1.2 Dãy số Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng. 1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác định với đối số là các số nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số. Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được biểu diễn bằng hàm số : [ ] [ ]    ∉ ∈ = 300 301 , , )( nKhi nKhi nx - Biểu diễn dãy số x(n) dưới dạng bảng số liệu ở bảng 1.1. Bảng 1.1 Hình 1.6 : Đồ thị dãy x(n) n -∞ . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 . ∞ x(n) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 - Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6, - Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : { } .,0,0,1,1,1,1,0, . )( ↑ = nx Trong đó ký hiệu ↑ để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0. 1.2.2 Phân loại các dãy số 1.2.2a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên ∗ Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật và có thể biểu diễn được bằng một hàm số toán học. ∗ Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu diễn được bằng hàm số toán học. 1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn ∗ Dãy x p (n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức : )()( kN nxnx pp += [1.2-1] Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được gọi là chu kỳ. Dãy tuần hoàn x p (n) còn các tham số sau : - Tần số lặp lại : N f 1 = [1.2-2] - Tần số góc : N f π π ω 2 2 . == [1.2-3] ∗ Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = ∞. 1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn ∗ Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký hiệu là x(n) N . ∗ Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là n ∈ (- ∞ , ∞) ; n ∈ (0 , ∞) ; hoặc n ∈ (- ∞ , 0). 1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía ∗ Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0 , ∞) hoặc n ∈ (- ∞ , 0). ∗ Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n ∈ (- ∞ , ∞). Ví dụ 1.2 : - Dãy ∑ − = − = 1 0 1 2 )( N k k nx là dãy một phía hữu hạn có độ dài N . - Dãy ∑ −= − = N N k k nx 2 )( 2 là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1. - Dãy ∑ ∞ = − = 0 3 2 )( k k nx là dãy một phía vô hạn. - Dãy ∑ ∞ −∞= − = k k nx 2 )( 4 là dãy hai phía vô hạn. 1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ 11 31 2 1 40- 1 x ( n ) n ∗ Dãy x(n) là dãy chẵn nếu x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng. ∗ Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng. 1.2.2f Dãy thực và dãy phức ∗ Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn tín hiệu số và hệ xử lý số đều là dãy thực. ∗ Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n) Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại trên. Ví dụ 1.3 : - Dãy nj enx )( )( ωα +− = là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn. - Dãy x(n) = cos( ω .n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn. - Dãy x(n) = sin( ω .n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn. Hình 1.7 : Đồ thị dãy x(n) của ví dụ 1.4. Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n) trên hình 1.7 là dãy xác định, hai phía, chẵn và đối xứng, vô hạn, tuần hoàn với chu kỳ N = 5. - Dãy y(n) trên hình 1.8 là dãy xác định, một phía, không tuần hoàn, có độ dài hữu hạn N = 5. 1.2.3 Các dãy cơ bản Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n) Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số. 1.2.3a Dãy xung đơn vị δ (n) Dãy xung đơn vị δ (n) đối với hệ xử lý số có vai trò tương đương như hàm xung Dirăc δ (t) trong hệ tương tự, nhưng dãy δ (n) đơn giản hơn. Dãy xung đơn vị δ (n) có hàm số như sau :    ≠ = = 00 01 )( nKhi nKhi n δ [1.2-4] δ (n) Hình 1.9 : Đồ thị dãy δ (n) Đồ thị dãy δ (n) trên hình 1.9. Dãy δ (n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị bằng 1, nên δ (n) là dãy hữu hạn có độ dài N = 1. δ (n - 5) δ (n + 5) Hình 1.10 : Đồ thị các dãy δ (n - 5) và δ (n + 5) Mở rộng có dãy xung đơn vị δ (n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :    ≠ = =− knKhi knKhi kn 0 1 )( δ [1.2-5] Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ (n - 5) và δ (n + 5) 12 31 2- 1 4 5- 2- 3- 4- 5- 6 0 . . . . . 