UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2010-2011 Môn: Toán Thời gian làm 120 phút; Câu 1: (2,5 điểm ) a/ Phân tích đa thức (a + 2)(a + 3)(a + a + 6) + 4a thành nhân tử b/ Cho số thực a, b, c thoả mãn a − b − b = b3 − c − c = c − a − a = Chứng minh a = b = c Câu 2: (2,5 điểm) a/ Giải biện luận phương trình (ẩn x) : x − x −1 = x−m x+2 b/ Giải phương trình nghiệm nguyên: ( x − 3) y − x = 48 Câu 3: (2,5 điểm) a/ Chứng minh a + b − a − b + > ∀a,b ∈ R b/ Cho số nguyên dương a, b, c, d đôi khác thoả mãn a b c d + + + số nguyên Chứng minh tích abcd số a+b b+c c+d d +a phương Câu 4: (2,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB, gọi O trung điểm AB Vẽ phía AB tia Ax, By vuông góc với AB Lấy điểm C tia Ax, điểm D tia Ay cho góc COD= 900 a/ Chứng minh CD=AC+BD b/ Kẻ OM vuông góc với CD M, gọi N giao điểm AD với BC Chứng minh MN//AC ====== HẾT ====== Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD………………… UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHÒNG GD&ĐT Câu H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2010-2011 Nội dung a/ (a + 2)(a + 3)(a + a + 6) + 4a = (a + 5a + 6)(a + a + 6) + 4a 2 Điểm 0,25 = (a + a + + 4a )(a + a + 6) + 4a = (a + a + 6) + 4a (a + a + 6) + 4a 0,5 = (a + a + + 2a ) = (a + 3a + 6) 0,5 1  1 b/ Ta có a − b − b = ⇒ a = b + b + =  b + ÷ + > ∀b ⇒ a > 3   12 0,25 Chứng minh tương tự ta b > 0; c > 0,25 Do a, b, c hoán vị vòng quanh nên ta giả sử a = max { a, b, c} (1)  Với a, b, c > : a ≥ b ⇒ a ≥ b3 ⇒  b +  2 2 1  1 ÷ + >  c + ÷ + ⇒ b ≥ c (2)  12   12 0,25 1 > 1  (3) b ≥ c ⇒ c + ÷ + a + ÷ + ⇒ c ≥ a  12   12  0,25 Từ (1), (2) (3) suy a = b = c 0,25 a/ x − x −1 = (*) x−m x+2 ĐKXĐ: x ≠ m; x ≠ −2 Với điều kiện trên, quy đồng khử mẫu ta có phương trình x − = x − (m + 1) x + m ⇔ (m + 1) x = m + (1) + Nếu m = −1 phương trình (1) trở thành x = (vô lý) m+4 + Nếu m ≠ −1 PT (1) có nghiệm x = m +1 m+4 Giá trị x = nghiệm PT (*) m thoả mãn điều kiện m +1 m+4 m+4 ≠ m ≠ −2 ⇔ m ≠ ±2 m +1 m +1 Kết luận: Nếu m = −1 m = - m = phương trình (*) vô nghệm m+4 Nếu m ≠ −1 , m ≠ ±2 PT (*) có nghiệm x = m +1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b/ ( x − 3) y − x = 48 ⇔ ( x − 3) y − ( x − 9) = 48 + ⇔ ( x − 3)( y − x − 3) = 57 0,5 Vì x, y số nguyên nên x − y − x − ước 57 Mà 57=(-1).(-57)=1.57=3.19=(-3).(-19) nên ta có bảng sau x −3 -1 -3 -57 57 19 -19 y2 − x − -57 57 19 -19 -1 -3 −54 60 22 −16 ±8 không không không tồn không không tồn y tồn y y tồn y tồn y x không y tồn y ±8 0,5 KL : Nghiệm PT : (x,y)=(4 ;8) ;(4 ;-8) ;(60 ;8) ;(60 ;-8) 0,25 a/ Vì 2(a + b − a − b + 1) = 2a + 2b − 2a − 2b + = (a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) + a + b 0,5 = (a − 1) + ( b − 1) + a + b ≥ nên a + b − a − b + ≥ a − = a = a = a =   ⇔ Dấu xảy  (vô lý) b − = b =   b = b = Vậy a + b − a − b + > 0,25 0,25 a b c d + + + a+b b+c c+d d +a a b c d > + + + =1 a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a b c d + + + Lại có: a+b b+c c+d d +a a+c+d b+d +a c+a+b d +b+c < + + + =3 a+b+c+d b+c+d +a c+d +a+b d +a+b+c m m m+ x ( Áp dụng tính chất < ⇒ < với m, n, x ∈ Z + ) n n n+ x a b c d ⇒ + + + =2 a+b b+c c+d d +a a b c d ⇔ −1+ + −1+ =0 a+b b+c c+d d +a −b b −d d ⇔ + + + =0 a+b b+c c+d d +a b( a − c ) d (c − a ) ⇔ + =0 ( a + b)(b + c) (d + a)(c + d ) b( a − c ) d (a − c ) ⇔ = ( a + b)(b + c) (d + a )(c + d ) ⇔ b( d + a)(c + d ) = d (a + b)(b + c ) b/ T a có ⇔ ac = bd ⇒ abcd=(ac) 0,25 0,25 0,5 0,25 y x D M C N A 0,25 B O E a/ Gọi E giao điểm CO BD Xét tam giác ACO tam giác BOE có: ∠OAC = ∠OBE = 900 ∠AOC = ∠BOE (đối đỉnh) OA=OB (gt) ⇒ tam giác ACO = tam giác BOE (g-c-g) ⇒ OE = OC ; AC = BE Tam giác DCE có DO vừa đường trung tuyến vừa đường cao nên tam giác DCE cân D ⇒ DC = DE Mà DE=DB+BE=DB+AC ⇒ DC = AC + DB b/ Tam giác CDE cân D nên đường cao DO đường phân giác ⇒ OM = OB = OA ⇒ ∆AOC = ∆MOC (cạnh huyền-cạnh góc vuông) ⇒ MC = CA Chứng minh tương tự ta có: ∆ODM = ∆ODB ⇒ DM = DB Vì AC//BD (cùng vuông góc với AB) nên theo HQ định lý Ta-lét ta có: AN AC AN CM = = ⇒ MN / / AC (Định lý Ta-lét đảo) hay ND BD ND DM 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 Ghi : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giải khác mà Giám khảo cho điểm không vượt thang điểm ý - Phần hình học, học sinh không vẽ hình không cho điểm - Tổng điểm toàn tổng điểm câu không làm tròn ===================== ... nguyên nên x − y − x − ước 57 Mà 57= (-1 ). (-5 7)=1.57=3.19= (-3 ). (-1 9) nên ta có bảng sau x −3 -1 -3 -5 7 57 19 -1 9 y2 − x − -5 7 57 19 -1 9 -1 -3 −54 60 22 −16 8 không không không tồn không không... không tồn không không tồn y tồn y y tồn y tồn y x không y tồn y 8 0,5 KL : Nghiệm PT : (x,y)=(4 ;8) ;(4 ; -8 ) ;(60 ;8) ;(60 ; -8 ) 0,25 a/ Vì 2(a + b − a − b + 1) = 2a + 2b − 2a − 2b + = (a − 2a... Gọi E giao điểm CO BD Xét tam giác ACO tam giác BOE có: ∠OAC = ∠OBE = 900 ∠AOC = ∠BOE (đối đỉnh) OA=OB (gt) ⇒ tam giác ACO = tam giác BOE (g-c-g) ⇒ OE = OC ; AC = BE Tam giác DCE có DO vừa đường