ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2017 – Đề Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Dethithpt.com Câu 1: Hàm số y = − x + 3x + 9x+4 đồng biến khoảng A ( −1;3) B ( −3;1) C ( −∞; −3) D ( 3; +∞ ) Hướng dẫn giải y = − x + x + x + 4, D = ¡ ⇒ y ' = −3 x + x +  x = −1 y ' = ⇔ −3 x + x + = ⇔  x = ⇒ y ' > 0, ∀x ∈ ( −1;3) => Hàm số đồng biến ( −1;3) Câu 2: Hàm số ⇒ y ' = −4 x − x = − x ( x + ) có: A Một cực đại cực tiểu B Một cực tiểu cực đại C Một cực đại D Một cực tiểu Hướng dẫn giải y = − x − 3x + ⇒ y ' = −4 x − x = − x ( x + ) y ' = ⇔ x = đổi dấu từ + sang – ( dựa vào bảng biến thiên) => Hàm số có cực đại Đáp án C Câu 3: GTNN hàm số y = x − + A − B 1   ;5 x 2  C -3 Hướng dẫn giải y = x −5+  x = −1( L ) 1 x2 −1 ⇒ y ' = − = ⇒ y ' = ⇔ x2 −1 = ⇔  x x x x = 1 Ta có: f ( 1) = −3; f  ÷ = − ; f ( ) = 2 Vậy GTNN hàm số −3 ⇒ C D -2 Cách giải khác: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: y = x + 1 − ≥ x − = −3 x x Câu 4: Cho hàm số y = x − x + x + ( 1) Tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x + có phương trình A y = 3x − B y = 3x − 26 C y = 3x − D y = 3x − 29 Hướng dẫn giải y = x − x + x + 1⇒ y ' = x − x + 3 Đường thẳng y = 3x + có hệ số góc x = Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + nên y ' ( x ) = ⇔  x = x = ⇒ y = suy phương trình tiếp tuyến: y = 3x + x =4⇒ y = 29 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = 3x − 3 Thử lại, ta y = 3x − 29 thỏa yêu cầu toán Câu 5: Điểm sau điểm uốn đồ thị hàm số: y = x − x + là: A ( 0;5 ) B ( 1;3) C ( −1;1) D Không có điểm uốn Hướng dẫn giải y = x − x + ⇒ y ' = 3x − ⇒ y '' = x y '' = ⇔ x = ⇒ y = ⇒ Điểm uốn I ( 0;5 ) Câu 6: Với tất giá trị m hàm số y = mx + ( m − 1) x + − 2m có cực trị A m ≥ B m ≤ C ≤ m ≤ Hướng dẫn giải y = mx + ( m − 1) x + − 2m ⇒ y ' = 4mx + ( m − 1) x = x ( 2mx + m − 1) x = y'= ⇔   2mx + m − = ( ) Hàm số có cực trị ⇔ ( ) vô nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆ ≤ ⇔ −2m ( m − 1) ≤ ⇔ m ≤ ∨ m ≥ D m ≤ ∨ m ≥ Câu 7: Đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị hàm số y = A B x − 3x điểm: x −1 C D Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm: x − 3x = − x + m ⇔ 2x2 − ( m + 4) x + m = x −1 ∆ = ( m + ) − 8m = m + 16 > 0, ∀m ⇒ nghiệm phân biệt Vậy d cắt (C) điểm Câu 8: Với giá trị m hàm số y = A m < B m > ( m + 1) x + 2m + x+m C m < ∨ m > nghịch biến ( −1; +∞ ) D ≤ m < Hướng dẫn giải y= ( m + 1) x + 2m + ⇒ y ' = ( m + 1) m − 2m − = m2 − m − 2 x+m ( x + m) ( x + m) Hàm số nghịch biến ( −1; +∞ ) ⇔ y ' < 0∀x ∈ ( −1; +∞ )  − m ≤ −1 m ≥ ⇔ ⇔ ⇔1≤ m < − < m < m − m − <   Câu 9: Cho phát biểu sau: (1) Hàm số y = x + x + x + có đồ thị (C) cực trị (2) Hàm số y = x + x + x + có điểm uốn U ( −1;0 ) (3) Đồ thị hàm số y = (4) Có dạng y = 3x − có dạng x−2 2x +1 2x +1 2x +1 = −∞ lim− = +∞ có lim lim+ x → x → x +1 x +1 x +1 Số phát biểu là: A B C D Câu 10: Giá