1. Trang chủ
  2. Giáo Dục - Đào Tạo

Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay

62 545 0
Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay

III BÊt ®¼ng thøc gi÷a c¸c c¹nh, c¸c ®­êng tam gi¸c Bµi 30 Cho tam gi¸c ABC Gäi a, b, c vµ ha, hb, hc lÇn l­ỵt lµ c¸c c¹nh vµ c¸c ®é dµi cđa c¸c ®­êng cao kỴ tõ A, B, C; R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp vµ S lµ diƯn tÝch tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: 1) a h 3b  b h 3c  c h 3a  96RS ; 2) a b c 3R  2  S hb hc Gi¶i 1) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta cã a hb3  b hc3  c ha3  3a hb b hc c  3abc  aha  bhb chc L¹i cã Suy ah a bh b ch c  2S.2S.2S  8S3 ; abc = 4RS a h 3b  b h 3c  c h 3a  96RS (®pcm) a  bc a h  b h  c h   b  a c  a  b  c DÊu “ = ” x¶y   ah a  bh b  ch c c  ab  b c a 2) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta cã a b c abc    33 2  hb hc ha hb hc 3abc  aha bhb chc  L¹i cã a.h a b.h b c.h c  8S3 ; abc = 4RS  a b c 3.4.RS 3R (®pcm)  2 2  hb hc  S 2 S a  bc b c  a   2   b  ca  a  b  c DÊu “ = ” x¶y   hb h c h a a.h  b.h  c.h c  ab b c  a   Më réng: Víi mäi tam gi¸c ABC, ta lu«n cã: a  h 3b  b  h 3c  c  h 3a  2   .S    R   ( ,   ) 39 (Chøng minh dµnh cho b¹n ®äc) Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ a, b, c; S lµ diƯn tÝch Chøng minh r»ng a  b  c  3S  a  b   b  c   c  a  2 (*) Gi¶i Ta cã 2 (*)   a   b  c    b   c  a     c   a  b    3S        p  b p  c   p  c p  a   p  a p  b   3S (víi p lµ nưa chu vi) x  p  b  §Ỉt:  y  p  c  x  y  z  3p  a  b  c   p z  p  a  Ta l¹i cã S= pp  a p  b p  c  Khi ®ã, (*) t­¬ng ®­¬ng víi: xy + yz + xz  3xyz( x  y  z)  x y  y z  z x  xyz( x  y  z)  3xyz( x  y  z)  x y  y z  z x  xyz( x  y  z) LÇn l­ỵt ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè d­¬ng, ta cã: x y  y z  xy z ; y z  z x  xyz ; z x  x y  x yz Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®­ỵc x y  y z  z x  xyz( x  y  z) (®pcm) DÊu “ = ” x¶y  x y  y z  z x  x  y  z  a  b  c NhËn xÐt  Tõ bÊt ®¼ng thøc (*), ta cã bÊt ®¼ng thøc ab  bc  ca  3S (**) ThËt vËy, ta cã (*)  2(ab  bc  ca )  3S  a  b  c  ab  bc  ca  3S (do a  b  c  ab  bc  ca )  §Ĩ chøng minh (**), ta kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i chøng minh (*) mµ cã thĨ chøng minh trùc tiÕp nh­ sau: 40 Theo c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch: S  abc , thay vµo (**) ta cã: 4R 3abc R ab  bc  ca   1 1        (theo §L hµm sè sin) a b c R sin A sin B sin C (bÊt ®¼ng thøc ®· ®­ỵc chøng minh ë bµi 24(c©u 1) ) VËy (* *) ®óng DÊu “ = ” x¶y  sin A = sin B = sin C  A = B = C  Tõ (* *) ta suy ®­ỵc mét sè bÊt ®¼ng thøc “kh¸ ®Đp”: 1) a  b  c  24 27 S ; 2) a  b  c  3.S ; 3) a  b  c  84 3.S S ; 4) a  b  c  16S   Chøng minh Ta cã 3( xy  yz  zx )  ( x  y  z)  x  y  z ?? Khi ®ã, tõ (**) ta suy ra: 1) a  b  c   3ab  bc  ca   3.4 3S  a  b  c  24 27 S   (®pcm) 2) a  b  c  a  b  c   27 S  a  b  c  3.S 4)    (®pcm) a  b4  c4  a  b2  c2   16.3.S  a  b  c  16S2 3) §Ĩ chøng minh 3) ta dùa vµo mét c¸c bÊt ®¼ng thøc (**), 1) hc 2)  ab  bc  ca  T    §Ỉt 1/  ab  bc  ca  3T LÇn l­ỵt ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta ®­ỵc: a  b  T  3abT ; b  c  T  3bcT ; c  a  T  3caT Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®­ỵc   a  b  c  3T  3Tab  bc  ca   9T 41   ab  bc  ca  a  b  c  3T  3     3.S    84 3.S S a  b  c  3     (®pcm) DÊu “ = ” x¶y  a = b = c = T  ABC lµ tam gi¸c ®Ịu (Ngoµi c¸ch chøng minh trªn, ta cßn cã c¸ch chøng minh “rÊt bÊt ®¼ng thøc” sÏ ®­ỵc tr×nh bµy theo bµi riªng)  Më réng bµi to¸n (* *): Víi mäi tam gi¸c ABC, ta lu«n cã        1 a b  b c  c a  Gi¶i Thay S   S (  +) (1) abc vµo (1) vµ ¸p dơng ®Þnh lÝ hµm sè sin, ta ®­ỵc 4R  1 1     (1)  sin  A sin  B sin  C ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta cã 1       sin A sin B sin C sin A sin B sin C  / (2) 3 / 3 /3 L¹i cã sin A.sin B.sin C   sin A sin B sin C    (3)  1 1      .3 (®pcm) Tõ (2) vµ (3) suy    /2 sin A sin B sin C  Më réng bµi to¸n (*): n a 2n b 2n c (2) Gi¶i Ta cã 42 2n  4S  2n 2n 2n  3.   a  b   b  c   c  a  (n  3  *)  (2)  a 2n  b  c  2n  b 2n  c  a  2n  c 2n  a  b  2n  n  4S   3.  (2*)  3 ChØ cÇn chøng minh (2*) ®óng víi n  (n = chÝnh lµ bÊt ®¼ng thøc (*)), ta cã:  b  c 1 bc a  b  c 1   b  c 2    ;  a  n a2 a (3) 2 a  b  c   a  b  c   a  a  b  c      a2 a2   n 2 Tõ (3), (4) suy b  c 2  a  b  c 2  b  c 2 n a a a 2n a  (4)  b  c  a 2n   a n  b  c   a  b  c  2n  n  n  a n  b  c   n p  b p  c  2n n (5) DÊu “ = ” cđa (5) x¶y  b = c Chøng minh t­¬ng tù, ta cã: b n  c  a   n p  c  p  a  2n n (6) DÊu “ = ” cđa (6) x¶y  c = a Vµ cã c n  a  b   n p  a p  b  2n n (7) DÊu “ = ” cđa (7) x¶y  a = b Céng tõng vÕ cđa (5), (6), (7), ta ®­ỵc VT(2*)  4n  p  b   §Ỉt n  p  c   p  c  p  a   p  a  p  b n n n n n   x  p  b   y  p  c  x  y  z  p  (a  b  c)  p z  p  a  Khi ®ã VT(2*)  4n  x n y n  y n z n  z n x n  LÇn l­ỵt ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho hai sè d­¬ng, ta ®­ỵc:    2 yz x  x n y n  y n z n  xz y zn x n  x n yn n n  (8); y n z n  z n x n  xy z  n (9) (10) 43 Céng tõng vÕ cđa (8), (9), (10), ta ®­ỵc  xyz  VT(2*)  4n §Ỉt A n   xn  y n  z n xyz  x  y  z  3A LÇn l­ỵt ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho n sè d­¬ng, ta ®­ỵc: x n  x n  An      An  n.x A n 2 ; (11) y n  y n  An      An  n.y A n 2 ; (12) z n  z n  An      An  n.z A n 2 (13)  n  laˆ`n  n  laˆ`n  n  laˆ`n Céng tõng vÕ cđa (11), (12), (13), ta ®­ỵc   x n  y n  z n  3n   A n  n A n 2 x  y  z   3n A n xyz  x  y  z 3     n n n n DÊu “ = ” x¶y  a = b = c Do ®ã n  p  p  a  p  b  p  c    xyz ( x  y  z )  n *  VT(2 )      3     n n  4.S   VT(2 )     3 * (®pcm) DÊu “ = ” x¶y  a = b = c Bµi 32 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh lµ a, b, c Gäi p lµ nưa chu vi, S lµ diƯn tÝch Chøng minh r»ng p  27 S (*) Gi¶i Ta cã: pa  44 bca  0; pb  cab  0; pc  a bc 0 ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta cã p3 pa pbpc       p  a  p  b  p  c  p  a p  b p  c   27    p4  pp  a  p  b  p  c   S  p  27 S (®pcm) 27 DÊu “ = ” x¶y  p  a  p  b  p  c  a  b  c Chó ý:  Tõ (*) ta suy hai bÊt ®¼ng thøc sau: 2) S  3r 1) p  3r ;      1 Më réng bÊt ®¼ng thøc (*): a  b  c    S (  +) (1) Chøng minh: §Ĩ chøng minh (1), nÕu th«ng qua bÊt ®¼ng thøc (*) sÏ phøc t¹p Ta