2.3 các phương pháp tìm biến đổi z ngược Tìm biến đổi Z ngược để xác định dãy x(n) bằng cách tính trực tiếp tích phân [2.1-25] thường rất phức tạp, vì thế người ta xây dựng các phương pháp gián tiếp sau để tìm biến đổi Z ngược : - Phương pháp thặng dư. - Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa. - Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản. 2.3.1 Phương pháp thặng dư Trong lý thuyết hàm biến số phức, phương pháp thặng dư dùng để tính tích phân : ∫ C dzz j Q )( 1 2 π [2.3-1] Tích phân [2.3-1] được lấy theo chiều dương trên đường cong khép kín C bao quanh gốc tọa độ và nằm trong miền hội tụ của hàm Q(z). Nếu Q(z) có một cực bội bậc q tại p zz = thì có thể phân tích Q(z) thành : q p zz z z N Q )( )( )( − = Trong đó, các nghiệm của phương trình 0 )( = z N phải khác cực bội p z . Khi đó tích phân [2.3-1] sẽ có dạng : p C q p C sdz zz z j dzz j N Q Re )( )(1 )( 1 22 = − = ∫∫ ππ Với p sRe được gọi là thặng dư của hàm Q(z) và được tính theo biểu thức : p q q p zz dz zd q s N = − − − = )1( )1( )( )!( Re 1 1 [2.3-2] Trong trường hợp riêng, nếu p z là nghiệm đơn thì 1 = k nên : )()(Re p p p z zz zs NN = = = [2.3-3] Để tìm biến đổi Z ngược theo tích phân [2.1-25], áp dụng phương pháp thặng dư cho hàm )1( ).()( − = n zzz XQ . Giả sử Q(z) có m cực bội bậc i q thì có thể phân tích Q(z) thành tổng : ∑ = − − == m i q pi i n i zz z zzz N XQ 1 )1( )( )( ).()( Khi đó, biểu thức biến đổi Z ngược [2.1-25] được đưa về dạng : ∫ ∑ ∫ = − − == C m i q pi i C n dz zz z j dzzz j nx i N X 1 )1( )( )( 1 )( 1 )( 22 ππ [2.3-4] Vì đường cong khép kín C nằm trong miền hội tụ của hàm )1( ).( − n zzX nên tích phân ở vế phải của [2.3-4] có thể lấy trên từng số hạng của chuỗi, vì thế có thể đổi vị trí của dấu tổng và dấu tích phân : ∑∑ ∫∫ == − = − == m i pi m i C q pi i C n sdz zz z j dzzz j nx i N X 11 )1( Re )( )( )()( 2 1 2 1 ππ Vậy : ∑ ∫ = − == m i pi C n sdzzz j nx X 1 )1( Re)( 1 )( 2 π [2.3-5] Các thặng dư pi sRe ứng với các cực pi z của )1( ).( − n zz X . pi sRe của cực đơn tính theo [2.3-3] , pi sRe của cực bội bậc q tính theo [2.3-2]. Ví dụ 2.15 : Hãy tìm       − == )( )]([)( az z zIZTnx X với ||||:)]( [ azz XRC > Giải : Có )()( . ).( )1( )1( az z az zz zz nn n X − = − = − − . Với 0 ≥ n , hàm )( ).( )1( az z zz n n X − = − có một cực đơn az p = và n zz N = )( . Từ biểu thức thặng dư [2.3-3] , với 0 ≥ n tìm được : n p aas N == )(Re 84 Theo [2.3-5] thì : 0 Re)( ≥== nkhiasnx n p Vì ||||:)]( [ azz XRC > nên )(nx là dãy nhân quả, do đó kết quả là : )( )( )( nua az z IZTnx n =       − = Ví dụ 2.16 : Cho 22 ba < , hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh : ).( )( 22 2 bzaz z z X ++ = với ||||:)]( [ bzz XRC > Giải : Ta có ).( ).( 22 )1( 2 bzaz z zz n n X ++ = − . Với 0 ≥ n , hàm )1( ).( − n zzX có hai điểm cực là nghiệm của phương trình : 02 22 . =++ bzaz Vì 0 2222 <−=∆ ′ ⇒< baba , nên phương trình trên có hai nghiệm là cặp số phức liên hợp : p j ppp ezabjazz ϕ .||)( 22 1 =−+−== và : p j ppp ezabjazz ϕ − =−−−== .||)( 22* 2 Với : babaz p =−+= )(|| 222 và         − −= a ab arctg p )( 22 ϕ [2.3-6] Theo các cực điểm p z và * p z có thể phân tích )1( ).( − n zzX thành : ))(( ).( * )1( pp n n zzzz z zz X −− = − Với cực p z có )( )( * 1 p n zz z z N − = , theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được : ( )       −−−−       −+− = − == )()( .|| )( )( )(Re 2222 * 11 abjaabja ez zz z zs n j p pp n p pp p N ϕ Vậy : )( . Re 22 1 2 abj eb s p jn n p − = ϕ Với cực * p z có )( )( 2 p n zz z z N − = , theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được : ( )       −−−−       −+− = − == − )()( .|| )( )( )(Re 2222 * * * 22 abjaabja ez zz z zs n j p pp n p pp p N ϕ Vậy : )( . Re 22 2 2 abj eb s p jn n p − = − − ϕ Theo [2.3-5] thì : )( . )( . ReRe)( 2222 21 22 abj eb abj eb ssnx p p jn n jn n pp − − − =+= − ϕ ϕ )( ).sin(. )( )( 2222 2 ab nb j ee ab b nx p n jnjn n pp − =         − − = − ϕ ϕϕ Vì ||||:)]( [ bzz XRC > nên x(n) phải là dãy nhân quả, do đó kết quả là :                   − − − =       ++ a ab arctgn ab nub bzaz z IZT n )( .sin. )( )( ).( 22 22 22 2 [2.3-7] Trong đó 22 ba < , góc pha ϕ p được tính theo [2.3-6] và ||||:)]( [ bzz XRC > 2.3.2 Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa Vì X(z) là hàm giải tích của z, nên trong miền hội tụ của nó, có thể khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của n z − theo dạng : ∑ ∞ −∞= − = n n n zaz X .)( [2.3-8] Mặt khác, theo định nghĩa của biến đổi Z có : 85 ∑ ∞ −∞= − = n n znxz X ).()( [2.3-9] Trong miền hội tụ của X(z), cả hai chuỗi trên đều hội tụ nên khi đồng nhất các hệ số của hai chuỗi [2.3-8] và [2.3- 9], tìm được dãy : n anx = )( [2.3-10] Vậy khi khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa [2.3-8], sẽ tìm được dãy x(n) theo các hệ số của chuỗi. Ví dụ 2.17 : Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh )( )( az z z X + = a. Với ||||:)]( [ azz XRC > b. Với ||||:)]( [ azz XRC < Giải : a. Chia cả tử số và mẫu số cho z nhận được : ).( )( )( 1 1 1 − + = + = za az z z X Vì ||||:)]( [ azz XRC > nên )(nx là dãy nhân quả, do đó hàm ảnh phải là chuỗi lũy thừa của n z − . Để khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của n z − , chia tử số cho đa thức mẫu số (1 + az -1 ) : 1 | 1 + az -1 _ 1 + az -1 1 - az -1 + a 2 z -2 - a 3 z -3 + a 4 z -4 - - az -1 - az -1 - a 2 z -2 + a 2 z -2 + a 2 z -2 + a 3 z -3 - a 3 z -3 - a 3 z -3 - a 4 z -4 + a 4 z -4 . Một cách tổng quát nhận được : n n n zaz X − ∞ = ∑ −= 0 )()( Theo [2.3-10] nhận được : )()()( nuanx n −= với ||||:)]( [ azz XRC > b. Với ||||:)]( [ azz XRC < thì x(n) là dãy phản nhân quả, nên hàm ảnh phải là chuỗi luỹ thừa của n z . Để khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa của n z , chia tử số cho đa thức mẫu số (az -1 + 1) : 1 | az -1 + 1 _ 1 + a -1 z a -1 z - a -2 z 2 + a -3 z 3 - a -4 z 4 + - a -1 z - a -1 z - a -2 z 2 + a -2 z 2 + a -2 z 2 + a -3 z 3 - a -3 z 3 - a -3 z 3 - a -4 z 4 + a -4 z 4 . Một cách tổng quát nhận được : m m m zaz X ∑ ∞ = − −−= 1 )()( Để đưa chuỗi về dạng [2.3-8] , đổi biến đặt n = (- m + 1) ⇒ m = (- n + 1) , khi m = 1 thì n = 0 và khi m = ∞ thì n = - ∞ : n n nn n n zazzaz X − −∞ = −+− −∞ = − ∑∑ −−=−−= 0 )1()1( 0 )1( )(.)()( Theo [2.3-10] và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được : )()()( 1 )1( +−−−= − nuanx n với ||||:)]( [ azz XRC < Từ ví dụ 2.17 có các nhận xét sau : - Cùng một hàm ảnh nhưng với hai miền hội tụ khác nhau sẽ nhận được hai hàm gốc khác nhau, điều đó có nghĩa là quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc của biến đổi Z hai phía chỉ là đơn trị khi ứng với một miền hội tụ xác định. Vì thế, để tìm biến đổi Z ngược của biến đổi Z hai phía, cần phải biết miền hội tụ của hàm ảnh X(z). - Trong ví dụ 2.17, chuỗi lũy thừa biến đổi có quy luật nên tìm được biểu thức của số hạng tổng quát n a và biểu thức của hàm gốc x(n). Trong đa số các trường hợp, khi chia đa thức để khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, không thể tìm được quy luật biến đổi của chuỗi lũy thừa, nên chỉ tìm được giá trị một số mẫu của hàm gốc x(n). Đó chính là nhược điểm cơ bản của phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, và vì thế phương pháp này ít được sử dụng. 2.3.3 Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức 86 Đây là phương pháp sử dụng bảng biến đổi Z cơ bản (bảng 2.3). Để tìm dãy x(n) của các hàm X(z) phức tạp, chỉ cần phân tích X(z) thành tổng của các hàm ảnh có trong bảng biến đổi Z , và áp dụng tính chất tuyến tính tìm được hàm gốc bằng tổng của các hàm gốc thành phần. Trong đa số trường hợp, có thể đưa hàm X(z) về dạng [2.1-20] : ) .( ) .( )( )( )( 1 1 1 1 1 10 )( . . NN NN MN MM MM azazaz zbzbzbzb z z z A D B AX ++++ ++++ == − − − − − [2.3-10] Trong đó A là hằng số và đa thức ở mẫu số D(z) có a 0 = 1 được gọi là đa thức đặc trưng của hàm X(z). Phương trình đặc trưng D(z) = 0 có N nghiệm z pk , chúng là các cực điểm của hàm X(z). Nếu hàm X(z) [2.3-10] có bậc của đa thức ở mẫu D(z) lớn hơn bậc của đa thức ở tử B(z), tức là N > M thì nó được gọi là hàm X(z) dạng chính tắc. Trong trường hợp hàm X(z) [2.3-10] có N ≤ M thì nó là hàm dạng không chính tắc. Khi đó, bằng cách chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu hoặc bằng biến đổi toán học, sẽ nhận được hàm X(z) dạng : )()( 0 . )( )( )(. zzcz XA zD zN zCAX NM r r r ′ + +=       = ∑ − = − Trong đó X’(z) là hàm dạng chính tắc. Vì C(z) là đa thức lũy thừa của z, nên có thể dễ dàng tìm được biến đổi Z ngược của nó : ∑ − = −== NM r r rnczIZTnc ACA 0 )()]([)( δ Vì vậy, trong mọi trường hợp chỉ cần nghiên cứu phương pháp tìm biến đổi Z ngược của hàm X(z) [2.3-10] dạng chính tắc. Có thể biểu diễn hàm X(z) chính tắc [2.3-10] qua các cực điểm z pk : )) ()(( ) ( )( )( )( 21 2 2 1 10 )( . . N MN M M ppp zzzzzz zbzbzbzb z z z A D B AX −−− ++++ == − [2.3-11] Các cực điểm z pk của hàm X(z) [2.3-10] và [2.3-11] có thể là các cực đơn (cực có giá trị khác nhau), hoặc các cực bội bậc q (q cực có giá trị giống nhau), hơn nữa z pk có thể là các số thực hoặc số phức. Trước hết chúng ta nghiên cứu trường hợp X(z) có nghiệm đơn giản. 2.3.3a Trường hợp hàm X(z) chỉ có các cực đơn là số thực Khi X(z) là hàm [2.3-10] hoặc [2.3-11] dạng chính tắc và có N cực đơn z pk là số thực (N cực thực đơn), thì có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức đơn giản dạng : )( . )()()()( )( )( 2 2 1 1 1 . N N N ppp k pk k zzzzzzzzz z z B BB B D B AX − ++ − + − = − == ∑ = [2.3-12] Để xác định hệ số k B , nhân cả hai vế của [2.3-12] với (z - z pk ) : )( )( )( )( )( )( ))(( 2 2 1 1 N N p pk k p pk p pk pk zz zz zz zz zz zz zzz B B BB X − − ++++ − − + − − =− Tại z = z pk thì trừ k B , còn tất cả các số hạng khác ở vế phải của biểu thức trên đều bằng không, do đó có : [ ] pk pkk zz zzz XB = −= ))(( [2.3-13] Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2.3-13] , tìm được dãy x(n) :         − =         − == − == ∑∑ )( . )( )]([)( 1 11 pk k k k pk k zz z zIZT zz IZTzIZTnx NN B B X Theo tính chất trễ và [2.1-18], với ]max[||:)]([ pk zzzXRC > , nhận được : ∑ = − −= N k n pk k nuznx B 1 )1( )( )( 1 [2.3-14] Dãy [2.3-14] có dạng trễ, để nhận được các dãy x(n) không ở dạng trễ như trên, chia cả hai vế của [2.3-10] cho z và phân tích hàm : ∑ = − == N k pk k zzzz z z z B D B A X 0 )()( )()( . . [2.3-15] Chỉ số k chạy từ 0, do z.D(z) = 0 có thêm một nghiệm z p0 = 0 (hoặc B(z) = 0 giảm một nghiệm tại z 01 = 0 ). Từ [2.3- 15] nhận được : 87 ∑ = − = N k pk k zz z z BX 0 )( )( [2.3-16] Trong đó, các hệ số k B được xác định theo biểu thức : pk pkk zz zz z z X B =       −= )( )( [2.3-17] Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2.3-16] , tìm được dãy x(n) :         − == ∑ = N k pk k zz z IZTzIZTnx BX 0 )( )]([)( Theo [2.1-18] hoặc bảng 2.3, với ]max[||:)]([ pk zzzXRC > , nhận được : ∑ = == N k n pkk nuzzIZTnx BX 0 )( )]([)( [2.3-18] Ví dụ 2.18 : Hãy tìm hàm gốc nhân quả của )( )( )( 682 5 2 +− + = zz z z X Giải : Hàm X(z) là phân thức dạng chính tắc. Vì đa thức đặc trưng có 12 0 ≠= a nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm : )()())(( )( )( )()( 31312 5 342 5 21 0 2 − + − += −− + = +− + = zzzzzz z zzz z z z BB B X Theo [2.3-17] xác định được các hệ số 0 B , 1 B , và 2 B : 6 5 312 5 0 312 5 ))(())(( )( 00 = −− =⇒ =       −− + = BB z zzz zz 2 3 4 6 311.2 51 1 312 15 ).( )( ))(( ))(( 11 −= − = − + =⇒ =       −− −+ = BB z zzz zz 88 3 2 12 8 133.2 53 3 312 35 ).( )( ))(( ))(( 22 == − + =⇒ =       −− −+ = BB z zzz zz Vậy : )()( )( 3 1 3 2 1 1 2 31 6 5 − + − −= zzzz z X Suy ra : )()( )( 33 2 12 3 6 5 − + − −= z z z z z X Vì dãy x(n) là nhân quả nên 3[ ||:)]( > zz XRC , theo [2.3-18] nhận được : )()()()]([)( 3 3 2 2 3 6 5 nununzIZTnx n X +−== δ 2.3.3b Trường hợp hàm X(z) có nhiều cực dạng phức tạp Để đơn giản và dễ hiểu mà không làm mất đi tính tổng quát, giả sử X(z) là hàm [2.3-10] hoặc [2.3-11] dạng chính tắc và có r cực thực đơn z pk , một cực thực bội z pq bậc q, một cặp cực phức liên hợp pe z và * pe z , khi đó có thể phân tích X(z) thành tổng của các phân thức dạng : ∑∑ == − + − + − + − = q i i pq i r k pk k pe pe zz zz zz zzz z CB EE X 10 * )( )( )( * )( )(  [2.3-19] Trong đó thành phần ứng với r cực thực đơn z pk là : ∑ = − = r k pk kb zzz z BX 0 )( )( [2.3-20] Thành phần ứng với cực thực bội z pq bậc q là : ∑ = − = q i i pq ic zz z z CX 1 )( )( [2.3-21] Thành phần ứng với cặp cực phức liên hợp pe z và * pe z là : )( * )( )( * pe pe e zz zzz z EE X − + − =  [2.3-22] Tương tự trường hợp hàm X(z) chỉ có các nghiệm thực đơn, các hệ số k B của [2.3-20] được xác định theo [2.3-17]. Với pkb zzz XRC max||:)]( [ > , từ hàm X b (z), theo [2.3-18] nhận được thành phần x b (n) : ∑ = == N k n pkkbb nuzzIZTnx BX 0 )( )]([)( [2.3-23] Các hệ số i C của [2.3-21] ứng với cực thực bội z pq , được xác định như sau : pq q pq iq iq i zz zz z z dz d iq X C =       − − = − − )( )( )!( )( )( 1 [2.3-24] Với ||||:)]( [ pqc zzz XRC > , từ hàm X c (z) nhận được thành phần x c (n) : ( ) ∑ = − − −−− = = q i in pqicc nuz i innn z CX IZTnx 1 )( )( )!( )) (( .)]( 1 11 [)( [2.3-25] Các hệ số phức  E và *  E ứng với cặp cực phức liên hợp pe z và * pe z . Ta chỉ cần xác định  E theo biểu thức : e j pe pe ezz z z E X E zz ϕ . )( )( =       −= =  [2.3-26] vì theo lý thuyết hàm biến số phức thì )(*)( * zz ff = , nên có : e j pe pe ezz z z EE X zz ϕ − ==       − = . *)( )( * *  89 Do đó có : )( )( )( * pe j pe j e zz e zz e z z ee EE X − + − = − ϕϕ Vậy : )( )( )( * pe j pe j e zz z e zz z ez ee EEX − + − = − ϕϕ với ||||:)]( [ pee zzz XRC > , từ hàm X e (z) nhận được hàm gốc x e (n) : )()()()()]([)( * nuzenuzezIZTnx n pe j n pe j ee ee EEX ϕϕ − +== )().|(|)().|(|)( nuezenuezenx n j pe j n j pe j e p e p e EE ϕ ϕ ϕ ϕ − − += ) ()(||)( zeze jn j jn j n pee eeeenuznx E ϕ ϕ ϕ ϕ − − +=         + = +−+ 2 .2 )()( )(||)( epep njnj n pee ee nuznx E ϕϕϕϕ Vậy : )cos().(||)]([)( .2 ep n peee nnuzzIZTnx EX ϕϕ +== [2.3-27] Trong đó hệ số phức e j e EE ϕ . =  được xác định theo biểu thức [2.3-25]. Từ đó, theo tính chất tuyến tính của biến đổi Z nhận được : )()()()]([)( nxnxnxzIZTnx cbe X ++== [2.3-28] Trong đó, x b (n) được xác định theo [2.3-23], x c (n) được xác định theo [2.3-25], và x e (n) được xác định theo [2.3- 27]. Ví dụ 2.19 : Cho 22 ba < , hãy tìm hàm gốc x(n) của hàm ảnh : ).( )( 22 2 bzaz z z X ++ = Với ||||:)]( [ bzz XRC > Giải : Bài này đã được giải bằng phương pháp thặng dư ở ví dụ 2.16. ở đây sẽ dùng phương pháp phân tích X(z) thành tổng của các đa thức đơn giản. Để nhận được dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm : ).( )( 22 2 1 bzaz z z X ++ = Vì 22 ba < , nên phương trình đặc trưng 02 22 . =++ bzaz có hai nghiệm là cặp số phức liên hợp : p j pp ezabjaz ϕ .||)( 22 =−+−= và : p j pp ezabjaz ϕ − =−−−= .||)( 22* Với : babaz p =−+= )(|| 222 và :         − −= a ab arctg p )( 22 ϕ [2.3-29] Để sử dụng công thức [2.3-27], theo biểu thức [2.3-26] tìm được : )())(( )( ** 1 pp p pp p zz zz zzzz zz EE − =⇒ =         −− − =  )( )()( 22 2222 2 1 2 ab e abjaabja j E − =       −−−−       −+− = − π  Vậy : )( || 22 2 1 ab EE − ==  và 2 ][ π ϕ −== e E Arg  Theo [2.3-27] nhận được dãy x(n) :       −− − = 2 . 2 1 2 .cos).( )( )( 22 π ϕ p n nnu ab nx b Biến đổi lượng giác và xác định p ϕ theo [2.3-29], nhận được kết quả : Với 22 ba < và |||| [ bz RC > thì :                   − − − =       ++ a ab arctgn ab nub bzaz z IZT n )( .sin. )( )( ).( 22 22 22 2 [2.3-30] So sánh [2.3-30] và [2.3-7] cho thấy, hai phương pháp thặng dư và phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản cho cùng một kết quả. 90 Các công thức [2.3-27] và [2.3-30] thường được sử dụng như một cặp biến đổi Z thông dụng để tìm biến đổi Z ngược của các hàm X(z) có hai nghiệm đơn là cặp số phức liên hợp. Ví dụ 2.20 : Tìm dãy nhân quả x(n) của 2 )( )( )( 12 5,2 − − = z zz z X Giải : Vì đa thức ở mẫu có 12 0 ≠= a nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để nhận được dãy x(n) dạng không trễ, phân tích hàm : 2 21 2 )5,0 5,0 5,04 5,2 ( )( )( )()( − + − = − − = z z z z z z CC X [2.3-31] Trong đó các hệ số được xác định như sau : 4 1 5,0 4 5,2 5,0 5,0 )( )( )( 2 1 = =       − = =       −= z z dz d z z z z dz d X C 2 1 4 5,25,0 5,0 4 5,2 5,0 5,0 )()( )( )( 2 2 −= − = =       − = =       −= z z z z z z X C Thay giá trị các hệ số trên vào [2.3-31] nhận được : 2 )( . )( . )( 5,0 1 2 1 5,0 1 4 1 − − − = z zz z X 2 )( )( )( 5,0 5,0 5,0 25,0 − − − = z z z z z X Vì x(n) là dãy nhân quả nên với ||||:)]( 5,0[ > zz XRC , theo bảng 3.2 nhận được : )().()()()( 5,05,0.25,0 nunnunx nn −= Hay : )).(()( 25,02 nnunx n −= − Ví dụ 2.21 : Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh : ))(( )( )( 1441 32 22 2 +−+ −+ = zzz zz z X với 1[ ||:)]( > zz XRC Giải : Vì đa thức ở mẫu có 14 0 ≠= a nên phải nhóm thừa số 4 ra ngoài. Để nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm : 2 2 22 2 )5,04 32 25,014 32 )()(( )( ))(( )()( −+− −+ = +−+ −+ = zjzjzz zz zzzz zz z z X [2.3-32] Phương trình đặc trưng 0)5,0 2 )()(( =−+− zjzjzz có : - Một nghiệm đơn tại 0 0 = p z , - Một nghiệm bội bậc 2 tại 5,0 1 = p z , - Hai nghiệm phức liên hợp tại jz p = 2 và jz p −= * 2 1 || 2 =⇒ p z và 2 2 π ϕ = p Theo các cực điểm trên, có thể phân tích hàm [2.3-32] thành dạng : )( * )( )( )( )( 2 21 5,0 5,0 jzjz z zzz z EE CC B X + + − + − + − +=  [2.3-33] Trong đó các hệ số được xác định như sau : 91 3 5,014 3 0 5,014 32 0 222 2 ).(.))(( )()( −= − − = =       −+ −+ = =       = z zz zz z z z z X B 5,0 14 32 5,0 5,0 )( )( )( )( 2 2 2 1 =       + −+ = =       −= z zz zz dz d z z z z dz d X C 44,3 5,0 14 3213141 222 222 1 )( ))(())(( = = + −++−++ = z zz zzzzzz C 8,0 5,0 14 32 5,0 5,0 )( )( )( )( 2 2 2 2 −= =       + −+ = =       −= z zz zz z z z z X C 1,1 2 2 .5,0 5,04 32 ))(( )( )( )( j e jz zjzz zz jz jz z z X E − ≈ =       −+ −+ = =       −=  Thay giá trị các hệ số vào [2.3-33], nhận được : )()( )( )( )( 1,11,1 2 .5,0.5,0 5,0 8,0 5,0 44,3 3 jz e jz e z zzz z jj X + + − + − − − += − − 1,11,1 2 5,05,0 5,0 5,0 5,0 8,0 5,0 44,33 )()( )( )( )( jj e jz z e jz z z z z z z X + + − + − − − += − − Theo bảng 3.2 và công thức [2.3-27] , với 1[ ||:)]( > zz XRC , nhận được :       −+−+= − 1,1 2 1.5,0.25,0.6,15,0.44,3)(3 .cos)(||)().()()()( nnununnunx nnn n π δ Hay : )(31,1 2 .6,144,32 .cos)()).(()( n nnunnunx n δ π −       −+−= − 92 .  ++ a ab arctgn ab nub bzaz z IZT n )( .sin. )( )( ).( 22 22 22 2 [2.3-30] So sánh [2.3-30] và [2.3-7] cho thấy, hai phương pháp thặng dư và phân tích