trị m để đường thẳng d : x + y + m = cắt đồ thị hàm số y = 2x − hai x −1 điểm M, N cho tam giác AMN vuông điểm A ( 1;0 ) là: A m = Hướng dẫn giải B m = C m = −6 D m = −4 m Ta có: d : y = − x − 3 Hoành độ giao điểm d (H) nghiệm phương trình 2x − m = − x − ⇔ x + ( m + ) x − m − = 0, x ≠ ( 1) x −1 3 Ta có: ∆ = ( m + ) + 12 > 0, ∀m M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) uuuu r uuur Ta có: AM = ( x1 − 1; y1 ) , AN = ( x2 − 1; y2 ) Tam giác AMN vuông A uuuu r uuur ⇔ AM AN = ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) + y1 y2 = ⇔ 10 x1 x2 + ( m − ) ( x1 + x2 ) + m + = ( ) Áp dụng định lý Viet, ta có x1 + x2 = −m − 5, x1 x2 = −m − 10 ( −m − ) + ( m − ) ( −m − ) + m + = ⇔ −6m − 36 = ⇔ m = −6 Câu 11: Cho A = log log + log 81 − log 27 + 81 Chọn nhận định A log A ( 626 ) = B 616log A = D log A = + log 313 C A = 313 Hướng dẫn giải A = log = log log5 + log 81 − log 27 + 81 ( = log + log − log 27 + 3log3 ) 6.9 + = + 625 = 626 27 ⇒ log 626 = log ( 2.313) = + log 313 ⇒ D Câu 12: Tập nghiệm bất phương trình: log ( x − 1) + log   B S =  − ; ÷   A S = ( 1; ) C S = ( 1; 2] Hướng dẫn giải Điều kiện: x > log ( x − 1) + log ( x − 1) ≤ ⇔ log ( x − 1) ( x − 1)  ≤ 1 ⇔ x − 3x − ≤ ⇔ − ≤ x ≤ 2 Kết hợp điều kiện ⇒ S = ( 1; 2] ( x − 1) ≤ là: D S = [ 1; ) Câu 13: Cho log 15 = a, log 10 = b Giá trị biểu thức P = log 50 theo a b là: A P = a + b − B P = a − b − C P = 2a + b − D P = a + 2b − Hướng dẫn giải log 50 = log 150 = log 15 + log 10 − = a + b − ( ) Câu 14: Cho biểu thức Q = log a a b − log ( a b ) + log a b ( b ) , biết a, b số thực dương khác Chọn nhận định xác Q 16 Q B > log Q A = log Q 16 Q C < log Q 15 D Q = Hướng dẫn giải ( ) ( ) Ta có Q = log a a b − log a a b + 3log b ( b )  a b  1 = log a a b − log a a b + = log a  + = log ÷ a  ÷+ = −1 + = ÷ a a b ( ) ( ) Câu 15: Cho phương trình 3.25 x − 2.5 x+1 + = phát biểu sau: (1) x = nghiệm phương trình (2) Phương trình có nghiệm dương (3) Cả nghiệm phương trình nhỏ 3 (4) Phương trình có tổng nghiệm là: − log  ÷ 7 Số phát biểu là: A B C Hướng dẫn giải x Phương trình ⇔ 3.25 x − 10.5x + = Đặt t = ( t > ) t = Phương trình có dạng: 3t − 10t + = ⇔  t =  (*) Với t = ⇒ x = ⇔ x = (*) Với t = 7 7 ⇒ x = ⇔ x = log  ÷ 3 3    Vậy phương trình có tập nghiệm: S = 0;log  ÷    D Câu 16: Nguyên hàm f ( x ) = cos ( x − ) là: A sin ( x − ) + C B 5sin ( x − ) + C C − sin ( x − ) + C D −5sin ( x − ) + C Hướng dẫn giải f ( x ) = cos ( x − ) ⇒ Nguyên hàm F ( x ) = sin ( x − ) + C Câu 17: Tích phân I = 3π ∫ sin π A 2 dx x cos x B C D Hướng dẫn giải I= 3π ∫ sin π dx = x cos x 3π ∫ sin π 3π 2x = −2 cot x π8 = −2 cot dx 3π π + cot = + = 4 Câu 18: Cho I = ∫ ( x − − x ) dx Giá trị I là: A I = B I = C I = D I = Hướng dẫn giải I = ∫ ( x − − x ) dx ⇒ I = ∫ ( −2 x + − x ) dx + ∫ ( x − − x ) dx 1  3x   x2  −3 1 1 = − + x÷ +  − x÷ = + + −1− + =  0  1 2 Câu 