chøng minh trùc tiÕp b»ng c¸ch dïng ®Þnh lÝ hµm sè sin vµ ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si Ta cã      1  sin A   sin B   sin C  * (1)         2 (1 )  sin B sin C   sin C sin A   sin A sin B  ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta cã:     sin A   sin B   sin C           sin B sin C   sin C sin A   sin A sin B  sin A.sin B.sin C V×   3 3 3 34     sin A.sin B.sin C    sin A.sin B.sin C     22    1 VT(1*)  2 DÊu “ = ” x¶y   (®pcm) sin A sin B sin C   sin B.sin C sin C.sin A sin A.sin B  sin A  sin B  sin C  A  B  C  T­¬ng tù, ta cã bÊt ®¼ng thøc “kh¸ ®Đp” sau: ab  bc  ca  8.4 3.S S (2) 45        Më réng (2), ta ®­ỵc a b  b c  c a   1  S  (,   0) Bµi 33 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh lµ a, b, c vµ S lµ diƯn tÝch Chøng minh r»ng víi hai sè nguyªn d­¬ng x, y bÊt k×, ta lu«n cã  x  x  x  8x  y  S S  a  b  b  c  c  a   y  y  y  27 y  (1) Gi¶i Ta cã (1)  ay  xb by  xc cy  xa   8x  y  S S 27 (2) LÇn l­ỵt ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho (x + y) sè d­¬ng, ta cã a   a  b   b  x  y    ylaˆ`n ( x y) a y b x xlaˆ`n  ay  bx  x  y  ( xy) a y b x (3) T­¬ng tù: by  cx  x  y  ( xy) b y c x ; (4) cy  ax  x  y  ( xy) c y a x (5) Nh©n tõng vÕ cđa (3), (4), (5) víi nhau, ta ®­ỵc: ay  bx by  cx cy  ax   x  y 3 abc §Ĩ (2) ®óng ta chØ cÇn chøng minh abc  8S S 27 (6) Theo c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch, ta cã 2S  ab sin C  bc sin A  ca sin B  8S3  a b c sin A.sin B.sin C  3 2 8S S a b c  abc  27 DÊu “ = ” cđa (6) x¶y  sinA = sinB = sinC  ABC ®Ịu Suy (2) ®óng VËy (1) ®óng DÊu “ = ” cđa (1) x¶y  ABC ®Ịu Chó ý:  Tr­êng hỵp ®Ỉc biƯt x = y, ta cã (a  b)(b  c)(c  a )  46 64S S 27    x  y  S x x  x  Më réng (1), ta cã  a   b  . b   c  . c   a     y y  y    y   ViƯc chøng minh ®­ỵc bÊt ®¼ng thøc abc  3 8S S ®· gióp ta gi¶i qut ®­ỵc 27 mét sè bµi to¸n më réng cđa bµi 31 mét c¸ch rÊt ®¬n gi¶n VÝ dơ: Ta chøng minh bµi to¸n më réng sau: 1 a  b   b  c   c  a        S   (   0) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta cã a  b   b  c   c  a   3(abc)   1      S   (®pcm) a  b   b  c   c  a   DÊu “ = ” x¶y    a  b  c 8S S abc   27  Bµi 34 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh lÇn l­ỵt lµ a, b, c Gäi p lµ nưa chu vi, S lµ diƯn tÝch, r lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp Chøng minh r»ng 3.4 1 p2     p  a p  b p  c 3r S (1) Gi¶i Ta cã: p – a > 0; p – b > 0; p – c > +) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta cã  1  27 27 p        p  a p  b p  c  (p  a )(p  b)(p  c) S Theo bµi 32 ta cã p   1  27.4 27   27 S     S S  pa pb pc  1   pa pb pc  3.4 S (®pcm) 47  DÊu “ =” x¶y +) XÐt 1  p  a  p  b  p  c  p  27 S   a = b = c 1 (p  a )(p  b)  (p  c)(p  b)  (p  c)(p  a ) =   pa pb pc (p  a )(p  b)(p  c) L¹i cã 3(xy + yz + zx)  (x + y + z)2 x, y, z Suy ( p  a  p  b  p  c) 1    p  a p  b p  c 3( p  a )( p  b)( p  c)  DÊu “=” x¶y p2 p3 p2   (®pcm) 3( p  a )( p  b)( p  c) 3S 3r  pa=pb=pc  a=b=c Chó ý:  D¹ng t­¬ng ®­¬ng cđa (1): 3.4 1 p2     S a  b  c b  c  a c  a  b 6r      43                Më réng (1):   S   pa   pb  pc    (  R  ) (*) Chøng minh: ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc C«-si cho ba sè d­¬ng, ta ®­ỵc                   p a   p b   p c  ( p  a )( p  b )( p  c )       Mµ p  ( ) S nªn VP(**)   3.( ) S S 48 2    p 3 p   p( p  a)( p  b)( p  c) 4 3   3.  S   (**)   (*) ®óng  S 2 BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph­¬ng tr×nh D¹ng 1: To¸n chun ®éng Bµi 1:Mét « t« ®i tõ A->B dµi 120 km mét thêi gian dù ®Þnh Sau ®i ®­ỵc nưa qu·ng ®­êng xe t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h nªn ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 12 TÝnh vËn tèc dù ®Þnh S (km) v (km/h) t (h) C¶ qu·ng 120 x (®k: x>0) 120/x ®­êng AB Nưa qu·ng 60 ®­êng ®Çu Nưa qu·ng 60 ®­êng sau Kq: VËn tèc dù ®Þnh 50km/h Bµi 2:Mét «t« ®i tõ A-B dµi 250 km víi mét vËn tèc dù ®Þnh.Thùc tÕ xe ®i hÕt qu·ng ®­êng víi vËn tèc t¨ng thªm 10km/h sovíi vËn tèc dù ®Þnh nªn ®Õn B gi¶m ®­ỵc 50phót TÝnh v dù ®Þnh Kq: VËn tèc dù ®Þnh 50km/h Bµi 3:Mét ng­êi ®ixe m¸y tõ A->B lóc 7h s¸ng víi vËn tèc trung b×nh lµ 30km/h Sau ®i ®­ỵc nưa qu·ng ®­êng ng­¬i ®ã nghØ 20 råi ®i tiÕp nưa qu·ng ®­êng sau víi vËn tèc trung b×nh 25 km/h TÝnh SAB BiÕt ng­êi ®ã ®Õn B lóc 12 giê 50 Bµi 4:Mét « t« ®i tõ A->B mét thêi gian dù ®Þnh ,nÕu ®i víi vËn tèc trung b×nh lµ 35km/h th× ®Õn B chËm giê,nÕu ®i víi vËn tèc trung b×nh lµ 50km/h th× ®Õn B sím giê TÝnh SAB vµ thêi gian dù ®Þnh ban ®Çu ? S (km) v (km/h) t (A->B) qu·ng ®­êng x (®k: AB x>0) Thay ®ỉi x 35 Thay ®ỉi x 50 x x -2= +1 Kq: giê ; 350 km 35 50 Bµi 5:Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ bÕn A Sau 5h 20 Mét chiÕc ca n« còng khëi hµnh tõ bÕn A ®i theo vµ gỈp thun c¸ch A 20km TÝnh vËn tèc cđa thun BiÕt vËn tèc cđa ca n« lín h¬n vËn tèc cđa thun 12km/h S (km) v (km/h) t (A->B) Thun 20 x (®k: x>0) Ca n« 20 x+12 Kq: v thun :3 km/h Bµi 6:Hai chiÕc ca n« cïng khëi hµnh tõ bÕn A vµ B c¸ch 85 km vµ ®i ng­ỵc chiỊu vµ gỈp sau giê 40 vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ng­ỵc dßng lµ 9km/h TÝnh vËn tèc riªng cđa mçi ca n« BiÕt vËn tèc cđa dßng lµ 3km/h VËn tèc riªng V xu«i dßng V ng­ỵc dßng t (h) Ca n« x X+3 5/3 Ca n« y y-3 5/3 Bµi 7:Mét ng­êi ®i xe m¸y vµ mét ng­êi ®i xe ®¹p cïng ®i tõ A->B dµi 57km Ng­êi ®i xe m¸y sau ®Õn B nghØ 20 råi quay vỊ A gỈp ng­êi ®i xe ®¹p c¸ch B 24 km TÝnh vËn tèc cđa mçi ng­êi BiÕt vËn tèc ng­êi ®i xe m¸y lín h¬n vËn tèc cđa ng­êi ®i xe ®¹p lµ 36km/h S (km) v (km/h) t (A->gỈp nhau) Xe ®¹p 57-24=33 x (®k: x>0) 33/ x Xe m¸y 57+24=81 Bµi 8:Mét ng­êi ®ixe ®¹p tõ A->B víi vËn tèc trung b×nh lµ 9km/h tõ B vỊA ng­êi ®ã chän ®­êng kh¸c ®Ĩ vỊ nh­ng dµi h¬n ®­êng lóc ®i lµ km, vµ ®i víi vËn tèc lµ 12 km/h nªn thêi gian vỊ Ýt h¬n lóc ®i lµ 20 TÝnh SAB lóc ®i (Gäi ®é dµi qò·ng ®­êng AB lµ x (>0) Kq: SAB =30km) Bµi 9:Mét chiÕc ca n« khëi hµnh tõ bÕn A - B víi vËn tèc 30 km/h råi tõ B quay vỊ A BiÕt r»ng thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng­ỵc dßng lµ 40 TÝnh SAB BiÕt vËn tèc cđa dßng lµ 3km/h vµ vËn tèc thËt kh«ng ®ỉi Bµi 10:Mét ng­êi ®ixe ®¹p tõ A->B víi vËn tèc trung b×nh lµ 12km/h Sau ®i ®­ỵc 1/3 qu·ng xe bÞ háng ng­êi ®ã ngåi chê «t« mÊt 20 vµ ®i «t« víi vËn tèc 