0 , 60 , 6 6 7 8- 7- 8 . . . . . 1 x ( n ) n 0 , 6 - 1 0 , 8 3 0 , 4 1 0 62 5 0 , 2 - 2 1 4 y ( n ) n 21 1 - 1- 2 0 n 11 0- 54- 1 - 2 1 0 3 5 - 1- 3- 42 1 n n 1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n) Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như hàm bậc thang đơn vị 1(t) trong hệ tương tự. Dãy bậc thang đơn vị u(n) có hàm số như sau :    ≥ < = 01 00 )( nKhi nKhi nu [1.2-6] Dãy u(n) là dãy một phía, vô hạn, và tuần hoàn với chu kỳ N = 1. Đồ thị của dãy bậc thang đơn vị u(n) trên hình 1.11. Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n) Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm:    ≥ < =− knKhi knKhi knu 1 0 )( [1.2-7] Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2). u(n - 2) u(n + 2) Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2) Vì dãy δ (n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k , nên nếu lấy tổng của δ (n - k) với k chạy từ 0 đến ∞ , sẽ nhận được dãy u(n). Hơn nữa, trong khoảng (0 ≤ n < ∞) tại mọi k luôn có : 1 )().()( =−= kkk nuu δ Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy δ (n) theo biểu thức : ∑∑ ∞ = ∞ = −=−= 00 )().()()( kk kkk nunnu δδ [1.2-8] Dãy δ (n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức : )()()( 1 −−= nunun δ [1.2-9] 1.2.3c Dãy chữ nhật rect N (n) Dãy chữ nhật rect N (n) có hàm số như sau : [ ] [ ]    ∉ ∈ = − − )(, )(, )( 100 101 N N nKhi nKhi nrect N [1.2-10] Dãy chữ nhật rect N (n) là dãy một phía, có độ dài hữu hạn N và xác định trong miền n ∈ [0 , (N-1)], tuần hoàn với chu kỳ bằng 1. Đồ thị của dãy chữ nhật rect N (n) trên hình 1.13. Mở rộng có dãy chữ nhật rect N (n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm : rect N (n) 13 3- 1 21 . . . . . . . . ∞ 0 1 u ( n ) n 0 1 2 1 - 1 43 5 0 1- 3 1 - 2 - 1 . . . . ∞ ∞ . . . . . . . . . . . . n n - 1 . . . . 1 . . . . 210 ( N - 1 ) n Hình 1.13 : Đồ thị dãy rect N (n) [ ] [ ]    −+∉ −+∈ =− )(, )(, )( 10 11 kNk kNk k nKhi nKhi nrect N [1.2-11] Đồ thị của các dãy chữ nhật rect 4 (n - 2) và rect 4 (n + 2) trên hình 1.14 rect 4 (n - 2) rect 4 (n + 2) n n Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect 4 (n - 2) và rect 4 (n + 2) Có thể biểu diễn dãy rect N (n) qua dãy δ (n) theo biểu thức : ∑ ∑ − = − = −=−= 1 0 1 0 )().()()( N N NN k k kkk nrectnnrect δδ [1.2-12] Dãy rect(n) N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức : )()()( N nununrect N −−= [1.2-13] 1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin Dãy hàm sin có dạng như sau : ( ) nnnx N 0 sinsin)( 2 ω π =       = với N π ω 2 0 = [1.2-14] Dãy sin( ω 0 .n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin( ω 0 .n) ở hình 1.15. Dãy hàm cosin có dạng như sau : ( ) nnnx N 0 coscos)( 2 ω π =       = với N π ω 2 0 = [1.2-15] Dãy cos( ω 0 .n) là dãy vô hạn, hai phía, chẵn và đối xứng, liên tục, và tuần hoàn với chu kỳ N. sin( ω 0 .n) n Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin( ω 0 .n) với N = 10 1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số 1.2.4a Phép dịch tuyến tính Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu : )()( knxny −= [1.2-16] - Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n). - Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n). Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường được gọi vắn tắt là phép dịch. Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ. Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng. Ví dụ 1.5 : Cho dãy )()( nunx = , hãy xác định các dãy : a. )()( 2 1 −= nxny b. )()( 2 2 += nxny 14 1 1 650 0- 2 - 13 32 - 3 241 1- 4- 1 - 0 , 9 5 - 0 , 5 9 321 1 04 0 , 5 9 - 1 0 - 5 5 0 , 9 5 Giải : a. Vì k = 2 > 0 nên dãy )()()( 22 1 −=−= nunxny là dãy )(nu bị giữ chậm 2 mẫu, đồ thị dãy )()( 2 1 −= nuny nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy )()( nunx = đi 2 mẫu theo trục tung. b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy )()()( 22 2 +=+= nunxny là dãy )(nu được đẩy sớm 2 mẫu, đồ thị dãy )()( 2 2 += nuny nhận được bằng cách dịch trái đồ thị dãy )()( nunx = đi 2 mẫu theo trục tung. Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 và 1.12. 