Các cách giải phơng trình vô tỷ Trong chơng trình đại số 9 Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng trình vô tỷ nói riêng là một trong những đơn vị kiến thức rất cơ bản và phổ biến. Với bài viết này chỉ xin đợc trao đổi cùng các bạn về các cách giải phơng trình vô tỷ 1 ẩn mà ở đó chỉ chứa các căn thức bậc hai cho phù hợp với chơng trình đại số lớp 9. Cách 1: Sử dụng công thức của định nghĩa căn bậc 2 số học x 0 x 2 = a Ví dụ: Giải phơng trình Ta có: x 0 x 2 = 3x + 4 Giải: x 2 = 3x + 4 ta đợc x = -1 ; x = 4 Đối chiếu với x 0 thì nghiệm của phơng trình là x = 4 Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức |A| để đa phơng trình vô tỷ về ph- ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ: Giải phơng trình: (2) Với điều kiện x 4 ta có: (2) vì x 4 - Nếu x 8 thì ta có x = 8 (thoả mãn) - Nếu x < 8 thì ta có 4 = 4 Vậy phơng trình có vô số nghiệm x thoả mãn 4 x 8 1 xa = xx =+ 43 xx =+ 43 = 2 A 44444 =++ xxxx 444444444 =++++ xxxx ( ) ( ) 42424 22 =++ xx 42424 =++ xx 42424 =++ xx 024 >+ x 024 x 44.2 = x 024 < x 44224 =++ xx Cách 3: Bình phơng 2 vế của phơng trình vô tỷ đã cho để có phơng trình hữu tỷ: Ví dụ: Giải phơng trình: (3) điều kiện 2x + 5 0 3x 5 0 Ta có (3) (3) Hai vế của (3) không âm, ta bình phơng 2 vế của (3) thì đợc (3) Với điều kiện 6 x 0 x 6 Hai vế của (3 ) không âm nên ta bình phơng 2 vế của (3 ) thì đợc 16(3x 5) = 36 + x 2 12x x 2 60x + 116 = 0 x = 2 , x = 58 Đối chiếu với các điều kiện và x 6 thì nghiệm của phơng trình là x = 2 Chú ý rằng: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho 2 vế của phơng trình đều không âm (không dơng) thì sẽ dễ mắc sai lầm, bởi có sự xuất hiện của nghiệm ngoại lai. Thật vậy ở trong ví dụ này nếu chỉ có điều kiện rồi bình phơng 2 vế của (3) thì ta sẽ đợc (3) Bình phơng 2 vế của phơng trình (3 ) ta đợc x 2 60x + 116 = 0 x = 2 , x = 58 Đối chiếu với điều kiện thì phơng trình có 2 nghiệm x = 2 , x = 58. Mà khi thử lại ta lại thấy: - Khi x = 2 giá trị các vế trái là (VP) - Khi x = 58 giá trị của vế phải là (Vế phải) Rõ ràng chỉ x = 2 là nghiệm của phơng trình đã cho mà thôi 2 25352 =+ xx 2 5 x 3 5 x 3 5 x 25352 +=+ xx 45345352 ++=+ xxx xx = 6534 3 5 x 3 5 x 4)53)(52(25352 =+++ xxxx 45)53)(52(2 =+ xxx 3 5 x 21952.352.2 ==+ 221311169121558.3558.2 ===+ Cách 4: Phân tích thành nhân tử để xuất hiện những phơng trình vô tỷ đơn giản hơn: Ví dụ: Giải phơng trình (4) Ta có (4) (4) Với điều kiện x 3 ta có (4) (loại) (vô lý) Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm Cách 5: Đặt ẩn phụ a) Đặt ẩn phụ để có phơng trình bậc 2 Ví dụ: Giải phơng trình 3x 2 + 6x + 20 = (5) Ta có (5) Vì x 2 + 2x + 8 = (x + 1) 2 + 7 TXĐ: x Đặt t = t Khi đó ta có: 3t 2 4 = t 3t 2 t 4 = 0 t = -1 < loại t = < = (loại) Vậy phơng trình đã cho vô nghiệm b) Đặt ẩn phụ để có phơng trình hữu tỷ bậc cao Ví dụ: Giải phơng trình Điều kiện: x + 1 0 x -1 Đặt t 0 x + 1 = t 2 x = t 2 1 x 2 = t 4 2t 2 + 1 Khi đó ta có t 4 2t 2 + 1 + t 2 1 + 12t 36 = 0 t 4 t 2 + 12t 36 = 0 t 4 2t 3 + 2t 3 4t 2 + 3t 2 6t + 18t 36 = 0 t 3 (t 2) + 2t 2 (t 2) + 3t(t 2) + 18(t 2) = 0 3 323232 22 +++=++ xxxxxx 3)2)(1(2)3)(1( +++=+++ xxxxxx 32.123.)1( +++=+++ xxxxxx ( )( ) 03211 =++ xxx 032 011 =+ =+ xx x 32 11 =+ =+ xx x 32 30 = <= x 82 2 ++ xx ( ) 824823 22 ++=++ xxxx 82 2 ++ xx 7 7 9 16 3 4 = 36112 2 =+++ xxx tx =+ 1 9 63 7 (t 2) (t 3 + 2t 2 + 3t + 18) = 0 t = 2 t 3 + 2t 2 + 3t + 18 = 0 vô nghiệm vì t 0 t 3 + 2t 2 + 3t + 18 18 > 0 t = 2 x + 1 = 4 x = 3 > -1 Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3 c) Đặt ẩn phụ để có hệ phơng trình hữu tỷ đơn giản Ví dụ 1: Giải phơng trình Điều kiện x -2004 Đặt Theo phơng trình đã cho thì x 2 + y = 2004 Từ phép đặt ta lại có y 2 = x + 2004 Vậy có hệ x 2 + y = 2004 y 2 = x + 2004 Giải hệ này ta có: x = y x = -y - Khi x = y (thoả mãn) - Khi x = -y (t/mãn) Vậy nghiệm của phơng trình là Ví dụ 2: Giải phơng trình điều kiện: đặt theo phơng trình ta có a b = 3 mà theo phép đặt ta có a 2 b 2 = (25 x 2 ) (10 x 2 ) = 15 vì thế ta có hệ: a b = 3 a b = 3 a = 4 a 2 b 2 = 15 a + b = 5 b = 1 Từ đây x = +3 (thoả mãn đ/k) Vậy nghiệm của phơng trình là x = +3 4 20042004 2 =++ xx 2004 += xy 2004 += xx 2004 2 80171 > + = x 2004 += xx 2 40091 2 80171 2 > = x 2 80171 = x 31025 22 = xx 1010 x ax = 2 25 bx = 2 10 425 2 = x 110 2 = x Cách 6: Nhẩm nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất Ví dụ: Giải phơng trình: (6) - Ta thấy với x = 0 thì giá trị vế trái = và giá trị vế phải = x = 0 là nghiệm - Giả sử phơng trình có nghiệm x > 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho ta có: (6) mà (6) vô nghiệm phơng trình (6) không có nghiệm x > 0 - Giả sử phơng trình có nghiệm x < 0. Tiến hành chia 2 vế của (6) cho ta có (6) mà (6 ) vô nghiệm phơng trình (6) không có nghiệm x < 0 Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình đã cho. Cách 7: Sử dụng bất đẳng thức a) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế không giao nhau, khi đó phơng trình vô nghiệm Ví dụ: Giải phơng trình điều kiện: x 0 x + 1 0 x 3 x 3 0 Khi đó ta có giá trị của vế trái nhận giá trị âm. Mà giá trị vế phải lại không âm Do đó phơng trình đã cho vô nghiệm b) Chứng tỏ tập giá trị của 2 vế giao nhau tại cùng một giá trị. Khi đó phơng trình có nghiệm tại chính giá trị đó của ẩn. Ví dụ: Giải phơng trình Ta có: dấu = xảy ra x = -1 5 )3(2)2()1( =+ xxxxxx 0)20(0)10(0 =+ 0)30(2 = x 3221 =+ xxx 3)1( > xx 3)2( > xx 32)2()1( >+ xxx x xxx =+ 3221 xx < 31 xx < 32 xxx <+ 3221 31 =+ xxx 1 +< xx 03 x 222 2276322 xxxxxx =+++++ ( ) 11122 2 2 ++=++ xxx 42 2 4 =+ x x 42. 2 4 22 2 4 = + x x x x 42 2 4 =+ x x 2 2 4 = x x ( ) 42 2 = x 44)1(3763 22 ++=++ xxx dấu = xảy ra khi x = -1 giá trị vế trái dấu = xảy ra khi x = -1 mà 2 2x x 2 = - (x 2 + 2x + 1) + 3 = - (x + 1) 2 + 3 3 dấu = xảy ra x = -1 giá trị vế phải 3 dấu = xảy ra khi x = -1 Vì thế x = -1 là nghiệm của phơng trình đã cho c) Sử dụng dấu = xảy ra trong bất đẳng thức: Ví dụ: Giải phơng trình điều kiện: x > 2 ta có: ; áp dụng a + b 2 a, b 0. Dấu = xảy ra a = b Ta có x = 6 > 2 (thoả mãn) Vậy nghiệm của phơng trình là x = 6 Và dới đây là các ví dụ để chúng ta cùng nhau luyện tập Hãy giải các phơng trình sau: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Giáo viên Trờng T.H.C.S hảI vân (suu Tâm) 6 0 2 4 > x 02 > x ab 1215 2 =++ xxx 1267242 =+++ xxxx 748532 +=++ xxx 91849211212 22 =++ xxxxx 33441616128 22 =++ xxxx 1826 2 =+++ xxx 55 24 =++ xx 411 22 =++++ xxxx xxxxx 24)3)(1(231 =++++ 4215 24 =++ xx 11642 2 +=+ xxxx 3 1 1 2 2 +=+++ x x xx 42 2 4 =+ x x 42. 2 4 22 2 4 = + x x x x 42 2 4 =+ x x 2 2 4 = x x ( ) 42 2 = x 341 =+ 7 . Các cách giải phơng trình vô tỷ Trong chơng trình đại số 9 Trong chơng trình toán học phổ thông thì phơng trình nói chung và phơng trình vô tỷ nói riêng là. thì nghiệm của phơng trình là x = 2 Chú ý rằng: ở cách giải này nếu không đặt điều kiện cho 2 vế của phơng trình đều không âm (không dơng) thì sẽ dễ mắc