36km/h,nªn ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 1h20phót TÝnh SAB Gäi ®é dµi qò·ng ®­êng AB lµ x (>0) Kq: SAB= 45km Bµi 11:Mét chiÕc ca n« khëi hµnh tõ bÕn A - B dµi 120 km råi tõ B quay vỊ A mÊt tỉng céng 11 giê TÝnh vËn tèc cđa ca n«.BiÕt vËn tèc cđa dßng lµ 2km/h vµ vËn tèc thËt kh«ng ®ỉi Bµi 12:Mét chiÕc ca n« ch¹y trªn s«ng 7h , xu«i dßng 108 km vµ ng­ỵc dßng 63 km Mét lÇn kh¸c ca n« còng ch¹y trong7h ,xu«i dßng 81 km vµ ng­ỵc dßng 84 km.TÝnh vËn tèc cđa dßng n­íc ch¶y vµ vËn tèc BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” riªng cđa ca n« (Cã thĨ chän Èn Kq: vËn tỉc riªng x=24km/h ;vËn tèc dßng y=3km/h Bµi 13:Lóc 7h30 mét «t«®i tõ A-B nghØ 30phót råi ®i tiÕp ®Õn C lóc 10h 15phót BiÕt qu·ng ®­êng AB=30km;BC=50km, vËn tèc ®i trªn AB nhá h¬n ®i trªn BC lµ 10km/hTÝnh vËn tèc cđa «t« trªn qu·ng ®­êng AB, BC (Gäi vËn tèc qu·ng ®­êng AB lµ x, trªn BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h D¹ng 2: To¸n cã néi dung h×nh häc Bµi 1:Mét khu v­ên hcn cã chu vi 280m Ng­êi ta lµm mét lèi ®i xung quanh v­ên (thc ®Êt cđa v­ên) réng 2m ,diƯn tÝch cßn l¹i lµ 4256m2.TÝnh c¸c kÝch th­íc cđa v­ên (réng x=60m, dµi =80m Bµi 2:Mét hcn cã chu vi 90m.NÕu t¨ng chiỊu réng lªn gÊp ®«i vµ gi¶m chiỊu dµi ®i15m th× ta ®­ỵc hcn míi cã diƯn tÝch = diƯn tÝch hcn ban ®Çu TÝnh c¸c c¹nh cđa hcn ®· cho (réng x=15m, dµi =30m) Bµi 3:Mét hcn NÕu t¨ng chiỊu dµi thªm 2m vµ chiỊu réng 3m th× diƯn tÝch t¨ng 100m2 NÕu cïng gi¶m chiỊu dµi vµ chiỊu réng 2m th× diƯn tÝch gi¶m 68m2.TÝnh diƯn tÝch thưa réng ®ã (Kq:22m;14m) Bµi 4:Mét thưa rng h×nh tam gi¸c cã diƯn tÝch 180m2, TÝnh chiỊu dµi c¹nh ®¸y thưa rng , biÕt r»ng nÕu t¨ng c¹nh ®¸y thªm 4m vµ chiỊu cao gi¶m ®i 1m th× diƯn tÝch kh«ng ®ỉi (c¹nh ®¸y x=36m) Bµi 5:Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi lµ 30m , c¹nh hun lµ 13m TÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cđa tam gi¸c D¹ng 3: To¸n cã néi dung sè häc, phÇn tr¨m Bµi 1:Cho mét sè gåm ch÷ sè T×m sè ®ã biÕt r»ng tỉng ch÷ sè cđa nã nhá h¬n sè ®ã lÇn vµ thªm 25 vµo tÝch cđa ch÷ sè ®ã sÏ ®­ỵc sè viÕt theo thø tù ng­ỵc l¹i sè ®· cho Cã thĨ chän Èn Kq:sã ®ã lµ 54 Bµi 2:Cho mét sè gåm ch÷ sè T×m sè ®ã biÕt r»ng :Khi chia sè ®ã cho tỉng ch÷ sè cđa nã th× ®­ỵc th­¬ng lµ vµ d­ 11.Khi chia sè ®ã cho tÝch ch÷ sè cđa nã th× ®­ỵc th­¬ng lµ vµ d­ 5, Cã thĨ chän Èn Kq: sã ®ã lµ 95 Bµi 3: T×m sè biÕt r»ng tỉng cđa chóng lµ 17 vµ tỉng lËp ph­¬ng cđa chóng b»ng 1241 Cã thĨ chän Èn Kq: sã ®ã lµ vµ Bµi 4: T×m sè tù nhiªn biÕt r»ng hiƯu cđa chóng lµ 1275 vµ nÕu lÊy sè lín chia cho sè nhá th× ®­ỵc th­¬ng lµ vµ d­ 125 (sè lín x; sè nhá y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125) Bµi 5:Cho mét sè tù nhiªn cã ch÷ sè NÕu ®ỉi chç ch÷ sè th× ®­ỵc sè míi lín h¬n sè ®· cho lµ 36 Tỉng cđa sè ®· cho vµ sè míi lµ 110 T×m sè ®· cho ( sè ®ã lµ 37) Bµi 6:D©n sè mét khu n¨m t¨ng tõ 30.000 ng­êi ®Õn 32.448 ng­êi Hái trung b×nh hµng n¨m d©n sè khu ®ã t¨ng bao nhiªu % (Gäi sè% d©n sè hµng n¨m khu t¨ng lµ x % Kq:4%) Bµi 7:Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tØ lƯ häc sinh tiªn tiÕn 9A thÊp h¬n 9B lµ 10%.TÝnh tØ lƯ häc sinh tiªn tiÕn cđa mçi líp ,vµ mçi líp cã bao nhiªu häc sinh Gäi x % lµ tØ lƯ häc sinh tiªn tiÕn cđa líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105 Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs Bµi 8:Trong th¸ng ®Çu tỉ s¶n xt ®­ỵc 800 chi tiÕt m¸y Sang th¸ng tỉ I v­ỵt møc 15%, tỉ IIv­ỵt møc 20%,, dã ®ã ci th¸ng c¶ tỉ s¶n xt ®­ỵc tỉng céng 945 chi tiÕt m¸y TÝnh xem th¸ng ®Çu , th¸ng hai mçi tỉ s¶n xt ®­ỵc bao nhiªu chi tiÕt m¸y Bµi Hai xÝ nghiƯp theo kÕ ho¹ch ph¶i lµm 360 dơng Nhê s¾p xÕp hỵp lý d©y chun s¶n xt nªn xÝ nghiƯp I ®· v­ỵt møc 12% kÕ ho¹ch xÝ nghiƯp II ®· v­ỵt møc 10% kÕ ho¹ch ,do ®ã c¶ ®· lµm ®­ỵc 400 dơg TÝnh sè dơng mµ mçi xÝ nghiƯp lµm theo kÕ ho¹ch vµ thùc tÕ lµm? I.GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNGTRÌNH A/Phương pháp chung : Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn dặt điều kiện cho ẩn - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượngđã biết Bước 2: Giải hệ phương trình Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm hệ có thoả mãn điều kiện ẩn hay không kết luận B/ Các dạng toán : IDẠNG SỐ CÓ CHỮ SỐ Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số , biết lần chữ số hàng đơn vò lớn chữ số hàng chục đơn vò chữ số viết theo chiều ngược lại số (có chữ số ) bé số cũ 27 đơn vò BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” Bài 2: Cho số có chữ số Nếu đổi chổ chữ số số lớn chữ số cho 63 tổng số cho số  x  y  tạo thành 99 Tìm số cho  ( 18 )  x  y  11 Bài 3: Cho số tự nhiên có chữ số Nếu đổi chổ chữ số số lớn số cho 36 tổng số cho 9 x  y  36 số tạo thành 110 Tìm số cho  ( ;7 ) 11x  11y  110 Bài 4: Tìm số có chữ số , biết tổng chữ số 16, đổi chổ chữ số cho ta số nhỏ số ban đầu  x  y  16 18 đơn vò  ( 9; 7) x  y  IIDẠNG SỐ Bài 1: Tìm số tự nhiên , biết tổng chúng 1006 lấy số lớn chia cho số nhỏ thương số dư  x  y  1006 124  (712;294)  x  y  124 Bài 2: Tổng số 59 Hai lần số bè lần  x  y  59 số Tìm số  ( 34 ; 25) 3 x  y  Bài 3: tìm số tự nhiên , biết hiệu chúng 1275 lấy số lớn chia cho số nhỏ thương số dư 125  x  y  1275  ( 1850 ; 575 )  x  y  125 IIIDẠNG CHUYỂN ĐỘNG NGƯC CHIỀU Bài 1: Một xe tải từ TP.Hồ Chí Minh đến Cần Thơ , quãng đường dài 189 km Sau xe tải xuất phát Một xe khách bắt đầu từ TP.CầnThơ TP.Hồ Chí Minh gặp xe tải sau 48 phút Tính vận tốc xe , biết xe khách nhanh xe tải 13 km Bài 2: Hai người đòa điểm A B cách 3,6 km khởi hành lúc ngược chiều gặp đòa điểm cách A km Nếu giữ nguyên vận tốc trường hợp , người chậm xuất phát trước người phút học gặp quãng đường Tính vận tốc  1,   y xe  x  18  18  y  x ( 4,5 ; 3,6 ) Bài 3: Bác Toàn xe đạp từ thò xã làng , cô Ba Ngần xe đạp từ làng lên thò xã Họ gặp bác Toàn rưỡi , cô ba Ngần Một lần khác hai người từ hai đòa điểm họ khởi hành đồng thời ; sau 15 phút họ cách 10,5 km Tính vận tốc người , biết làng cách thò xã 38 km 1, x  y   5  x  y   , ( 12; 10 ) Bài 4: Quãng đường AB gồmmột đoạn lên dốc dài km, đoạn xuống dốc dài km Một người xe đạp từ A đến B 40 phút từ B A 41 phút ( vận tốc lên dốc lúc lúc ) Tính vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc 4 40  y 60     41  x y 60  x  ( 12 ; 15 ) Bài 5: Hai xe khởi hành lúc từ hai đòa điểm cách 130 km gặp sau Tính vận tốc xe biết xe y  x  từ B có vận tốc nhanh xe từ A km/h   x  y  65 ( 35; 30) IVDẠNG CHUYỂN ĐỘNG CÙNG CHIỀU Bài 1: Một ôtô từ A dự đònh đến B lúc 12 trưa , xe chạy với 35 km/h đến B chậm so với dự đònh Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự đònh Tính độ dài quãng đường AB thời điểm xuất phát ôtô  x A   y2   x  y 1  (350;4) BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” Bài 2: Một ôtô quãng đường AB với vận tốc 50 km/h, tiếp quãng đường BC với vận tốc 45 km/h Biết tổng chiều dài quãng đường AB BC 165 kmvà thời gian ôtô quãng đường AB thời gian ôtô quãng đường BC 30 phút Tính thời gian ôtô quãng đường AB BC  50 x  45 y  165    x  y  (1,5 ; ) V- DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CÙNG CHIỀU VÀ NGƯC CHIỀU Bài 1: Hai vật chuyển động đường tròn đường kính 20 cm , xuất phát lúc , từ điểm Nếu chuyển động chiều 20 giây chúng lại gặp Nếu chuyển động ngược chiều cu61 giây chúng lại gặp Tính vận tốc  20 4  vật  x  y  20  20  x  y ( 3 ; 2 ) Bài 2: Ga xe lửa Sài Gòn cách ga Dầu Giây 65 km xe khách Sài Gòn, xe hàng Dầu Giây ngược chiều xe khách khởi hành sau xe hàng 36 phút , sau xe khách khởi hành 24 phút gặp xe hàng Nếu hai xe khởi hàng đồng thời Hà Nội ( chiều) sau hai xe gặp Tính vận tốc xe biết xe khách nhanh xe hàng 2  x  y  65 ( 50 ; 45 ) 5 13 x  13 y  65 Bài 3: Một ca nô xuôi dòng quãng sông dài 12 km ngược dòng quãng sông 30 phút Nếu quãng sông , ca nô xuôi dòng km ngược dòng km hết 20 phút Tính vận tốc ri6ng ca nô vận tốc riêng dòng 12  12 x y  x y   nước  ( 10 ; )   4  x  y x  y VIDẠNG VÒI NƯỚC Bài 1: Hai vòi nước chảy vào bể nước cạn(không có nước) sau đầy bể Nếu lúc đầu mở vòi thứ I sau mở thêm vòi thứ II sau đầy bể Hỏi từ đầu mở vòi thứ II sau đầy bể       1   x y 24 (8)  1      1 x  x y  Bài 2: Nếu vòi nước chảy vào bể nước cạn ( nước) bể đầy 20 phút Nếu mở vòi thứ 10 phút vòi thứ hai 12 phút bể 15 Hỏi mở riêng vòi thời gian để vòi chảy đầy bể 1  x  y  80    10  12  y 15  x ( 120 ; 240 ) Bài 3: Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khóa lại mở vòi thứ hai cho chảy tiếp 20 phút bể Hỏi vòi chày đầu bể 1  x  y  ( ;2 )       x 3y Bài 4: Hai vòi nước chảy vào bể cạn bể đầy say 12 phút Nếu vòi thứ chảy 30 phút vòi thứ hai 17 chảy 45 phút đầy bể Hỏi chảy 36 vòi chảy đầy bể 1 x  y       17  x y 36 (2; 3) BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” VII- DẠNG CÙNG LÀM CHUNG CÔNG VIỆC Bài 1: Hai đọi công nhân làm đoạn đường 24 ngày xong Mỗi ngày , phần việc đội A làm gấp rưỡi đội B Hỏi làm đội làm xong đoạn đường        x y 1   x y 24 Bài 2: Hai người thợ làm chung công viêc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hoàn thành 25% công việc Hỏi làm riêng người hoàn thành công việc đo 1  x  y  16   3    x y (24;48) Bài 3: Hai đội xây dựng làm chung công việc dự đònh hoàn thành 12 ngày Nhưng làm chung ngày đội I điều động làm việc khác Tuy đội II làm việc cải tiến cách làm , suất đội II tăng gấp đôi , nên họ làm xong phần việc lại 3,5 ngày hỏi với suất ban đầu , đội làm phải làm ngày xong công việc 1  x  y  12   8        x y  y ( 28; 21 ) Bài 4: Hai người thợ xây bứt tường 12 phút xong ( vôi vữa gạch có công nhân khác vận chuyển) Nếu người thứ làm người thứ hai làm xây tường Hỏi người làmmột bao 1  x  y  36 lâu xây xong tường   5    x y ( 12 ; 18 ) Bài 5: Hai công nhân sơn cửa cho cong trình ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày người thứ hai đến làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong việc 1 1  y  1   1  x y  x  ( 12 ; ) Bài 6: Hai cần cẩu lớn bốc vỡ lô hàng cảng Sài Gòn Sau có thêm cần cẩu bé ( công suất bé ) làm việc cần cẩu làm việc xong Hỏi cần cẩu làm việc xong việc , biết cần cẩu làm việc từ đầu xong việc 12 15  x  y 1   2   y  x ( 24 ; 30 ) Bài 7: Hai tổ côngnhân làm chung công việc dự đònh hoàn hành Nhưng làm chung tổ II điều động làm việc khác Do cải tiến cách làm, suất tổ I tăng 1,5lần, nên tổ I hoàn thành nốt phần việc lại Hỏi với suất ban đầu , tổ làmmột sau xong công việc   6     5     1    1 x y  ( 18; 9) 1   1  x y  x VIII- DẠNG THÊM BỚT HÌNH CHỮ NHẬT Bài 1: Tính độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông, biết tăng cạnh lên cm diện tích tam giác BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” tăng lên 36 cm , cạnh giảm cm, cạnh giảm cm diện tích tam giác giảm 26 cm2  x  y  21 (12;9)  2 x  y  30 Bài 2: Nhà Lan có mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, mội luống trồng số cải bắp Lan tính : Nếu tăng thêm luống rau, luống trồng cây, số toàn vườn 54 Nếu giảm luống , luống trồng tăng thêm số rau toàn vườn tăng thêm 32 Hỏi vườn nhà Lan trồng rau cải bắp ( số luống ) 3 x  y  26 ( 918 )   x  y  20 Bài 3: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340 m lần chiều dài lần chiều rộng 20 m Tính chiều dài chiều rộng sân trường  x  y  170 ( 100 ; 70 )  3 x  y  20 Bài 4: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m, tăng chiều dài thêm m , tăng chiều rộng thêm m diện tích mảnh đất tăng thêm 195 cm2 Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất 20( x  y )  80 (30 ; 10 )  ( x  3)( y  5)  xy  195 Bài 5: ruộng hình chữ nhật , tăng chiều dài thêm m tăng chiều rông thêm m diện tích tăng thêm 100 m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng m diện tích giảm 68 m2 Tính diện tích ruộng ( x  2)( y  3)  xy  100 (22; 14 )  ( x  2)( y  2)  xy  68 Bài 6: Tính chu vi hình chữ nhật , biết tăng chiều hình chữ nhật lên m diện tích hình chữ nhật tăng 225 m2 Nếu tăng chiều rộng lên m giảm chiều dài m diện tích hình chữ nhật diện tích ban đầu  x  y  40 ( 30; 10)  2 x  y  10 IXDẠNG TỈ SỐ TUỔI Bài 1: Số tiền mua yên táo rừng thơm 107 rupi Số tiền mua yên táo rừng thơm 91 rupi Hỏi giá yên táo rừng thơm rupi 9 x  y  107 ( 3;10 )   x  y  13 Bài 2: Hai anh Quang Hùng góp vốn kinh doanh Anh Quang góp 15 triệu đồng Anh Hùng góp 13 triệu đồng Sau thời gian lãi triệu đồng Lãi chia tỉ lệ với vốn góp Hãy tính tiền lãi anh hưởng x  y   y  x  15  13 (3750 000 ; 3250 000) Bài 2: Bảy năm trước tuổi mẹ lần tuổi cộng thêm Năm tuổi mẹ vừa gấp lần tuổi Hỏi năm người tuổi x  3y ( 36 ;12 )   x  y  24 Bài 3: Hôm mẹ Lan chợ mua trứng gà trứng vòt hết 10 000 đồng Hôm mẹ Lan mua trứng gà trứng vòt hết 9600 đồng giá trứng cũ Hỏi giá trứng loại 5 x  y  10000 ( 1100 ; 900 )  3x  y  9600 Bài 4: Trên cánh đồng cấy 60 lúa giống mới, 40 lúa giống cũ Thu hoạch tất 460 thóc Hỏi suất loại lúa biết trồng lúa thu hoạch trồng lúa cũ 60 x  40 y  460 (5;4)  4 x  y  X- DẠNG TỈ SỐ PHẦN TRĂM BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” Bài 1: Một người mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 2,17 triệu động , kể thuế giá trò gia tăng (VAT) với mức 10% loại hàng thứ 8% loại hàng thứ hai Nếu thuế VAT 9% hai loại hàng người phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng Hỏi không kể thuế VAT người 110 x  108 y  217 phải trả tiền cho loại  ( 0,5 ; x  y  1,5 ) Bài 2: Năm ngoái , hai đơn vò sản xuất nông nghiệp thu hoạch 720 thóc Năm , đơn vò thứ I làm vượt mức 15% , đơn vò thứ II làm vượt mức 12% so với măm ngoái Do đơn vò thu hoạch 819 thóc Hỏi năm, đơn vò thu hoạch 115 x  112 y  89100 thóc  ( 300 ; 420 )  x  y  720 Bài 3: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 công cụ Nhờ xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I vượt mức 125 kế hoạch , xí nghiệp II vượt mức 10% kế hoạch Do xí nghiệp làm 400 công cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm theo kế hoạch  x  y  36   112 x 110 y  100  100  400 ( 200; 160 ) XIDẠNG TRUNG BÌNH CỘNG Bài 1: Điểm số trung bình vận động viên bắm súng sau 100 lần bắn 8,69 điểm kết cụ thể ghi bảng sau , có ô bò mờ không đọc ( đánh dấu * ): Hãy tìm số ô Điểm số củamỗi lần 10 bắn Số lần bắn 25 42 * 15 *  x  y  18 ( 4;14 )  4 x  y  68 XII- DẠNG DÃY BÀN GHẾ Bài 1: Trong phòng học có số bàn ghế dài Nếu xếp ghế học sinh học sinh chổ ngồi Nếu xếp ghế học sinh thừa ghế Hỏi lớp có ghế bao 3x   y nhiêu học sinh  (10 ; 36 ) 4( x  10  y Bài 2: Để sửa nhà cần số thợ làm việc thời gian quy đònh Nếu giảm người thời gian kéo dài ngày , tăng thêm người thời gian sớm ngày Hỏi theo quy đònh cần thợ làm ngày Biết khả lao động công nhân ( x  3)( y  6)  xy (8 ;10 )  ( x  2)( y  2)  xy Bài 3: Trong phòng họp có số ghế dài Nếu xếp ghế người có người chổ ngồi , xếp ghế người thừa ghế Hỏi phòng họp có ghế 5 x   y người dự họp  (15 ; 84) 6( x  1)  y Toán chuyển động : VD1: Tìm vận tốc chiều dài đoàn tàu hoả biết đoàn tàu chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối giây Cho biết sân ga dài 378m thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây Giải: Gọi x (m/s)là vận tốc đoàn tàu vào sân ga (x>0) Gọi y (m) chiều dài đoàn tàu (y>0) Tàu chạy ngang văn phòng ga giây nghóa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) giây.Ta có phương trình : y=7x (1) Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây nghóa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) 25giây Ta có phương trình : y+378=25x (2) y  7x Ta hệ phương trình :  y+378=25x BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” Giải ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc đoàn tàu 21m/s Chiều dài đoàn tàu : 147m VD2: Một thuyền xuôi, ngược dòng khúc sông dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km Tính vận tóc dòng nước ? Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc thuyền nước yên lặng Gọi y(km/h) vật tốc dòng nước (x,y>0) Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình :  xy xy Vì thuyền xuôi, ngược dòng khúc sông dài 40km hết 40 40 4h30 phút (= h) nên ta có phương trình :   xy xy  x  y  x  y  Ta có hệ phương trình :   40  40   x  y x  y Giải ta có : x=18 ; y= Vậy vận tốc dòng nước km/h VD3: Trên đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy điểm cố đònh A Hai đim chuyển động M , N chạy đường tròn , khởi hành từ A với vận tốc không đổi Nếu chúng di chuyển trái chiều chúng gặp sau 15 giây Nếu chúng di chuyển chiều điểm M vượt Nđúng vòng sau 60 giây.Tìm vận tốc điểm M, N ? Giải: Gọi x(m/s) vận tốc điểm M Gọi y(m/s) vận tốc điểm N (x>y>0) Khi chúng di chuyển trái chiều , chúng gặp sau 15 giây nên ta có phương trình : 15x+15y=1,2 (1) Khi M,N di chuyển chiều điểm M vượt N vòng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x-60y=1 (2) 15x+15y=1,2 Ta có hệ phương trình :  60x+60y=1 Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT) Vậy vận tốc điểm M : 0,05m/s vận tốc điểm N : 0,03m/s BTVN: Một môtô ôtô từ M đến K với vận tốc khác Vận tốc môtô 62 km/h vận tốc ôtô 55 km/h Để xe đến đích lúc người ta cho ôtô chạy trước thời gian Nhưng lí đặc biệt nên chạy 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h Vì cách K 124km môtô đuổi kòp ôtô Tính khoảng cách từ M đến N HD: Gọi khoảng cách MK x km Gọi thời gian dự đònh ôtô trước môtô y (giờ) x x  y   62 55  Ta có :  x  x  124 x  124   y  27,5 62  65 94 Giải hệ ta rút : x= 514km ; y  (h) 1705 2/ Bài toán hoàn thành công việc ( làm chung làm riêng ) VD4: Cho vòi A,B,C chảy vào bể Vòi A B chảy đầy bể 71 phút Vòi A C chảy đầy bể 63 phút Vòi C B chảy đầy bể 56 phút a) Mỗi vòi làm đầy bể ? Cả vòi mở lúc đầy bể ? b) Biết vòi C chảy 10lít phút so với vòi A B chảy lúc Tính sức chứa bể sức chảy vòi ? Giải: a)Vòi A làm đầy bể x phút ( phút làm đầy 1/x bể ) Vòi B làm đầy bể y phút ( phút làm đầy 1/y bể ) Vòi C làm đầy bể z phút ( phút làm đầy 1/z bể ) BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT”  1 1 72      x y   1  Ta có hệ phương trình : 63       x z  1 1 56       z y  Giải hệ phương trình ta : x=168 ; y=126 ; z=504/5 Nếu vòi mở lúc sau phút đầy   12 bể  504 504 504 vòi làm đầy bể sau :  42 phút 12 b)Gọi dung tích bể t phút phút vòi C chảy 5/504.t lít , vòi A B chảy (  ).t lít Theo đề ta 504 504 có phương trình :  5040  t  10     2520(l) t  t  504  504 504  3.2520 Sức chảy vòi A :  15l / p 504 4.2520 Tương tự sức chảy vòi B :  20l / p 504 5.2520 sức chảy vòi C :  25l / p 504 3/ Bài toán tỉ lệ , phân chia đều: 4/ Bài toán có nội dung vật l1 , hoá học : VD7: dung dòch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) dung dòch khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn thêm lít dung dòch loại loại để 100lít dung dòch 50% axit nitơric? Giải: Gọi x,y theo thứ tự số lít dung dòch loại (x,y>0) 30 Lượng axit nitơric chứa dung dòch loại x 100 55 loại y 100  x  y  100  Ta có hệ phương trình :  30 55 100 x  100 y  50 Giải hệ ta : x=20 ;y=80 1/ T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ nhá h¬n ch÷ sè hµng chơc lµ tÝch hai ch÷ sè cđa nã lu«n lín h¬n tỉng hai ch÷ sè cđa nã lµ 34 2/ DiƯn tÝch h×nh thang 140cm2, chiỊu cao 0,08m X¸c ®Þnh chiỊu cao c¸c c¹nh cđa nã nÕu c¸c c¹nh ®¸y h¬n kÐm 1,5dm 3/ Ba chiÕc b×nh cã thĨ tÝch tỉng céng 120lÝt NÕu ®ỉ ®Çy n­íc vµo b×nh thø nhÊt råi ®em rãt vµo hai b×nh th× hc b×nh thø ®Çy n­íc, b×nh thø chØ ®­ỵc 1/2 thĨ tÝch cđa nã, hc b×nh thø ®Çy n­íc th× b×nh thø chØ ®­ỵc 1/3 thĨ tÝch cđa nã T×m thĨ tÝch cđa mçi b×nh 4/ Hai ®Þa ®iĨm A, B c¸ch 56km Lóc 6h45' mét ng­êi ®i tõ A víi vËn tèc 10km/h Sau 2h , mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ B tíi A víi vËn tèc 14km/h Hái ®Õn mÊy giê th× hä gỈp nhau, chç gỈp c¸ch A bao nhiªu km 5/ Mét ca n« xu«i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã ng­ỵc tõ B trë vỊ A Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng­ỵc lµ 40' TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B BiÕt vËn tèc ca n« kh«ng ®ỉi, vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h 6/ Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch 50km Sau 1h30' mét ng­êi ®i xe m¸y còng tõ A vµ ®Õn B sím h¬n mét giê TÝnh vËn tèc cđa mçi xe, biÕt r»ng vËn tèc xe m¸y gÊp 2.5 lÇn xe ®¹p 7/ Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®­ỵc xÕp thµnh tõng hµng vµ sè ghÕ ë mçi hµng b»ng NÕu sè hµng t¨ng thªm vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm th× phßng cã 400 ghÕ Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? 8/Hai ng­êi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc 16 giê th× xong NÕu ng­êi thø nhÊt lµm giê vµ ng­êi thø lµm giê th× hä lµm ®­ỵc 25% c«ng viƯc Hái mçi ng­êi lµm mét m×nh c«ng viƯc ®ã mÊy giêi th× xong? BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” 9/ Hai vËt chun ®éng trªn mét ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh 20m , xt ph¸t cïng mét tõ cïng mét ®iĨm NÕu chóng chun ®éng ng­ỵc chiỊu th× cø gi©y l¹i gỈp NÕu chóng chun ®éng cïng chiỊu nhauth× cø sau 10 gi©y l¹i gỈp nhua TÝnh vËn tèc cđa mçi vËt 10/ Th¸ng thø nhÊt hai tỉ s¶n xt ®­ỵc 800 s¶n phÈm Sang th¸ng thø hai tỉ v­ỵt 15%.tỉ v­ỵt 20% Do ®ã ci th¸ng c¶ hai tỉ x¶n xt ®ùoc 945 s¶n phÈm TÝnh xem th¸ng thø nhÊt mçi tỉ s¶n xt ®­ỵc bao nhiªu s¶n phÈm 11/ Mét khèi líp tỉ chøc ®i tham quan b»ng « t« Mçi xe chë 22 h/s th× cßn thõa 01 h/s NÕu bít ®i 01 «t« th× cã thĨ xÕp ®Ịu c¸c h/s trªn c¸c «t« cßn l¹i Hái lóc ®Çu cã bao nhiªu «t«, bao nhiªu h/s Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 h/s Bµi 1: TÝnh diƯn tÝch h×nh ch÷ nhËt; biÕt ®­êng chÐo cđa nã b»ng 10cm, chiỊu dµi lín h¬n chiỊu réng 2cm Bµi 2: TÝnh diƯn tÝch cđa mét tam gi¸c vu«ng biÕt chu vi cđa nã 84cm, mét c¹nh gãc vu«ng b»ng 35cm Bµi 3: T×m mét sè cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng tỉng hai ch÷ sè cđa nã nhá h¬n sè ®ã lÇn vµ nÕu thªm 25 vµo tÝch cđa ch÷ sè ®ã sÏ ®­ỵc mét sè viÕt theo thø tù ng­ỵc l¹i víi sè d· cho Bµi 4: Mét nhµ m¸y dù ®Þnh s¶n xt chi tiÕt m¸y thêi gian ®· ®Þnh vµ dù ®Þnh sÏ s¶n xt 300 chi tiÕt m¸y mét ngµy Nh­ng thùc tÕ mçi ngµy ®· lµm thªm ®­ỵc 100 chi tiÕt, nªn ®· s¶n xt thªm ®­ỵc tÊt c¶ lµ 600 chi tiÕt vµ hoµn thµnh kÕ ho¹ch tr­íc ngµy TÝnh sè chi tiÕt m¸y dù ®Þnh s¶n xt Bµi 5: Mét ca n« xu«i dßng 42km råi ng­ỵc dßng trë l¹i lµ 20km m¸t tỉng céng 5giê BiÕt vËn tèc cđa dßng ch¶y lµ 2km/h T×m vËn tèc cđa ca n« lóc dßng n­íc yªn lỈng Bµi 6: Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 120 tÊn hµng H«m lµm viƯc cã xe ph¶i ®iỊu ®i n¬i kh¸c nªn mçi xe ph¶i chë thªm 16 tÊn Hái ®éi cã bao nhiªu xe? Bµi 7: Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ ®Þa ®iĨm A ®Ơn ®Þa ®iĨm B Mçi giê «t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n «t« thø hai 12km nªn ®Õn ®Þa 10 ®iĨm B tr­íc « t« thø hai 100phót TÝnh vËn tèc cđa mçi « t« biÕt qu·ng ®­êng AB dµi 240km Bµi 8: NÕu më c¶ hai vßi n­íc ch¶y vµo mƯt bĨ c¹n th× sau giê 55phót bĨ ®Çy bĨ NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bĨ? Bµi 9: Hai tỉ häc sinh trång ®­ỵc mét sè c©y s©n tr­êng NÕu lÊy c©y cđa tỉ chun cho tỉ mét th× sè c©y trång ®­ỵc cđa c¶ hai tỉ sÏ b»ng NÕu lÊy 10 c©y cđa tỉ mét chun cho tỉ hai th× sè c©y trång ®­ỵc cđa tỉ hai sÏ gÊp ®«i sè c©y cđa tỉ mét Hái mçi tỉ trång ®­ỵc bao nhiªu c©y? Bµi 10: Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch 150km, ®i ng­ỵc chiỊu vµ gỈp sau giê T×m vËn tèc cđa mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cđa « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cđa « t« A b»ng lÇn vËn tèc cđa « t« B Bµi 11: Trong phßng häc cã mét sè ghÕ dµi NÕu xÕp mçi ghÕ ba häc sinh th× häc sinh kh«ng cã chç NÕu xÕp mçi ghÕ häc sinh th× thõa mét ghÕ Hái líp cã bao nhiªu ghÕ vµ bao nhiªu häc sinh Bµi 12: Hai hỵp t¸c x· ®· b¸n cho nhµ n­íc 860 tÊn thãc TÝnh sè thãc mµ mçi hỵp t¸c x· ®· b¸n cho nhµ n­íc BiÕt r»ng lÇn sè thãc hỵp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ n­íc nhiỊu h¬n hai lÇn sè thãc hỵp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn Bµi 13: Cho hai sè tỉng lµ 201, tÝch lµ 101000 T×m tỉng lËp ph­¬ng cđa hai sè ®ã Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ p.t - lËp p.t 1/ T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ nhá h¬n ch÷ sè hµng chơc lµ tÝch hai ch÷ sè cđa nã lu«n lín h¬n tỉng hai ch÷ sè cđa nã lµ 34 2/ DiƯn tÝch h×nh thang 140cm2, chiỊu cao 0,08m X¸c ®Þnh chiỊu cao c¸c c¹nh cđa nã nÕu c¸c c¹nh ®¸y h¬n kÐm 1,5dm 3/ Ba chiÕc b×nh cã thĨ tÝch tỉng céng 120lÝt NÕu ®ỉ ®Çy n­íc vµo b×nh thø nhÊt råi ®em rãt vµo hai b×nh th× hc b×nh thø ®Çy n­íc, b×nh thø chØ ®­ỵc 1/2 thĨ tÝch cđa nã, hc b×nh thø ®Çy n­íc th× b×nh thø chØ ®­ỵc 1/3 thĨ tÝch cđa nã T×m thĨ tÝch cđa mçi b×nh 4/ Hai ®Þa ®iĨm A, B c¸ch 56km Lóc 6h45' mét ng­êi ®i tõ A víi vËn tèc 10km/h Sau 2h , mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ B tíi A víi vËn tèc BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” 14km/h Hái ®Õn mÊy giê th× hä gỈp nhau, chç gỈp c¸ch A bao nhiªu km 5/ Mét ca n« xu«i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã ng­ỵc tõ B trë vỊ A Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng­ỵc lµ 40' TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B BiÕt vËn tèc ca n« kh«ng ®ỉi, vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h 6/ Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch 50km Sau 1h30' mét ng­êi ®i xe m¸y còng tõ A vµ ®Õn B sím h¬n mét giê TÝnh vËn tèc cđa mçi xe, biÕt r»ng vËn tèc xe m¸y gÊp 2.5 lÇn xe ®¹p 7/ Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®­ỵc xÕp thµnh tõng hµng vµ sè ghÕ ë mçi hµng b»ng NÕu sè hµng t¨ng thªm vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm th× phßng cã 400 ghÕ Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? 