1.2.4b Tổng đại số của các dãy Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy x i (n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tổng đại số tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần. Kí hiệu : ∑ = = M i i nxny 1 )()( [1.2-17] Ví dụ 1.6 : Cho dãy )()( 41 nrectnx = và dãy )()( 1 32 −= nrectnx , hãy xác định dãy )()()( 21 nxnxny −= Giải : Có )()()()( 1 34 nnrectnrectny δ =−−= Để thấy rõ hơn kết quả trên, xác định y(n) bằng đồ thị như trên hình 1.16. 1.2.4c Phép nhân các dãy Định nghĩa : Tích của M dãy x i (n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần. Kí hiệu : ∏ = = M i i nxny 1 )()( [1.2- 18] Ví dụ 1.7 : Cho dãy )()( 1 nunx = và dãy )()( 2 52 += nrectnx , hãy xác định dãy )().()( 21 nxnxny = . Giải : Theo định nghĩa có : )()().()( 35 2 nrectnrectnuny =+= Để thấy rõ hơn kết quả trên, có thể giải ví dụ bằng bảng 1.2 dưới đây : Bảng 1.2 rect 4 (n) rect 3 (n - 1) y(n) = δ (n) Hình 1.16 : Đồ thị xác định rect 4 (n) - rect 3 (n-1) = δ (n) n -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 1 (n) = u(n) 0 0 0 1 1 1 1 1 x 2 (n) = rect 5 (n + 2) 0 1 1 1 1 1 0 0 y(n) = x 1 (n).x 2 (n) = rect 3 (n) 0 0 0 1 1 1 0 0 Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy u(n) là một dãy bằng chính nó trong miền n ≥ 0. 1.2.4d Phép nhân một dãy với hằng số Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng tích của a với các mẫu tương ứng của x(n). Kí hiệu : )(.)( nxany = [1.2-19] Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ. Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect 4 (n) , hãy biểu diễn dãy y(n) = 2.rect 4 (n) dưới dạng dãy số liệu. Giải : Dãy rect 4 (n) có dạng dãy số liệu là { } 1,1,1,1 )( ↑ = nx Dãy y(n) = 2.rect 4 (n) có dạng dãy số liệu là { } 2,2,22 ,)( ↑ = ny 1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính 1.2.5a Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính giữa hai dãy x 1 (n) và x 2 (n) là dãy y(n) được xác định và ký hiệu theo biểu thức : )(*)()().()( 2121 nxnxnxxny k kk =−= ∑ ∞ −∞= [1.2-20] Tích chập tuyến tính thường được gọi vắn tắt là tích chập. 1.2.5b Các tính chất của tích chập 15 0 3- 1 421 0 3- 1 421 0 3- 1 421 1 1 1 n n n 1. Tính giao hoán : )(*)()(*)( 1221 nxnxnxnx = [1.2-21] Chứng minh : Theo công thức định nghĩa tích chập [1.2-20] có : ∑ ∞ −∞= −= k kk nxxnxnx )().()(*)( 2121 Đổi biến cho biểu thức ở vế phải, đặt m = (n - k) ⇒ k = (n - m). Khi k → - ∞ thì m → ∞ và khi k → ∞ thì m → - ∞ , nhận được : ∑∑ −∞ ∞= ∞ −∞= −=− mk mxmnxnxx kk )().()().( 2121 Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải, nhận được : ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −=− kk kkkk nxxnxx )().()().( 1221 Đây chính là biểu thức [1.2-21] : )(*)()(*)( 1221 nxnxnxnx = 2. Tính kết hợp : [ ] )(*)](*)([)(*)(*)( 321321 nxnxnxnxnxnx = [1.2-22] Chứng minh : áp dụng tính giao hoán cho vế trái của [1.2-22] : [ ] == )(*)](*)([)(*)(*)( 132321 nxnxnxnxnxnx =−       −= ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= )(.)(.)( 132 kkk nxnxx k k =−       −= ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= )(.)(.)( 312 kkk nxnxx k k )(*)](*)([ 321 nxnxnx Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22] 3. Tính phân phối : [ ] )(*)()(*)()()(*)( 3121321 nxnxnxnxnxnxnx +=+ [1.2-23] Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích chập [1.2-20] : [ ] ∑ ∞ −∞= −+−=+ k kkk nxnxxnxnxnx )]()().[()()(*)( 321321 [ ] ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −+−=+ kk kkkk nxxnxxnxnxnx )().()().()()(*)( 2121321 Vậy : [ ] )(*)()(*)()()(*)( 3121321 nxnxnxnxnxnxnx +=+ Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-23]. 1.2.5c Hệ quả : Mọi dãy x(n) đều bằng tích chập của chính nó với hàm xung đơn vị δ (n) : )(*)()().()( nnxnxnx k kk δδ ∑ ∞ −∞= =−= [1.2-24] 16 . xử lý tín hiệu số. 1.2.3a Dãy xung đơn vị δ (n) Dãy xung đơn vị δ (n) đối với hệ xử lý số có vai trò tương đương như hàm xung Dirăc δ (t) trong hệ tương. có dãy xung đơn vị δ (n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :    ≠ = =− knKhi knKhi kn 0 1 )( δ [1.2-5] Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn