d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ R R không gian metric đầy đủ b) Xét tập Q số hữu tỷ với khoảng cách d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ Q Q không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.5 Cho không gian metric M = (X, d) Tập K ⊂ X gọi tập hợp compact không gian M dãy vô hạn phần tử tập K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc K Khi K = X M gọi không gian compact Footer Page of 132 Header Page of 132 Định nghĩa 1.6 Trong không gian metric M = (X, d), A tập M Đường kính tập A kí hiệu diam A xác định bởi: diam A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} 1.2 Không gian tuyến tính Định nghĩa 1.7 Xét R trường số thực, tập hợp X = ∅ với hai phép tính cộng nhân vô hướng: + Phép cộng: X ×X →X (x, y) → x + y + Phép nhân vô hướng: R×X →X (λ, x) → λx X gọi không gian tuyến tính R điều kiện sau thỏa mãn: 1) ∀x, y ∈ X : x + y = y + x; 2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z); 3) ∃θ ∈ X để ∀x ∈ X cho x + θ = x; 4) ∀x ∈ X ∃ − x ∈ X : x + (−x) = θ; 5) ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X : λ(x + y) = λx + λy; 6) ∀λ, µ ∈ R; ∀x ∈ X : (λ + µ)x = λx + µx; 7) ∀λ, µ ∈ R; ∀x ∈ X : λ(µx) = (λµ)x; Footer Page of 132 Header Page 10 of 132 8) ∀x ∈ X : 1.x = x Khi ta nói X không gian vectơ R nói ngắn gọn X không gian tuyến tính không sợ nhầm lẫn, phần tử x ∈ X gọi vectơ 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.8 Cho X không gian vectơ trường số thực R Hàm số : E → R+ gọi chuẩn X tính chất sau thỏa mãn: i) x ≥ với x ∈ X, x = ⇔ x = θ; ii) λx = |λ| x với λ ∈ R với x, y ∈ X; iii) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Không gian vectơ X xác định chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Ví dụ 1.4 (Không gian Euclide n - chiều) Rn := {x = (x1 , x2 , , xn ) : x1 , x2 , , xn ∈ R} Ta xác định x Rn n x |xi |2 = (x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ) i=1 Ví dụ 1.5 Xét không gian C[a;b] hàm liên tục đoạn [a; b] với phép cộng, phép nhân thông thường Xét f ∈ C[a;b] , f = b a [f (x)] dx chuẩn C[a;b] không gian tuyến tính định chuẩn Footer Page 10 of 132 Header Page 29 of 132 Nhận xét 2.1 Trong ví dụ thấy K không compact lồi ánh xạ không giãn T : K → K tồn điểm bất động Bổ đề 2.1 Nếu K tập lồi, đóng không gian lồi chặt X T : K → K ánh xạ không giãn tập điểm bất động F (T ) T đóng lồi Chứng minh Ta có T đóng T liên tục Giả sử x = T x y = T y cho λ ∈ (0; 1) tập z = (1 − λ) + λy x − Tx + Tz − y = Tx − Tz + Tz − Ty ≤ x−z + z−y = x−y ≤ x − Tz + Tz − x Vậy x, T z y tuyến tính khi: x − z = x − T z y − z = y − T z Do X lồi chặt nên z = T z Định nghĩa 2.2 Cho C tập khác rỗng không gian Banach X Ánh xạ T : C → X gọi ánh xạ tựa không giãn F (T ) = ∅ p − Ty ≤ p − y , ∀ p ∈ F (T ), ∀ y ∈ C Định nghĩa 2.3 Cho C tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian lồi X T : C → C ánh xạ không giãn T gọi có điểm bất động xấp xỉ với ε > tồn xε cho T xε −xε < ε Footer Page 29 of 132 28 Header Page 30 of 132 Định lý 2.1 Cho C tập lồi, compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc không gian định chuẩn X T : C → C ánh xạ không giãn Khi T có điểm bất động C Chứng minh Đặt F = {L ⊂ C : L lồi, đóng, không rỗng, T (L) ⊂ L} F = ∅ C ∈ F Với quan hệ thứ tự bao hàm thức, (F, ⊂) trở thành tập hợp thứ tự phận Đặt G = {Lα } với Lα ∈ F lồng Khi ∩α Lα = ∅ C compact yếu T ∩α Lα ⊂ ∩α Lα , ∩α Lα cận G Theo bổ đề Zorn, F chưa phần tử cực tiểu H Ta chứng minh H gồm điểm phản chứng Giả sử d = diamH > Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn z ∈ H cho r = sup{ z − x : x ∈ H} < d Vậy tập hợp D = {z ∈ H : H ⊂ B(z, r)} = ∅, B(z, r) hình cầu đóng tâm z bán kính r Lấy z D, T không giãn, ta có T (H) ⊂ B(T z, r), coT ¯ (H) ⊂ B(T z, r), co ¯ kí hiệu bao lồi, đóng tập hợp Vì coT ¯ (H) tập hợp lồi, đóng C nên compact yếu coT ¯ (H) ⊂ coH ¯ = H nên T (coT ¯ (H)) ⊂ T (H) ⊂ coT ¯ (H), coT ¯ (H) ∈ F Vì coT ¯ (H) ⊂ H H cực tiểu nên coT ¯ (H) = H Từ ta có H ⊂ B(T z, r), chứng tỏ T z ∈ D, T (D) ⊂ D z D Ta kiểm tra D lồi đóng Cho z1 , z2 ∈ D z = αz1 + (1 − α)z2 với α ∈ [0, 1] Khi x − zi ≤ r, i = 1, 2, với z ∈ H Từ x − z ≤ r với x ∈ H nên z ∈ D, D lồi Nếu zn ∈ D zn → z x − z − n ≤ r với x ∈ H, suy x − z ≤ r với x ∈ H Footer Page 30 of 132 29 Header Page 31 of 132 nên z ∈ D, D đóng Tóm lại D ⊂ C tập hợp lồi, đóng bất biến T , D ∈ F Vì D ⊂ H H cực tiểu nên D = H Khi đó, với u, v ∈ D = H ta có u − v ≤ r, từ d = diamH = diamD ≤ r < d, ta gặp mâu thuẫn Vậy H gồm điểm, tức H = {x∗ } Vì H bất biến T nên ta có T x∗ = x∗ Định lý chứng minh Định lý 2.2 Cho C tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian lồi X T : C → C ánh xạ không giãn Khi tập hợp điểm bất động T lồi, đóng không rỗng Chứng minh Vì X lồi nên phản xạ, C compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc Vậy theo định lý (2.1), tập hợp điểm bất động T không rỗng, đóng T liên tục Ta phải chứng minh tính lồi tập hợp Cho u = T u, v = T v m = λu + (1 − λ)v với λ ∈ [0, 1] Khi u − m = (1 − λ)(u − v) v − m = λ(v − u) Vì T ánh xạ không giãn nên ta có u − Tm + Tm − v ≤ u − m + m − v = u − v Do u − v = (u − T m) + (T m − v) nên u − v ≤ u − Tm + Tm − v Kết hợp với bất đẳng thức ta u − v = u − Tm + Tm − v Footer Page 31 of 132 30 Header Page 32 of 132 Đặt x = u − T m, y = T m − v ta có x + y = x + y Vì X lồi lồi chặt nên đẳng thức chứng tỏ tồn α > u − T m = α(T m − v) Từ ta có Tm = α u+ v = βu + (1 − β)v với β = 1+α 1+α 1+α Ta chứng minh β = λ phản chứng Giả sử β > λ Khi ta có Tv − Tm = v − Tm = β u − v >λ u−v = v−m , mâu thuẫn với tính không giãn T Hoàn toàn tương tự, β < λ ta gặp mâu thuẫn: T u − T v > u − m Vậy β = λ nên T m = m Vì điểm đoạn nối hai điểm bất động điểm bất động nên tập hợp điểm bất động tập hợp lồi định lý chứng minh Một câu hỏi đặt là: ánh xạ không giãn tập hợp lồi, compact yếu không gian Banach có thiết phải có điểm bất động không? Điều Ta chứng minh phản ví dụ sau Ví dụ 2.7 Cho X = L1 [0, 1], đặt 1 C = f ∈ L [0, 1] : f (t)dt = 1, ≤ f (t) ≤ , đặt (T f )(t) =   min{2f (2t), 2} ≤ t ≤ 21 ,  max{2f (2t − 1) − 2, 0} < t ≤ Khi C tập hợp lồi, compact yếu, T ánh xạ đẳng cự C (tức T f − T g = f − g ) điểm bất động Footer Page 32 of 132 31 Header Page 33 of 132 2.2 Ánh xạ không giãn mở rộng Trong mục ta nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện (C) đề xuất T Suduki Nội dung chủ yếu mục tham khảo [3] Định nghĩa 2.4 Cho C tập khác rỗng không gian Banach X Ánh xạ T : C → X thoả mãn điều kiện (C) C với x, y ∈ C, ta có: x − T x ≤ x − y kéo theo T x − T y ≤ x − y Điều kiện (C) yếu ánh xạ không giãn mạnh ánh xạ tựa không giãn Điều thể mệnh đề 2.1 2.2 đây: Mệnh đề 2.1 Mỗi ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện (C) Điều ngược lại không Thật vậy, ánh xạ không giãn thỏa mãn điều kiện (C) rõ ràng Để điều ngược lại không ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.8 Định nghĩa ánh xạ T đoạn [0, 3] sau:   0 x = 3, Tx =  1 x = T thỏa mãn điều kiện (C) T ánh xạ không giãn Thật vậy, x < y (x, y) ∈ ([0, 3] × [0, 3]\(2, 3) × {3}), Tx − Ty ≤ x − y Nếu x ∈ (2, 3) y = thì: x x − Tx = > > x − y 2 Footer Page 33 of 132 32 Header Page 34 of 132 y − T y = > x − y , T thỏa mãn điều kiện (C) Tuy nhiên, T không liên tục T ánh xạ không giãn Mệnh đề 2.2 Giả thiết ánh xạ T thỏa mãn điều kiện (C) có điểm bất động T ánh xạ tựa không giãn Điều ngược lại không Chứng minh Xét p ∈ F (T ) với x ∈ C: Vì p − T p = ≤ p − x , nên có T p − T x ≤ p − x (theo định nghĩa ánh xạ (C)) Mà T p − T x = p − T x nên p − T x ≤ p − x ⇒ T ánh xạ tựa không giãn Để chứng minh điều ngược lại không đúng, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.9 Xét ánh xạ T đoạn [0, 3] sau:   0 x = 3, Tx =  2 x = Thì F (T ) = ∅ T ánh xạ tựa không giãn T không thỏa mãn điều kiện (C) Thật vậy, ta có F (T ) = = ∅ T ánh xạ tựa không giãn Tuy nhiên 1 − T3 = ≤ = − 2 T − T = > = − , đó, T không thỏa mãn điều kiện (C) Footer Page 34 of 132 33 Header Page 35 of 132 Sau ta làm rõ tính chất tập điểm bất động F (T ), hội tụ dãy lặp đến điểm bất động ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C); tồn điểm bất động T Bổ đề 2.2 Cho {zn } {wn } dãy bị chặn không gian Banach E cho λ ∈ (0, 1) Giả sử zn+1 = λwn + (1 − λ)zn wn+1 − wn ≤ zn+1 − zn với n ∈ N lim wn − zn = n→∞ Bổ đề 2.3 Cho T ánh xạ tập đóng C không gian Banach X Giả thiết T thỏa mãn điều kiện (C) F (T ) đóng Hơn nữa, X lồi chặt C tập hợp lồi F (T ) lồi Chứng minh Lấy {zn } dãy F (T ), {zn } hội tụ tới điểm z ∈ C, có: zn − T zn = ≤ |zn − z với n ∈ N Ta có: lim sup zn − T z = lim sup T zn − T z n→∞ n→∞ ≤ lim sup zn − z = 0, n→∞ hay {zn } hội tụ đến T z Vậy F (T ) đóng Tiếp theo, ta giả thiết X lồi chặt C tập hợp lồi Lấy λ ∈ (0, 1) x, y ∈ F (T ), x = y, đặt z = λx + (1 − λ)y ∈ C Thì ta có: x − y ≤ x − Tz + y − Tz = Tx − Tz + Ty − Tz ≤ x−z + y−z = x−y Do X lồi chặt nên tồn µ ∈ [0, 1] cho T z = µx + (1 − µ)y Từ: (1 − µ) x − y Footer Page 35 of 132 = Tx − Tz ≤ 34 x−z = (1 − λ) x − y Header Page 36 of 132 µ x − y = T y − T z ≤ y − z = λ x − y , ta có: − µ ≤ − λ µ ≤ λ Suy λ = µ Vậy z ∈ F (T ) Bổ đề 2.4 Cho T ánh xạ tập C không gian Banach X Giả thiết T thỏa mãn điều kiện (C) với x, y ∈ C ta có: i) T x − T x ≤ x − T x , ii) Hoặc 1 x − T x ≤ x − y T x − T 2x ≤ T x − y , 2 iii) Hoặc T x − T y ≤ x − y T x − T y ≤ T x − y Chứng minh x − Tx ≤ x − Tx (iii) suy từ (ii) (i) suy từ Ta chứng minh (ii), phản chứng, giả sử 1 x − T x > x − y T x − T x > T x − y , 2 theo (i) ta có x − Tx ≤ x − y + Tx − y 1 < x − T x + T x − T 2x 2 ≤ x − Tx Điều mâu thuẫn Vậy ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.5 Cho T ánh xạ tập C lồi, bị chặn không gian Banach X, giả sử T thỏa mãn điều kiện (C) Định nghĩa dãy {xn } C sau: x1 ∈ C xn+1 = λT xn + (1 − λ)xn , với n ∈ N, λ ∈ Footer Page 36 of 132 2, Khi lim T xn − xn = n→∞ 35 Header Page 37 of 132 Chứng minh Từ giả thiết ta có xn − T xn ≤ λ xn − T xn = xn − xn+1 , với n ∈ N Do T xn − T xn+1 ≤ xn − xn+1 Và theo bổ đề 2.2 ta có: lim T xn − xn = n→∞ Bổ đề 2.6 Cho T ánh xạ tập C không gian Banach X Giả sử T thỏa mãn điều kiện (C) x − T y ≤ T x − x + x − y với ∀ x, y ∈ C Chứng minh Theo bổ đề 2.4 ta có: T x − T y ≤ x − y T x − T y ≤ T x − y Trong trường hợp đầu ta có: x − Ty ≤ x − Tx + Tx − Ty ≤ x − Tx + x − y Trong trường hợp 2, theo bổ đề 2.4 ta có: x − T y ≤ x − T x + T x − T 2x + T − T y ≤ x − Tx + Tx − y ≤ x − T x + x − y ∀x, y ∈ C Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 2.3 Cho T ánh xạ tập lồi, compact C không gian Banach X, giả thiết T thỏa mãn điều kiện (C) Định nghĩa dãy {xn } C sau: x1 ∈ C xn+1 = λT xn + (1 − λ)xn Footer Page 37 of 132 36 Header Page 38 of 132 Với n ∈ N, λ ∈ 2, {xn } hội tụ mạnh tới điểm bất động T Chứng minh Theo bổ đề 2.5, ta có limn T xn − xn = Do C tập compact nên tồn dãy {xnj } {xn } z ∈ C cho {xnj } hội tụ tới z Ta có: xnj − T z ≤ T xnj − xnj + xnj − z , với j ∈ N Vậy {xnj } hội tụ tới z Do T z = z hay z điểm bất động T Theo mệnh đề 2.2 ta có: xn+1 − z ≤ λ T xn − z + (1 − λ) xn − z ≤ xn − z , với n ∈ N Vậy {xn } hội tụ tới z Mệnh đề 2.3 Cho T ánh xạ tập C không gian Banach X với X có tính chất Opial T thỏa mãn điều kiện (C) Nếu {xn } hội tụ yếu tới z lim T xn − xn = T z = z, nghĩa (I − T ) nửa n→∞ đóng Chứng minh Theo bổ đề 2.6 ta có: xn − T z ≤ T xn − xn + xn − z với n ∈ N Từ lim inf xn − T z ≤ lim inf xn − z n→∞ n→∞ Từ tính chất Opial ta có T z = z Định lý 2.4 Cho T ánh xạ tập C lồi, compact yếu không gian Banach X có tính chất Opial T thỏa mãn điều kiện (C) Định Footer Page 38 of 132 37 Header Page 39 of 132 nghĩa dãy {xn } sau: x1 ∈ C xn+1 = λT xn + (1 − λ)xn , với n ∈ N, λ ∈ 2, Khi {xn } hội tụ yếu tới điểm bất động T Chứng minh Theo bổ đề 2.5, ta có limn T xn − xn = Do C compact yếu nên tồn dãy {xnj } {xn } z ∈ C cho {xnj } hội tụ yếu tới z Theo mệnh đề 2.3 ta có z điểm bất động T Như chứng minh định lý 2.3, ta thấy { xn − z } dãy không tăng Bằng phản chứng, giả sử {xn } không hội tụ đến z Khi tồn dãy {xnk } {xn } w ∈ C cho {xnk } hội tụ yếu tới w Để ý T w = w, từ tính chất Opial ta có: lim xn − z = lim xnj − z < lim xnj − w = lim xn − z n→∞ j→∞ j→∞ n→∞ = lim xnk − w < lim xnk − z = lim xn − z k→∞ k→∞ n→∞ Điều mâu thuẫn Vậy {xn } hội tụ tới z Định lý 2.5 Cho T ánh xạ tập lồi C không gian Banach X, T thỏa mãn điều kiện (C) Giả thiết rằng, hai điều kiện sau xảy • C compact, • C compact yếu X có tính chất Opial Khi T có điểm bất động Chứng minh Footer Page 39 of 132 38 Header Page 40 of 132 Nếu C compact, từ định lý 2.3 suy T