8/Hai ng­êi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc 16 giê th× xong NÕu ng­êi thø nhÊt lµm giê vµ ng­êi thø lµm giê th× hä lµm ®­ỵc 25% c«ng viƯc Hái mçi ng­êi lµm mét m×nh c«ng viƯc ®ã mÊy giêi th× xong? 9/ Hai vËt chun ®éng trªn mét ®­êng trßn cã ®­êng kÝnh 20m , xt ph¸t cïng mét tõ cïng mét ®iĨm NÕu chóng chun ®éng ng­ỵc chiỊu th× cø gi©y l¹i gỈp NÕu chóng chun ®éng cïng chiỊu nhauth× cø sau 10 gi©y l¹i gỈp nhua TÝnh vËn tèc cđa mçi vËt 10/ Th¸ng thø nhÊt hai tỉ s¶n xt ®­ỵc 800 s¶n phÈm Sang th¸ng thø hai tỉ v­ỵt 15%.tỉ v­ỵt 20% Do ®ã ci th¸ng c¶ hai tỉ x¶n xt ®ùoc 945 s¶n phÈm TÝnh xem th¸ng thø nhÊt mçi tỉ s¶n xt ®­ỵc bao nhiªu s¶n phÈm 11/ Mét khèi líp tỉ chøc ®i tham quan b»ng « t« Mçi xe chë 22 h/s th× cßn thõa 01 h/s NÕu bít ®i 01 «t« th× cã thĨ xÕp ®Ịu c¸c h/s trªn c¸c «t« cßn l¹i Hái lóc ®Çu cã bao nhiªu «t«, bao nhiªu h/s Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 h/s Bµi tËp Bµi 1: TÝnh diƯn tÝch h×nh ch÷ nhËt; biÕt ®­êng chÐo cđa nã b»ng 10cm, chiỊu dµi lín h¬n chiỊu réng 2cm Bµi 2: TÝnh diƯn tÝch cđa mét tam gi¸c vu«ng biÕt chu vi cđa nã 84cm, mét c¹nh gãc vu«ng b»ng 35cm Bµi 3: T×m mét sè cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng tỉng hai ch÷ sè cđa nã nhá h¬n sè ®ã lÇn vµ nÕu thªm 25 vµo tÝch cđa ch÷ sè ®ã sÏ ®­ỵc mét sè viÕt theo thø tù ng­ỵc l¹i víi sè d· cho Bµi 4: Mét nhµ m¸y dù ®Þnh s¶n xt chi tiÕt m¸y thêi gian ®· ®Þnh vµ dù ®Þnh sÏ s¶n xt 300 chi tiÕt m¸y mét ngµy Nh­ng thùc tÕ mçi ngµy ®· lµm thªm ®­ỵc 100 chi tiÕt, nªn ®· s¶n xt thªm ®­ỵc tÊt c¶ lµ 600 chi tiÕt vµ hoµn thµnh kÕ ho¹ch tr­íc ngµy TÝnh sè chi tiÕt m¸y dù ®Þnh s¶n xt Bµi 5: Mét ca n« xu«i dßng 42km råi ng­ỵc dßng trë l¹i lµ 20km m¸t tỉng céng 5giê BiÕt vËn tèc cđa dßng ch¶y lµ 2km/h T×m vËn tèc cđa ca n« lóc dßng n­íc yªn lỈng Bµi 6: Mét ®éi xe cÇn chuyªn chë 120 tÊn hµng H«m lµm viƯc cã xe ph¶i ®iỊu ®i n¬i kh¸c nªn mçi xe ph¶i chë thªm 16 tÊn Hái ®éi cã bao nhiªu xe? Bµi 7: Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ ®Þa ®iĨm A ®Ơn ®Þa ®iĨm B Mçi giê «t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n «t« thø hai 12km nªn ®Õn ®Þa ®iĨm B tr­íc « t« thø hai 100phót TÝnh vËn tèc cđa mçi « t« biÕt qu·ng ®­êng AB dµi 240km Bµi 8: NÕu më c¶ hai vßi n­íc ch¶y vµo mƯt bĨ c¹n th× sau giê 55phót bĨ ®Çy bĨ NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bĨ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bĨ? Bµi 9: Hai tỉ häc sinh trång ®­ỵc mét sè c©y s©n tr­êng NÕu lÊy c©y cđa tỉ chun cho tỉ mét th× sè c©y trång ®­ỵc cđa c¶ hai tỉ sÏ b»ng NÕu lÊy 10 c©y cđa tỉ mét chun cho tỉ hai th× sè c©y trång ®­ỵc cđa tỉ hai sÏ gÊp ®«i sè c©y cđa tỉ mét Hái mçi tỉ trång ®­ỵc bao nhiªu c©y? Bµi 10: Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch 150km, ®i ng­ỵc chiỊu vµ gỈp sau giê T×m vËn tèc cđa mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cđa « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cđa « t« A b»ng lÇn vËn tèc cđa « t« B Bµi 11: Trong phßng häc cã mét sè ghÕ dµi NÕu xÕp mçi ghÕ ba häc sinh th× häc sinh kh«ng cã chç NÕu xÕp mçi ghÕ häc sinh th× thõa mét ghÕ Hái líp cã bao nhiªu ghÕ vµ bao nhiªu häc sinh Bµi 12: Hai hỵp t¸c x· ®· b¸n cho nhµ n­íc 860 tÊn thãc TÝnh sè thãc mµ mçi hỵp t¸c x· ®· b¸n cho nhµ n­íc BiÕt r»ng lÇn sè thãc hỵp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ n­íc nhiỊu h¬n hai lÇn sè thãc hỵp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn Bµi 13: Cho hai sè tỉng lµ 201, tÝch lµ 101000 T×m tỉng lËp ph­¬ng cđa hai sè ®ã 1/ T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ nhá h¬n ch÷ sè hµng chơc lµ tÝch hai ch÷ sè cđa nã lu«n lín h¬n tỉng hai ch÷ sè cđa nã lµ 34 11 BµI to¸n c¬ b¶n liªn quan ®Õn “ Gi¶I bµI tèan b»ng c¸ch lËp HƯ PT” 2/ DiƯn tÝch h×nh thang 140cm , chiỊu cao 0,08m X¸c ®Þnh chiỊu cao c¸c c¹nh cđa nã nÕu c¸c c¹nh ®¸y h¬n kÐm 1,5dm 3/ Ba chiÕc b×nh cã thĨ tÝch tỉng céng 120lÝt NÕu ®ỉ ®Çy n­íc vµo b×nh thø nhÊt råi ®em rãt vµo hai b×nh th× hc b×nh thø ®Çy n­íc, b×nh thø chØ ®­ỵc 1/2 thĨ tÝch cđa nã, hc b×nh thø ®Çy n­íc th× b×nh thø chØ ®­ỵc 1/3 thĨ tÝch cđa nã T×m thĨ tÝch cđa mçi b×nh 4/ Hai ®Þa ®iĨm A, B c¸ch 56km Lóc 6h45' mét ng­êi ®i tõ A víi vËn tèc 10km/h Sau 2h , mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ B tíi A víi vËn tèc 14km/h Hái ®Õn mÊy giê th× hä gỈp nhau, chç gỈp c¸ch A bao nhiªu km 5/ Mét ca n« xu«i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã ng­ỵc tõ B trë vỊ A Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng­ỵc lµ 40' TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B BiÕt vËn tèc ca n« kh«ng ®ỉi, vËn tèc dßng n­íc lµ 3km/h 6/ Mét ng­êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B c¸ch 50km Sau 1h30' mét ng­êi ®i xe m¸y còng tõ A vµ ®Õn B sím h¬n mét giê TÝnh vËn tèc cđa mçi xe, biÕt r»ng vËn tèc xe m¸y gÊp 2.5 lÇn xe ®¹p 7/ Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®­ỵc xÕp thµnh tõng hµng vµ sè ghÕ ë mçi hµng b»ng NÕu sè hµng t¨ng thªm vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm th× phßng cã 400 ghÕ Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? 8/Hai ng­êi thỵ cïng lµm mét c«ng viƯc 16 giê th× xong NÕu ng­êi thø nhÊt lµm giê vµ ng­êi thø lµm giê th× hä lµm ®­ỵc 25% c«ng viƯc Hái mçi ng­êi lµm mét m×nh c«ng viƯc ®ã mÊy giêi th× xong? 12 BIẾN ĐỔI SỐ HẠNG TỔNG QT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ THỨC TỔ HỢP Đường Đức Hào (GV Trường THPT Hương Khê,Hà Tĩnh- Cựu SV khóa 32) Các tốn Đại số & Tổ hợp chương trình tốn THPT phong phú đa dạng, nhiều tốn thường xuất kỳ thi Học sinh giỏi hay thi vào trường Đại học , Cao đẳng Một dạng tốn “Chứng minh hệ thức hay tính tổng biểu thức tổ hợp” Trong viết tơi xin trình bày phương pháp hữu hiệu biến đổi trực tiếp số hạng tổng qt để giải tốn Sử dụng phương pháp cho phép học sinh biến đổi cách lơgic giải tốn thuộc dạng mà khơng cần dùng đến cơng cụ tích phân đạo hàm để Phần áp dụng để giảng dạy cho học sinh khối 11 theo chương trình hành 2n 2n k 0 k 0 I MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Đặt f1 ( x)  (1  x) n   C2kn x k ; g1 ( x)  (1  x) n   C2kn (1) k x k f ( x)  (1  x) n 1  n 1 C k 0 x ; g ( x)  (1  x) n 1  k k n 1 n 1 C k 0 k n 1 (1) k x k n f1 ( x)  g1 ( x) f ( x)  g ( x)   C22nk x k ; h2 ( x)    C22nk1 x k 2 k 0 k 0 n n f1 ( x)  g1 ( x) f ( x )  g ( x )  p1 ( x)    C22nk 1 x k 1 ; p2 ( x)    C22nk11 x k 1 2 k 1 k 0 n  h1 ( x)  2n n n n k 0 k 0 k 0 k 1 f1 (1)  p2 (1)  22 n   C2kn   C22nk11 ; h1 (1)  p1 (1)   C22nk  C22nk 1  22 n 1 II BÀI TẬP ÁP DỤNG 1 1 Cn  Cn   Cnn 1.2 2.3 (n  1).