19: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường y= , y = 0, x = 0, x = quay vòng quanh trục Ox (theo đơn vị thể tích) x−4 A 2π (dvtt) B 4π (dvtt) C 6π (dvtt) D 8π (dvtt) Hướng dẫn giải Sử dụng Casio Nhập vào máy π ∫ 16 ( x − 4) dx = 4π Chú ý có dấu trị tuyệt đối tích phân! Câu 20: Tính diện tích hình phẳng giới hạn : y = x , y = x − 2, y = A B 10 C 10 D 10 Hướng dẫn giải Bước : Chuyển sang x theo y : y = x , y = x − 2, y = ⇒ x = y , x = y + Lập phương trình ẩn y: y = y + ⇒ y = 2, y = −1 (loại) 2 0 2 Bước 2: S = ∫ y − y − dy = ∫ − ( y − y − ) dy = 10 Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn ( + i ) z = 14 − 2i Tính tổng phần thực phần ảo z A -4 B 14 C D -14 Hướng dẫn giải Ta có: ( + i ) z = 14 − 2i ⇔ z = 14 − 2i = − 8i ⇒ z = + 8i 1+ i Vậy tổng phần thực phần ảo z = 14 Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn ( − 3i ) z + + i = − z Môdun số phức w = 13z + 2i có giá trị bằng: A -2 B 26 13 C 10 D − 13 Hướng dẫn giải Ta có: ( − 3i ) z + + i = − z ⇔ ( − 3i ) z = −1 − i ⇔ z = −1 − i ( −1 − i ) ( + 3i ) = 2 − 3i 2 + ( −3 ) −2 − 3i − 2i − 3i − 5i ⇔z= = ⇒ w = 13z + 2i = − 3i ⇒ w = + = 10 13 13 Câu 23: Cho số phức z = ( − 2i ) ( − 3i ) − + 8i Cho phát biểu sau: (1) Modun z số nguyên tố (2) z có phần thực phần ảo âm (3) z số thực (4) Số phức liên hợp z có phần ảo 3i Số phát biểu sai là: A B C D Hướng dẫn giải Ta có: z = ( − 2i ) ( − 3i ) − + 8i = −4 − 3i Phần thực: –4, phần ảo: –3 ⇒ z = ( −4 ) + ( −3) = Ta soi lại đáp án ! Câu 24: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy Cho tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện −2 + i ( z − 1) = Phát biểu sau sai: A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 1; −2 ) B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có bán kính R = C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ć đường kính 10 D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z hình tròn Hướng dẫn giải Gọi z = x + yi, x, y ∈ ¡ Ta có: zi − ( + i ) = ⇔ − y − + ( x − 1) i = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = 25 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 1; −2 ) bán kính R = Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − z = + 4i Phát biểu sau sai: B z + i có modun A z có phần thực -3 C z có phần ảo D z có modun 97 97 Hướng dẫn giải Đặt z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ z = x − yi ⇒ −2 z = −2 x + yi  x = −3 − x =  x + yi − x + yi = + 4i ⇔ − x + yi = + 4i ⇔  ⇔ 3 y =  y = Vậy z = −3 + i ⇒ z = 97 97 = ( −3) +  ÷ = 3 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a với SA = a a , , SB = 2 BAD = 600 mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi H, K trung điểm AB, BC Thể tích tứ diện K.SDC có giá trị là: A V = a3 B V = a3 16 C V = a3 D V = a3 32 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có AB = a, SA = a a , SB = 2 Nên ∆ASB vuông S ⇒ SH = AB ⇒ ∆SAH Gọi M trung điểm AH SM ⊥ AB Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SM ⊥ ( ABCD ) 1 Vậy VKSDC = VS KCD = SM S ∆KCD = SM S ∆BAD 3 a a.a a = = 2.2 32 (đvtt) Câu 27: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BCD = 1200 AA ' = 7a Hình chiếu vuông góc A' lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC BD Tính theo a thể tích khối chóp ABCD.A'B'C'D' A V = 12a B V = 3a C V = 9a D V = 6a Hướng dẫn giải Gọi O = AC ∩ BD Từ giả thuyết suy A ' O ⊥ ( ABCD ) S ABCD = BC.CD.sin1200 = a2 · Vì BCD = 1200 nên ·ABC = 600 ⇒ ∆ABC 49a a ⇒ AC = a ⇒ A ' O = A ' A − AO = − = 3a 4 2 Suy VABCD A ' B 'C ' D ' = 3a Câu 28: Cho lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A lên mặt phẳng ( A1 B1C1 ) thuộc đường thẳng B1C1 Khoảng cách hai đường thẳng AA1 BC1 theo a là: A a B a C 2a D 4a Hướng dẫn giải Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 ( A1 B1C1 ) theo giả thiết góc AA1H 300 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, AA1 H = 30 ⇒ AH = a a Xét AHA1 có AA1 = a góc AA1 H = 300 ⇒ A1H = Do A1B1C1 cạnh a, H thuộc B1C1 A1 H = a Suy A1H vuông góc B1C1 AH ⊥ B1C1 nên B1C1 ⊥ ( AA1 H ) HK khoảng cách AA1 B1C1 Ta có AA1.HK = A1 H AH ⇒ HK = A1 H AH a = AA1 Câu 29: Cho lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Biết hình chiếu vuông góc A' (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC A R = a B R = 2a 3 C R = a 3 D R = a Hướng dẫn giải Tìm bán kính mặt cầu : Ngoại tiếp tứ diện A ' ABC * Gọi G tâm tam giác ABC, qua G kẻ đường thẳng d || A ' H cắt AA' E * Gọi F trung điểm AA', mặt phẳng (AA'H) kẻ đường thẳng trung trực AA' cắt (d) I => I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC bán kính R = IA Ta có: Góc AEI 600, EF = IF = EF tan 600 = a R = AF + FI = a 3 a AA ' = 6 Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông cạnh a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) H trung điểm AB, SH = HC , SA = AB Gọi α góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Giá trị tan α là: A B C D Hướng dẫn giải Ta có AH = a AB = 2 SA = AB = a SH = HC = BH + BC = Có SA2 + AH = a 5a = AH ⇒ ∆SAH ⇒ SA ⊥ AB ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) AC = hc ( SC ; ( ABCD ) ) Ta có: ( SC ; ( ABCD ) ) = SCA, tan SCA = Câu 31: Đội tuyển học sinh giỏi thầy Quang gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội thi quóc gia cho khối có em chọn: A 48118 B 41181 C 41811 D 41818 Hướng dẫn giải Số cách chọn học sinh từ 18 học sinh đội tuyển là: C18 = 43758 cách • Số cách chọn học sinh khối 12 11 C13 • Số cách chọn học sinh khối 11 10 C11 • Số cách chọn học sinh khối 12 10 C12 8 Suy số cách chọn theo yêu cầu toán là: 43758 − C13 − C11 − C12 = 41811 cách Câu 32: Hưng Hoàng tham gia kì thi THPT Quốc gia, có hai môn trắc nghiệm Vật lí Hóa học Đề thi môn gồm mã khác môn khác có mã khác Đề thi xếp phát cho thí sinh cách ngẫu nhiên Tính xác suất để hai môn thi Hưng Hoàng có chung mã đề thi A B 18 C 18 D 36 Hướng dẫn giải • Số cách nhận mã đề hai môn Hưng 6.6 = 36 • Số cách nhận mã đề hai môn Hoàng 6.6 = 36 Số phần tử không gian mẫu Ω = 36.36 = 1296 Gọi A biến cố”Hưng Hoàng có chung mã đề thi” • Khả 1: có mã đề Vật lí Điệp có 6.6 cách nhận mã đề hai môn, Hoàng có 1.5 cách nhận mã đề Do có 36.5=180 cách • Khả 2: Tương tự có mã đề Hóa học có 180 cách ⇒ ΩA = 360 Vậy P ( A ) = 360 = 1296 18 2  Câu 33: Hệ số x10 khai triển biểu thức:  3x − ÷ x   A -162 B -810 C 810 D 162 Hướng dẫn giải 2  Tìm hệ số x10 khai triển biểu thức:  3x − ÷ x   k 5 2 k − k k 15 −5 k  2 k 5− k  k  x − ÷ = ∑ C5 ( 3x )  − ÷ = ∑ C5 ( −1) x x  k =0   x  k =0 Hệ số của số hạng chứa x10 C5k ( −1) 35− k 2k , với 15 − 5k = 10 ⇔ k = k Vậy hệ số x10 là: C51 ( −1) 34 21 = −810 2 Câu 34: Số nguyên n thỏa mãn biểu thức An − 3Cn = 15 − 5n là: A B C A B Hướng dẫn giải Điều kiện: n ∈ ¥ , n ≥ An2 − 3Cn2 = 15 − 5n ⇔ n ( n − 1) − 3.n ! = 15 − 5n 2!( n − 1) ! n = ⇔ n − 11n + 30 = ⇔  n = Vậy có đáp án thỏa mãn A B Suy đáp án C D Không có giá trị thỏa mãn Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d qua hai điểm r M ( 0; −1;1) có vectơ phương u = ( 1; 2;0 ) ; điểm A ( −1; 2;3) Phương trình mặt phẳng r 2 (P) chứa đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = ( a; b; c ) ( a + b + c ≠ ) A a = 2b B a = −3b C a = 3b D a = −2b Hướng dẫn giải r Đường thẳng d qua điểm M ( 0; −1;1) có vec tơ phương u = ( 1; 2;0 ) r 2 Gọi n = ( a; b; c ) ( a + b + c ≠ ) vectơ pháp tuyến (P) rr Do (P) chứa d nên u.n = ⇔ a + 2b = ⇔ a = −2b Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z = Phương trình mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) cách điểm M ( 1; 2; −1) khoảng 2 2 có dạng: Ax + By + Cz = ( A + B + C ≠ ) A B = hay 3B + 8C = B B = hay B + 3C = C B = hay 3B − 8C = D B = hay 3B − 8C = Hướng dẫn giải A + B + C = ( P ) ⊥ ( Q )  ⇔  A + 2B − C Từ giả thiết ta có:  = d M ; Q = ( ) ( )  2  A + B + C   A = −B − C  B − 2C  = ( *)  2  B + 2C + BC ( *) ⇔ B = 3B + 8C = Câu 37: Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 3;1;1) , N ( 4;8; −3) , P ( 2;9; −7 ) mặt phẳng ( Q ) : x + y − z − = Đường thẳng d qua G, vuông góc với (Q) Tìm giao điểm A mặt phẳng (Q) đường thẳng d Biết G trọng tâm tam giác MNP A A ( 1; 2;1) B A ( 1; −2; −1) Hướng dẫn giải • Tam giác MNP có trọng tâm G ( 3;6; −3) C A ( −1; −2; −1) D A ( 1; 2; −1) • x = + t  Đường thẳng d qua G, vuông góc với ( Q ) :  y = + 2t  z = −3 − t  • x = + t  y = + 2t  A : ⇒ A ( 1; 2; −1) Đường thẳng d cắt (Q)  z = − − t   x + y − z − = Câu 38: Trong không gian Oxyz, cho hình thoi ABCD với điểm A ( −1; 2;1) , B ( 2;3; ) Tâm I hình thoi thuộc đường thẳng ( d ) : A D ( −2; −1;0 ) x +1 y z − = = Tọa độ đỉnh D là: −1 −1 B D ( 0;1; ) C D ( 0; −1; −2 ) D D ( 2;1;0 ) Hướng dẫn giải uu r uur Gọi I ( −1 − t ; −t + 2; + t ) ∈ d Ta có IA = ( t ; t + 2; −t − 1) , IB = ( t + 3; t + 3; − t ) uu r uur Do ABCD hình thoi nên IA.IB = ⇔ 3t + 9t + = ⇔ t = −1; t = −2 Do C đối xứng với A qua I D đối xứng với B qua I nên • t = −1 ⇒ I ( 0;1;1) ⇒ C ( 1;0;1) , D ( −2; −1;0 ) • t = −2 ⇒ I ( 1; 2;0 ) ⇒ C ( 3; 2; −1) , D ( 0;1; −2 ) Câu 39: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 1; 4; ) , B ( −1; 2; ) đường thẳng ∆: x −1 y + z = = Điểm M ∆ cho: MA2 + MB = 28 là: −1 A M ( −1;0; ) B M ( 1;0; ) C M ( −1;0; −4 ) D M ( 1;0; −4 ) Hướng dẫn giải x = 1− t  Phương trình tham số đường thẳng ∆ :  y = −2 + t ⇒ M ( − t ; −2 + t; t )  z = 2t  Ta có: MA2 + MB = 28 ⇔ 12t − 48t + 48 = ⇔ t = Từ suy ra: M ( −1;0; ) Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác MNP với M ( 1; −1) , N ( 3;1) , P ( 5; −5 ) Tọa độ tâm I đường thẳng ngoại tiếp tam giác MNP là: A I ( 4; ) B I ( −4; ) C I ( 4; −4 ) D I ( 4; −2 ) Hướng dẫn giải I ( x; y ) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP 2 2 2  MI = NI ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − 3) + ( y − 1) ⇔ ⇔ 2 2  MI = PI ( x − 1) + ( y + 1) = ( x − ) + ( y + ) x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ I ( 4; −2 ) x − y =  y = −2 2 Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy cho đường ( Cm ) : x + y − ( m + ) x + 4my + 19m − = Với giátrị m sau ( Cm ) đường tròn ? A < m < B m < m > C m = D m = Hướng dẫn giải ( Cm ) : x + y − ( m + ) x + 4my + 19m − = ⇒ a = m + 2; b = −2m; c = 19m − Để ( Cm ) đường tròn ⇔ a + b − c > ⇔ ( m + ) + 4m − 19m + > ⇒ 5m − 15m + 10 > ⇔ m < ∨ m > Câu 42: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A ( 3; ) có tâm đường tròn ngoại tiếp I ( 2; −1) điểm B nằm đường thẳng d : x − y − = Tọa độ đỉnh C ( a; b ) Giá trị S = 2a + 3b là: A S = −8 B S = 28 C S = 18 Hướng dẫn giải uu r Ta có: IA = ( 1;3) ⇒ IA = 10 r uuur −4a + 3b = Giả sử cos HPN = cos u , PH ⇔ a2 + b2 ( ) I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ IA = IB ⇔ IA2 = IB b = ⇒ B ( 5; −2 ) ⇔ 10 = 2b − 16b + 40 ⇔ b − 8b + 15 = ⇔  b = ⇒ B ( 3; ) Do tam giác ABC vuông A ⇒ I ( 2; −1) trung điểm BC (*) Với B ( 5; −2 ) ⇒ C ( −1;0 ) D S = (*) Với B ( 3; −4 ) ⇒ C ( 1; ) Vậy tọa độ đỉnh B, C là: B ( 5; ) , C ( −1;0 ) B ( 3; −4 ) , C ( 1; ) Chỉ có đáp án D thỏa mãn Câu 43: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A D Biết AB = AD = 2; CD = , phương trình BD x − y = , C thuộc đường thẳng x − y − = Tọa độ A ( a; b ) biết điểm C có hoành độ dương Tính S = a − b A S = B S = C S = D S = Hướng dẫn giải Từ giả thiết chứng minh DB vuông góc với BC suy CB = 2 = d C , ( BD )  C ( 4c + 1; c ) ⇒ 4c + − c 1+1 c = 3c + = = 2 ⇔ 3c + = ⇔  ⇔ ⇒ C ( 5;1) c = − ( L ) c + = −   B hình chiếu C lên đường thẳng BD ⇒ B ( 3;3) Mà AB = nên A thuộc đường tròn có PT ( x − 3) + ( y − 3) = ( 1) 2 Tam giác ABD vuông cân A => Góc ABD = 450 ⇒ PT AB x = y = * Với x = vào (1) giải y = y = ⇒ A ( 3;1) thử lại không thỏa; A ( 3;5 ) thỏa * Với y = vào (1) giải x = x = ⇒ A ( 1;3) thử lại thỏa; A ( 5;3) không thỏa Câu 44: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC Biết M ( 3; −1) trung điểm cạnh BD, điểm C có tọa độ C ( 4; −2 ) Điểm N ( −1; −3) nằm đường thẳng qua B vuông góc với AD Đường thẳng AD qua P ( 1;3) Phương trình AB : ax − y + b = Giá trị biểu thức S = a + 2b là: A S = −5 B S = −4 C S = −6 Hướng dẫn giải Giả sử D ( a; b ) Vì M trung điểm BD nên B ( − a; − b ) uuur uuur AD ⊥ DC ⇒ BN / /CD ⇒ BN , CD phương uuur uuur BN = ( a − 7; b − 1) , CD = ( a − 4; b + ) D S = −3 ⇒ ( a − ) ( b + ) = ( a − ) ( b − 1) ⇔ b = a − ( 1) uuur uuur PD = ( a − 1; b − 3) , CD = ( a − 4; b + ) uuur uuur PD ⊥ CD ⇒ ( a − 1) ( a − ) + ( b − 3) ( b + ) = ( ) a = Thế (1) vào (2) ta 2a − 18a + 40 = ⇔  a = • Với a = ⇒ b = −2 ⇒ D ( 4; −2 ) loại D trùng C • Với a = ⇒ b = −1 ⇒ D ( 5; −1) B ( 1; −1) Đường thẳng AD qua P ( 1;3) , D ( 5; −1) ⇒ AD : x + y − = AB ⊥ BC qua B ( 1; −1) ⇒ AB : x − y − = ⇒ S = a + b = − = −5 ⇒ A Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A, biết cạnh huyền nằm đường thẳng x + y − 31 = Điểm N ( 7;7 ) thuộc đường thẳng AC, điểm M ( 2; −3) thuộc đường thẳng AB A ( a; b ) , B ( c; d ) , C ( e; f ) Cho mệnh đề sau: ( I ) a + b + c = −2 ( II ) d − f =1 ( III ) a = c + e ( IV ) b + d = Số mệnh đề là: A B C D Hướng dẫn giải • 2 Đường thẳng AB có phương trình a ( x − ) + b ( y + 3) = ( a + b > ) Do góc ABC 450 nên ta có: cos 450 = • a + 7b 3a = 4b = ⇔ 12a − ab − 12b2 = ⇔  50 a + b  4a = −3b Với 3a = 4b , ta chọn a = suy b = Vì AC vuông AB nên AC : x − y + = ⇒ A ( −1;1) ⇒ B ( −4;5 ) ⇒ C ( 3; ) • Với 4a = −3b , ta chọn a = 3; b = −4 , loại hệ số góc dương Vậy tọa độ điểm thỏa yêu cầu toán A ( −1;1) , B ( −4;5 ) , C ( 3; ) Câu 46: Cho hình thoi ABCD có BAC = 600 E giao điểm hai đường chéo AC BD Gọi F hình chiếu vuông góc A lên BC Cho tam giác AEF có điện tích S = 30 , điểm A thuộc đường thẳng d : x − y + = có G ( 0; ) trực tâm Phương trình EF : ax − y + b = Biết A có tung độ nguyên dương Giá trị biểu thức S = A S = B S = C S = − a b D S = − Hướng dẫn giải 0  FBA = 180 − ABC = 60 ⇒ AB phân giác FBE Do FA ⊥ BF , AE ⊥ BE Ta có:   ABE = 60 Nên AF = AE → ∆AEF cân A Lại có: FAE = BAE + FAB = 600 → ∆AEF Xét tam giác AEF: S = 30 nên độ dài cạnh tam giác đều: a = 30; R = 10 Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF : x + ( y − ) = 40 A giao đường tròn đường thẳng x − y + = ⇒ A ( −2;8 ) Phương trình EF , qua M trung điểm EF , điểm M tìm từ tỉ lệ vecto : uuur uuuu r a AG = 2GM ⇒ M ( 1; −1) Phương trình EF đó: x − y − = ⇒ S = = b −4 Câu 47: Cho phương trình x − + x − = x − có nghiệm vô tỉ x = a+3 b Tính tổng S = a+b A 20 B 26 C 42 Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ Phương trình cho tương đương x −1 + ( x − 1) ( x + 1)  x −1 = ⇔ x = = ( x − 1) ⇔   + x + = x − ( *) Phương trình (*) tương đương D 24 + x + + x + = ( x − 1) ⇔ x + = x − 14  x≥  11   15 + x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ ⇔ ⇒x=   4 ( x + 1) = ( x − 11)   x ∈ 15 + ; 15 −  16 ( x + 1) = ( x − 14 )    8   a = 15 ⇒ S = a + b = 20 Từ suy ra:  b =  xy ( x + 1) = x + y + x − y  Câu 48: Cho hệ phương trình:  3 y + x + + ( y + ) ) ( ) ( + x + x2 + = Với x, y nghiệm hệ phương trình Tính giá trị biểu thức x − 10 y : A -1 B C D Hướng dẫn giải y = x Phương trình ( 1) ⇔ ( x − y ) ( x − y + 1) = ⇔   y = x +1 ) ( * Thế vào PT (2) ta được: x + x + + ( x + ) ⇔ ( x + 1) ( ( x + 1) ) ( + + = ( −3 x ) + ( ) 1+ x + x2 +1 = ( −3 x ) +3 ) ⇔ f ( x + 1) = f ( −3 x ) Xét f ( t ) = t ( ) t + + có f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ ¡ 1 Suy f(t) hàm số đồng biến nên: x + = −3 x ⇔ x = − ⇒ y = − 5 Đến coi ta tìm đáp án ! Nhưng ta nên xét đến trường hợp lại * Trường hợp y = x + vào phương trình (2) ta : ( ) ( x + 1) + x + + ( x + + ) ( ) + x + x2 + = Vế trái dương => phương trình vô nghiệm  1 Vậy hệ có nghiệm nhất:  − ; − ÷  5 Từ suy S = 5a − 10b = −1 + = Câu 49: Số giá trị nguyên m để phương trình x x + x + 12 = m nghiệm là: ( 5− x + 4− x ) có A 10 B 11 C 12 D 13 Hướng dẫn giải Điều kiện: x ∈ [ 0; 4] Khi phương trình tương đương với: (x x + x + 12 )( ( ) 5− x − 4− x = m Xét hàm số f ( x ) = x x + x + 12 )( ) − x − − x liên tục đoạn [ 0; 4] Ta xét riêng sau: g1 ( x ) = x x + x + 12 ⇒ g1' ( x ) = 3x 2 x + >0 x + 12 Suy hàm số g1(x) đồng biến đoạn [ 0; 4] g ( x ) = − x − − x ⇒ g 2' ( x ) = Với x ∈ [ 0; 4] ⇒ − x > − x ⇒ g 2' ( x ) = 5− x − 4− x 5− x 4− x 5− x − 4− x >0 5− x 4− x Suy hàm số g ( x ) đồng biến đoạn [ 0; 4] Từ suy f ( x ) = g1 ( x ) g ( x ) đồng biến đoạn [ 0; 4] Suy phương trình có nghiệm khi f ( ) ≤ m ≤ f ( ) ⇒ ( ) − ≤ m ≤ 12 Từ suy có 12 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 50: Cho a, b, c số thực Giá trị nhỏ biểu thức P = A 3 ( b + c ) 4a + 3c 12 ( b − c ) là: + + 2a 3b 2a + 3c B C D Hướng dẫn giải Ta có: P + 11 = + 3( b + c) 4a + 3c 12 ( b − c )   +1+ + = ( 4a + 3b + 3c )  + + ÷ 2a 3b 2a + 3c  2a 3b 2a + 3c  Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có P + 11 ≥ ( 4a + 3b + 3c ) Đẳng thức xảy b = c = a 16 = 16 ⇒ P ≥ 15 4a + 3b + 3c ... yêu cầu toán là: 43758 − C13 − C11 − C12 = 41811 cách Câu 32: Hưng Hoàng tham gia kì thi THPT Quốc gia, có hai môn trắc nghiệm Vật lí Hóa học Đề thi môn gồm mã khác môn khác có mã khác Đề thi xếp... cố”Hưng Hoàng có chung mã đề thi • Khả 1: có mã đề Vật lí Điệp có 6.6 cách nhận mã đề hai môn, Hoàng có 1.5 cách nhận mã đề Do có 36.5=180 cách • Khả 2: Tương tự có mã đề Hóa học có 180 cách ⇒... suất để hai môn thi Hưng Hoàng có chung mã đề thi A B 18 C 18 D 36 Hướng dẫn giải • Số cách nhận mã đề hai môn Hưng 6.6 = 36 • Số cách nhận mã đề hai môn Hoàng 6.6 = 36 Số phần tử không gian mẫu