có điểm bất động Nếu C compact yếu X có tính chất Opial từ định lý 2.4 suy T có điểm bất động Định lý 2.6 Cho C tập lồi, compact yếu không gian Banach X, X lồi theo hướng, T ánh xạ C T thỏa mãn điều kiện (C) T có điểm bất động Chứng minh Định nghĩa dãy {xn } C x1 ∈ C 1 xn+1 = T xn + xn với n ∈ N 2 Theo bổ đề 2.5, ta có limn T xn − xn = Định nghĩa hàm f liên tục, lồi từ C vào [0, ∞) với f (x) = lim sup xn − x với ∀x ∈ C n→∞ Vì C compact yếu, f nửa liên tục yếu, nên tồn z ∈ C cho f (z) = min{f (x) : x ∈ C} Vì xn − T z ≤ T xn − xn + xn − z Theo bổ đề 2.6 ta có f (T z) ≤ f (z) Nếu T z = z với f tựa lồi chặt ta có z + Tz ) < max{f (z), f (T z)} = f (z) Điều mâu thuẫn Vậy T z = z f (z) ≤ f ( Định lý 2.7 Cho C tập lồi, compact yếu không gian Banach, lồi theo hướng X Cho S họ ánh xạ giao hoán C thỏa mãn điều kiện (C) S có điểm bất động tầm thường Footer Page 40 of 132 39 Header Page 41 of 132 Chứng minh Cho T1 , T2 , , Tl ∈ S Theo định lý 2.6 T1 có điểm bất động C, F (T1 ) = ∅ Theo bổ đề 2.3 ta có F (T1 ) k−1 đóng lồi Giả sử A := ∩j=1 F (Tj ) = ∅, lồi đóng với k ∈ N ≤ k ≤ l Với x ∈ A j ∈ N, ≤ j < k Do Tk Tj = Tj Tk ,nên Tk x = Tk Tj x = Tj Tk x Vậy Tk x điểm bất động Tj hay Tk x ∈ A Do đó, Tk (A) ⊂ A Theo định lý 2.6 Tk có điểm bất động A, đó, A ∩ F (Tk ) = ∩kj=1 F (Tj ) = ∅ Bằng quy nạp ta có ∩lj=1 F (Tj ) = ∅ Vì C tập compact yếu F (T ) đóng yếu ánh xạ T ∈ S, ta có ∩T ∈S F (T ) = ∅ Footer Page 41 of 132 40 Header Page 42 of 132 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm ánh xạ không giãn Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn, định lý hội tụ điều kiện tồn điểm bất động ánh xạ không giãn Luận văn nghiên cứu lớp toán tử không giãn mở rộng (lớp toán tử thỏa mãn điều kiện (C)) Mặc dù tác giả cố gắng, song thời gian khả kiến thức thân hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô nói riêng bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn Footer Page 42 of 132 Header Page 43 of 132 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giải tích hàm, NXB Đại Học Sư Phạm, Hà Nội, 2001 [2] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà, Các định lý điểm bất động, NXB Đại Học Sư Phạm, 2002 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] T Suduki, Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings, J Math Anal App 340 (2008) 1088 - 1095 [4] S Prus, Geometrical background of metric fixed point theory, in: W.A.Kirk, B Sims(Eds), 2001, pp 93-132 Footer Page 43 of 132 ... 132 Chương Một số vấn đề điểm bất động ánh xạ không giãn 2.1 Ánh xạ không giãn điểm bất động Định nghĩa 2.1 Cho C tập khác rỗng không gian Banach X Ánh xạ T : C → X gọi ánh xạ không giãn với x,... cứu số vấn đề ánh xạ không giãn điểm bất động không gian Banach ánh xạ không giãn mở rộng Footer Page of 132 Header Page of 132 Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ánh xạ không giãn, điểm bất động ánh. .. điểm bất động ánh xạ không giãn, ánh xạ không giãn mở rộng số vấn đề liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ánh xạ không giãn vấn đề liên quan Ánh xạ không giãn mở rộng vấn đề liên quan Phương