(n  2) Lời giải.Ta biến đổi số hạng tổng qt sau 1 1 1 1 ak  Cnk  ( Cnk )  Cnk11  ( Cnk11 )  Cnk22 (k  1)(k  2) k  k 1 k  n 1 n 1 k  n  n 1 n n 1 Cn2  Cn3   Cnn22   S1   Cnk   Cnk22  ( k  1)( k  2) ( n  1)( n  2) ( n  1)( n  2) k 0 k 0 Thí dụ Tính tổng S1  1 2n   n  n2 n2     S1   Cn   Cn     n  3  (n  1)(n  2)  (n  1)(n  2)  (n  1)(n  2) n Thí dụ Tính tổng S  1.2.3.Cn  2.3.4.Cn   ( n  2)( n  1) nCn Lời giải Biến đổi số hạng tổng qt sau ak  (k  2)(k  1)kCnk  (k  2)(k  1)nCnk11  n(k  2)(k  1)Cnk11  n(k  2)(n  1)Cnk22  n(n  1)(k  2)Cnk22  n(n  1)(n  2)Cnk33  n S   n(n  1)(n  2)Cnk33 n(n  1)(n  2) Cn03  Cn13  Cn23   Cnn33   n(n  1)(n  2).2n 3 k 3 1 Cn0  Cn1   Cnn 1.2.3 2.3.4 ( n  1).( n  2)( n  3) Lời giải Biến đổi số hạng tổng qt sau 1 1 1 1 ak  Cnk  Cnk  Cnk11  Cnk11  (k  1).(k  2)(k  3) (k  2)(k  3) k  (k  2)(k  3) n  n  ( k  3) k  Thí dụ Tính tổng S3  1 1 1 1 1 Cnk22  Cnk22  Cnk33  n 1 k  n  n 1 n  k  n 1 n  n  2n 3  Cn03  Cn13  Cn23 1 1 1 2n   n  n  14 Cn33  Cn43   Cnn33   Cnk33   n 1 n  n  (n  1)(n  2)(n  3) 2.(n  1)(n  2)(n  3) k 0 n  n  n  n S3   1 Thí dụ Tính tổng S  C20n  C22n  C24n   C22nn 2n  Lời giải Ta biến đổi số hạng tổng qt S4 1 ak  C22nk  C22nk11  2k  2n  n n p (1) 1 22 n C21n 1  C23n 1  C25n 1   C22nn11   S4   C22nk   C22nk11   2n  2n  2n  k  2k  k  2n  1 1 Thí dụ Tính tổng S5  C20n  C22n  C24n   C22nn 2n  Lời giải Biến đổi số hạng tổng qt sau 1 2k  k 2k  (2n  1)(2n  2) k ak  C22nk  C2 n  C2 n  2k  2k  2k  2k  2k  (2n  1)(2n  2) (2k  1) (2n  2)! (2k  1) (2k   1)   C22nk22  C22nk22 = (2n  1)(2n  2) (2k  2)!(2n  2k )! (2n  1)(2n  2) (2n  1)(2n  2) C22nk22   k  (2k  2) 2k  1 2k 2    C2 n   (2n  1) (2n  2) C2 n   (2n  1)(2n  2)   (2n  1)(2n  2) (2n  1)(2n  2)  C22nk22 C22nk22 (2k  2) 1 C22nk11   C22nk11   S5  (2n  1) (2k  2) (2n  1)(2n  2) 2n  (2n  1)(2n  2)   C22nk22 k 1 C     n 1 (2n  1)(2n  2)  k   2n  n 1 22 n 22 n 1  (C21n 1  C23n 1  C25n 1  C22nn11 )  (C22n   C24n   C26n   C22nn22 )    2n  (2n  1)(2n  2) 2n  (2n  1)(2n  2) n.22 n 1  (2n  1)(2n  2) Thí dụ Chứng minh S6  2C22n  4C24n  6C26n   2nC22nn  n.22 n 1 Lời giải Ta biến đổi số hạng tổng qt sau 2kC22nk  2nC22nk11  S6  2n(C21n 1  C23n 1  C25n 1   C22nn11 )  2n.22 n   n.22 n 1  ĐPCM 2 26 22 n n 1 C2 n  C2 n  C2 n   C2 n 2n 22 k k 1 k 1 Lời giải Ta biến đổi số hạng tổng qt sau: ak  C2 n  2 k C2 n  2 k C22nk1  2k 2k 2n  2k 2k n n n 2 1 3(32 n  1)  h2 (2)  C20n 1   S7   C22nk 1   C22nk1  ( C22nk1 22 k )  2n  k 1 2n  2(2n  1) k 1 2k k 1 2n  Thí dụ Tính tổng S7  Thí dụ Chứng minh S8  1.22 C22n  2.24 C24n  3.26 C26n   n.22 n C22nn  n(32 n 1  1) Lời giải.Ta biến đổi số hạng tổng qt sau k 22 k C22nk  22 k 1.2kC22nk  22 k 1.2n.C22nk11  n S8   2n.C k 1 k 1 n 1 2 k 1  2n C Thí dụ Tính S  C 1 n 1 n 1   C n 1 n 1 2 n 1 (1  2) n 1  (1  2) n 1   2n  n(32 n 1  1) 2 23 25 22 n 1 n C2 n  C2 n  C2 n  C2 n   C2 n 2n  Lời giải Xét số hạng tổng qt, biến đổi sau 22 k 1 k (2n)! (2n  1)!22 k 1 1 ak  C2 n  22 k 1   C22nk11 22 k 1  2k  (2k  1) (2k )!(2n  2k )! (2k  1)!(2n  2k )! (2n  1) 2n  n S   ak  k 0 1  32 n 1   32 n 1  C21n 1 21  C23n 1 23  C25n 1 25   C22nk11 22 n 1     2n  2n    2(2n  1) 33 3n n 1 n 13n 1  Thí dụ 10 CMR S  4C  Cn  Cn   Cn  n 1 3(n  1) n 3k k 1 k 4.12k k 4 Cn  Cn  4.12k Cnk11  Cnk1112k 1 k  0, n k 1 k 1 n 1 12 n  1 (1  12) n 1  13n 1  1 2 3 n 1 n 1 Cn 112  Cn 112  Cn 112   C n 112   S S 3(n  1)  3(n  1) 3(n  1) Lời giải Xét ak  32 23 34 32 n n 1 n C2 n 1  25 C24n 1   C2 n 1 2n  32 k k 1 k 1 Lời giải Ta có số hạng tổng qt ak  C2 n 1  32 k 22 k 1 C22nk1  32 k 22 k 1 C22nk21 2k  2k  2k  1  ak  32 k 22 k 1 C22nk21  C22nk21 62 k 1 2n  3(2n  2) Thí dụ 11 Tính tổng S  2C20n 1   (1  6) n   (1  6) n   n   52 n  1 C21n  61  C23n  63   C22nn21 62 n 1     3(2n  1) 3(2n  1)  6(2n  2)  Nhận xét: Qua thí dụ ta thấy dùng phương pháp đạo hàm tích phân việc giải tốn phức tạp III BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho  a  b , n  N * Chứng minh b  a b  a b3  a b  a b n 1  a n 1 n (1  b) n 1  (1  a ) n 1 Cn  Cn  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 Bài Cho  a, n  N * Hãy tính tổng S  1.2.Cn11  3.4.a Cn21  5.6.a Cn31  7.8.a Cn41   (2n  1)(2n  2)a n Cnn11 S Bài Tính Tổng a) S  C21n  3.22 C23n  5.24 C25n   (2n  1)22 n  C22nn 1 32 34 36 32 n n 1 n C2 n 1  25 C24n 1  27 C26n 1   C2 n 1 2n  Bài CMR S  3.2.1.Cn31  4.3.2.Cn41  5.4.3.Cn51   ( n  1).n.( n  1).Cnn11  n( n  1).2 n  1 Bài a) CMR C22nk11  C22nk22  C22nk33 2k  2n  (2n  2)(2n  3) 1 1 b) Tính: S  C21n 1  C23n 1  C25n 1   C22nn11 2n  3 33 3n n 1 n 13n 1  c) CMR S  4Cn0  42 Cn1  43 Cn2   Cn  n 1 3(n  1) b) S  2C20n 1  ... minh (**), ta không thi t phải chứng minh (*) mà chứng minh trực tiếp sau: 40 Theo công thức tính diện tích: S abc , thay vào (**) ta có: 4R 3abc R ab bc ca 1 1 (theo ĐL hàm số sin)... (Ngoài cách chứng minh trên, ta có cách chứng minh bất đẳng thức trình bày theo riêng) Mở rộng toán (* *): Với tam giác ABC, ta có a b b c c a Giải Thay S S ( +) (1) abc vào (1)... 2p3 + p(ab + bc + ca) 4pRr = pr2 Thay abc vào (3), ta có p2 + r2 + 4Rr = ab + bc + ca Theo (**) Bài 31, ta có ab + bc + ca 3S p2 + r2 + 4Rr 3S (đpcm) Bài 37 Cho tam giác ABC có la , lb ,

Ngày đăng: 22/05/2017, 14:45

Xem thêm: Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay, Các dạng bài tập và hướng dẫn ôn thi đại học môn toán theo chuyên đề _cực hay

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • BDT trong tam giac.pdf (p.1-37)

  • chu-de-logarit.pdf (p.38-47)

  • Chuyen De Giai He PT hay .pdf (p.48-59)

  • Duong_Duc_Hao (1).pdf (p.60-62)

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan